Элементы математической статистики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

Филиал ГОУ ВПО ” Костромской государственный

Университет им. Н.А. Некрасова”

в г. Кировске Мурманской области

Специальность: 050502 ”Технология и предпринимательство”

Отделение: Очное

Квалификация: учитель технологии и предпринимательства

Реферат

на тему «Элементы математической статистики»

по дисциплине: «Теория вероятности и основы математической статистики»

Выполнила: студентка группы 2 ТПИ

Трифонова Т. А.

Проверил: Беркман М.И.

Кировск 2008

Содержание

1. Общая часть

1.1 Выборочный метод

1.2 Краткая историческая справка

1.3 Генеральная и выборочная совокупи

1.4 Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка

1.5 Способы отбора

1.6 Статистическое распределение выборки

1.7 Эмпирическая функция распределения

2. Индивидуальная часть

2.1 Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном у



1. Общая часть

статистический выборка интервал

1.1 Выборочный метод

Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основано на изучении методов теории вероятностей и статистических данных результатов наблюдений.

Первая задача математической статистики -- указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате поставленных экспериментов, Вторая задача математической статистики -- разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования. Сюда относятся:

ь оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения, вид которого известен; оценка зависимости случайной величины от одной или нескольких случайных величин и др.;

ь проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения вид которого известен.

Современная математическая статистика разрабатывает способы определения числа необходимых испытаний до начала исследования (планирование эксперимента), в ходе исследования (последовательный анализ) и решает многие другие задачи. Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неопределенности.

Итак, задача математической статистики состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных получения научных и практических выводов.



1.2 Краткая историческая справка

Математическая статистика возникла (XVII в.) и развивалась параллельно с теорией вероятностей. Дальнейшее развитие математической статистики (вторая половина XIX -- начало XX в.) обязано, в первую очередь Чебышеву, Маркову, Ляпунову, а также Гауссу, Кетле, Гальтону, и др. В XX в. наиболее существенный вклад в математическую статистику был сделан советскими математиками Романовским, Слуцким, Смирновым, а также английскими Стьюдентом и Пирсоном и американским ученым Нейманом.

1.3 Генеральная и выборочная совокупи

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность детали, а количественным -- контролируемый размер детали. Иногда проводят сплошное обследование, т.е. обследуют каждый из объектов совокупности относительно признака, которым интересуются. На практике, одинаково сплошное обследование применяют сравнительно редко. Например, если совокупность содержит очень большое число объектов, то провести сплошное обследование физически невозможно. Если обследование объекта связано с его уничтожением или требует больших материальных затрат, то проводить сплошное обследование практически не имеет смысла. В таких случаях случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов и подвергают их изучению.

Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов. Генеральной совокупностью называют совокупностью объектов, из которых производится выборка. Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называю число объектов этой совокупности. Haпример, если из 1000 деталей отобрано для обследования 100 деталей объем генеральной совокупности N=1000, а объём выборки n=100.

Часто генеральная совокупность содержит конечное число объектов. Однако если это число достаточно велико, то иногда в целях упрощения вычислений, или для облегчения теоретических выводов, допускают, что генеральная совокупность состоит из бесчисленного множества объектов. Такое допущение оправдывается тем, что увеличение объема генеральной совокупности (достаточно много объема) практически не сказывается на результатах обработки данных выборки.

1.4 Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка

При составлении выборки можно поступать двумя способами: после того как объект отобран и над ним произведено наблюдение, он может быть возвращен либо не возвращен в генеральную совокупность. В соответствии со сказанным выборки подразделяют на повторные и бесповторные.

Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.

Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается. На практике обычно пользуются бесповторным случайным отбором.

Для того чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно его представляли. Другими словами, выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности. Это требование коротко формулируют так: выборка должна быть репрезентативной (представительной). В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если ее осуществить случайно: каждый объект выборки отобран случайно из генеральной совокупности, если все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку. Если объем генеральной совокупности достаточно велик, а выборка составляет лишь незначительную часть этой совокупности, то различие между повторной и бесповторной выборками стирается; в предельном случае, когда рассматривается бесконечная генеральная совокупность, а выборка имеет конечный объем, это различие исчезает.

1.5 Способы отбора

На практике применяются различные способы отбора. Принципиально эти способы можно подразделить на два вида:

ь Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части. Сюда относятся: а) простой случайный бесповторный отбор; б) простой случайный повторный отбор.

ь Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части. Сюда относятся: а) типический отбор б) механический отбор; в) серийный отбор.

Простым случайным называют такой отбор, при котором объекты извлекают по одному из всей совокупности. Осуществить простой отбор можно различными способами. Например, для извлечения п объектов из генеральной совокупности объема N поступают так: выписывают номера от 1 до N на карточках, которые тщательно перемешивают, и наугад вынимают одну карточку; объект, имеющий одинаковый номер с извлеченном карточкой, подвергают обследованию; затем карточка возвращают в пачку и процесс повторяют, т. е. карточки перемешивают, наугад вынимают одну из них и т. д. Там поступают п раз; в итоге получают простую случайную повторную выборку объема п.

Если извлеченные карточки не возвращать в пачку, то выборка является простой случайной бесповторной. При большом объеме генеральной совокупности описанный процесс оказывается очень трудоемким. В этом случае пользуются готовыми таблицами «случайных чисел», в которых числа расположены в случайном порядке. Для того чтобы отобрать, например, 50 объектов из пронумерованной генеральной совокупности, открывают любую страницу таблицы случайных чисел и выписывают подряд 50 чисел; в выборку попадают те объекты, номера которых совпадают с выписанными случайными числами. Если бы оказалось, что случайное число таблицы превышает число N, то такое случайное число пропускают. При осуществлении бесповторной выборки случайные числа таблицы, уже встречавшиеся ранее, следует также пропустить.

Типическим называют отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее «типической» части. Например, если детали изготовляют на нескольких станках, то отбор производят не из всей совокупности деталей, произведенных всеми t танками, а из продукции каждого станка в отдельности. Типическим отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак заметно колеблется в различных типических частях генеральной совокупности. Например, если продукция изготовляется на нескольких машинах, среди которых есть более и менее изношенные, то здесь типический отбор целесообразен.

Механическим называют отбор, при котором генеральную совокупность «механически» делят на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, а из каждой группы отбирают один объект. Например, если нужно отобрать 20% изготовленных станком деталей, то отбирают каждую пятую деталь; если требуется отобрать 5% деталей, то отбирают каждую двадцатую деталь, и т. д.

Следует указать, что иногда механический отбор может не обеспечить репрезентативности выборки. Например, если отбирают каждый двадцатый обтачиваемый валик, причем сразу же после отбора производят замену резца, то отобранными окажутся все валики, обточенные затупленными резцами. В таком случае следует устранить совпадение ритма отбора с ритмом замены резца, для чего надо отбирать, скажем, каждый десятый валик из двадцати обточенных.

Серийным называют отбор, при котором объекты отбирают из генеральной совокупности не по одному, а «сериями», которые подвергаются сплошному обследованию. Например, если изделия изготовляются большой группой станков-автоматов, то подвергают сплошному обследованию продукцию только нескольких станков. Серийным отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак колеблется в различных сериях незначительно. Подчеркнем, что на практике часто применяется комбинированный отбор, при котором сочетаются указанные выше способы. Например, иногда разбивают генеральную совокупность на серии одинакового объема, затем простым случайным отбором выбирают несколько серий и, наконец, из каждой серии простым случайным отбором извлекают отдельные объекты.

1.6 Статистическое распределение выборки

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем х_г наблюдалось п_х раз, х₂ -- п₂ раз, x_k -- п_ь раз и = n -- объем выборки. Наблюдаемые; значения х_{ называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке,-- вариационным рядом. Числа наблюдений называют частотами, а их отношения к объему выборки n/N = W_i--относительными частотами.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот. Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).

Заметим, что в теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями; случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике--соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами, или относительными частотами.

1.7 Эмпирическая функция распределения

Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака X. Введем обозначения п_х--число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее х; п--общее число наблюдений (объем выборки). Ясно, что относительная частота события X < х равна п_х/п. Если х изменяется, то, вообще говоря, изменяется и относительная частота, т. е. относительная частота п_х/п есть функция от х. Так как эта функция находится эмпирическим (опытным) путем, то ее называют эмпирической.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию F* (х), определяющую для каждого значения х относительную частоту события X < х. Итак, по определению,

F* (х) = п_х/п,

где п_х--число вариант, меньших х; п -- объем выборки. Таким образом, для того чтобы найти, например, F*(x₂), надо число вариант, меньших х₂, разделить на объем выборки:

F* (х₂) = n_x/n.

В отличие от эмпирической функции распределения выборки функцию распределения F (х) генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том, что теоретическая функция F (х) определяет вероятность события X < х, а эмпирическая функция F* (х) определяет относительную частоту этого же события. Из теоремы Бернулли следует, что относительная частота события X < х, т. е. F* (х) стремится по вероятности к вероятности F (х) этого события. Другими словами, при больших п числа F* (х) и F (х) мало отличаются одно от другого в том смысле, что lim Р [ | F (х)-- F* (х) | < е] = 1 (е > 0). Уже отсюда следует целесообразность использования эмпирической функции распределения выборки для приближенного представления теоретической (интегральной) функции распределения генеральной совокупности. Такое заключение подтверждается и тем, что F* (х) обладает всеми свойствами F(x). Действительно, из определения функции F* (х) вытекают следующие ее свойства:

ь значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0, 1];

ь F* (х) -- неубывающая функция;

ь если x₁ -- наименьшая варианта, то F*(x) = 0 при х?х1; если x_k -- наибольшая варианта, то

F*(x)=l при x>x_k.

Итак, эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределений генеральной совокупности.

Полигон и гистограмма

Для наглядности строят различные графики статистического распределения и, в частности, полигон и гистограмму.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (х_г; п_х), (х₂; п_а), .... (х_к\ п_к). Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты x_h а на оси ординат--соответствующие им частоты n_t. Точки i(хi/ п_i) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (х_х:W_х), (х₂; W₂)… ..., (х_к; W_k). Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты x_h а на оси ординат--соответствующие им относительные частоты W{. Точки (хi ;W_i) соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.

На рисунке 20 изображен полигон относительных частот следующего распределения:

Х 1,5 3,5 5,5 7,5

W 0,1 0,2 0,4 0,3

В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной А и находят для каждого частичного интервала п -- сумму частот вариант, попавших в i-й интервал.

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, a высоты равны отношению ni/h (плотность частоты).

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии n_t/h. Площадь t-гo частичного прямоугольника равна hn_i/h = n_i -- сумме частот вариант /-го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т. е. объему выборки.

Гистограмма частот распределения объема д=100, приведенного в табл. 1.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению W_t/h (плотность относительной частоты). Для построения гистограммы относительных частиц оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а под ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс расстоянии Wi/h. Площадь i-го частичного прямоугольника равна hWi/h = W,*--относительной частоте вариант попавших в i-й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т. е. единице.

Таблица 1

Частичный интервал длиной h=5	Сумма частот вариант частичного интервала ni	Плотность частоты ni/n
5--10 10--15 15--20 20--25 25--30 30--35 35--40	4 6 16 36 24 10 4	0.8 1.2 3.2 7,2 4.8 2.0 0,8

Групповая, внутригрупповая, межгрупповая и общая дисперсии

Допустим, что все значения количественного признака X совокупности, безразлично--генеральной или выборочной, разбиты на k групп. Рассматривая каждую группу как самостоятельную совокупность, можно найти групповую среднюю (см. § 6) и дисперсию значение при- знака, принадлежащих группе, относительно групповой средней.

Групповой дисперсией называют дисперсию значений признака, принадлежащих группе, относительно групповой средней

D_jгр=(?ni(xi-xj)²)/Nj,

где ni- -- частота значения х_{; j -- номер группы; х_у-- групповая средняя группы /; Л/_/ = 2^П/ -- объем группы.

Зная дисперсию каждой группы, можно найти их среднюю арифметическую.

Внутригрупповой дисперсией называют среднюю арифметическую дисперсий, взвешенную по объемам групп:

Dвгp = (?NjDjrp)/n



где Nj -- объем группы j ; n=?,Nj -- объем всей совокупности.

Зная групповые средние и общую среднюю, можно найти дисперсию групповых средних относительно общей средней.

Межгрупповой дисперсией называют дисперсию групповых средних относительно общей средней:

Dмежгр=(?Ni(xi-x)²)/n

где Xj--групповая средняя группы j; Nj--объем группы j;

х -- общая средняя; n=?Nj-- объем всей совокупности.

Теперь целесообразно ввести специальный термин для дисперсии всей совокупности.

Общей дисперсией называют дисперсию значений признака всей совокупности относительно общей средней:

Dобщ=(?ni(xi-x)²)/n

где ni--- частота значения x_t; х -- общая средняя; п -- объем всей совокупности.

Сложение дисперсий

Теорема. Если совокупность состоит из нескольких групп, то общая дисперсия равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий:

D общ =Dвигр+Dмежгр

Доказательство. Для упрощения доказательства предположим, что вся совокупность значений количественного признака X разбита на две следующие группы:

Группа первая вторая

Значение признака х_г х₂x_t x_a

Частота т_г т_гп_х п_г

Объем группы

N₁ = m_l + m_a.N_a=ji₁ + n_a

^Х1^Х2

Групповая средняя

Групповая дисперсия D1гр D2гр

Объем своей совокупности

п = N_t + N

Далее для удобства записи вместо знака суммы ? пишется знак ?

Следует также иметь в виду, что если под знаком суммы стоит постоянная величина, то ее целесообразно выносить за знак суммы.

Найдем общую дисперсию:

Dобщ= (?mi(xi--x)² + ?ni ((хi-x2))²/n,

Преобразуем первое слагаемое числителя, вычтя и прибавив x1

? т (xj--х1)²=N1D1гр

?mi(xi-x1)=0

то первое слагаемое принимает вид

? т (xj--х1)²=N1D1гр +N1(x1-x)

Аналогично можно представить второе слагаемое числителя (*) (вычтя и прибавив х_г):

?ni ((хi-x2))²=N2D2гр+N2(x2-x)²

Dобщ=Dвнгр+Dмежгр

Пример, иллюстрирующий доказанную теорему, приведен в предыдущем параграфе.

Теорема имеет не только теоретическое, но и важное практическое значение. Например, если в результате наблюдений получены несколько групп значений признака, то для вычисления общей дисперсии можно группы в единую совокупность не объединять. С другой стороны, если совокупность имеет большой объем, то целесообразно разбить ее на несколько групп. В том и другом случаях непосредственное вычисление общей дисперсии заменяется вычислением дисперсий отдельных групп, что облегчает расчеты.



2. Индивидуальная часть

2.1 Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном у

Пусть количественный признак Х генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение у этого распределения известно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание а по выборочной средней х₁. Поставим своей задачей найти доверительные интервалы, покрывающие параметр а с надежностью y.

Будем рассматривать выборочную среднюю х¹ как случайную величину Х¹ (х¹ изменяется от выборки к выборке) и выборочные значения признака х₁, х₂,…,х_n (эти числа также изменяются от выборки к выборке). Другими словами, математическое ожидание каждой из этих величин равно а и среднее квадратическое отклонение -у.

Примем без доказательства, что если случайная величина Х распределена нормально, то выборочная средняя Х¹, найденная по независимым наблюдениям, также распределена нормально. Параметры распределения Х¹ таковы:

М(Х¹)=а, у(Х¹)=у/.

Размещено на Allbest.ru

...