Формулы Герона и их практическое применение
Задачи на нахождение площадей как наиболее распространённые в геометрии. Задача на нахождение минимума периметра треугольника. Теорема о средних. Частные случаи применения формулы Герона при решении задач на плоскости, равносторонний треугольник, квадрат.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 30.03.2016 |
| Размер файла | 539,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
[Введите текст]
Формулы Герона и их практическое применение
Рассмотрим задачу Герона, решённую им в работе «О зеркалах».
Задача 1. Даны две точки А и В по одну сторону от прямой ?. Требуется найти на ? такую точку Д, чтобы сумма расстояний от А до Д и от В до Д была наименьшей.
Рис. 1
Решение: пусть точка - точка, симметричная В относительно прямой ?. Соединим А с . Тогда точка Д пересечения А с прямой ? будет искомой. Действительно, для любой точки , отличной от Д, имеет место равенство:
А+В=А+А=АД+ДВ
Здесь использованы свойства симметрии, из которых следуют равенства ДВ=Д, В=и неравенство треугольника А+А. Задача решена.
Отметим: искомая точка Д обладает тем свойством, что =, а также =, или угол падения равен углу отражения.
Задачи на нахождение площадей - наиболее распространённые задачи геометрии, при их решении требуется использовать весь арсенал геометрических знаний. Формула Герона воспитывает у учащихся интерес к решению геометрических задач.
Задача 2. Возможно, ли найти минимум периметра треугольника, если дана его площадь?
Решение: есть правдоподобное предположение: наименьший периметр при данной площади, или наибольшую площадь при данном периметре имеет равносторонний треугольник. Пусть а, b, с - стороны , S - площадь, L = 2р - периметр. По формуле Герона:
= .
Напрашивается теорема о средних: когда p дано, S не должно быть слишком велико; правая часть - произведение. Но как нам применить эту теорему? Вот указание: если равносторонний, то а = b = c, или p - a = p - b = p - c. Поэтому
Т.е. и равенство имеет место только в случае равностороннего треугольника.
Применение формулы Герона распространяется не только на треугольники, но также на четырёхугольники. Рассмотрим задачу, доказывающую это.
Задача 3. Возможно, ли найти минимум периметра четырёхугольника, если дана его площадь?
Решение: имеется правдоподобное предположение: квадрат; - сумма противоположных углов, пусть a и b заключают угол , c и d - угол , = + . Получаем: 2S = absinб + cdsinв.
Выражая диагональ четырёхугольника, отделяющую от , получаем:
.
Из трёх соотношений мы можем теперь исключить и . Складывая и , получаем
,
наконец, замечая разности квадратов и полагая: a + b + c + d = 2p = L, находим . В вероятном случае равенства (квадрат) стороны равны и, следовательно, равны величины:
p - a, p - b, p - c, p - d. Пользуясь этим указанием, получаем
задача теорема герон треугольник
Чтобы оба встретившиеся неравенства стали равенствами, мы должны иметь = , a = b = c = d.
Выше были рассмотрены частные случаи применения формулы Герона при решении задач на плоскости: равносторонний треугольник и квадрат. Формулу Герона можно использовать не только в Евклидовой геометрии, но и в стереометрии для нахождения объёмов тел, но для этого необходимо опереться на теорему Пифагора.
Задача 4. Найдите объём тетраэдра с прямым трёхгранным углом при вершине О, если даны длины рёбер a, b, c его грани, противолежащей вершине О.
Рис. 2
Решение: площадь искомого треугольника . По теореме Пифагора получаем:
, , . Из этих уравнений для задачи находим: .
, ,
V= .
Ответ: V=.
Новое доказательство формулы Герона
В школьном курсе формулу Герона мы доказываем с помощью теоремы Пифагора и используем её для нахождения площади треугольника с известными сторонами. Рассмотрим принципиально новое доказательство формулы Герона.
Прежде чем перейти к самому доказательству, решим две задачи.
Задача 1. Пусть a, b, c - длины сторон треугольника АВС. Найти длины отрезков, на которые делятся его стороны точками касания вписанной в него окружности.
Рис. 3
Решение: если M, N, P - точки касания, то, обозначив АМ через x и воспользовавшись свойством отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки, получим: AP = x, BP = BN = c - x, CM = CN = b - x.
Но BN + NC = a. Отсюда c - x+ b - x = a,
Таким же образом можно вычислить и длины других отрезков: BP = p - b, CN = p - c.
Задача 2. Дан треугольник АВС; a, b, c - его стороны. Найти длины отрезков, на которые делят стороны треугольника точки касания вневписанных окружностей.
Рис. 4
Решение: пусть AQ = y, тогда AS = y, QC = CT = b - y, BS = BT, а поэтому c + y = a + b - y.
Аналогично можно вычислить и длины других искомых отрезков.
Переходим к выводу формулы Герона
Нетрудно заметить, что треугольники AOM и AQ подобны. В самом деле, они прямоугольные и АОМ =AQ, так как каждый из них дополняет ОАМ до прямого (АОМ +ОАМ = 90 как острые углы прямоугольного треугольника АОМ, AQ + ОАМ =АО, который равен 90 как угол, образованный биссектрисами двух смежных углов).
Из подобия треугольников АОМ и АQ будем иметь: .
Подставим в это отношение выражения:
, , получим
- известная нам формула Герона.
Со времен Герона и до наших дней накопилось большое число красивых, важных, ярких и интересных задач и формул в геометрии, алгебре, физике, но мы до сих пор используем формулы Герона. Задачи Герона помогают учащимся развивать математические способности и умения решать задачи, способствуют развитию логического мышления.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Геометрическая фигура, образованная тремя фигурами, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Основные формулы площади треугольника. Решение задач на нахождение площади треугольника через две его стороны и высоту, проведенную к основанию.
презентация [240,0 K], добавлен 21.04.2015Открытие формулы австрийским математиком Георгом Пиком в 1899 году. Доказательство Теоремы Пика, последовательность этапов для различных вариантов. Нахождение и расчет площадей четырехугольников в квадратных сантиметрах с использованием данной формулы.
презентация [1,1 M], добавлен 14.04.2013Понятия максимума и минимума. Методы решения задач на нахождение наибольших и наименьших величин (без использования дифференцирования), применение их для решения геометрических задач. Использование замечательных неравенств. Элементарный метод решения.
реферат [933,5 K], добавлен 10.08.2014Содержание математических трудов Герона. Влияние работ Герона в Европе. Место Клавдия Птолемея в истории науки. "Альмагест" как компендиум античной математической астрономии. Краткая биографическая справка из жизни Птолемея. "Планетные гипотезы" Птолемея.
реферат [15,1 K], добавлен 15.12.2010Симплекс как геометрическая фигура, являющаяся мерным обобщением треугольника. Математика и её место в жизни человека. Алгоритм решения задачи "нахождение наименьшего значения линейной функции симплексным методом". Составление начальной симплекс таблицы.
контрольная работа [484,7 K], добавлен 29.07.2013Понятие треугольника и его роль в геометрии. Сумма углов треугольника, вычисление площади, свойства различных видов фигур. Признаки равенства и подобия треугольников, теорема Пифагора. Медианы, биссектрисы и высоты, соотношение между сторонами и углами.
курс лекций [3,7 M], добавлен 23.04.2011Применение формулы Грина к решению задач. Понятие ротора векторного поля. Вывод формулы Грина из формулы Стокса и ее доказательство. Определение непрерывно дифференцируемых функций. Применение формулы Грина для вычисления криволинейного интеграла.
курсовая работа [2,9 M], добавлен 11.07.2012Ознакомление с геометрической и алгебраической формулировками понятия равносоставленности и практическое применение ее свойств при доказательстве обратной теоремы Пифагора методами площадей и подобных треугольников и решении задач на разрезание.
доклад [300,8 K], добавлен 21.02.2010Расчет площади равнобедренного и равностороннего треугольника. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы. Расчет размеров медианы, биссектрисы.
презентация [68,7 K], добавлен 16.04.2011Жизненный путь философа и математика Пифагора. Различные способы доказательства его теоремы, устанавливающей соотношение между сторонами прямоугольного треугольника (метод площадей). Использование обратной теоремы как признака прямоугольного треугольника.
презентация [11,6 M], добавлен 04.04.2019Жерар Дезарг как известный французский математик, краткий очерк его жизни и деятельности. Сущность и содержание теоремы данного ученого, исторические основы ее создания и развития, особенности применения к решению задач, на евклидовой плоскости.
курсовая работа [151,3 K], добавлен 28.04.2011Элементы геометрии треугольника: изогональное и изотомическое сопряжение, замечательные точки и линии. Коники, связанные с треугольником: свойства конических сечений; коники, описанные около треугольника и вписанные в него; применение к решению задач.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 17.06.2012Путь Пифагора к знаниям, источники его учения и научная деятельность. Формулировка теоремы Пифагора, ее простейшее доказательство на примере равнобедренного прямоугольного треугольника. Применение изучаемой теоремы для решения геометрических задач.
презентация [174,3 K], добавлен 18.12.2012Теоремы Паскаля, Брианшона для пятиугольника, четырехугольника, треугольника. Их использование для решения задач конструктивного типа проективной геометрии линий 2-го порядка на расширенной прямой, связанные с построением точек и касательных к ним.
курсовая работа [967,1 K], добавлен 02.06.2013Базовые основы системы mn параметров, варианты их значений. Теоремы циклов для треугольников и прямоугольного треугольника. Тайна теоремы Пифагора, предистория ее рождения. Итерационные формулы и их использование. Дисперсия точек ожидаемой функции.
статья [241,5 K], добавлен 24.11.2011Применение первой и второй интерполяционной формул Ньютона. Нахождение значений функции в точках, не являющимися табличными. Bспользование формулы Ньютона для не равностоящих точек. Нахождение значения функции с помощью интерполяционной схемы Эйткена.
лабораторная работа [481,0 K], добавлен 14.10.2013Типы уравнений, допускающих понижение порядка. Линейное дифференциальное уравнение высшего порядка. Теоремы о свойствах частичных решений. Определитель Вронского и его применение. Использование формулы Эйлера. Нахождение корней алгебраического уравнения.
презентация [103,1 K], добавлен 29.03.2016Истоки, понятие аналитической геометрии. Метод координат на плоскости. Аффинная и Декартова система координат на плоскости, прямая и окружность. Аналитическое задание геометрических фигур. Применение аналитического метода к решению планиметрических задач.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 12.05.2009Векторы на плоскости и в пространстве. Обыкновенное дифференциальное уравнение. Необходимые формулы для решения задач о касательной. Метод наименьших квадратов. Необходимые определения и формулы для вычисления интегралов. Производные элементарных функций.
курс лекций [119,3 K], добавлен 21.04.2009Ознакомление с понятиями синуса, косинуса, тангенса острого угла прямоугольного треугольника и основным тригонометрическим тождеством. Нахождение площади равнобедренного прямоугольного треугольная по заданному основанию и прилегающему к нему углу.
конспект урока [67,9 K], добавлен 17.05.2010
