Интегрирование функций нескольких переменных
Определение двойных, тройных и криволинейных интегралов, их свойства и вычисление, замена переменных, сферические координаты. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Восстановление функции по её полному дифференциалу.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 09.04.2016 |
| Размер файла | 121,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
1. Интегрирование функций нескольких переменных
1.1 Двойной интеграл и его свойства
Понятие двойного интеграла
Пусть на плоскости х0у задана квадрируемая замкнутая ограниченная область Р (компакт), на которой определена непрерывная и неотрицательная функция z=f(x,y). И пусть Т разбиение области Р на квадрируемые части Рк (к=) без общих внутренних точек. Обозначим через T наибольший из диаметров частичных областей, Рк (к=), T = maxk, (к=), причём - диаметр фигуры Рк ). В каждой частичной области Рк (к=) выберем произвольную точку. Сумма , где - площадь области Рк , называется интегральной сумммой фукции f(x,y) по области Р. Значение суммы зависит от разбиения Т и от выбора точек (kk)Pk.
Определение 1. Если существует конечный предел І интегральных сумм при
()0 (1)
который не зависит ни от разбиения Т, ни от выбора точек (kk)Pk, то функцию f называют интегрируемой по области Р, а число І - двойным интегралом Римона от функции f по области P и обозначают
: .
Равенство (1) обозначает, что для любого числа существует такое , что для любого разбиения Т с дроблением имеет место неравенство: интеграл функция дифференциал
, или .
Заметим, что на части Рк мы не накладываем никаких ограничений, кроме квадрируемости и отсутствия в них общих внутренних точек. Эти ограничения обеспечивают верность равенства:
, (2)
где - площадь всей фигуры Р.
Отметим также, что ограниченность функции f(x,y) в области Р является необходимым условием интегрируемости. Доказательствательство этого утверждения аналогично доказательствательству соответствующей теоремы для интеграла Римона от функции одной переменной.
Как и для функции одной переменной, при построении теории двойного интеграла важную роль играют верхняя и нижняя интегальные суммы.
Пусть функция f(x,y) - ограничена в области Р, а mk и Mk -нижняя и верхняя грани множества значений функции f в частичной области Рк . Суммы , , которые однозначно определяются разбиением Т, будем называть соответственно нижней и верхней суммами Дарбу. Эти суммы имеют те же свойства, что и суммы Дарбу для функции одной переменной; все доказательства остаются всиле, только длины частичных отрезков заменяются площадями частичных областей. Аналагично доказвается критерий интегрируемости функции f(x,y).
Теорема 1. Ограниченная на квадрируемой области функция f(x,y) является интегрируемой по Римону, тогда и только тогда, когда
.
Важным следствием из этого критерия - интегрируемость непрерывных фукций.
Теорема 2. Если функция z=f(x,y) - непрерывная на квадрируемом компакте Р, то она интегрируемая на нём.
Теорема 3. Если функция z=f(x,y) ограничена на квадрируемом компакте Р и непрерывная на нём за исключением тех точек кривых фигуры Р, которые имеют площадь равную нулю, то она интегрируемая на Р.
Свойства двойного интеграла
Так как все приведённые ниже свойства доказываются аналогично соответствующим свойствам определённого интеграла, то мы приведём их без доказательства.
1. Имеет место равенство:
, (3)
где S(P) есть площадь фигуры Р.
Для каждого разбиения Т области Р, используя равенство (2) имем:
.
2. Если площадь квадрируемого компакта Р равна нулю, то .
3. Свойство линейности. Если f и g есть интегрируемые на квадрируемой области Р функции, а и - любые действительные числа, то и функция - интегрируемая на Р, причём:
. (4)
4. Свойство аддитивности. Пусть {Pk}, есть разбиение области Р. Функция f есть интегрируемая на Р тогда и только тогда, когда она интегрируемая на каждой из областей Рк, причём:
. (5)
5. Свойство монотонности. Если f и g есть интегрируемые на области Р функц
, то . (6)
6. Оценка модуля интеграла. Если функция f(x,y) интегрируема на области Р, то функция также интегрируемая на Р и
(7)
7. Оценка двойного интеграла. Если функция f(x,y) интегрируема на областиу Р и , , то
(8)
8. Теорема о среднем. Если функция f(x,y) есть непрерывная на квадрируемой связнной замкнутой области Р, то существует точка такая, что:
. (9)
9. Если f и g есть интегрируемые соответственно на отрезках и функции, то функция интегрируема на прямоугольнике
П== , причём
=. (10)
Прямыми, параллельными координатным осям, разбиваем прямоугольник П на частичные прямоугольники Пij, площади которых равны , где , ; , . Если есть дробление этого разбиения, то при также , . Получаем:
=
.
Вычисление площадей фигур и объёмов тел с помощью двойных интегралов.
Пусть Р -- квадрируемый компакт и пусть Т есть разбиение области Р на квадрируемые части Рк (к=) без общих внутренних точек с дроблением разбиений, тогда имеет место равенство (2).
Теорема 4.(о вычислении площади). Если Р -- квадрируемый компакт, то его площадь можно вычислить по формуле:
(11)
Рассмотрим на Р функцию f(x,y)=1, которая интегрируемая на Р (в силу непрерывности). Тогда
= = .
Пусть на квадрируемй замкнутой области Р задана непрерывная и неотрицательная функция f. Тело ограниченное снизу областьам Р, сверху - графиком функции f, а сбоку - цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси 0z и направляющая которой есть граница области Р, называется цилиндрическим телом.
Теорема 5. Цилиндрическое тело является кубируемым и его объём может быть вычислен по формуле:
. (12)
При доказательстве теоремы будем использовать необходимым и достаточным условием кубируемости:
для того, чтобы тело G было кубируемым необходимо и достаточно, чтобы существовали две последовательности кубируемых тел,?, которые соответственно содержаться в G и содержат G и таких, что
.
Разобьём область Р на квадрируемыя части Рк (к=) без общих внутренних точек . Поскольку на квадрируемом компакте Рк функция f непрерывная, тогда (согласно П теореме Вейерштрасса) она достигает соответственно наименьшего и наибольшего значений на этом компакте: и . Построим на Рк два прямых цилиндра с высотами и соответственно. Поэтому (согласно теореме о вычислении объёма прямого цилиндра) объёмы цилиндров, которые мы построили, будут соответственно равны и . Аналагично рассмотрим каждую область Рк (к=). Таким образом мы построим две последовательности квадрируемых тел и ?, которык имеют следующие объёмы:
V()= (13)
V(?)=. (14)
Отметим, что суммы (13) и (14) есть интегральные суммы непрерывной функции f на компакте Р, поэтому:
.
1.2 Вычисление двойных интегралов
Вычисление двойного интеграла на прямоугольнике.
Теорема 1.Пусть функция f(х,у) есть интегрируемая на прямоугольнике П= и для каждого х существует интеграл Римона
. (1)
Тогда функция интегрируема на отрезке и имеет место равенство:
(2)
Интеграл называюць повторным интегралом и записвают его в виде: .
Замечание 1. Если х и у поменять ролями, т.е. допустить существование интеграла для каждого у, то вместо формулы (2) получаем формулу:
(3)
Следствие 1.Если функция f(х,у) непрерывная в прямоугольнике П=, то имеет место формула:
= (4)
Вычисление двойного интеграла по элементарной фигуре
Если каждая прямая, параллельная оси 0у (0х), проходящая через внутреннюю точку области Р, пересекает её границу только в двух точках, то область Р называется элементарной в отношении оси 0у (0х) или вобластью первого типа (второго типа). Таким образом:
а) область первого типа есть фигура в плоскости х0у, которая задаётся следующим образом: , где и непрерывныя на функции;
б) область второго типа есть фигура в плоскости х0у, которая задаётся следующим образом: , где и -- непрерывные на функции.
Теорема 2. Пусть функция f(х,у) есть интегрируемая на области первого типа и для каждого х существует интеграл . Тогда справедлива формула:
. (5)
Возьмем прямоугольник П= , такой, что РП. Рассмотрим вспомогательную функцию
.
Поскольку функция F(x,y) интегрируемая на области Р и на множестве П\Р, то существует двойной интеграл . Аналагично из существования для каждого х интегралов , и следует, что х существует интеграл: . Таким образом функция F(x,y) соответствует всем условиям теоремы 1, а поэтому . Учитывая, что ,=,
Приходим к формуле (5).
Следствие 2.Если функция f(х,у) непрерывная на области Р , то для яе справедлива формула (2.5).
Следствие 3.Если Р есть область второго типа, т.е. , где и -- непрерывные на функции, то
= (6)
Следствие 4.Если Р есть элементарная в отношении двух координатных осей, то её называют элементарной, и при вычислении двойного интеграла по такой области можно пользоваться обеими формулами (5) и (6). Нужно отметить, что в некоторых случаях вычисление двойного интеграла значительно упрощается, если правильно выбрать порядок интегравання.
Замечание 4. Если область интегрирования не является элементарнй в отношении ни одной из координатных осей, то обычно её можно поделить на конечное число областей, элементарных в отношении одной из координатных осей.
Замечание 5. Если при вычилении двойного интеграла удобно перейти от двойного интеграла по области одного типа к двойному интегралу по области второго типа, то такой переход называют заменой порядка интегрирования в повторном интеграле.
1.3 Замена переменных в двойном интеграле
Рассмотрим две прямоугольные системы координат х0у и u0v.
И пусть в каждой из координатных плоскостей существуют квадрируемыя компакты Р и Q соответственно. Рассмотрим отображение g : QP, которое является вектор-функцией двух переменных, т.е. . Пусть g удовлетворяет следующим условиям:
g - взаимно однозначное отображение Q на Р.
Пусть g i есть непрерывные функции на Р и Q соответственно.
Кампаненты функции g непрерывные вместе со своими частными производными , , , на Q. Матрица: называется матрицей Якоби отображения g, а детерминант этой матрицы I=I(u,v)= - называется якобианом отображения g.
Определение 3.1.Отображение g, квадрируемого компакта Q на квадрируемый компакт Р, удовлетворяющее условиям -, причём якобиан неравен нулю, называют регулярным отображением Q на Р.
Можно доказать, что при регулярном отображении:
1) образом непрерывной кривой является непрерывная кривая;
2) образом области является область;
3) образом границы является граница.
Теорема 1.Пусть функция z=f(х,у) есть непрерывная на квадрируемом компакте Р плоскости х0у. Пусть g есть регулярное отображение квадрируемого компакта Q плоскости u0v на квадрируемы компакт Р плоскости х0у. Тогда имеет место равенство:
. (1)
Отметим, что формула (1) называется формулой замены переменной в двойном интеграле. Замечание 1. Связь между декартовой и полярной системами координат осуществляется с помощью равенств: x = r, y = r. Таким образом, отображение компакта Q из полярной системы координат в компакт Р плоскости х0у осуществляется при помощи вектор-функции g(r,. Якобиан этого отображения:
I=I()=,
поэтому формула (1) имеет вид:
(2)
Замечание 2.Очевидно, что площадь области Р в соответствии с равенством (11) §1 в полярных координатах вычисляется по формуле:
(3)
1.4 Тройные интегралы и их свойства
Определение тройного интеграла и его свойства
Пусть R есть ограниченная замкнутая кубируемая область, на которой определена функция , а Т - разбиение области Е на частичные кубируемые области Ек (к=) без общих внутренних точек, причём . Диаметром области Ек называется число , где - расстояние между точками из области Ек . Величину будем называть дроблением разбиений Т. В каждой области Ек выберем произвольным образом точки . Сумма , где -- объём частичной области Ек, называется интегральной суммой функции по области Е. Значение интегральной суммы зависит от разбиений Т области Е на частичные области и от способа выбора точек .
Определение 5.1.Если существует конечный предел I интегральных сумм при :
,
который не зависит ни от разбиений Т, ни от выбора точек , то функцию f называют интегрируемой в области Е, а число I - тройным интегралом от функции f по области Е и обозначают или
.
Также как и для интеграла Римона, двойного интеграла Римона, имеет место неабходимое условие интегрируемости: если функция f интегрируемая на Е, то она ограниченая на Е. Поэтому предел I может существовать только для ограниченной функции. Как и для двойного интеграла, вводятся нижние и верхние суммы Дарбу и соответствующий критерий интегрируемости функции, при помощи которого нетрудно доказать интегрируемость непрерывной функции: если функция f непрерывная на Е, то она интегрируемая на Е. Можно также доказать и более общую теорему:
Теорема 1. Если функция f ограничена на Е и непрерывна на Е за исключением только тех точек области, которые имеют нулевой объём, то она интегрируемая на Е.
Все свойства двойных интегралов справедливы и для тройных интегралов, поэтому, не доказывая, перечислим их.
1. Тройной интеграл по телу нулевого объёма равен нулю.
2. Имеет место выражение , где V(E) есть объём тела Е.
3. Если функции f и g есть интегрируемые на кубируемой области Е, а и любые действительные числа, то и функция интегрируемая на Е, причём:
=+.
4. Если множество {Ek},(к=), -- разбиений области Е, то для интегрируемости функции f на Е необходимо и достаточно её интегрируемость на каждой из областей Ek , причём
.
5. Если f и g есть интегрируемые на области Е функции и , то .
В частности, если ,то .
6. Если функция интегрируемые на области Е, то функция также интегрируемая на Е и .
7. Если функция интегрируемыя на области Е и , , то
8. Если функция непрерывная на кубируемой замкнутой области Е, то существует точка такая, что: =.
9. Если g , , интегрируемые соответственно на отрезках и и функции, то функция интегрируемая на параллелепипеде Р=, причём
=.
Геометрический смысл тройного интеграла
Пусть в кубируемой области Е задана функция =1, тогда
=.
Таким образом, мы получили, что тройной интеграл по области Е есть объём тела Е.
Вычисление тройного интеграла.
Как и для двойного интеграла, вычисление тройного интеграла сводится к вычислению повторного интеграла.
Если каждая прямая, параллельная оси 0z, проходящая через внутреннюю точку области Е, перасякает её границу только в двух точках, то область Е называется элементарной относительно оси 0z.
Теорема 2.Если функция непрерывная на параллелепипеде
Р= , то
=. (1)
Теорема 3.Если функция непрерывная на элементарным относительно оси 0z области Е=,
где замкнутая ограниченная область из R2, а функции ,-- непрерывные на области , то
=, (2)
где есть внутренний интеграл.
Доказательство этих теорем аналагично доказательству теорем для двойного интеграла.
Следствие 1.Если область из теоремы 3. элементарны относительно оси 0у, т.е. , то, в соответствии с формулой (5) §2, равенство (2) имеет вид:
=. (3)
1.5 Замена переменной в тройном интеграле
Пусть функция есть непрерывная на ограниченым области Е.
Пусть преобразование , , отображает область Е взаимно однозначно на область G в пространства с переменными u,v,w, причём обратное отображение области G на область Е осуществляеется преобразованием , , . Функции , , -- непрерывные вместе с частными производными, а якобиан на области G неравен нулю:
.
Рассуждая аналогично тому, как и при выводе формулы замены переменных в двойном интеграле, получаем формулу замены переменных в тройном интеграле:
=.
Замечание 1.Рассмотренное отображение называется регулярным. Можно доказать, что при регулярном отображении образом гладкой поверхности является гладкая поверхность; образом границы - граница; образом области является область, а также имеет место следующая теорема.
Теорема 1.Если функция f непрерывная на теле ЕOxyz и = -- регулярное отображение тела Ouvw на тело Е, где тела Е и G -- замкнутые кубируемые, то имеет место равенство (1) §5, которое называют формулой замены переменных в тройном интеграле.
Тройка чисел однозначно характеризует положение точки в пространстве 0xyz и называется кривалинейными координатами этой точки. Поверхности в пространстве 0xyz, определяемые равенствами v=const, u=const, w=const, называются координатными поверхностями. Через каждую точку области Е проходит по одной поверхности из каждого семейства координатных поверхностей.
Рассмотрим два частных случая кривалинейных координат в пространстве R3, которые широко используются при вычислении тройных интегралов методом замены переменных.
Цилиндрические координаты
Пусть точека М в прямоугольной декартовай системе координат 0xyz имеет координаты . Задавая проекцию точки М на плоскость при помощью полярных координат r,, положение точки М можно определить с помощью трёх чисел , которые называт цилиндрическими координатами точки М. Если полярная ось совпадает с положительным направлением оси 0х, то формулы:
, , z=r, , , (2)
задают связь между цилиндрическими и декартовыми координатами.
Координатной поверхностью в цилиндрической системе координат являются: цилиндрические поверхности r=const, полуплоскости =const, которая проходит через ось 0z, и плоскость z=const, параллельная х0у.
Пусть система координат отображается на систему координат 0xyz по формулам (2), т.е. , тогда якобиан этогоотображения:
.
Замечание 2.Если область Е в пространстве 0xyz можно задать в цилиндрических координатах неравенствами , , то тройной интеграл сводится к повторному интегралу
= (3)
Сферические координаты
Пусть точка М(x,y,z) в прямоугольной системе координат 0xyz знаходится на расстоянии от начала координат О. Обозначим через угол между положительным направлением оси 0z и вектором . Пусть есть полярный угол проекции точки М на плоскость х0у. Тогда положение точки М можно задать с помощью трёх чисел , которые называют сферическими координатами точки М. Сферические координаты связаны с декартовыми следующими формулами:
,
(4).
Координатными поверхностями в сферических координатах являются: сфера , полуплоскость , которая проходит через ось 0z, и коническая поверхность с осью 0z.
Найдём якобиан преобразования (5):
.
На основании равенства (1) § 3 выводим формулу замены переменных в сферических координатах:
= . (5)
Замечание 3.Если область Е в пространстве 0xyz можно задать в сферических координатах неравенствами , то тройной интеграл (5) сводится к повторному интегралу
= (6)
1.6 Приложения двойного и тройного интегралов
Площадь поверхности
Пусть на квадрируемой области Р определена непрерывная функция f(x,y), которая имеет в этой области непрерывные частные производные . График этой функции - множество точек П=. Рассмотрим задачу вычиления площади гладкой поверхности. называется гладкой поверхностью. Для этой цели сделаем разбиение Т области Р на частичные области Рк, неимеющих общих внутренних точек, с дроблением разбиений . На каждой частичной области Рк выберем произвольную точку . Точке на поверхности соответствует точка . Через точку проведём касательную плоскость к поверхности, уравнение которой имеет вид:
(1).
Построим цилиндр с образующей, параллельной оси 0z, направляющей которого будет граница области Рк.
Этот цилиндр вырезает на касательной плоскости фигуру . Рассмотрим сумму площадей S( всех фигур . Предел этой суммы, при дроблении разбиений , называется площадью поверхности , т.е.
, (2)
а поверхность называется квадрируемой.
Если есть угол между касательной плоскостью и плоскостью х0у, то, как известно,
S(=. (3)
В то же время угол равен острому углу между осью 0z и перпендыкуляром к плоскости (1), а поэтому
(4)
Таким образом, с учётом равенств (3) и (4) из формулы (2) получаем:
. (5)
Это и есть формула для вычисления площади поверхности .
Замечание1.Если поверхность задаётся уравнением: , где , или ,где , то соответственно формулы для вычисления площади поверхности принимают вид :
, .
Замечание 2.Отметим, что с помощью формулы (5) можно вычислить площадь S поверхности, которая получается в результате вращения гладкой кривой Г:, вокруг оси 0х по следующей формуле:
(6)
2. Криволинейные интегралы
2.1 Определения и основные свойства криволинейных интегралов
Понятие криволинейного интеграла
Пусть в плоскости ХоУ задана спрямляемая кривая L без точек самопересечения, т.е. кривая, имеющая длину.
Кривая, с заданными на ней началом А и концом В, назывется кривой с заданным направлением (от А до В) : АВ. Кажуть, что ўздоўж кривой АВ задана функция f, каждой точке М(х, у) АВ ставится в соответствие единственное число f(x,y). Пусть вдоль кривой АВ заданы непрерывные функции P(x,y) и Q(x,y). Разделим АВ точками А = А0(х0,у0), А1(х1,у1), А2(х2,у2), ....,Аk-1(хk-1,уk-1),..., Аn(хn,уn) = B.
Обозначим через наибольшую из длин частичных дуг Аk-1,Аk кривой АВ, (k=1,n). На частичной дуге Аk-1,Аk выберем точку Мk(k,k). Спроектируем Аk-1,Аk на оси координат.
Составим интегральные суммы:
х = , (1)
у = , (2)
Определение 1. Число Ix ( Iy) назывется пределом суммы (1) ((2)) при , если
> 0 > 0, что при любом делении АВ на частичные дуги и любом выборе точек Мk(k,k) из условия < неравенство ()
Определение 2. Если существует Ix ( Iy) суммы (1) ((2))при , то он назывется криволинейным интегралом функции P(x,y) ( Q(x,y)) по координате х (по координате у) и обозначается: Ix = (Iу = ), сумма пределов Ix + Ix = + = назывется криволинейным интегралом, а выражение P(x,y)dx + Q(x,y)dy - дифференциальной формой.
Свойства криволинейного интеграла
1. = .
2. Если АВ разбить точкой С АВ на 2 дуги, то
= +
(свойство аддитивности).
3. Если 1) хk = 0, то = 0; 2) yk = 0, то = 0.
Это происходит, если АВ- отрезок прямой соответствующей оси.
4. Криволинейный интеграл по кривой АВА равен 0.
Определение 3. Если начало кривой совпадает с её концом: А = В, то АВ назывется замкнутым контуром l и криволинейный интеграл по замкнутому контуру обозначается .
Замечание 1.
5. Интеграл по замкнутому контуру не зависит от выбора начальной точки.
6. Если область D, ограниченную замкнутым контуром l , разбить на 2 области D1 и D2 , ограниченные контурами l1 и l2 , то .
Существование и вычисление криволинейного интеграла
Пусть кривая АВ задана параметрически уравнениями
t [,] , где параметру соответствует точка А, - точка В, функции и - непрерывно - дифференцируемые на [,]. Пусть на АВ определены непрерывные функции P(x,y) и Q(x,y). Тогда криволинейный интеграл по замкнутому контуру существует и вычисляется по формуле:
=
Если кривая АВ задана в декартовой систэме координат, то криволинейный интеграл по замкнутому контуру вычисляется переходом к определённому интегралу.
2.2 Формула Остроградского - Грина
Эта формула устанавливает связь между криволинейным интегралом по замкнутому контуры С и двойным интегралом по области, ограниченной этим контуром.
Определение 1. Область D называется простой областью, если её можно разбить на канечное число областей первого типа и независимо от этого на конечное число областей второго типа.
Теорема 1. Пусть в простой области определены функции P(x,y) и Q(x,y) непрерывные вместе со своими частными производными и
Тогда имеет место формула
= . (1)
где С - замкнутый контур области D.
Это формула Остроградского - Грина.
2.3 Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
Определение 1. Говорят, что замкнутая квадрируемая область D односвязна, если любую замкнутую кривую l D можно непрерывно диформировать в точку так, что все точки этой кривой принадлежали бы области D (область без “дырок” - D1), если такое деформирование невозможно, то область назывется многосвязной (с “дырками” - D2).
Определение 2. Если значение криволинейного интеграла по кривой АВ не зависит от вида кривой, соединяющей точки А и В, то говорят, что этот криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования:
.
Теорема 1. Пусть в замкнутой односвязной области D определены непрерывные, вместе со своими частными производными функции P(x,y) и Q(x,y). Тогда следующие 4 условия равносильны (эквивалентны):
1) криволинейный интеграл по замкнутому контуру
= 0 (1),
где С - любой замкнутый контур в D;
2) криволинейный интеграл по замкнутому контуру не зависит от пути интегрирования в области D, т.е.
(2)
3) дифференциальная форма P(x,y)dx + Q(x,y)dy является полным дифференциалом некоторой функции F в области D, т.е., что существует функция F такая, что (х,у) D имеет место равенство
dF(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy; (3)
4) для всех точек (х,у) D будет выполняться следующее условие:
= (4).
Докажем по схеме .
Докажем, что из .
Пусть дано 1), т.е. = 0 по свойству 2 §1, что = 0 (по свойству 1 §1) .
Докажем, что из .
Дано, что кр.инт. не зависит от пути интегрирования, а только от выбора начала и канца пути
=
Рассмотрим функцию
F(x,y) =
Пакажем, что дифференциальная форма P(x,y)dx + Q(x,y)dy является полным дифференциалом функции F(x,y), т.е. , что
P(x,y) = (5 ),
G(x,y)= (6)
Зададим частный прирост
хF (x,y)= F( х + х, у) -F (x,y)= = == =
(по свойству 3 § 1, ВВ* Оу) = = P (c,y)х (по теореме о среднем, с -const), где x<c<x+x. Тогда
=P(x,y)
(всилу непрерывности функции Р). Получили формулу (5). Аналогично получается формула (6).
Докажем, что из .
Дана формула
dF(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy.
Очевидно, что = Р(х,у). Тогда
(7)
=Q(x,y) . (8)
По условию теоремы правые части равенств (7) и (8) непрерывные функции, то по теореме о равенстве смешанных производных будут равны и левые части, т.е.., что
=
Докажем, что из 41.
Выберем любой замкнутый контур из области D, который ограничивает область D1.
Функции P и Q удовлетворяют условиям Остроградского-Грина:
= . (9)
В силу равенства (4) в левой части (9) интеграл равен 0, а это значит, что и правая часть равенства равна
0 = 0.
Замечание 1. Теорема 1. может быть сформулировано в виде трёх самостоятельных теорем
Теорема 1*. Для того, чтобы в односвязной квадрируемой области D крив.инт. не зависил от пути интегрирования чтобы выполнялось условие (.1), т.е.
= 0 С D.
Теорема 2*. Для того, чтобы в односвязной квадрируемой области D крив.инт. не зависил от пути интегрирования чтобы выполнялось условие (3):
дифференциальная форма P(x,y)dx + Q(x,y)dy является полным дифференциалом некоторой функции F в области D.
Теорема 3*. Для того, чтобы в односвязной квадрируемой области D крив.инт. не зависил от пути интегрирования чтобы выполнялось условие (4):
= .
Замечание 2. В теореме2* область D может быть и многосвязной.
2.4 Восстановление функции по её полному дифференциалу
Если функции P(x,y) и Q(x,y) непрерывные вместе со своими частными производными и в замкнутой квадрируемой, односвязнойобласти D и = , то , как следует из теоремы 1, дифференциальная форма P(x,y)dx + Q(x,y)dy= dF(x,y)- полный дифференциал функции F(x,y), которую можно найти с помощью криволинейного интеграла, независящего от пути интегрирования:
I способ
Выберем за путь интегрирования ломанную АСВ.
Тогда
F(x,y)== =
ІІ способ
Пусть выполняется равенство
P(x,y)dx + Q(x,y)dy= dF(x,y).
Для функции адной переменной известно, что если
df(x)= f'(x)dx , то f(x) = або f(x)= . (1)
Поскольку = Р(х,у), то всилу (1)
F(x,y)= , (2)
где (у) - const, независящая от х.
Продифференцируем (2) по переменной у:
= +(у), (3)
= Q(x,y) (4)
Приравняем правые части равенств (3) и (4) и найдём
(у )= Q(x,y )- , (5)
а потом и (у ) по формуле (1). Полученное выражение для (у ) падставим в (3).
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Определение криволинейного интеграла по координатам, его основные свойства и вычисление. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Вычисление площадей фигур с помощью двойного интеграла. Использование формулы Грина.
контрольная работа [257,4 K], добавлен 23.02.2011Алгоритм вычисления интегральной суммы для функции нескольких переменных по кривой АВ. Определение понятия криволинейного интеграла второго рода. Представление суммы интегралов двух функций вдоль кривой АВ как криволинейного интеграла общего вида.
презентация [69,4 K], добавлен 17.09.2013Вычисление двойного интеграла в прямоугольных координатах. Замена переменных в двойном интеграле. Аналог формул прямоугольников и формулы трапеции. Теорема существования двойного интеграла, его геометрический и физический смысл и основные свойства.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 13.02.2013Непосредственное (элементарное) интегрирование, вычисление интегралов с помощью основных свойств неопределенного интеграла и таблицы интегралов. Метод замены переменной (метод подстановки). Интегрирование по частям, определение точности интегралов.
презентация [117,8 K], добавлен 18.09.2013Понятие функции нескольких переменных. Аргументы, частное значение и область применения функции. Рассмотрение функции двух и трех переменных. Предел функции нескольких переменных, теорема. Главная сущность непрерывности функции нескольких переменных.
реферат [86,3 K], добавлен 30.10.2010Алгоритм вычисления интегральной суммы для функции нескольких переменных f(x, y) по плоской кривой АВ. Ознакомление с понятием криволинейного интеграла первого рода. Представление формулы расчета криволинейного интеграла по пространственной кривой.
презентация [306,9 K], добавлен 17.09.2013Поиск общего интеграла дифференциального уравнения. Расстановка пределов интегрирования. Координаты вершины параболы. Объем тела, ограниченного поверхностями. Вычисление криволинейного интеграла. Полный дифференциал функции. Вычисление дуги цепной линии.
контрольная работа [298,1 K], добавлен 28.03.2014Особенности неопределенного интеграла. Методы интегрирования (Замена переменной. Интегрирование по частям). Интегрирование рациональных выражений. Интегрирование рациональных дробей. Метод Остроградского. Интегрирование тригонометрических функций.
лабораторная работа [1,7 M], добавлен 05.07.2010Определение двойного интеграла, его геометрический смысл, свойства, область интегрирования. Условия существования двойного интеграла, его сведения к повторному; формула преобразования при замене переменных, геометрические и физические приложения.
презентация [1,5 M], добавлен 18.03.2014Понятия зависимой, независимой переменных, области определения функции. Примеры нахождения области функции. Примеры функций нескольких переменных: линейная, квадратическая, функция Кобба-Дугласа. Построение графика и линии уровня функции двух переменных.
презентация [104,8 K], добавлен 17.09.2013Вычисление интеграла, выполнение интегрирования по частям. Применение метода неопределенных коэффициентов, приведение уравнения к системе. Введение вспомогательных функций в процессе поиска решения уравнения и вычисления интеграла, разделение переменных.
контрольная работа [617,2 K], добавлен 08.07.2011Интеграл по кривой, заданной уравнением y=y(x). Вычисление криволинейного интеграла. Кривая от точки А к В при изменении параметра. Непрерывные функции со своими производными. Отрезок параболы, заключенный между точками. Решение разными методами.
презентация [44,4 K], добавлен 17.09.2013Определение предела последовательности. Понятие производной и правила дифференцирования. Теоремы Роля, Лангража, правило Лапиталя. Исследования графиков функций. Таблица неопределенных и вычисление определенных интегралов. Функции нескольких переменных.
презентация [917,8 K], добавлен 17.03.2010Понятие двойного интеграла, условия его существования, свойства и методы вычисления: сведение двойного интеграла к повторному для прямоугольной и криволинейной областей; двойной интеграл в полярных координатах; замена переменных; вычисление объемов тел.
контрольная работа [321,9 K], добавлен 21.07.2013Понятие интеграла. Приложения двойных интегралов к задачам механики: масса плоской пластинки переменной плотности; статические моменты и центр тяжести пластинки; моменты инерции пластинки. Вычисление площадей и объёмов с помощью двойных интегралов.
реферат [508,3 K], добавлен 16.06.2014Определение определенного интеграла, правила вычисления площадей поверхностей и объемов тел с помощью двойных и тройных интегралов. Понятие и виды дифференциальных уравнений, способы их решения. Действия над комплексными числами, понятие и свойства рядов.
краткое изложение [145,1 K], добавлен 25.12.2010Выбор точных методов численного интегрирования при наибольшем количестве разбиений. Вычисление интеграла аналитически, методом средних прямоугольников, трапеций, методом Симпсона. Вычисление интеграла методом Гаусса: двухточечная и трехточечная схема.
курсовая работа [366,2 K], добавлен 25.12.2012Общие свойства эллиптических интегралов и эллиптических функций. Параллелограммы периодов, основные теоремы. Эллиптические функции второго порядка. Вычисление длины дуги эллипса, эллиптические координаты, сумма вычетов эллиптической функции.
курсовая работа [289,0 K], добавлен 26.04.2011Вычисление пределов гиперболических функций. Дифференцирование сложной функции. Разложение гиперболических функций по формуле Тейлора. Свойства неопределенного интеграла, интегрирование функций. Гиперболические функции комплексного переменного.
дипломная работа [2,8 M], добавлен 11.01.2011Понятие функции двух и более переменных, ее предел и непрерывность. Частные производные первого и высших порядков. Определение полного дифференциала. Необходимые и достаточные условия существования экстремума и его нахождение на условном множестве.
реферат [145,4 K], добавлен 03.08.2010
