Определение законов распределения на основе опытных данных

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное ГОСУДАРСТВЕННОЕ бюджетное ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Отчет

по лабораторной работе по дисциплине

«Метрология, стандартизация, сертификация»

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ ОПЫТНЫХ ДАННЫХ

Йошкар-Ола, 2015

1. Теоретическая часть

Цель работы - приобретение практических навыков построения распределений и оценки выборочных характеристик случайных величин на основе опытных данных.

Статистический ряд оформляется графически в виде так называемой гистограммы. Она строится следующим образом. По оси абцисс откладываются, а на каждом из интервалов как основании строится прямоугольник, площадь которого равна частоте данного интервала. Для построения гистограммы нужно частоту каждого интервала разделить на его длину и полученное число взять в качестве высоты прямоугольника. В случае равных по длине интервалов высоты прямоугольников пропорциональны соответствующим частотам. Из способа построения гистограммы следует, что полная ее площадь равна единице.

Допустим, что некоторый статистический ряд выровнен с помощью некоторой теоретической кривой f(x). Обычно в качестве такой кривой принимается функция распределения F(x). Как бы хорошо ни была подобрана теоретическая кривая, между ней и статистическим распределением всегда будут некоторые расхождения. Встает вопрос: чем объясняются эти расхождения? Случайными обстоятельствами, в первую очередь, связанными с малым количеством наблюдений, или неправильно подобранной функцией f(x)=F(x), определяющей эту кривую? Для ответа на этот вопрос служат так называемые критерии согласия.

1.1 Критерий Пирсона

Рассмотрим один из наиболее часто применяемых критериев согласия - так называемый критерий ч² (критерий Пирсона). Он требуется для проверки согласования экспериментальных данных статистического ряда с гипотезой о том, что СВ X имеет данный закон распределения, соответствующей выбранной нами теоретической функции распределения F(x) или плотности распределения вероятности f(x).

Схема применения критерия Пирсона к оценке согласованности теоретического и статистического распределений сводится к следующему:

1) Определяются оценки среднего арифметического значения и среднего квадратического отклонения (СКО) у по формулам

2) Группируются результаты измерений (наблюдений) по интервалам длиной h, число которых определяют так же, как и при построении гистограммы.

3) Определяются границы интервалов x_i, x_i+1

4) Для каждого интервала находятся вероятности попадания в него наблюдений. Если в качестве теоретического используется нормальное распределение вероятностей СВ X, то используются формулы

p*_i =

где Ф^.(t) - функция Лапласа, при и

Для распределений, отличающихся от нормального, используют другие формулы.

5) Определяется количество наблюдений m_i, попавших в каждый i-й интервал. Если в какой-либо интервал попадает меньше 5 наблюдений, то его объединяют с соседними.

6) Заполняется таблица на основе таблицы, используемой при построении статистического ряда

7) Определяется мера расхождения ч² по ранее приведенной формуле

8) Определяется число степеней свободы r, и задается вероятность P, которая обычно выбирается равной 0,95 или 0,9

9) По числу степеней свободы и вероятности находится критическое значение ч_кр²

10) Сравнивается рассчитанное ч² и критическое значение ч_кр^2, найденное по таблице, если при этом ч²<ч_кр^2, то гипотеза о соответствии выбранной теоретической функции распределения F(x)

и статистической F^*(x) с вероятностью P принимается, и функцию F(x) можно использовать для описания статистического распределения.

Если ч²>ч_кр^2, то гипотеза с вероятностью P отвергается и выбранную теоретическую функцию распределения F(x) нельзя использовать для описания статистического распределения.

1.2 Критерий Колмогорова

Критерий согласия Колмогорова предназначен для проверки гипотезы о принадлежности выборки некоторому закону распределения, то есть проверки того, что эмпирическое распределение соответствует предполагаемой модели.

Схема применения критерия А.Н. Колмогорова следующая: строятся статистическая функция распределения и предполагаемая теоретическая функция распределения , и определяется максимум модуля разности между ними (рис. 7.6.2).

Далее, определяемая величина

колмогоров пирсон распределение согласованность

и находится вероятность . Это есть вероятность того, что (если величина действительно распределена по закону ) за счет чисто случайных причин максимальное расхождение между и будет не меньше, чем фактически наблюденное. Если вероятность весьма мала, гипотезу следует отвергнуть как неправдоподобную; при сравнительно больших ее можно считать совместимой с опытными данными.

1.3 Составной критерий

Для проверки соответствия распределения данных нормальному распределению используют составной критерий. Если гипотеза о нормальности отвергается хотя бы по одному из критериев, считают, что распределение результатов измерения отлично от нормального.

Критерий 1. Вычисляют отношение

,

где S* - смещенная оценка среднего квадратического отклонения, вычисляемая по формуле

Результаты наблюдений группы можно считать распределенными нормально, если

,

где и - квантили распределения

Критерий 2. Можно считать, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению, если не более m разностей превзошли значение z_p/2 S, где S - оценка среднего квадратического отклонения, вычисляемая по формуле

,

где z_p/2 - верхний квантиль распределения нормированной функции Лапласа, отвечающий вероятности Р/2.

Значения Р определяются по выбранному уровню значимости q₂ и числу результатов наблюдений n.

При уровне значимости, отличном от предусмотренных, значение Р находят путем линейной интерполяции.

В случае, если при проверке нормальности распределения результатов наблюдений группы для критерия 1 выбран уровень значимости q₁, а для критерия 2 - q₂, то результирующий уровень значимости составного критерия

q ? q₁ + q₂.

Если хотя бы один из критериев не соблюдается, считают, что распределение результатов наблюдений группы не соответствует нормальному.

2. Практическая часть

Оборудование

1. Универсальный цифровой измеритель-мультиметр типа М 832, М 838.

2. Набор (не менее 30шт.) дискретных элементов-резисторов

2.1 Результаты измерений

1) В соответствии с методическими указаниями по лабораторной работе проведены измерения собственного сопротивления.

По заданию преподавателя было проведено 40 измерений сопротивления. Результаты измерений представлены в табл.1.

2) Неисключаемая систематическая погрешность состовляет 0,35 кОм

2.2 Обработка результатов измерений

Табл. 1

Построение гистограммы. Статистический ряд значений СВ

Табл. 1.1

Критерий Пирсона

= 8799,75/40=219.99

=0,24

Таблица расчета критерия согласия ч²

Табл. 1.2

p*_i =

ч²==0,2+0,048+0,025+2,15+0,5+0,002=2,925

r=9

Вероятность P=0.90

ч² _кр=4.168

ч² _< ч²_кр^, значит гипотеза принимается

Вероятность P=0.95

ч² _кр=3,325

ч² _< ч²_кр^, значит гипотеза принимается

Критерий Колмогорова

F*(x₁)=0 F(x₁)=0

F*(x₂)=p₁=0.025 F(x₂)=p₁=0.012

F*(x₃)=p₁+p₂=0.025+0.025=0.05 F(x₃)= p₁+p₂=0.012+0.03=0.042

F*(x₄)=p₁+p₂+p₃=0.05+0.05=0.1 F(x₄)= p₁+p₂+p₃=0.042+0.057=0.099

… …

F*(x₁₂)=?p_i=0.975 F(x₁₂)= ?p_i=0.991

F*(x_k+1)=1 F(x_k+1)=1

D=max|F*(x)-F(x)|=|0.975-0.991|=0.016

для P = 0,9

, значит гипотеза принимается

для P=0.95

, значит гипотеза принимается

Составной критерий

Критерий 1.

Уровень значимости q₁=1%.

Условие (0,7216 ? 0,766 ? 0,8722) выполняется, значит гипотеза о нормальном распределении по критерию 1 принимается.

Уровень значимости q₁=5%.

Условие (0,747 ? 0,766? 0,854) выполняется, значит гипотеза о нормальном распределении по критерию 1 принимается.

Критерий 2.

q₂=1%

P=0.99 m=2

Z_p/2=2.5

Z_p/2*у=2.5*0.24=0.6

Т.к. m=2, берем 2 наибольшие разности

1) 0,51<0.6, условие выполняется

2) 0,67>0.6, условие не выполняется

Одно из условий не выполняется, значит гипотеза о нормальном распределении по критерию 2 отвергается.

q₂=5%

P=0.98 m=2

Z_p/2=2.3

Z_p/2*у=2.3*0.24=0.55

Т.к. m=2, берем 2 наибольшие разности

1) 0,51<0.55, условие выполняется

2) 0,67>0.504, условие не выполняется

Гипотеза принимается.

Во всех трех критериях гипотеза о нормальности распределения принимается.

Функция нормального распределения:

Размещено на Allbest.ru