Логические доказательства в математике

Размещено на http://allbest.ru

1. Математические предложения и их доказательства в курсе геометрии основной школы

математический доказательство геометрия теорема

1.1 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ

В логике выделяются следующие формы мышления: понятия, суждения, умозаключения.

В курсе общей методики уже рассматривались понятия, умозаключения будут проанализированы далее. Рассмотрим, что такое суждение. Суждение - форма мышления, в которой утверждается или отрицается что-либо относительно предметов и явлений, их свойств и отношений; оно может быть истинным или ложным.

В математике суждение называют математическим предложением.

Математические предложения либо принимаются за истинные без доказательства и тогда являются аксиомами, либо их истинность устанавливается после соответствующего логического обоснования - доказательства. В этом случае математическое предложение называется теоремой. Термин «Теорема» происходит от греческого слова «Фепсемб» - представление, зрелище, так как в древности часто теоремы доказывались публично, на площадях. Доказательсчтва носили характер спора, диспута.

Структура теоремы. Теорема состоит из двух основных частей - условия и заключения; на языке логики p q, где р - условие, q - заключение, знак следования.

Для словесного выражения теоремы обычно используют две формы суждений.

1. Категорическую.

Пример. Формулировка теоремы Пифагора: “Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы” ;¹¹ - означает конец примера или решения задачи.

2. Условную.

Пример. Признак равенства треугольников: “Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны” .

Таким образом, в условной форме используется словесная модель “Если ... , то ...”, которая с методической точки зрения значительно удобнее категорической: в ней уже выделены условие (то, что следует за словом “если”) и заключение (то, что следует за словом “то”).

Форма суждений достаточно легко меняется без изменения их содержания. Учителю следует упражнять учащихся в переводе категорической формы в условную, так как это один из эффективных приемов выделения условия и заключения теоремы.

Виды теорем. Имея некоторую теорему 1) p q и считая ее прямой, можно образовать следующие виды теорем:

2) q р - обратная,

3) ²² - отрицание р. - противоположная,

4) - обратная противоположной.

Пример. Теорема: “Вертикальные углы равны”. Переведем категорическую форму в условную: 1) Если углы вертикальны, то они равны;

2) Если углы равны, то они вертикальны,

3) Если углы не вертикальны, то они не равны;

4) Если углы не равны, то они не вертикальны .

Нетрудно убедиться, что теоремы 1 и 4, а также 2 и 3 равносильны (если истинна одна, то истинна и другая), чего не скажешь о других парах.

В курсе планиметрии изучаются только прямые и обратные теоремы. Учителю необходимо специально поработать над этими понятиями, так как учащиеся часто ссылаются на обратную теорему вместо прямой и наоборот (особенно часто так используют теоремы Виета и Пифагора и обратные им).

С понятиями прямой и обратной теорем тесно связаны необходимые и достаточные условия. Однако мы опустим этот материал, так как в курсе планиметрии необходимые и достаточные условия явно не используются.

Теоремы можно классифицировать также по характеру их использования в курсе геометрии. С этой точки зрения принято выделять:

1) теоремы существования, которые утверждают существование того или иного объекта;

2) теоремы единственности, которые утверждают, что существующий объект единственен;

3) теоремы-признаки, определяющие условия, при которых рассматриваемый объект относится к определенному классу объектов;

4) теоремы-свойства, которые описывают свойства данного объекта.

В школьном курсе планиметрии явно не изучаются теоремы существования и единственности. Поэтому приведем примеры только теорем-признаков и теорем-свойств.

Пример 1. Теорема-признак: “Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны” .

Пример 2. Теорема-свойство: “В равных треугольниках против равных сторон лежат и равные углы” .

Теоремы-признаки и теоремы-свойства играют очень большую роль в изучении планиметрии, так как имеют различные функции.

Не вдаваясь в тонкости этой классификации, учитель должен специально выделять теоремы-признаки, подчеркивая, что с их помощью можно определить, принадлежит ли фигура, обладающая теми или иными свойствами, к определенному классу фигур.

1.2 ДОКАЗАТЕЛЬСТВА В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ

Прежде чем говорить о доказательстве, продолжим характеристику основных форм мышления. Введем некоторые необходимые понятия.

Умозаключением называется процесс получения нового суждения-вывода из одного или нескольких данных суждений.¹¹ Методика преподавания математики. Общая методика. М. 1980. С. 71.

Силлогизм - это умозаключение, в котором на основании двух суждений (большей посылки и меньшей посылки) выводится третье суждение (вывод, заключение).

Большая посылка - это некоторое общее суждение (аксиома, теорема, определение, допущение и т. д.); меньшая посылка - частное суждение.

Пример. Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (общее суждение).

В треугольниках АВС и А₁В₁С₁ АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁, ВС = В₁С₁ (частное суждение).

Треугольник АВС равен треугольнику А₁В₁С₁ (новое суждение-вывод) .

Теперь мы в состоянии принять рабочее понятие доказательства, достаточное для нужд школьного курса планиметрии.

Доказательство - логическое действие, в процессе которого истинность какого-либо математического предложения обосновывается с помощью других предложений, признанных истинными. Это действие обычно представляет собой цепочку силлогизмов.

Доказательство включает в себя три основных элемента:

Тезис, установить истинность которого - главная цель доказательства. Форма выражения тезиса - суждение.

Аргументы (основания) доказательства - положения, на которые опирается доказательство и из которых при условии их истинности необходимо следует истинность доказываемого тезиса. Форма выражения аргументов - суждения. Связывая аргументы, приходим к умозаключениям, которые строятся по определенным правилам.

Демонстрация - логический процесс взаимосвязи суждений, в результате которого осуществляется переход от аргументов к тезису.

К тезису, аргументам и демонстрации предъявляют определенные требования, нарушение которых приводит к ошибкам в доказательствах.

Требования к доказываемому предложению (тезису):

- тезис должен быть сформулирован ясно и определенно. Пример небрежной формулировки тезиса: большей дуге соответствует большая хорда (это справедливо для дуг одной и той же или равных окружностей и при условии, что большая дуга меньше полуокружности);

- тезис должен оставаться неизменным на протяжении всего доказательства.

Требования к аргументам:

- аргументы доказательства должны быть суждениями истинными и доказанными.

- аргументы должны быть такими суждениями, истинность которых доказана независимо от тезиса.

К типичным случаям нарушения первого требования относят:

а) использование в качестве аргумента доказательства такого положения, которое само нуждается в доказательстве;

б) использование в качестве аргумента доказательства ложного суждения;

в) использование в качестве основания суждения, с помощью которого можно доказать не только данный тезис, но и заведомо ложные утверждения.

В демонстрации, т.е. в переходе от аргументов к тезису, также возможны ошибки, обусловленные нарушением правила вывода, используемых в этом переходе. Различают ошибки двух видов:

- тезис не вытекает из аргументов, а произвольно присоединяется к ним;

- тезис выведен из аргументов путем ошибочного умозаключения.

Очевидно, что число таких ошибок уменьшилось, если бы правила вывода были предметом изучения в школе.

Методы доказательства теорем.

По способу связи аргументов от условия к заключению доказательства подразделяются на прямые и косвенные.

Прямое доказательство основано на каком-нибудь несомненном начале, из которого непосредственно устанавливается истинность теоремы.

Методы прямого доказательства:

- синтетический,

- аналитический,

- метод математической индукции.

Синтетический метод: при построении цепочки силлогизмов мысль движется от условия теоремы к ее заключению.

В учебниках приводятся преимущественно синтетические доказательства. Их преимущества - полнота, сжатость, краткость. Недостатки - отсутствие мотивации шагов, обоснования дополнительных построений; они носят значительно более формальный характер, чем аналитические доказательства.

Пример. Теорема о хордах окружности.

Теорема. Если две хорды окружности пересекаются, то произведения отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Размещено на http://allbest.ru

Дано: АВ и СД - хорды окружности, Е - точка их пересечения.

Доказать: АЕВЕ = СЕДЕ. (1)

Доказательство (синтетическое)

Рассмотрим треугольники АДЕ и СВЕ. В этих треугольниках углы 1 и 2 равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу ВМД, а углы 3 и 4 равны как вертикальные. По первому признаку подобия треугольников АДЕ ~ СВЕ. Отсюда следует, что , или АЕВЕ = СЕДЕ. Теорема доказана--.

Аналитический метод: при поиске доказательства мысль движется от заключения теоремы к ее условию. Преимущества этого метода - есть отправное звено доказательства, дополнительные построения мотивированы, увеличивается творческая активность учащихся. Недостатки - большие потери времени, искусственные дополнительные построения трудно обосновать.

Пример. Теорема о хордах окружности.

Доказательство (аналитическое)

Чтобы доказать равенство (1), достаточно показать, что (2).

Для того, чтобы найти пропорцию (2), достаточно доказать подобие треугольников, стороны которых являются членами этой пропорции. Для получения таких треугольников соединяем точки С и В, А и Д.

Чтобы обосновать верность пропорции (2), достаточно доказать, что АДЕ ~ СВЕ. Эти треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников: 1 = 2 как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу ВМД, а 3 = 4 как вертикальные. Следовательно, теорема верна .

Любое аналитическое доказательство обратимо в синтетическое и наоборот. Это широко используется в учебном процессе. Технологии могут быть таковы:

1) синтетическое доказательство предваряется аналитическими поисками его плана;

2) синтетическое доказательство заменяется аналитическим, в качестве домашнего задания - изучение синтетического доказательства по учебнику;

3) при использовании лекционного метода (преимущественно за пределами курса основной школы) часто используется чисто синтетический метод доказательства.

Метод математической индукции не имеет распространения в геометрии, так как основан на свойствах множества натуральных чисел, выходит за рамки основной школы, поэтому мы не будет подвергать его специальному изучению.

Косвенное доказательство: истинность теоремы устанавливается посредством опровержения некоторых суждений, содержащихся в теореме.

Наиболее распространенный и единственно применимый в курсе планиметрии метод косвенного доказательства - доказательство от противного.

Логико-математическая сущность метода от противного: вместо прямой (р q) доказывается обратная противоположной теорема ( ).

Поэтому доказательство методом от противного строится по следующей схеме:

1) пусть неверно q, то есть истинно ;

2) докажем, что ложно р, то есть истинно ;

3) убедились, что из ;

4) следовательно, р q (в силу равносильности импликаций р q и ), что и требовалось доказать.

Курс геометрии основной школы широко применяет доказательства от противного, начиная буквально с первых уроков в седьмом классе. При этом необходимо использовать алгоритмический подход.

Алгоритм доказательства от противного.

1. Допускаем, что заключение теоремы ложно. Тогда будет верно противоречащее ему утверждение.

2. Вычленяем возможные случаи.

3. Убеждаемся, что в каждом случае приходим к следствию, которое противоречит:

- условию теоремы,

- ранее установленным математическим фактам.

4. Наличие противоречия заставляет отказаться от принятого заключения.

5. Признаем справедливость заключения доказываемой теоремы.

Мы охарактеризовали основные логические методы доказательства теорем: прямые и косвенные, которые в свою очередь могут быть аналитическими и синтетическими, доказательствами от противного.

Можно говорить об основных математических методах доказательства теорем. В геометрии к ним можно отнести следующие базовые методы:

1) метод геометрических преобразований: эффективен, соответствует современной концепции обучения геометрии в школе, но требует развитого абстрактного и пространственного мышления; методика его использования в школе недостаточно отработана;

2) метод равенства и подобия треугольников - соответствует классической концепции обучения геометрии в школе, известен со времен Евклида, поэтому методика его хорошо разработана; навыки его применения формируются постепенно, в процессе решения задач и доказательства теорем.

Кроме указанных базовых математических методов доказательства теорем планиметрии можно говорить о более частных методах: метод симметрии, метод поворота, векторный метод, алгебраический метод, метод подобия, координатный метод и др.

Методы доказательства, используемые в курсе геометрии основной школы, можно обобщить в виде схемы I.

1.3 ИНДУКЦИЯ И ДЕДУКЦИЯ КАК ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПРЕДЛОЖЕНИЙ

Различают два основных вида умозаключений - индукцию и дедукцию.

Индукция - это умозаключение, при котором из одного или нескольких единичных или частных суждений получают новое общее суждение. Различают два основных вида индукции - неполную и полную.

Неполная индукция - умозаключение, основанное на рассмотрении одного или нескольких, но не всех, единичных суждений.

В процессе обучения неполная индукция широко применяется в младших классах (например, при изучении переместительного закона сложения из одного или нескольких примеров типа “5 + 2 = 2 + 5” делается общий вывод: “а + в = в + а”).Вывод, основанный на неполной индукции, может быть ошибочным, неполная индукция не является методом логического доказательства.

Полной индукцией называется умозаключение, основанное на рассмотрении всех единичных и частных суждений, относящихся к рассматриваемой ситуации.

Заключение, сделанное на основе полной индукции, является вполне достоверным, полная индукция является методом логического доказательства. Однако используется этот метод редко по следующим причинам: 1) громоздкость, 2) невозможность рассмотрения всех единичных и частных суждений в силу того, что их бесконечно много.

Тем не менее, можно привести примеры использования полной индукции: при изучении вопроса об измерении вписанного угла рассматриваются все возможные случаи: 1) одна из сторон угла - диаметр окружности; 2) диаметр лежит между сторонами вписанного угла; 3) диаметр находится вне угла.

Дедукция - умозаключение, при котором из одного общего суждения и одного частного суждения получают новое, менее общее суждение.

Пример. См. пример умозаключения на с. 19: первое суждение - общее, второе суждение - частное, новое суждение - вывод - новое, менее общее суждение.

Таким образом, сущность дедукции состоит в том, что данный частный случай подводится под общее положение.

Дедукция является основным методом логического доказательства.

Дедуктивное доказательство теорем характеризуется логической последовательностью шагов, обязательностью обоснований и их ссылками на уже признанные достоверными математические факты.

2. Методика обучения доказательству теорем

2.1 ВОСПИТАНИЕ ПОТРЕБНОСТИ В ЛОГИЧЕСКОМ ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ

В начале изучения геометрии в основной школе происходит переход к строгим логическим обоснованиям математических предложений. Этот переход всегда вызывал и вызывает значительные трудности: учащиеся не только не усваивают идеи доказательства, плохо отыскивают последовательность шагов, но и не видят надобности в самом логическом доказательстве, особенно если доказываемый факт наглядный.

Причины этого явления кроются в том, что до седьмого класса мы ограничиваемся индуктивными обоснованиями. Поэтому для учащихся достаточно чертежа, из которого и так все ясно. Одной из проблем школьных учебников по геометрии является то, что в них совершенно не показано, как думало человечество, создавая ту или иную теорию, более того, там нет попыток показать, как думал математик, создавая то ил иное доказательство, и уже практически совсем нет попыток учить ученика рассуждать и доказывать.

Для воспитания потребности в логическом доказательстве необходимо организовать специальную работу в 5-6 классах, показав преимущества логического обоснования по сравнению с другими.¹¹ Система упражнений, направленная на воспитание потребности в доказательстве, представлена в статье: Бреслер Г.Р. Об обучении доказательству в IV классе. //Математика в школе. 1975. №5.

Кратко охарактеризуем основные приемы этой работы.

1. Воспитание критического отношения к заключениям, основанным на неполной индукции.

Пример. Справедливо ли “свойство” обыкновенных дробей: если числитель и знаменатель содержит одинаковую цифру, то на нее “можно” сократить?

Учитель приводит “примеры"

После чего показывает, что эти примеры специально подобраны, в общем случае это несправедливо .

2. Полезно использовать особенности зрительных восприятий, показывая, что нельзя доверять простым зрительным впечатлениям.

Пример. Какой отрезок длиннее?

<------> >------<

3. Уместно показать относительность результатов измерений.

Пример. Проанализировать предложение “Длина отрезка АВ равна 25 см”, вызвав к доске для измерения одного и того же отрезка учеников с линейками, шкалы которых различны.

В методической литературе выделяют несколько уровней обучения доказательству. Первый уровень рассмотрен выше: он должен включать формирование потребности в логических обоснованиях утверждений, навыков выполнения дедуктивных умозаключений и понимания того, что из одних предложений логическим путем можно получить новые предложения. Следующий, второй уровень, должен характеризовать умения школьников выполнять цепочки дедуктивных умозаключений и применять эвристические приемы. На этом уровне следует формировать действия преобразования заключение теоремы в равносильное ему, из которого данное вытекает как следствие, а также действия выведения следствий и т.д. Другими словами, формирование логических действий включает знакомство учащихся с их эвристичностью и использованием в осуществлении поиска доказательства. Данный уровень по характеру своих действий наиболее свойственен первым разделам курса планиметрии, которые содержат и многие эвристики, основанные на ассоциациях «равенство отрезков - равенство треугольников», и т.д. Формированию эвристик учитель должен уделить самое серьезное внимание.

Обучение анализу доказательства, выделению логических шагов, поиску и устранению логических пробелов, развертыванию дедуктивных умозаключений в логическую схему, выделению идеи доказательства и его воспроизведению, применение эвристических приемов - составляет содержание третьего уровня обучения школьников доказательству.

Умение использовать методы научного познания и умение самостоятельно выполнять доказательство можно считать содержанием четвертого уровня работы с доказательством. На этом уровне осуществляются доказательства по аналогии, с использованием обобщения и т.д. Он соответствует программе 7-8 классов.

Содержание пятого уровня обучения доказательству составляет обучение умению опровергать предложенные доказательства. С точки зрения методики обучение умению опровергать предложенные доказательства очень важно.

Таким образом, под обучением доказательству можно понимать обучение учащихся анализу готовых доказательств, их воспроизведению, самостоятельному открытию факта, поиску и конструированию доказательства, а также опровержению предложенных доказательств.

2.2 МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ КОНКРЕТНОЙ ТЕОРЕМЫ

Работа учителя над теоремой многоэтапна. Выделим основные из этих этапов: 1)актуализация знаний, мотивация изучения теоремы; 2)формулировка теоремы и усвоение ее содержания; 3) доказательство теоремы; 4) закрепление и применение теоремы

Заметим, что в каждом конкретном случае учитель сам решает, какие этапы с какой полнотой использовать, а без каких можно обойтись. Это зависит от особенностей класса, предыдущего опыта учителя, сложности теоремы для восприятия и др.

1-ый этап - актуализация знаний (опорное повторение) и мотивация изучения теоремы.

Технология организации опорного повторения: учитель

- разбивает доказательство на максимальное число шагов;

- вычленяет все математические факты, на которые опирается доказательство;

- анализирует, все ли они и в какой степени известны учащимся;

- организует опорное повторение в форме беседы, фронтального опроса, системы подготовительных задач (чаще всего “на готовых чертежах” - см. далее).

Мотивация изучения теоремы чаще всего связывается учителем с решением практической задачи, в которой необходим факт, отраженный в теореме (см. пример на с. 30).

2-й этап - введение формулировки теоремы и усвоение ее содержания.

Опишем два основных способа введения формулировки теоремы.

1-й способ. Учитель сам формулирует теорему с предварительной мотивировкой либо без нее.

Спешить с формулировкой не следует. Только в том случае, если она проста, доходчива, можно начинать с формулировки. Если формулировка не отличается простотой, то учитель прежде всего вычерчивает фигуру, выясняет и записывает на доске условие, заключение теоремы и только после этого формулирует ее полностью.

Преимущества способа - краткость, четкость, экономия времени; недостаток - возможен формализм, догматизм.

2-й способ. Учащиеся подготавливаются к самостоятельному формулированию теоремы.

В планиметрии для этого часто используют упражнения на построение и измерение соответствующих фигур.

Пример. Для самостоятельного открытия учащимися теоремы о хордах окружности учитель предлагает следующие вопросы и задания:

- Проведите в окружности две неравные хорды.

- Установите на глаз, какая из них ближе к центру.

- Сформулируйте свой вывод.

- Можно ли считать его достоверным?¹¹ Последний вопрос чрезвычайно важен, с его помощью воспитывается потребность в логическом доказательстве: учащиеся должны понимать, что измерения всегда неточны, вывод, основанный на рассмотрении частных случаев, нельзя считать достоверным, - необходимо доказательство. Если исключить этот вопрос, то упражнения такого характера принесут не пользу, а вред: учащиеся не понимают, зачем надо доказывать. Этот прием следует повторять в новых ситуациях.

Преимущества способа - развитие творческих способностей учеников, повышение интереса к изучению геометрии; недостатки - большие затраты времени, возможное распыление внимание на несущественные детали.

После того, как теорема сформулирована, работаем над уточнением: оговариваем терминологию, выделяем условие и заключение теоремы. Параллельно выполняется краткая запись данных и того, что требуется доказать; строится чертеж.

Требования к чертежу:

- должен быть изображен общий, а не частный случай;

- размеры чертежа должны быть оптимальны;

- данные и искомые выделяются на чертеже цветом, используются специальные метки и символы для обозначения.

3-й этап - доказательство теоремы.

Ранее (см. 3. 2) мы охарактеризовали основные логические и математические методы доказательства теорем.

Учебник во много определяет выбор метода доказательства: логического (прямое или косвенное, аналитическое, синтетическое или метод от противного) и математического (метод геометрических преобразований или метод равенства или подобия треугольников).

Учитель должен хорошо разбираться в структуре всех видов доказательства, уметь перевести синтетическое доказательство в аналитическое и наоборот; осознанно выбрать аналитический или синтетический путь рассуждений на уроке (в зависимости от возраста и уровня подготовки учащихся, профиля класса, возможных затрат времени и др.).

Учащиеся должны понимать, что процесс доказательства заключается в построении последовательной цепочки рассуждений, обоснованных с помощью уже известных математических фактов. Заключение - последнее ее звено.

Как мы знаем, каждый шаг этой цепочки - силлогизм. В школе нет возможности, да и необходимости вводить термины “силлогизм”, “большая посылка”, “меньшая посылка”. Обычно в обучении геометрии в основной школе пользуются терминами “шаг”, “этап”: на каждом шаге доказательства указывается утверждение и его обоснование.

На первых порах для понимания структуры доказательства, после того, как оно найдено, полезно оформление его в виде двух колонок, в одной из которых - утверждения, в другой - обоснования.

Пример. Признак параллельности прямых.

Теорема: Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Утверждение	Обоснование
1. 3 = 2	Вертикальные углы равны
2. 1 = 2	По условию
3. 1 = 3	Как левые части верных равенств, у которых равны правые части
4. а в	1 и 3 - накрест лежащие углы при пересечении прямых а и в секущей с.

?Наибольшая трудность - усвоение логики доказательства. Большую помощь тут могут оказать специальные карточки, которые могут применяться в качестве самостоятельной работы, домашнего задания, задания для индивидуального опроса и др.¹¹ Подробнее см.: Саранцев Г.И. Применение карточек при обучении доказательству // Математика в школе. 1976. №3.

Техника их изготовления проста: опуская некоторые пункты в колонках “утверждение”, “обоснование”, получаем один из вариантов индивидуальной карточки, который может быть использован как лист с печатной основой (ученик вписывает недостающие фрагменты доказательства).

Методика использования карточек: выдается карточка, предлагается заполнить пустые места; разным группам учащихся предлагаются карточки с различной насыщенностью текста, осуществляя таким образом индивидуализацию обучения математике.

Для подготовки учащихся к изучению доказательства теоремы многие учителя пользуются приемом составления плана доказательства. Обычно выделяется два этапа.

1 подход. Дается готовый план доказательства новой теоремы, учащимся предлагается самим доказать ее с помощью плана.

Пример. К теореме «Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то он является параллелограммом» предлагается такой план:

1. Провести диагональ

2. Доказать равенство полученных треугольников

3. Доказать параллельность противоположных сторон четырехугольника

4. Сделать вывод. ?

План демонстрируется классу, например, на экране с помощью интерактивной доски, мультимедиапроектора или кодоскопа. Такую новую форму задания учащиеся воспринимают с исключительным интересом. Как только план появляется на экране, они затихают - думают. Очень многие изъявляют затем желание отвечать. Чем объяснить такой повышенный интерес?

Во-первых, план разбивает доказательство теоремы на ряд простых, элементарных шагов, которые учащиеся уже могут выполнить. Если они еще не научились их выполнению, то план давать не стоит.

Во-вторых, учащиеся чувствуют, что с помощью плана они смогут доказать новую теорему. Не слушать и запоминать, а самостоятельно доказать. Это весьма импонирует им.

В-третьих, план позволяет охватить все доказательство в целом, добиться полноты понимания. Следовательно, ослабляется отрицательное влияние, когда установка на запоминание затрудняет понимание. Это приводит к уверенности, возрастает желание работать.

2-й подход. Учащихся учат составлять план уже доказанной теоремы. Сначала эта работа выполняется коллективно, а затем самостоятельно. Причем, здесь учителю приходится неоднократно показывать образцы составления плана. Учащиеся свободно воспринимают готовый план, но не сразу у них появляются умения и навыки составления плана. Очень хорошие результаты получаются в тех случаях, когда для доказательства нескольких теорем дается один общий план. Такие теоремы, объединенные общей идеей, усваиваются особенно продуктивно.

Как мы уже говорили, в учебниках планиметрии представлены краткие синтетические доказательства теорем. Учитель должен систематически учить учащихся:

1) конструировать доказательства из шагов;

2) превращать сокращенные книжные доказательства в развернутые цепочки шагов с указанием обоснований;

3) оформлять полные записи доказательства отдельных теорем.

Приведем пример полной записи доказательства теоремы по шагам.

Пример. Полное доказательство признака параллельности прямых (формулировка и краткая запись доказательства даны на предыдущей странице).

Пусть при пересечении прямых а и в секущей с имеем углы, например, 2 и 3 - вертикальные, 1 и 3 - накрест лежащие.

1. Так как 3 и 2 - вертикальные углы, то 3 = 2 (вертикальные углы равны).

2. Так как 1 = 2 и 3 = 2, то 1 = 3 (если правые части в верных равенствах равны, то равны их левые части).

3. Так как 1 и 3 - накрест лежащие углы при пересечении прямых а и в секущей с и 1 = 3, то а в (если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны).

Теорема доказана .

В процессе доказательства необходимо полностью использовать условие теоремы. Один из путей - обсуждение, на каких этапах и как применена та или другая часть условия, все ли они использованы при доказательстве.

Для обеспечения усвоения доказательства широко применяется прием двукратного доказательства: сначала обсуждается только идея, план; доказательство излагается фрагментарно. После этого доказательство излагается полностью, со всеми тонкостями и нюансами.

В опыте В.Ф. Шаталова используется сверхмногократное повторение доказательства, причем, часто на уровне идеи, плана.

4-й этап - закрепление и применение теоремы

Этап закрепления теоремы предполагает работу по выявлению, поняты ли сущность самой теоремы, идея, метод доказательства и отдельные его шаги. Приемы закрепления могут быть таковы:

- в процессе беседы с учащимися еще раз выделить основную идею, метод и шаги доказательства;

- предложить объяснить отдельные шаги доказательства;

- перечислить все аксиомы, теоремы и определения, которые используются в доказательстве;

- выяснить, где используется то или иное условие, все ли они оказались использованными;

- нет ли других способов доказательства;

- при закреплении полезно варьировать обозначения на чертеже, а также сам чертеж и т.п.

Применение теоремы организуется в процессе решения задач, в которых она используется. Нужно иметь в виду, что не всегда учебник предлагает систему задач на применение конкретной теоремы, чаще даются отдельные задачи, которые опытный учитель может дополнять. Применяются теоремы и при доказательстве других теорем последующего курса планиметрии и стереометрии.

Организационные приемы работы по изучению и закреплению теоремы на уроке геометрии

Приемы организации работы по изучению теорем.

При изучении теорем используются разные приемы организации работы. Самый распространенный из них: изучение теоремы и ее доказательство проводит сам учитель. Значительно полезнее делать это самим ученикам. Рассмотрим приемы работы подобного характера.

Сущность первого из приемов. Вызывается учащийся, он записывает на доске условие теоремы полностью, оформляет рисунок, чертеж и т.д. И этот же учащийся находится у доски на протяжении всего процесса доказательства теоремы. Он и высказывает идею доказательства, записывает и обосновывает его. Этот прием имеет ряд недостатков.

- в классе возникает ситуация, когда остальные учащиеся пассивны и вынуждены списывать с доски;

- ход урока ставится в зависимость от вызванного к доске учащегося. Если он доказывает теорему уверенно, все идет гладко. В противном случае затягивается время, учитель нервничает, в классе возникает шум и т.д.;

- поскольку ход урока во многом зависит от вызванного к доске учащегося, внимание учителя в основном приковано к этому ученику. Учитель меньше работает с классом.

Для устранения перечисленных недостатков целесообразно использовать второй прием организации работы по доказательству теорем.

Работа учащихся над теоремой разбивается на отдельные этапы.

а) усвоение условия,

б) обдумывание идеи доказательства,

в) коллективное обсуждение идей,

г) оформление теоремы.

Эти задания у доски выполняют поочередно несколько учащихся. Охарактеризуем работу ученика на каждом из этапов

а) Усвоение условия теоремы. Один из учащихся кратко записывает на доске условие, анализирует его. Затем вызванный учащийся садится на место.

б) Классу дается задание: наметить и продумать идею доказательства теоремы. Выдерживается пауза достаточной длительности от 1-2 минуты и более. Во время паузы учащимся рекомендуется делать наброски доказательства на черновике, разрешается советоваться с товарищем по парте.

Так, как каждый учащийся ожидает вызова, то во время паузы он не может думать ни о чем, кроме задания. Тем самым в классе создается удачная психологическая ситуация, которая заставляет активно работать каждого.

в) Классу предлагается обсудить идею доказательства теоремы. Иногда рассматривают несколько способов, выбирают из них наиболее рациональный. Учитель постепенно приучает высказывать идею доказательства в виде краткого плана без подробных обоснований. В конце дискуссии учитель объявляет оценки тем учащимся, которые объяснили идею доказательства теоремы перед всем классом.

г) Классу предлагается оформить доказательство. Можно использовать следующие варианты:

- одному из учащихся предлагается записать доказательство на доске. За это ему также ставится оценка. Остальные учащиеся записывают в тетрадях. После обсуждения большинство учащихся представляют себе весь ход и им незачем списывать с доски;

- предлагается устно изложить доказательство теоремы с подробными объяснениями. За это еще одному учащемуся ставится оценка;

– доказательство теоремы предлагается записать самостоятельно;

– иногда учитель заранее планирует для теоремы выполнить только три первые задания. А записать доказательство предлагается либо во время самостоятельной работы в конце урока, либо дома.

Итак, прием деления на отдельные задания имеет целый ряд преимуществ, в частности, он в большей мере соответствует дидактическому принципу последовательного преодоления трудностей.

Нельзя обойти вопрос о некоторых модификациях одного и того же доказательства. Они особенно эффективны для индивидуальной работы со слабым учеником. Модификация доказательства часто сводится к использованию разных чертежей. Разнообразные чертежи, иллюстрирующие доказательства, не привязывают ученика к одному чертежу, не дают ему возможности зазубривать доказательство.

Приемы организации работы при закреплении теорем

При закреплении теорем, как и при их введении, учителю приходится учитывать два обстоятельства: необходимо сформировать у учащихся навыки применения теоремы, учащиеся должны понять и запомнить ее доказательство.

Первый прием. Сразу после объяснения новой темы одному или нескольким учащимся предлагается повторить ее, остальным - слушать. Обычно вызываются учащиеся по желанию, а, следовательно, в основном хорошо успевающие. Такой прием приводит к следующим результатам:

- вызванные учащиеся, как правило, почти дословно воспроизводят объяснение учителя, опуская лишь те детали, которые не успели запомнить. Имеет место однообразие, повторение, что неэффектно;

- большинство учащихся слушают пассивно;

- однообразная, пассивная работа снижает интерес учащихся к уроку и ослабляет их внимание;

4.В психологии установлено, что забывание наиболее интенсивно протекает сразу после изучения материала, а потом оно замедляется. По этой закономерности те учащиеся, которые слушают внимательно, повторяют материал тут же на уроке, забывают его медленнее.

Этот прием приносит гораздо большую пользу, когда изученное доказательство теоремы на этом же уроке повторяют по измененному чертежу, с другими буквенными обозначениями. Такое повторение не является столь однообразным, оно требует от учащихся более активной мыслительной деятельности.

Второй прием. Чтобы повторить узловые части только что рассмотренной теоремы, учитель задает классу несколько вопросов. Этот прием требует меньшей затраты учебного времени, спросить удается не одного, а нескольких учащихся, класс принимает более активное участие в повторении.

Третий прием. Перед объяснением новой теоремы учитель предлагает послушать доказательство и одновременно составить план. Затем это задание повторяется. Прием очень эффективен, но только в тех классах, где предварительно проведена кропотливая работа по оформлению умений составлять план.

Четвертый прием. Доказательство рассмотренной теоремы не повторяется на данном уроке. Класс сразу преступает к решению задач по новой теме. Она закрепляется на задачах. А за 3 - 5 минут до звонка учитель подводит итог урока. Он предлагает не просто воспроизвести, пересказать изученное на уроке, а задает вопросы, которые заставляют учащихся выделить из нового материала главное, сопоставить с прежними знаниями, сравнить, обобщить и т. д. И все это связывается с только что решенными задачами по новой теме.

При такой форме подведения итога урока новый материал хорошо запоминается, так как он повторяется сразу после момента наиболее интенсивного забывания, а мыслительная деятельность учащихся разнообразна и активна.

Рассмотрим некоторые приемы повторения изученных теорем при проверке домашнего задания (на последующих уроках).

Первый прием. К доске вызывается учащийся. Ему дается время для подготовки к ответу. Он выполняет чертеж, записывает кратко условие и заключение теоремы, необходимые преобразования, продумывает ответ. Класс в это время занят другой работой. Затем вызванный учащийся отвечает, остальные слушают.

Второй прием. К доске для подготовки к ответу вызываются одновременно несколько учащихся. Класс в это время выполняет другую работу. Затем вызванные учащиеся поочередно отвечают, остальные слушают. Второй прием в отличие от первого позволяет несколько экономить учебное время. Поэтому этот прием называют уплотненным опросом.

Третий прием. К началу урока дежурные по классу записывают на доске основные преобразования из доказательств теорем, чертежи ко всем теоремам и задачам, заданным на дом. Учитель дает задание: доказать теорему или обосновать записанное на доске преобразование, или изложить решение задачи. Выдерживается пауза. Все замолкают, готовятся к ответу. В ожидании вызова одни учащиеся напряженно смотрят только на доску, другие - в тетради или в учебники. Желательно чтобы учебники были открыты. Затем к доске вызываются учащийся. Его слушают гораздо внимательней, чем при уплотненном опросе, т. к. к ответу готовился весь класс. Каждый учащийся легче и быстрее улавливает неточности в ответе вызванного товарища и готов высказать необходимые дополнения, замечания, поправки. Если ученик отвечает плохо, учитель вызывает на помощь любого другого, поскольку время на подготовку к ответу давалось всему классу. Вызванный ученик должен соблюдать общую схему ответа: формирует теорему, указывает, что дано и что требуется доказать, а затем излагает доказательство. Затем таким же образом проверяются теоремы, задачи. Такой опрос проходит обычно более четко, чем уплотненный опрос, при большей активности учащихся и меньшей затрате учебного времени.

Пример работы над теоремой о средней линии трапеции

Логико-математический анализ теоремы: «средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме».

Теорема сформулирована в категорической форме.

Сформулируем ее в условной форме, выделив явно разъяснительную часть: в любой трапеции, если есть ее средняя линия, то она параллельна основаниям и равна их полусумме.

Итак, структура теоремы такова:

Разъяснительная часть - в любой трапеции;

Условие - отрезок есть средняя линия трапеции;

Заключение - 1) отрезок параллелен основаниям; 2) отрезок равен полусумме оснований.

Теорема содержит два заключения, значит она сложная по структуре (но не обязательно сложным является ее доказательство).

Этапы обучения доказательству теоремы (в основе проблемное обучение, метод эксперимента).

1-й этап. Мотивация необходимости изучения данной теоремы: решение небольшой практической задачи, проблемная ситуация.

2-й этап. Актуализация опорных знаний (расчленить теорему на ряд элементарных шагов и выявить опорные знания, необходимые для понимания доказательства). Формы организации: кратковременная самостоятельная работа, решение обобщающей задачи.

Проанализировав доказательство теоремы, следует выделить опорные знания и повторить их на этапе актуализации. В данном случае уместно повторить свойство средней линии треугольника и решить следующую задачу.

Дано: ABO и DCO, АВ||CD, BO=CO.

Доказать: ABO=DCO.

3-й этап. Введение теоремы

Возможно дедуктивное введение теоремы и синтетический способ ее доказательства.

Однако активизации познавательной деятельности учащихся будет способствовать метод эксперимента. Свойства средней линии трапеции можно «открыть» параллельно с процессом построения средней линии в произвольных трапециях. Учащимся предлагается:

Сравнить визуально взаимное расположение средней линии и оснований трапеции;

Построить отрезок, длина которого равна сумме длин оснований трапеции. Сколько раз средняя линия укладывается на этом отрезке?

На основе выполнения задания выдвигается гипотеза о том, что средняя линия параллельна основаниям трапеции и равна ее половине.

Далее формулируется теорема, делается чертеж, записывается, что дано и требуется доказать.

Дано: ABCD - трапеция, AD и ВС - основания, QP - средняя линия.

Доказать:

1) QP||AD, QP||BC,

2) QP=1/2(AD+BC).

4-й этап. Анализ. Поиск путей доказательства:

Дайте определение трапеции. Какие прямые в нашем случае параллельны, как они называются? Требуется доказать, что средняя линия параллельна двум основаниям, то есть двум параллельным прямым. Как упростить путь доказательства этого факта? Достаточно доказать параллельность одному из оснований.

Чем можно воспользоваться? Для какой фигуры, кроме трапеции определено понятие средней линии? Нельзя ли использовать теорему о средней линии треугольника для доказательства? Можно ли отыскать или провести дополнительные построения, чтобы получить треугольник, средняя линия которого совпадает со средней линией трапеции?

5-й этап. Синтез. Составление плана доказательства.

6-й этап. Осуществление доказательства. Запись.

Доказательство:

1. Дополнительное построение: проведем луч ВР до пересечения с лучом AD. Е - точка пересечения.

2. Рассмотрим BCP и EDP:

СР=DP (P - середина CD),

BPC=EPD (как вертикальные углы),

BCP=EDP (как накрест лежащие углы при параллельных BC и AD и секущей CD),

BCP=EDP (по второму признаку).

Значит BC=DE, BP=PE (из равенства треугольников).

3. ABE:

Q - середина AB, P - середина CD,

QP - средняя линия ABE:

QP||AE, QP=1/2AE=1/2(AD+DE)=1/2(AD+BC) (по свойству средней линии и по построению).

4. BC||AD, QP||AD, значит QP||BC (по теореме о параллельности двух прямых третьей).

7-й этап. Усвоение содержания теоремы и ее доказательства:

Повторить формулировку теоремы и основные этапы ее доказательства или предложить учащимся прочитать соответствующий материал в учебнике.

Можно также применить и другой порядок работы:

Наметить план доказательства;

Провести доказательство устно;

Провести повторное доказательство с краткой записью.

8-й этап. Первичное закрепление теоремы. Уместны устные задачи по готовым чертежам. Например, такие:

Доказать, что ВН - высота трапеции

9-й этап. Применение теоремы

Проанализировать систему упражнений учебника на применение свойств средней линии трапеции. Подобрать ключевые задачи по теме для решения их на специальном уроке.

ЛИТЕРАТУРА

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия. Пробный учебник для 8-9 кл. средней школы. М. 1991.

2. Атанасян Л.С. и др. Геометрия: Учебник для 7-9 кл. средней школы. - М. 1995.

3. Бескин Н.М. Методика геометрии. М. 1947.

4. Глейзер Г.И. История математики в школе. 4-6 классы. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1981.

5. Далингер В.А. Методика обучение учащихся доказательству математических предложений. - М.: Просвещение, 2006.

6. Дробышева И.В. , Дробышев Ю.А. Лабораторный практикум по теории и методике обучения математике. - Калуга: КГПУ, 2003.

7. Дробышева И.В. , Дробышев Ю.А., Малахова Е.И. Теоретические основы методики обучения математике. Тексты лекций. Часть 1. - Калуга: КГПУ, 2002.

8. Колмогоров А.Н. и др. Геометрия. Учебное пособие для 6-8 классов средней школы. М. 1979.

9. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: Учебное пособие для студентов физико-математических специальностей пединститутов / Е.И. Лященко и др. - М.: Просвещение, 1988.

10. Малыгин К.А. Элементы историзма в преподавании математики в средней школе. Пособие для учителя. - М.: Учпедгиз, 1963.

11. Метельский Н.В. Дидактика математики. Минск. 1982.

12. Метельский Н.В. Пути совершенствования обучения математике. Минск. 1989.

13. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика/ Составители Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. - М. 1985.

14. Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика. - М. 1987.

15. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся 5-9 классов средней школы. - М.: Просвещение, 1988.

16. Никольская И.Л. Привитие логической грамотности при обучении математики. Автореф. канд. дис. - М: 1973 г.

17. Погорелов А.В. Геометрия: Учебник для 7-11 классов средней школы. М. 1987.

18. Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика, 5-11 класс. - М.: Дрофа, 2002.

19. Руденко В.Н., Бахурин Г.А. Геометрия: Пробный учебник для 7-9 классов средней школы. М. 1992.

20. Саврасов С.М., Ястребинецкий Г.А. Упражнения по планиметрии на готовых чертежах. - М. Просвещение, 1987.

21. Саранцев Г.И. Обучение математическим доказательствам и опровержениям в школе. - М.: Гуманитарный издательский центр ВЛАДОС, 2006.

22. Тимофеева И.Л. Как устроено доказательство? // Математика в школе. - 2004. №8.С. 73-80.

23. Тимофеева И.Л. Некоторые замечания о методе доказательства от противного. // Математика в школе. - 1994. № 3. С. 36-38.

24. Тимофеева И.Л. О логических эвристических средствах построения доказательств. // Математика в школе. - 2004. № 10. С. 42-50.

25. Чичигин В.Г. Методика преподавания геометрии. Планиметрия. -М. 1959.

26. Шарыгин И.Ф. Геометрия 7-9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Дрофа, 2000.

Размещено на Allbest.ru

...