Обработка вариационного ряда

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

вариационный ряд среднеквадратический отказ

Введение

1. Обработка вариационного ряда

1.1 Отчистка вариационного ряда

1.2 Распределение вариационного ряда по интервалам

1.3 Определение параметров распределения

1.4 Определение среднеквадратичного отклонения

1.5 Определение теоретических частот нормального распределения

1.6 Критерии согласия Ястремского

2. Показатели надежности

2.1 Вероятность безотказной работы

2.2 Частота отказов

2.3 Интенсивность отказов

3. Расчет потребности в запасных частях

Заключение

Литература



Введение

В наше время для эффективной работы предприятий необходимо иметь работоспособные машины и оборудование. Производить своевременное техническое обслуживание, а при выходе из строя деталей и узлов - производить их своевременную замену или ремонт.

Для проведения своевременного ремонта отказавших узлов необходимо иметь в наличии на складе запасные части, количество которых необходимо рассчитать.

В этом случае, возникает множество плюсов:

- система более быстро реагирует на возникающие потребности в запасных частях, подстраиваясь под реальный спрос;

- не хранит излишков на складах, что влечет экономию расходов предприятия.



1. Обработка вариационного ряда

1.1 Отчистка вариационного ряда

где К - коэффициент зависящий от числа вариантов в выборке (К=0,8), а М - средне арифметическая выборка:

Подозреваемая варианта принадлежит выборке.

Подозреваемая варианта принадлежит выборке.

1.2 Распределение вариационного ряда по интервалам

R = t _max - t _min,

где t_max и t_min - соответственно максимальная и минимальная наработки до отказов, ч., величины которых определяются по выборке

R = 3396 - 188 = 3208 ч.

Определим величину интервала

где N₀ - количество изделий, находившихся под наблюдением (количество отказов в выборке).

Тогда

Для уменьшения объемов расчетов переведем моменты отказов из размерности «часы» в размерность «сотни часов»

Дальнейшие расчеты выполнены в табличной форме (табл. 1).

1.3 Определение параметров распределения

Определение среднеарифметического значения наработки до отказа

где к - число интервалов;

t_i - середина интервала;

n_i - число отказов, попавших в интервал;

a - приблизительная середина вариационного ряда.

Принимаю a = 21,015

или в реальном масштабе t_ср = 1875,8 ч.



Таблица 1. Расчет параметров распределения

Граница интервалов Бi вi	Число отказов, ni	Середина интервала, ti
1	2	3	4	5	6	7	8
0-4,67 4,67-9,34 9,34-14,01 14,01-18,68 18,68-23,35 23,35-28,08 28,02-32,69 32,69-37,36	1 4 12 13 14 10 4 2	2,335 7,005 11,675 16,345 21,015 25,685 30,355 35,025	-18,68 -14,01 -9,34 -4,67 0,0 4,67 9,34 14,01	-4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0	-4,0 -12,0 -24,0 -13,0 0,0 10,0 8,0 6,0	16,0 9,0 4,0 1,0 0,0 1,0 4,0 9,0	16,0 36,0 48,0 13,0 0,0 10,0 16,0 18,0
ИТОГО:	60				-29		157

1.4 Определение среднеквадратичного отклонения

Для этого вначале определяется дисперсия распределения

,

а затем среднеквадратичное отклонение по зависимости

Тогда

или в реальном масштабе у = 720,9 ч.

1.5 Определение теоретических частот нормального распределения

Вероятность того, что случайная величина примет какое-нибудь значение из интервала (б_i - в_i) приближенно равна произведению длины интервала на значение плотности вероятности этой случайной величины в одной из точек этого интервала (обычно берут середину интервала). Следовательно, это можно представить как

,

где, (б_i - в_i) = ?t_i - длина интервала; f(t_i) - плотность вероятности попадания случайной величины на интервал.

Рассмотрим, каким образом определить величину f(t_i). Плотность вероятности нормального распределения в общем виде выражается как

Если выражение (t_i-t_ср)/у в показателе степени при экспоненте заменим на t₀, то выражение (4) преобразуется в

Величина = f(t_o) табулирована и определяется с учетом ее четности, т.е. f(-t₀)=+f(t₀).

Тогда плотность вероятности f(t) через табулированную функцию определится как

(6)



Учитывая изложенное выше, можно записать

(7)

Таким образом, вероятность попадания случайной величины (отказа) в любой интервал определяется через табулированную функцию плотности вероятности, длины интервала и среднеквадратичное отклонение.

Теоретическое число отказа, попадающее в каждый интервал, получается путем умножения значения вероятности попадания случайной величины в этот интервал на общее количество наблюденных отказов. Полученное значение частоты округляется до целой величины, т.к. отказ не может быть дробным.

В качестве примера в таблице 2 приведены расчеты по определению теоретических частот в каждом интервале. Для сокращения расчетов, зависимость (7) предварительно преобразована: в нее подставлены значения ?t и у и, кроме того, числитель и знаменатель разделены на ?t.

В результате получим

Это значение и помещено в графу 6 таблицы 2.

Таблица 2. Расчет теоретических частот

Граница интервалов бi - вi	Середина инт. ti	ti-tср		f(t0)		Теоретическое число отказов ni0=P(ti)·N0
1	2	3	4	5	6	7
0-4,67	2,335	-16,423	-2,278	0,0297	0,019	1,156>1
4,67-9,34	7,005	-11,753	-1,63	0,10557	0,068	4,102 >4
9,34-14,01	11,675	-7,083	-0,982	0,2462	0,159	9,57>10
14,01-18,68	16,345	-2,413	-0,335	0,3773	0,244	14,66>15
18,68-23,35	21,015	2,257	0,313	0,3799	0,246	14,765>15
23,35-28,02	25,685	6,927	0,96	0,2514	0,163	9,77>10
28,02-32,69	30,355	11,597	1,608	0,10932	0,0708	4,248>4
32,69-37,36	35,025	16,267	2,256	0,03124	0,0202	1,214>1
						60

1.3 Критерии согласия Ястремского

Степень близости теоретического и эмпирического распределений можно характеризовать величиной

,

где К - количество интервалов разбивки выборки;

И - постоянная, равная 0,6 при К<20;

Q - сумма отношений, вычисляемых для каждого интервала по зависимости

,

где, n_i - количество отказов в каждом интервале, определенное в результате обработки выборки;

n_i⁰ - количество теоретических отказов в каждом интервале, определенное расчетом (таблица 2);

g_i - вероятность отказа узла СДМ в каждом интервале.

В соответствии с методом Ястремского и принципом практической уверенности, если величина I?3, то расхождение между теоретическим и эмпирическим распределениями несущественно, его можно объяснить случайными причинами. Если же I>3, то имеющееся расхождение существенно, его нельзя объяснить случайностью, а поэтому предполагаемый теоретический закон следует отвергнуть.

Результаты промежуточных расчетов приведены в таблице 3.

Таблица 3. Критерии согласия Ястремского

Граница интервалов бi - вi	Эмпириическая частота ni	Теоретическая вероятность P(t)	Теоретическая частота, ni0	g=1-P(t)	ni - ni0	(ni - ni0) 2	noi · gi
1	2	3	4	5	6	7	8	9
0-4,67	1	0,0193	1	0,9807	0	0	0,981	0
4,67-9,34	4	0,0684	4	0,9316	0	0	3,73	0
9,34-14,01	12	0,159	10	0,841	2	4	8,41	0,475
14,01-18,68	13	0,2444	15	0,7556	-2	4	11,334	0,353
18,68-23,35	14	0,2461	15	0,7539	-1	1	11,308	0,0884
23,35-28,02	10	0,1628	10	0,8372	0	0	8,372	0
28,02-32,69	4	0,0708	4	0,9292	0	0	3,717	0
32,69-37,36	2	0,02023	1	0,9798	1	1	0,9797	1,0206
Итого	60		60					1,938

Подставляя в вышеприведенные зависимости рассчитанные в таблице 3 величины, получаем

Следовательно, по критерию согласия Ястремского расхождение между теоретическим (нормальным) и эмпирическим распределением несущественно. Гипотезу о нормальном распределении наработок на отказ следует признать согласованной с экспериментом.

По заданному вариационному ряду и его параметрам необходимо построить гистограмму, полигон распределения и график изменения теоретических частот отказов.

Точку перегиба можно уточнить по зависимости

Пример выполнения приведен на рисунке 1.

Рисунок 1. Гистограмма распределения и график теоретических частот отказов



2. Показатели надежности

Надежность машин, находящихся в эксплуатации, выражается через безотказность и долговечность. Наиболее важными являются показатели безотказности, к которым относятся вероятность безотказной работы и вероятность отказа, частота отказов, интенсивность отказов.

2.1 Вероятность безотказной работы

Вероятность безотказной работы - это вероятность того, что изделие не откажет в течение заданного промежутка времени t в заданных условиях эксплуатации.

Вероятность безотказной работы выражается через плотность вероятности f(t) следующим образом

Событие противоположное вероятности безотказной работы называется вероятностью отказа в течение заданного промежутка времени t в заданных условиях эксплуатации

Как события противоположные и представляющие полную группу событий

P(t)+Q(t)=1.



Рассмотрим вероятность отказа изделия за промежуток времени t, считая, что отказы подчиняются нормальному закону распределения

Введем замену

(t_i - t_ср)/у = z₀

Тогда можно записать

t_i - t_ср = z₀ ·у и dt = у ·dz₀ .

С учетом замены

Представим этот интеграл в виде двух интегралов

Первый интеграл суммы равен 0,5 т.е.



Второй интеграл суммы аналитическими методами не берется, а вычисляется численными методами и чаще всего обозначается как Ф(z₀), т.е.

(интеграл Лапласа)

Тогда можно вероятность отказа за промежуток времени выразить как

Q(t)=0,5+Ф(z₀)

При расчетах вероятности отказов необходимо учитывать, что функция Ф(z₀) является нечетной, т.е. что Ф(-z₀)= - Ф(z₀)

Расчет вероятностей безотказной работы приведен в табл. 2.

Таблица 4. Вероятность безотказной работы

Граница интервалов бi вi	Середина интервала ti	ti - tср		Ф(z0)	Q(t)=0.5+Ф(z0)	P(t)=1-Q(t)
1	2	3	4	5	6	7
0-4,67 4,67-9,34	2,335 7,005	-16,423 -11,753	-2,278 -1,63	-0,488 -0,448	0,0113 0,05155	0,9887 0,9484
9,34-14,01 14,01-18,68 18,68-23,35 23,35-28,02 28,02-32,69 32,69-37,36	11,675 16,345 21,015 25,685 30,355 30,355	-7,083 -2,413 2,257 6,927 11,597 16,267	-0,982 -0,335 0,3131 0,961 1,608 2,256	-0,336 -0,129 0,122 0,3314 0,4463 0,4878	0,16355 0,3707 0,6217 0,8315 0,9463 0,9878	0,8365 0,6293 0,3783 0,1685 0,0537 0,0122



Рисунок 2. График изменения вероятности безотказной работы изделия

2.2 Частота отказов

Под частотой отказов понимается отношение числа отказов, происшедших в единицу времени, к общему числу испытываемых изделий.

,

где ?n - число отказов происшедших за время ?t.

Приведем некоторые преобразования

но и тогда переходя к пределу, получим

Выражение -dP(t)/dt является плотностью вероятности отказов на отрезке t и для нормального закона представляется выражением



где у - среднеквадратичное отклонение,

- середина интервала

- среднее арифметическое значение наработки до отказа.

Таблица 5. Расчет плотности вероятностей

Граница интервалов	Середина интервала
1	2	3	4	5	6	7
0-4,67 4,67-9,34 9,34-14,01 14,01-18,68	2,335 7,005 11,675 16,345	-16,423 -11,753 -7,083 -2,413	269,709 138,129 50,166 5,822	2,594 1,329 0,483 0,056	13,413 3,779 1,621 1,0576	0,0259 0,0919 0,214 0,328
18,68-23,35 23,35-28,02 28,02-32,69 32,69-37,36	21,015 25,685 30,355 35,025	2,257 6,927 11,597 16,267	5,0948 47,985 134,494 264,621	0,049 0,462 1,298 2,545	1,0502 1,587 3,649 12,772	0,331 0,219 0,095 0,0272

При построении графика кривой f(t) (рис. 2) точку перегиба в момент времени t_ср определим по зависимости



или для численного примера

Рассмотрим, какова вероятность попадания случайной величины (момента отказа) на тот или иной интервал времени.

Определим вначале вероятность попадания случайной величины в точку, равную t_ср по условию t_i= t_ср и, следовательно,

Используя интеграл Лапласа, получим при z₀=0 и Ф(0)=0, а это значить, что вероятность попадания случайной величины в точку на любом интервале равна нулю.

Выберем теперь интервал времени равный t_ср±у (односигмовый интервал), т.е. такой, который начинается в момент t_i'=t_ср-у и кончается в момент t_i^”=t_ср+у. Тогда, подставляя в зависимость

вместо t_i его значение, получим

,

а значения функции соответственно равны Ф(1)=0,34; 2·Ф(1)=0,68.

Это значит, что вероятность попадания случайной величины на интервал времени t_ср±у (в нашем примере от 8,1204 до 22,3216) равно 0,68, т.е. 68% всех отказов произойдет на этом интервале.

Выберем интервал времени равный t_ср±2·у (двухсигмовый интервал). Тогда

,

а Ф(2)=0,47

Это значит, что попадание случайной величины на двухсигмовый интервал (в нашем случае от 1,0198 до 29,4222 сотен ч) равна 94% всех отказов, наблюдавшихся в испытаниях. При интервале времени t_ср±3·у (трехсигмовый интервал)

тогда Ф(3)=0,499 и 2·Ф(3)=0,998, т.е. почти 100% отказов произойдут на трехсигмовом интервале (в нашем примере от -6,0808 до 36,5228 сотен ч).

На этом основании с достаточной для практики степенью точности допускают, что ветви кривой Гаусса пересекаются с осью абсцисс в точках t_ср-3·у и t_ср+3·у. График плотности вероятности с сигмовыми интервалами приведен на рис. 3.

Рисунок 3. График плотностей вероятностей



2.3 Интенсивность отказов

Интенсивность отказов - это отношение числа отказов происшедших в единицу времени к числу изделий, оставшихся исправными к концу рассматриваемого промежутка времени.

По определению

,

где ?n - число отказов, происшедших в течении времени ?t; N(t) - число изделий, оставшихся исправными к концу интервала времени.

Выразим число отказов ?n через количество исправных изделий на начало и конец интервала

Разделив числитель и знаменатель на N₀, получим

Разность вероятностей [P(t+?t)-P(t)] величина отрицательная, т.к. P(t)>P(t+?t), поэтому



Перейдем к пределу

Поскольку -dP(t)/dt есть плотность вероятности f(t), то можно записать

Таким образом, интенсивность отказов выражается через плотность вероятности и вероятность безотказной работы.

Таблица 6. Расчет интенсивности отказов

Граница интервалов бi вi	Середина интервала ti	f(t)	P(t)	л(t)
1	2	3	4	5
0-4,67 4,67-9,34 9,34-14,01 14,01-18,68 18,68-23,35 23,35-28,02 28,02-32,69 32,69-37,36	2,335 7,005 11,675 16,345 21,015 25,685 30,355 35,025	0,0259 0,0919 0,214 0,328 0,331 0,219 0,0952 0,0272	0,989 0,948 0,836 0,629 0,378 0,168 0,0537 0,0122	0,0262 0,0969 0,256 0,522 0,875 1,299 1,77 2,231
	7,081



Рисунок 4. Изменение интенсивности отказов



3. Расчет потребности в запасных частях

При определении потребности в запасных частях возникает два случая.

В машине всегда имеются детали, срок службы которых незначительно меньше среднего срока службы всей машины.

Но в машине имеются детали, срок службы которых значительно меньше среднего срока службы всей машины. Это так называемые быстроизнашивающиеся детали. Они в первую очередь необходимы для восстановления работоспособности машины.

Потребность в запасных деталях, необходимых для замены отказавших за период Т_з, определим так

,

где Т_з - период эксплуатации, на который определяется потребное количество запасных деталей; D_З - количество деталей, находящихся в эксплуатации; л_iср - средняя интенсивность отказов.

Средняя интенсивность отказов, а, следовательно, и потребность в замене деталей за весь период наблюдения определяется по зависимости

,

где л_i - интенсивность.

Интенсивность отказов на интервале времени определяется по уже известной зависимости



Расчет интенсивности отказов на интервалах приведен в таблице 7.

Используя данные таблицы определяем среднюю интенсивность отказов, для эмпирической частоты

Потребное количество запасных частей определим исходя из конкретных условий: годовая норма выработки машин (T_З) равна 2800 ч; количества машин в хозяйстве (D_З) равно 10.

Тогда

N(t)=0,0954·28,0·10=26,72~27 шт.

График зависимости потребности в запасных частях от условий работы приведен на рис. 4.

Таблица 7. Расчет интенсивности отказов

Граница интервалов бi вi	Экспериментальное	Теоретическое
	Частота отказа, ni		лi	Частота отказа, ni0		лi
0-3,63 3,63-7,26 7,26-10,89 10,89-14,52 14,52-18,15 18,15-21,78 21,78-25,41 25,41-29,04 29,04-32,67	5 7 13 18 14 13 10 7 1	0,0568 0,0843 0,1711 0,2857 0,3111 0,4194 0,5556 0,8750 1,0000	0,0156 0,0232 0,0471 0,0787 0,0857 0,1155 0,1531 0,2411 0,2755	3 7 12 17 18 14 9 4 2	0,0349 0,0843 0,1575 0,2656 0,3829 0,4827 0,6000 0,6667 1,0000	0,0096 0,0232 0,0434 0,0731 0,1055 0,1329 0,1653 0,1837 0,2755
Итого:	88		1,0355	86		1,0986



Рисунок 4. Номограмма определения количества запасных частей



Заключение

В ходе выполнения курсовой работы по дисциплине «Основы теории надежности» было исследование выборки наработанных изделием на отказ часов. Установлено что данная выборка с большим доверительным интервалом соответствует нормальному закону распределения.

К результату выполнения работы можно отнести определение параметров распределения и t_ср , вероятности безотказной работы изделия P (t) и вероятности отказа Q (t), частоты отказов f (t), интенсивности отказов (t), количества запасных частей N.



Литература

1. Волков Д.П., Николаев С.Н. Надежность строительных машин оборудования. - М.: Высшая школа, 1979. - с. 395.

2. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А.Д. Математические методы в теории надежности. - М: Наука, 1965. - с. 52.

3. Проников А.С. Надежность машин. - М.: Машиностроение, 1978.-с. 592.

4. Хазов Б.Ф. Надежность строительных и дорожных машин. - М.: Машиностроение, 1979. - с. 192.

Размещено на Allbest.ru

...