Особые точки плоских кривых

Размещено на http://www.allbest.ru/

Костанайский государственный педагогический институт

Факультет дистанционного обучения

Кафедра физико-математических и общетехнических дисциплин

КУРСОВАЯ РАБОТА

ОСОБЫЕ ТОЧКИ ПЛОСКИХ КРИВЫХ

Штыкова Ирина Владимировна

Руководитель

Доспулова У.К.

ст. преподаватель

Рудный

2015



Содержание

Введение

1. История изучения плоских кривых

2. Особые точки плоских кривых

3. Особые точки кривых, заданных неявно

4. Особые точки кривых, заданных параметрически. Теорема для определения типа особой точки

5. Пример нахождения "особых" точек плоских кривых

Заключение

Список использованной литературы



Введение

Данная курсовая работа посвящена теме "Особые точки плоских кривых".

Наиболее распространенными являются плоские кривые линии. Для исследования локальных свойств плоской кривой строят в некоторой точке касательную и нормаль.

Касательной к плоской кривой в некоторой ее точке называется предельное положение секущей, когда две общие с кривой точки сечения, стремясь друг к другу, совпадут. Касательная определяет направление движения точки по кривой.

Нормалью называется прямая, лежащая в плоскости кривой и перпендикулярная касательной в точке ее касания.

При решении некоторых задач приходится проводить касательную к кривой, приводится прием построения касательной к кривой из точки, заданной вне кривой с помощью "кривой ошибок". Применение этого приема основано на том положении, что в искомой или заданной точке касания М длина хорды кривой равна нулю. Требуется провести через точку А касательную t к кривой случайного вида. Для этого проведем через точку А пучок прямых, пересекающих кривую. Полученные хорды делят пополам. Плавная кривая, проведенная через средние точки ("кривая ошибок"), в пересечении с заданной кривой определит искомую точку касания М.

Свойства точек кривой. Точка кривой, в которой можно провести единственную касательную, называется гладкой. Кривая, состоящая только из одних гладких точек, называется гладкой кривой. Точка кривой называется обыкновенной, если при движении точки по кривой направление ее движения и направление поворота касательной не изменяются. Точки, не отвечающие этим требованиям, называются особыми.



Актуальность темы: Одна из наиболее важных задач алгебраической геометрии - исследование пересечения двух или более алгебраических многообразий. Основной результат в этой области состоит в том, что у двух алгебраических плоских кривых, заданных уравнениями степеней m и n, не может быть более mn общих точек, если только нет общей кривой (принадлежащей им обеим).

Я выбрала именно эту тему, потому что считаю, что она требует более глубокого и досконального исследования.

Цели объекта и предмета исследования - Алгебраическая геометрия в значительной мере занимается изучением действия таких преобразований на кривые и другие алгебраические многообразия, в частности, определением свойств, не изменяющихся при таких преобразованиях.

В своем современном виде методы алгебраической геометрии применяются во многих областях математики: теории чисел, теории групп, топологии, теории дифференциальных уравнений и функциональном анализе. локальный секущий кривая касательная

Задачи:

изучение геометрических объектов, связанных с алгебраическими уравнениями, и их обобщениями.

Объект исследования - алгебраическая геометрия

Предмет исследования - особые точки плоских кривых

Изучению подлежат свойства линий и их графики, топологический метод исследования кривых, имеющих наиболее сложные формы.



1. История изучения плоских кривых

Понятие линии определилось в сознании человека в доисторические времена. Траектория брошенного камня, струя воды, лучи света, очертания цветов и листья растений, извилистая линия берега реки и моря и другие явления природы привлекали внимание наших предков и, наблюдаемые многократно, послужили основой для посте?енного установления понятия линии.

Однако потребовался большой исторический ?ериод прежде чем люди стали сравнивать между собой формы кривых линий и отличать одну кривую от другой. Первые рисунки на стенах ?ещерного жилища, примитивные орнаменты, украшавшие домашнюю утварь, свидетельствуют о том, что люди научились уже не только отличать прямую от кривой, но и различать формы отдельных кривых и в их сочетаниях находить удовлетворение зарождающихся эстетических потребностей. Но всё это было ещё далеко от того абстрактного понимания линии, которым располагает математика сейчас.

Греческие учёные создали теорию конических сечений - линий, имеющих особенно большое значение в науке и технике. Открытие их приписывается Менехму (4 век до н.э.), ученику Евдокса Книдского и, как полагают, учителю Александра Македонского. Менехм определял эти кривые как сечения конуса плоскостью, ?ер?ендикулярной к его образующей.

Есть данные полагать, что Менехм знал свойства параболы и ги?ерболы, выражаемые в наши дни равенствами y2=2px и xy=c, и использовал эти свойства для делосской задачи удвоения куба. К сожалению это ?ервое сочинение по теории конических сечений было утеряно. Архимед решил задачу о квадратуре сегмента параболы. Сравнивая фигуры, вписанные в эллипс и в окружность, построенную на большой оси эллипса как на диаметре, он определил и площадь эллипса.

Однако все сведения о конических сечениях были ещё разрозненны. Первая методическая обработка конических сечений принадлежит Аполлонию Пергскому (3 - 2 в. до н.э.). Это был трактат "О конических сечениях". В своём трактате Аполлоний систематизировал всё, что было известно до него, и открыл ряд важных свойств, установил их названия.

Но не только конические сечения открыты греками. Ряд математиков в поисках решения великих проблем древности - задачи о трисекции угла, об удвоении куба и о квадратуре круга - использовал для образования кривых идею движения. Так возникли спираль Архимеда, циклоида, квадратрисса Динострата. В то же время ?ервоначальный метод - образование кривых путём рассечения поверхности плоскостью был использован для образования кривых Персея как сечений тора.

В эпоху средневековья великие достижения греческих учёных были забыты.

К кривым математическая наука обратилась только в 17 веке, в связи с созданием аналитической геометрии.

1637 год - одна из великих дат в истории математики - год появления книги Р. Декарта "Геометрия", в которой были изложены основы метода координат. Открытие этого метода для исследования кривых было фактом ?ервосте?енного значения. Метод координат не только создал общий, единообразный способ символического задания каждой кривой в виде соответствующего ей уравнения, он давал также неограниченную возможность беспредельно увеличивать количество изучаемых кривых, поскольку каждое произвольно записанное уравнение, связывающее между собой две ?еременные величины, представляло те?ерь, вообще говоря, новую кривую.

Открытие метода координат подготовило в свою очередь открытие могущественного метода науки - исчисления бесконечно малых. Рождение дифференциального и интегрального исчисления имело особо важное значение для изучения свойств кривых. В связи с многочисленными проблемами механики, астрономии, геодезии, оптики, возникшие в 17 - 18 в., стимулировали интерес к исследованию инфинитезимальных свойств линий. Эти проблемы привели к открытию новых линий. Роберваль и Паскаль показывают, что дуга спирали Архимеда равна дуге параболы, выбранной определённым образом и что, следовательно, задача спрямления спирали идентична задаче спрямления параболы. Ферма обобщает это предложение на алгебраические спирали высших порядков, устанавливая, что их спрямление сводится к спрямлению парабол высших порядков. Нейль открывает алгебраическую кривую, которая спрямляется алгебраически (парабола Нейля). К этому же времени относится спрямление логарифмической спирали, выполненное Торичелли, спрямление эпи- и гипоциклоид, выполненное Де ла Гиром. Фаньяно в 1714 году, исследуя вопрос о спрямлении лем???каты, заложил основы теории эллиптических функций.

Наряду с исследованием геометрических свойств кривых исследуются и их механические свойства. Гюйгенс открывает изохронность циклоиды. И. Бернулли показывает, что циклоида является брахистохроной в пустом пространстве. Исследуются механические свойства параболы Нейля, цепной линии, овалов Кассини, овалов Декарта и целого ряда других те?ерь хорошо известных кривых.

Увлечение аналитическим методом исследования кривых, особенно характерное для 17 века, с течением времени вызвало реакцию со стороны некото?ы? учёных. Как недостаток этого метода отмечалось то обстоятельство, что употребление его не раскрывает естественного происхождения кривой, так как объектом исследования фактически является не сама кривая, а соответствующее ей уравнение. Плодотворные попытки возвратиться к синтетическому методу древних породили новое направление в исследовании свойств кривых второго порядка. Первые достижения здесь связываются с именами Дезарга и Паскаля.

Дезарг, исследуя проективные свойства фигур и используя установленное им понятие инволюции, обогатил теорию кривых второго порядка новыми открытиями. Паскаль открывает свою знаменитую теорему о соотношении между шестью точками конического сечения, согласно которой во всяком шестиугольнике, вписанном в кривую второго порядка, точки ?ересечения противоположных сторон лежат на одной прямой. Де ла Гир приходит к важному предложению о том, что директриса кривой второго порядка является полярой её фокуса.

Новые методы исследования свойств кривых второго порядка развиваются в 19 столетии. Брианшон доказывает теорему, двойственную теореме Паскаля, и изучает проективные свойства ги?ерболы. Понселе исследует кривые второго порядка с помощью открытого им метода проективных соответствий. Штейнер и Шаль исследуют проективные свойства этих кривых на основе понятия двойного отношения и рассматривают их как производные от образов ?ервой сту?ени.

Критика аналитического метода исследования формы и свойств кривых была основана, как было уже сказано, на том обстоятельстве, что при пользовании этим методом отсутствует наглядный образ этой кривой и исчезают геометрические построения. Она дополнялась и другими соображениями. Указывалось, что система координат является посторонним элементом исследования, с которым кривая связывается искусственно.

Крупнейшим достижением этого направления в исследовании кривых было создание общей теории алгебраических кривых. Особые достижения в развитии этой теории связываются с именем Плюккера. Однако в алгебраической геометрии полностью отрешиться от системы координат как постороннего элемента всё-таки не получилось.

Другое направление привело к представлению о так называемом натуральном уравнении кривой. Натуральное уравнение уже не зависит от положения системы координат и от вида её; точнее говоря, оно не предполагает вообще наличия системы координат. Это уравнение функционально связывает радиус кривизны кривой и длину её дуги, т.е. те элементы, которые органически связаны с самой природой исследуемой линии. Было доказано, что натуральное уравнение полностью определяет кривую с точностью до её положения на плоскости. Наибольших ус?ехов это направление исследования кривых достигло в работах Чезаро, который присвоил ему название внутренней или натуральной геометрии.

В заключение о плодотворной идее использования векторного аппарата при исследовании свойств линий, которая связывается с именем Грассмана, и о топологическом методе исследования кривых, имеющих наиболее сложные формы.

2. Особые точки плоских кривых

1.Особой точкой М(х0,y0) плоской кривой F(x, y) = 0 называется такая точка, координаты которой удовлетворяют трём уравнениям

F(x0, y0)=0, F'x(x0,y0)=0, F'y(x0,y0)=0

При исследовании основных типов особых точек вводят обозначения A=F'xx(x0,y0), B=F'xy(x0,y0), C=F'yy(x0,y0), не все равные нулю и D=AC-B2

Если D>0,то M0 - изолированная точка риcунок 1.



Рисунок 1 Рисунок 2

Если D<0,то M0 -узел, т. е. двойная точка рисунок 2.

Если D=0, тоM0-точка возврата первого рода рисунок 3 или второго рода рисунок 4 или точка самоприкосновения рисунок 5,или изолированная точка.

Рисунок 3 Рисунок 4

Для решения вопроса о виде особой точки необходимо рассмотреть расположение точек кривой в окрестности особой точки. Угловой коэффициент касательной к кривой в особой точке может быть найден из выражения Ск2+2Вк+А=0.В случае изолированной точки касательных нет; в узловой точке - две различные касательные; в точке возврата или самоприкосновения- одна общая касательная к обеим ветвям кривой.

Рисунок 5

2. Если кривая задана параметрическими уравнениями

x= ц(t), y=ш (ш) и при t=t0 x'0= ц'(t)=0 и y'0=ш' (y0)=0 имеет место особая точка.

Пусть хотя бы одна из производных второго порядках x"0, у"0 отлична от нуля, например х"0>0,тогда на лицо точка возврата.

Если х0"'у0" - х0"у0"'+0 ?0, то M0 - точка возврата первого рода;

если х0"'у0" - х0"у0"'=0 точка возврата второго рода.

В случае трансцендентной кривой могут встретиться и другие виды точек: угловые точки, точки прекращения и т.д.

3. Особые точки кривых, заданных неявно

Понятие особой точки плоской кривой, заданной неявно.

Пусть плоская кривая задана уравнением

:F(x, y)=0 ,

где F(x,y) - многочлен от двух переменных, и точка M(x0, y0) принадлежит Y .

Рассмотрим взаимное расположение кривой Y и прямой L , проходящей через точку M .

Зададим прямую L параметрически:

x=x0+pt, y=y0+qt. ( 1 )

Обозначим через Fx, Fy, Fxx, Fxy, Fyy, Fxxx, Fxxy, Fxyy, Fyyy, значения частных производных функции F в этой точке. Разложим в ряд Тейлора функцию F в точке M :

+

+

(2)

По условию F(M)=0 . Из (1) можно выразить: x-x0=pt и y-y0=qt и подставить в (2), получим:

+

( 3 )

Решая уравнение F(x,y)=0 и используя (3), получаем корень t=0 .

Случай 1 . Корень t=0 будет двухкратным при условии:

pFx+qFy=0 ( 4 )

Это условие выполняется если:

a) Fx=0, Fy=0 и б) Fx?0 или Fy?0

В случае

а) корень t=0 будет кратности 2 не зависимо от p и q и касательная к кривой Y неопределена.

Точку M в этом случае называют особой.

В случае

б) существует прямая с угловым коэффициентом равным

которая пересекает кривую один раз. Такая прямая называется касательной. Точка в этом случае особой не является.

Определение. Точка M(x0,y0) плоской кривой Y , заданной уравнением F(x,y)=0 , называется особой, если ее координаты удовлетворяют системе уравнений: F=0, Fx=0, Fy=0 .

Случай 2. Пусть имеет место условие (4). Тогда точка t=0 будет трехкратной, если будет выполняться условие :

.

Рассуждая аналогичным образом, можно сформулировать следующее определение.

Определение. Точка M(x0,y0) плоской кривой Y , заданной уравнением F(x,y)=0 , называется особой кратности k , если в этой точке все частные производные от многочлена F(x,y) порядка k-1 обращаются в ноль, но существует хотя бы одна производная k -го порядка, которая в ноль в данной точке не обращается.

Определение типа особой точки.

Пусть плоская кривая Y задана уравнением : F(x,y)=0 . Пусть точка M(x0,y0) принадлежит Y и является особой.

Пусть Fxx, Fxy, Fyy не равны одновременно нулю в этой точке (т.е. рассматриваем особую точку порядка 2). Вычислим два параметра : d и R , где d=FxxFyy-Fxy2 , а R=Res(f,g) - результант следующих многочленов :

f(t)=Fxxt2+Fxyt+Fyy и

g(t)=Fxxxt3+Fxxyt2+Fxyyt+Fyyy.

Напоминание .

Результантом двух многочленов

и

называется определитель матрицы:

Тогда для определения типа особой точки можно сформулировать следующую теорему.

Теорема.

Для особой точки M( x0,y0 ) кривой Y , заданной уравнением F(x,y)=0 возможны следующие случаи:

1) 0 < d - изолированная точка,

2) d < 0 - двойная точка,

3) d=0 и R?0 - точка возврата первого рода,

4) d = 0 и R = 0 - требуется дальнейшее исследование (точка возврата второго рода или точка соприкосновения).

Сигма-процесс для кривой, заданной неявно.

Рассмотрим применение сигма-процесса для кривой Y , заданной неявно: x2-y3=0 .

1. Решая систему:

, где F(x,y)=x2-y3 , получаем, что кривая имеет особенность в начале координат.

2. Рассмотрим карту Su . Так как в этой карте y=ux , то уравнение нашей кривой запишется в виде: x2(1-xu3)= 0. Таким образом, точный образ нашей кривой в первой карте - это кривая Y1 , задающаяся следующим уравнением: 1-xy3=0 .

3. Рассмотрим вторую карту Sv. Так как в этой карте x=xy , то уравнение нашей кривой запишется в виде: y2(v2-y)=0 . Точный образ нашей кривой во второй карте - кривая Y2 , задающаяся уравнением: v2-y=0

Таким образом, в обеих картах получили кривые ( Y1 и Y2 ), у которых в начале координат особенности уже нет. Применив сигма-процесс, мы устранили особенность у кривой Y .

4. Особые точки кривых, заданных параметрически. Теорема для определения типа особой точки

Пусть кривая Y задана параметрически: x=x(t), y=y(t) .

Разложим в ряд Тейлора в точке t0 функции x(t) и y(t) :

( 1 )

( 2 )

Пусть первая отличная от нуля в точке t0 производная x(t) имеет порядок n , а первая отличная от нуля в точке t0 производная y(t) имеет порядок m . Т.е. можем (1) и (2) записать в виде:

( 3 )

Замечание.

Если n=m , можно выполнить поворот координатных осей на угол :

, где

,

и тем самым добиться того, чтобы n?m .

Пусть n<m . Сформулируем следующую теорему.

Теорема.

Точка кривой (при t=t0 ) будет:

1) обыкновенной, если n нечетное;

2) точкой возврата первого рода, если n четно, а m нечетно;

3) точкой возврата второго рода, если n и m четные.

Замечания.

1. В дальнейшем будем рассматривать кривые, задающиеся уравнениями x=x(t), y=y(t) , где x(t) и y(t) - многочлены от переменной t .

2. Используя данную теорему можно определить является ли рассматриваемая точка кривой точкой возврата первого или второго рода.

3. Данная теорема не работает в случае, когда рассматриваемая точка является узловой точкой.

4. Саму особую точку мы находим из условия:

.

Сигма-процесс.

Рассмотрим применение сигма-процесса для кривой Y , заданной параметрически:

.

1. Решая сиcтему:

, получаем особую точку - начало координат - при t=0 .

Применим сигма-процесс к данной кривой.

2. Рассмотрим карту Su .

Так как в этой карте y(t)=u(t)x(t) или

то уравнение нашей кривой запишется в виде :

, .

Получили новую кривую

Y1 , которая при t=0 особенности уже не имеет (т.к. система

при t=0 не имеет решения).

3. Рассмотрим вторую карту Sv . Так как в этой карте

то уравнение нашей кривой запишется в виде

:

,

Новая кривая уже не имеет особенности при t=0 .

Таким образом, применив сигма-процесс, мы устранили особенность у кривой Y .

Замечание.

Если у кривой Y : x=x(t), y=y(t) особая точка M(x0,y0) , где x0=x(t0), y=y(t0), не совпадает с началом координат, то необходимо сделать паралельный перенос:

, y1(t) = y(t) - y(t0)

т.е. рассмотреть новую кривую Y1 : x=x1(t), y=y1(t), у которой особой точкой уже будет начало координат. Дальше сигма-процесс применяем к кривой Y1 .

5. Пример нахождения "особых" точек плоских кривых

Способы нахождения "особых" точек мало исследованы в учебной и научной литературе. Поэтому поставим целями: 1. Классифицировать "особые" точки. 2. Разработать алгоритм нахождения "особых" точек плоских кривых заданных параметрическими уравнениями и определения видов "особых" точек.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пусть даны линия и на ней точка M. Точка М называется обыкновенной точкой линии если существует такое число , что пересечение линии с -окрестностью точки М, то есть фигура , является элементарной линией. На рисунок 6 1 М - обыкновенная точка.

Точка называется особой (топологически особой), если она не является обыкновенной. На рисунок 7 - особая точка. [6]

Рассмотрим классификацию особых точек. Пусть дано уравнение линии .

Находим корни уравнения . Пусть t = t0 - один из таких корней. Если

и если:

	s	Вид точки
нечётное	чётное	обыкновенная
нечётное	нечётное	точка перегиба
чётное	нечётное	точка возврата первого рода
чётное	чётное	точка возврата второго рода

При всех остальных значениях t будем иметь

;

все точки линии, соответствующие значениям t, при которых не обращается в нуль -- обыкновенные (= 1, s = 2). [2]

Разработаем алгоритм нахождения "особых" точек плоских кривых, заданных параметрическими уравнениями.

Пусть плоская кривая задана параметрическими уравнениями

Найдем - первую производную по параметру .

Найдем - вторую производную по параметру .

Решаем уравнение

( -

векторное произведение) относительно параметра t.

Найденные корни - параметры "особых" точки.

Найдем "особые" точки, подставив значение параметров в уравнения, задающие кривую.

Установим вид кривой вблизи "особой" точки.

Находим производные от

, до тех пор, пока

Находим векторное произведение

,

до тех пор, пока

В зависимости от параметров и , определим вид "особой" точки в соответствии с приведенной классификацией.

Найдем касательную в "особой" точке и построим кривую вблизи "особой" точки. Рассмотрим пример нахождения "особой" точки плоской кривой по разработанному алгоритму

Дано:

Найдем :

, ;

Найдем

;

Решим уравнение

,

,

тогда - параметр "особой" точки

Найдем "особые" точки, подставив в

параметр

,

-"особая" точка

Установим вид вблизи кривой "особой" точки

при

при .

Найдем

Размещено на http://www.allbest.ru/

При , значит ,

В зависимости от параметров и , определим вид "особой" точки в соответствии с приведенной классификацией. ,, значит точка - точка возврата первого рода.

Построим кривую вблизи "особой" точки. Найдем касательную в точке :

- касательная в точке рисунок 8.

Итак, в статье был разработан алгоритм нахождения "особых" точек плоских кривых, заданных параметрическими уравнениями, был приведен пример нахождения "особых" точек, определение типа "особой" точки и построения кривой в Д.П.С.К.



Заключение

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, раздел математики, занимающийся изучением геометрических объектов, связанных с алгебраическими уравнениями, и их обобщениями. Простейший из таких объектов - плоская алгебраическая кривая, заданная уравнением f(x, y) = 0, где f(x, y) - многочлен от координат x и y.

Одна из наиболее важных задач алгебраической геометрии - исследование пересечения двух или более алгебраических многообразий. Основной результат в этой области состоит в том, что у двух алгебраических плоских кривых, заданных уравнениями степеней m и n, не может быть более mn общих точек, если только нет общей кривой (принадлежащей им обеим).

Особая точка алгебраической плоской кривой характеризуется тем, что в ней может существовать более одной касательной. Число касательных называется кратностью точки.

Квадратичное преобразование - простейшее в общем классе бирациональных преобразований. Алгебраическая геометрия в значительной мере занимается изучением действия таких преобразований на кривые и другие алгебраические многообразия, в частности, определением свойств, не изменяющихся при таких преобразованиях. В своем современном виде методы алгебраической геометрии применяются во многих областях математики: теории чисел, теории групп, топологии, теории дифференциальных уравнений и функциональном анализе.



Список использованной литературы

Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. - М.: Просвещение, 1987.,I,II ч.

Бобровская А. В. Обучение методу математического моделирования средствами курса геометрии педагогического института : Дисс. канд. пед. наук : СПб., 1996.

Моденов П.С. Сборник задач по дифференциальной геометрии - М.: Учпедгиз, 1949.

1. Аминов Ю. А. Дифференциальная геометрия и топология кривых. - М.: Наука, 1987.

Белько И. В. и др. Сборник задач по дифференциальной геометрии. - М.: Наука, 1979.

Воробьев Е. М. Введение в систему "Математика" 1998.

Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А. Введение в риманову геометрию. - СПб.: Наука, 1994.

Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения: В 3 т. - М.: УРСС, 2001.

Ефимов Н. В. Высшая геометрия. - М.: Наука, 1971.

Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1980.

Погорелов А. В. Дифференциальная геометрия. - М.: Наука, 1974.

Позняк Э. Г., Шикин Е. В. Дифференциальная геометрия: Первое знакомство. - М.: УРСС, 2003.

Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. - М.: УРСС, 2003.

Розендорн Э. Р. Задачи по дифференциальной геометрии. - М.: Наука, 1971.

Размещено на Allbest.ru

...