Свойства и приложения треугольника Паскаля

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

Цели и задачи

Блез Паскаль. Биография

Треугольник Паскаля

Биномиальные тождества. Метод включений и исключений.

Производящие функции

Рекурентные соотношения

Заключение

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3



Введение

`'Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике `'- писал знаменитый американский математик Мартин Гарднер.

Блез Паскаль, французский математик и философ, посвятил ей специальный "Трактат об арифметическом треугольнике". Впрочем, эта треугольная таблица была известна задолго до 1665 года - даты выхода в свет трактата.

Так, в 1529 году треугольник Паскаля был воспроизведен на титульном листе учебника арифметики, написанного астрономом Петром Апианом. Изображен треугольник и на иллюстрации книги "Яшмовое зеркало четырех элементов" китайского математика Чжу Шицзе, выпущенной в 1303 году. Омар Хайям, бывший не только философом и поэтом, но и математиком, знал о существовании треугольника в 1110 году, в свою очередь заимствовав его из более ранних китайских или индийских источников.



Цели и задачи

Цель: рассмотреть треугольник Паскаля, его свойства, связь с числами Фибоначчи и биномиальными коэффициентами.

Задачи:

1.Выявить свойства чисел, входящих в состав треугольника Паскаля;

2. Определить применение свойств чисел треугольника Паскаля;

3. Изучить научную и учебную литературу по теме исследования;

4. Изучить исторические сведения;

5. Обобщить и систематизировать теоретический сведения, связанные с треугольником Паскаля и его свойствами;

6. Сформулировать вывод и итоги исследования.

Блез Паскаль. Биография

Блез Паскаль - выдающийся французский математик, физик, писатель, религиозный философ; его авторству принадлежит целый ряд работ, посвященных теории чисел, алгебре, теории вероятности. Ученый являлся одним из основателей математического анализа, проективной геометрии, создал первые образцы счетной техники, сформулировал основной закон гидростатики. Блез Паскаль родился 19 июня 1623 г. в Клермоне; его отец был председателем суда, одним из самых известных юристов города. Все Паскали отличались незаурядными способностями, а в Блезе одаренность проявилась с раннего детства.

В 1631 г. Этьен Паскаль, глава семейства, перебрался с детьми в столицу и направил усилия на развитие умственных способностей Блеза. Особое внимание и сын, и отец уделяли математике. В их доме еженедельно проходили заседания своеобразного кружка математиков. В этих встречах 16-летний Паскаль-младший начал принимать самое активное участие и настолько преуспел, что был в числе первых даже среди взрослых. В этом же возрасте он сочинил труд «Опыт о конических сечениях»; в нем содержалась теорема, названная сейчас теоремой Паскаля. Данный трактат дошел до нашего времени в виде небольшого отрывка.

Природа наделила Блеза Паскаля необычными, выдающимися способностями, но обделила здоровьем. Когда их семья переехала в Руан в январе 1640 г., самочувствие Блеза начало заметно ухудшаться. Он изобрел арифметическую машину, чем прославился даже за пределами своей родины, но интенсивные нагрузки серьезно навредили его здоровью. Забившие тревогу отец, друзья, врачи запретили любую умственную деятельность, и Блез постепенно втянулся в светскую жизнь с ее удовольствиями и увлечениями. Однако в истинном смысле светским человеком он так и не стал: с его робостью, излишней наивностью, искренностью он выбивался из общей массы.

В 1646 г. состоялось событие, направившее биографию Паскаля в совершенно иное русло. Он знакомится с янсенизмом и испытывает сомнения по поводу оправданности занятий наукой, задумывается, не является ли его деятельность богопротивной, но не оставляет ее. В ноябрьскую ночь 1664 г. Паскаль, по его собственному признанию, пережил озарение свыше, но что именно оно собой представляло, он не рассказал даже самым близким. После этого ученый оборвал все светские связи, обратился с просьбой стать его духовником к главе монастыря Пор-Рояль и уехал из Парижа.

Пожив какое-то время у герцога де Люина, он в стремлении к еще большему уединению уезжает в монастырь Пор-Рояль, порывает с научной деятельностью и направляет весь свой ум и силы на литературу, защищающую «вечные ценности». Несмотря на суровый образ жизни, он испытывает духовный подъем и чувствует себя гораздо лучше, его блестящий интеллект становится мощным оружием в борьбе с идейными противниками.

На протяжении 1656-1657 гг. публикуются его «Письма провинциала», вызвавшие в обществе настоящий скандал. Это произведение, настоящий шедевр сатирической прозы, сыграло немалую роль в подрыве репутации. Сочинение вышло под псевдонимом, тем не менее, Паскалю пришлось принимать меры безопасности, чтобы не оказаться в Бастилии.

Примерно в 1652 г. у Паскаля возник замысел фундаментальной работы «Апология христианской религии», которая защищала бы религиозное мировоззрение. Для будущей «Апологии» с середины 1667 г. Паскаль делал записи, но в дальнейшем не смог превратить их в нечто цельное и масштабное из-за ухудшения здоровья и запрета врачей на любые умственные нагрузки.

Когда Паскаль умер, его приятелями были обнаружены целые пачки таких записей, примерно 1000 отрывков разного размера, смысловой законченности и жанра. Их расшифровали в 1669 г. и опубликовали в виде книги «Мысли о религии и других предметах» (более известен сокращенный вариант - «Мысли»). Это сочинение нередко сравнивали с «Опытами» Монтеня и философскими работами Декарта.

Начиная с 1658 г. недуги Блеза Паскаля стремительно прогрессируют, он чувствует себя очень слабым, его мучают сильные головные боли. Очевидцы вспоминали его, мужчину в расцвете лет, как изможденного старика. Современные ученые определили, что у Паскаля был целый букет болезней - рак мозга, ревматизм и др. Испытывая огромные физические страдания, не имея возможности заниматься любимыми делами, он отдает силы благотворительности, периодически наносит визиты старым друзьям. 39-летний Паскаль скончался 19 августа 1662 г. после агонии, которая длилась целые сутки. Похоронили его в парижской приходской церкви Сен-Этьен-дю-Мон.



Треугольник Паскаля

Треугольник Паскаля - это просто бесконечная числовая таблица "треугольной формы", в которой на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке. Таблица обладает симметрией относительно оси, проходящей через его вершину.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

. . . . . . . . . . . . . . .

Первое упоминание треугольной последовательности биномиальных коэффициентов под названием meru-prastaara встречается в комментарии индийского математика X века Халаюдхи к трудам другого математика, Пингалы. Треугольник исследуется также Омаром Хайямом около 1100 года, поэтому в Иране эту схему называют треугольником Хайяма. В 1303 году была выпущена книга «Яшмовое зеркало четырёх элементов» китайского математика Чжу Шицзе, в которой был изображен треугольник Паскаля на одной из иллюстраций; считается, что изобрёл его другой китайский математик, Ян Хуэй (поэтому китайцы называют его треугольником Яна Хуэя). На титульном листе учебника арифметики, написанном в 1529 году Петром Апианом, астрономом из Ингольтштадского университета, также изображён треугольник Паскаля. А в 1653 году вышла книга Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике».

Выделим основные Свойства треугольника

Числа треугольника симметричны (равны) относительно вертикальной оси.

В строке с номером n:

-первое и последнее числа равны 1.

-второе и предпоследнее числа равны n.

Третье число равно треугольному числу, что также равно сумме номеров предшествующих строк.

Четвёртое число является тетраэдрическим.

m-е число (при нумерации с 0) равно биномиальному коэффициенту.

Сумма чисел восходящей диагонали, начинающейся с первого элемента (n-1)-й строки, есть n-е число Фибоначчи:

Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана.

Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна .

Все числа в n-й строке, кроме единиц, делятся на число n, если и только если n является простым числом (следствие теоремы Люка).

Если в строке с нечётным номером сложить все числа с порядковыми номерами вида 3n, 3n+1, 3n+2, то первые две суммы будут равны, а третья на 1 меньше.

Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.

Биномиальные тождества. Метод включений и исключений. Производящие функции

Как уже отмечали, числа имеют ряд важных свойств. Укажем некоторые из них:

; (2.1)

; (2.2)

; (2.3)

; (2.4)

. (2.5)

Известна также формула бинома Ньютона:

(2.6)

(2.7)

Коэффициенты формулы (6) называются биномиальными коэффициентами: -е слагаемое суммы (6) считается -м членом разложения и обозначается через .

. (2.8)

Свойства биномиальных коэффициентов:

1. Число биномиальных коэффициентов равно .

2. Коэффициенты членов, равноотстоящих от начала и конца бинома, равны между собой.

3. Сумма биномиальных коэффициентов равна .

4. Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах, равна сумме коэффициентов, стоящих на четных местах.

Задача 1. Найдите член разложения , не содержащий .

Решение. Согласно формуле (2.8) имеем . По условию задачи число должно удовлетворять уравнению

где .

Таким образом, искомым будет второй член разложения:

.

В комбинаторном анализе существует целый ряд подходов для изучения комбинаторных объектов и чисел.

Теоретико-множественный подход

Этот подход связан с вычислением мощностей конечных множеств.

Пусть множество имеет элементов и одноместных отношений (свойств) . Каждый из элементов может обладать или не обладать любым из этих свойств. Обозначим через число элементов, обладающих свойствами и может быть, некоторыми другими. Тогда число элементов, не обладающих ни одним из свойств , определяется по следующей формуле, называемой формулой включений и исключений:

, (2.9)

где

Обобщая формулу (2.9), получаем формулу, позволяющую вычислить число элементов, обладающих ровно свойствами ():

треугольник паскаль рекуррентный

. (2.10)

Метод производящих функций

Метод производящих функций используется для перечисления комбинаторных чисел и установления комбинаторных тождеств.

Производящей функцией последовательности называется степенной ряд .

Если последовательность растет слишком быстро, то бывает необходимо использовать экспоненциальную производящую функцию:

.

Задача 2. Сколько положительных чисел от 1 до 200 делятся ровно на одно из чисел 3 или 5?

Решение. Обозначим свойство делимости на 3 и 5 соответственно через и . Тогда для имеем , (где - наибольшее целое число, не превосходящее ). Так как - число общих кратных для чисел 3 и 5, наименьшее общее кратное которых равно 15, то совпадает с количеством чисел, которые делятся на 15, т.е. . По формуле (12) находим искомое число чисел .

Из формулы бинома Ньютона при имеем:

.

Таким образом, является производящей функцией для биномиальных коэффициентов.

Задача 3. С помощью производящей функции установим тождество:

.

Так как, , то разложим функции и в левой и правой частях этого тождества в ряды:

.

Сравнивая коэффициенты при в левой и правой частях последнего тождества, получаем

.

Существует и ряд других задач (см. приложение 1).

Рекуррентные соотношения

Однородное линейное рекуррентное соотношение -го порядка имеет вид:

, (3.1)

где

Многочлен (3.2) называется характеристическим для соотношения (3.1).

Если - простые корни характеристического многочлена, то общее решение рекуррентного соотношения имеет вид:

где - произвольные постоянные.

Если - корень кратности характеристического многочлена, то общее решение рекуррентного соотношения имеет вид:

где - произвольные постоянные.

Кратность определяет количество слагаемых в коэффициенте при . Число (количество различных корней) определяет количество слагаемых в «большой сумме» У.

Задача 4. Найти общее решение рекуррентного соотношения .

Решение. Характеристический многочлен данного соотношения имеет вид . Этот многочлен имеет два различных корня: с кратностью и с кратностью .

Следовательно, в формуле общего решения будет два слагаемых (количество различных корней ). Коэффициент в скобке при должен содержать одно слагаемое (), а при - два слагаемых (). Поэтому общее решение имеет вид:

.

Задачи к теме приведены в приложении 2.



Заключение

Таким образом, мы рассмотрели треугольник Паскаля, его свойства и приложения.



Приложение 1.

Задачи для самостоятельного решения

2.1. Найдите средний член разложения .

2.2. Найдите номер члена разложения , не содержащего .

2.3. Найдите член разложения , не содержащий .

2.4. Каков наибольший коэффициент разложения , если сумма всех коэффициентов равна 4096?

2.5. Определите сколько рациональных членов содержится в разложении:

а) ; б) ;

в) ; г) .

2.6. Найдите члены, не содержащие иррациональности в разложении:

а) ; б) ;

в) ; г) .

2.7. Коэффициент при во втором члене разложения равен 31. Найдите степень .

2.8. Найдите наибольший член разложения .

2.9. Найдите коэффициент при в выражении .

2.10. Найдите коэффициент при в разложении .

2.11. В разложении коэффициент четвертого члена разложения относится к коэффициенту третьего члена как 7:2. Найдите член разложения, содержащий в первой степени.

2.12. Второй, третий и четвертый члены разложения равны соответственно 240, 720 и 1080. Найдите и .

2.13. Найдите коэффициент при в разложении:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

2.14. Докажите следующие тождества:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) .

2.15. Докажите следующие тождества с использованием производящей функции :

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

2.16. Найдите общий член последовательности, для которой функция является производящей:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

2.17. Пусть и - производящие функции последовательностей и соответственно, и пусть . Найдите и по заданной последовательности :

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .



Приложение 2.

Задачи для самостоятельного решения

3.1. Найдите общее решение рекуррентных соотношений:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

3.2. Найдите по рекуррентным соотношениям и начальным условиям:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) .

3.3.Решите системы:

1) 2)

3.4. Решите неоднородные рекуррентные соотношения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .



Приложение 3.

Типовые задачи с решениями.

1. Найти член разложения ¹⁰ , не содержащий x (т.е. содержащий х в нулевой степени).

Решение. Согласно формуле (5) имеем Т_k = x^10-kk.

По условию число k должно удовлетворять уравнению 10-k-4k=0.

Единственным таким уравнением является k=2. Таким образом, искомым будет второй член разложения: T₂=x⁸==45.

Ответ: 45.

2. Найти шестой член разложения ( )ⁿ, если биномиальный коэффициент третьего от конца члена равен 45.

Решение. Найдем сначала степень бинома. Согласно условию задачи число n удовлетворяет уравнению , корнями которого являются n₁=10, n₂=-9. Так как n₂=-9 не является натуральным числом, то степенью бинома будет n=10, следовательно, представляется в виде T₆=⁴(⁶=²x³=210y²x³.

Ответ: 210y²x³.

Размещено на Allbest.ru

...