Теорія геометричних перетворень

Размещено на http://www.allbest.ru/

Зміст

Вступ

Розділ I. Методика вивчення геометричних перетворень

1.1 Виникнення теорії геометричних перетворень

1.2 Методика вивчення рухів

1.3 Методика вивчення перетвореннь подібності

1.4 Метод геометричних перетворень

Вступ

геометричний перетворення рух подібність

Актуальність дослідження. Стрімкий розвиток інформаційних технологій спричинює зміни в змісті та організації праці, у вимогах до рівня сформованості особистісних якостей випускників школи, які повинні критично мислити, мати системні знання, володіти навичками співпраці в команді, управляти динамічними процесами. Молода генерація людей має бути здатною забезпечити високий рівень конструкторських розробок та технологій, створити надійне наукове підґрунтя для розв'язування актуальних проблем економіки, охорони довкілля тощо. Впровадження сучасних інформаційно-комунікаційних технологій навчання (ІКТН) є пріоритетним напрямком розвитку освіти, тому сучасна комп'ютерна освіта має стати складовою частиною становлення особистості, дати учневі внутрішній імпульс для розвитку.

Мета дослідження полягає в теоретичній розробці та експериментальному апробуванні окремих компонентів науково обґрунтованої комп'ютерно-орієнтованої методичної системи навчання при вивчені теми «Геометричні перетворення»..

Об'єкт дослідження - навчальна діяльність учнів при вивченні шкільного курсу геометрії в умовах систематичного використання інформаційно-комунікаційних технологій навчання.

Предмет дослідження - комп'ютерно-орієнтована методична система при вивчення теми «Геометричні перетворення».

Для досягнення мети дослідження були поставлені такі завдання:

аналіз науково-практичної, методичної літератури та різних інформаційних джерел з питань визначення інформаційних технологій, їх ролі та застосування на заняттях з геометрії;

аналіз науково-практичної, методичної літератури по темі «Геометричні перетворення»...

вивчення способів організації діяльності учнів на уроках з геометрії з використанням інформаційних технологій;

Розробити методичні рекомендації щодо використання конкретних ППЗ у навчальному процесі.

Розділ I. Методика вивчення геометричних перетворень

1.1 Виникнення теорії геометричних перетворень

Ідея перетворень є однією з провідних ідей сучасної математики. За її допомогою з успіхом доводять складні твердження з різних розділів геометрії, які виходять далеко за межі шкільного курсу. За допомогою геометричних перетворень і комп'ютерної графіки кінематографісти бентежать уяву глядача дивовижними образами і незвичайними перевтіленнями на екрані. Перетворення допомагають художникам правильно будувати композиції картин, а хімікам -- досліджувати структуру кристалів.

Теорія геометричних перетворень виникла у зв'язку з пізнанням законів зображення предметів на площині. Спроби правильно відобразити на плоскому рисунку природні форми предметів здійснювалися задовго до виникнення писемності - люди малювали на стінах печер, скелях, посуді різноманітні рослини, тварин тощо. Тривала практика підказувала митцям, як передати на рисунку зображуваний предмет - так зароджувалося вчення про відповідності й перетворення. Раніше за інші були встановлені й вивчені закони перспективи. Стародавні греки дотримувалися їх уже в V-IVст.до н.е.

В Епоху Відродження з'явилися перші фундаментальні дослідження з теорії перспективи, зокрема роботи видатних художників Леонардо да Вінчі (1452-1519) і Альбрехта Дюрера (1471-1528). Розробником математичних основ теорії проективних перетворень(теорії перспективи) став французький інженер і архітектор Жерар Дезарг (1593-1662).

Альбрехт Дюрер Леонардо да Вінчі Мішель Шаль Гаспар Монж

Завдяки теорії перспективи вдалося досягнути достатньої наочності зображень, однак технічний прогрес вимагав точного відтворення об'єктів із дотриманням розмірів. Багато талановитих учених доклали зусиль до створення теорії взаємно однозначних відповідностей на площині й у просторі. Серед них був, зокрема, французький математик Мішель Шаль (1793-1880), який довів фундаментальну теорему про геометричні перетворення (нині відому як теорема Шаля). Підсумував наукові пошуки в галузі геометричних перетворень французький геометр Гаспар Монж (1746-1818), створивши новий розділ геометрії - нарисну геометрію.

Пізніше на основі розподілу геометричних перетворень на групи було виділено ще декілька розділів геометрії - афінна, проективна та інші. Здобутки вчених у вивченні перетворень склали математичну основу розвитку багатьох галузей сучасної техніки.

У чинній програмі геометричні перетворення залишаються однією з основних змістових ліній курсу геометрії. Програма і підручник [5] передбачають вивчення геометричних перетворень і подібність фігур у курсі планіметрії - в 9 класі.

Основною метою вивчення геометричних перетворень є ознайомлення учнів з різними видами рухів (осьова та центральна симетрія, поворот, паралельне перенесення), подібністю та гомотетією, їхніми властивостями, введення загального поняття про рівність і подібність фігур, застосування окремих видів перетворень, ознак подібності трикутників до розв'язування задач.

Учні мають розуміти суть кожного із зазначених у програмі видів геометричних перетворень, знати їхні властивості, ознаки подібності трикутників і вміти застосовувати їх до розв'язування найпростіших задач.

1.2 Методика вивчення рухів

Система введення понять теми «Рухи» залежить від місця цієї теми в загальній структурі курсу планіметрії, зокрема в підручнику. У підручнику Єршова А.П до понять теми належать 12 нових для учнів понять: перетворення фігури; переміщення(рух); точки, симетричні відносно даної точки і відносно даної прямої;осьова симетрія; центральна симетрія; поворот площини навколо даної точки; поворотна симетрія(або симетрія обертання); співнапрамлені та протилежно напрамлені промені; паралельне перенесення; перенесна симетрія

Однак, не слід, рухи, як геометричне перетворення ототожнювати з механічними рухами, які вивчаються у фізиці. Якщо, механічний рух характеризується траєкторією, швидкістю, часом, то для рухів, про які йдеться в геометрії, ці характеристики не придатні. Наприклад, розглядаючи симетрію відносно точки О, що переводить АВС в А₁В₁С₁. (рис. 1.1) нерозумно говорити, з якою швидкістю і по якій траєкторії рухається при цій симетрії точка А і т. ін. Таким чином, слово «рух» в геометрії має інший зміст, ніж у фізиці. Про це бажано сказати учням.

рис. 1.1.

Поняття перетворення фігури доцільно ввести описово на наочному, інтуїтивному рівні, як це фактично зроблено в підручнику [5].

Поняття руху впроваджується на рівні означення.:

Перетворенням фігури F у фігуру F' називається така відповідність, при якій:

1) кожній точці фігури F відповідає єдина точка фігури F'

2) кожній точці фігури F' відповідає деяка точка фігури F;

3) різним точкам фігури F відповідають різні точки фігури F'.

Ввівши поняття геометричного перетворення і назвавши кілька конкретних прикладів (симетрія відносно точки, симетрія відносно прямої, гомотетія) бажано звернути увагу на те, що при двох перших перетвореннях відстань між точками зберігаться, а при гомотетії ні. Отже є потреба ці два види геометричних перетворень розглядати окремо. Геометричні перетворення фігур, при яких збігається відстань, називаються рухами. Формулюючи це означення, бажано розкрити учням зміст словосполучення «при яких зберігаються відстані». Іноді учні думають, що йдеться про відстань між відповідними точками, а це неправильно. Наприклад, якщо трикутники АВС в А₁В₁С₁ симетричні відносно точки О то відповідними а точки А і А_1, В і В₁, С і С₁, а відстані АА₁, ВВ_1, СС₁ не рівні. Зберігається відстань між парами будь-яких точок даної фігури і парами відповідних їм точок отриманої фігури.

Перетворення симетрії відносно точки можна вводити в такій послідовності. Спочатку дати поняття точки, симетричної відносно центра симетрії О, а потім - фігури, симетричної даній відносно О, нарешті ввести поняття центрально-симетричної фігури. Слід підкреслити різницю між двома останніми поняттями: в одному з них говоритися про про дві фігури, а в іншому - про одну. Тільки уточнивши ці поняття, бажано довести теорему про те, що перетворення симетрії відносно точки є рухом.

Не всі учні правильно зрозуміють стисле формування теореми, тому бажано пояснити про її зміст.

Для доведення теореми скористаємось декатрову системою координат так, щоб центр симетрії збігався з початком координат. Нехай точки A(x₁; y₁) і B(x₂; y₂) належать фігурі F.

Точки A₁ (- x₁; -y₁) і B₁(- x₂; -y₂) -- відповідно їх образи при центральній симетрії відносно початку координат.

Маємо:

,

.

Отже, ми показали, що AB = A₁B₁, тобто центральна симетрія зберігає відстань між точками.

Аналогічно можна довести, що перетворення симетрії відносно прямоїє рух.

Під час вивчення симетрії відносно точки та відносно прямої, для кращого сприйняття та зацікавлення учнів, можна показати презинтацію. «Симетрія в природі, науці та мистецтві».

Під час уведення поняття повороту слід наголосити, що будь-який поворот може бути заданий: центром О, кутом повороту а(0°<а<180°), напрямком повороту або центром повороту і двома відповідними точками X і X'. У цьому разі ефективно скористатися рухомою моделлю (рис. 1.2).

рис. 1.2.

Паралельне перенесення дуже часто застосовують у математиці та інших науках. Зокрема, в алгебрі та математичному аналізі паралельне перенесення і симетрії використовують для побудови графіків складних функцій, у кресленні - для побудови різних фігур. Поняття паралельного перенесення доцільно дати післі введення понять співнапрамлених та протилежно напрамлених променей, навевши при цьому життєві приклади. Перш ніж вводити означення паралельного перенесення, корисно спочатку продемонструвати за допомогою програми GRAN-2D. Це дасть змогу учням виявити істотну властивість паралельного перенесення (це перетворення, за якого точки зміщуються в одному й тому самому напрямку на ту саму відстань). Доцільно, щоб означення пояснив учитель і проілюстрував його прикладами на дошці, або ж застосувавши програмні ресурси.

Після введення основних понять та доведення теореми, про те, що паралельне перенесення є рухом, слід навести формули, за допомогою яких, задається паралельне перенесення у прямокутній системі координат.

Щоб рухи як геометричне перетворення можна були застосовувати, бажано встановити хоч найважливіші їх властивості. У підручнику Єршова А.П. доводиться, що при русі пряма переходить - у пряму, промінь - у промінь, відріз дрізок - у відрізок, будь-яка фігура - у рівну їй фігуру, при русі зберігаються кути між променями, порядок взаємного розміщення точок на прямі.

Зрозуміло, що учні не тільки повинні знати, в що переходить, наприклад пряма при повороті, а й вміти повернути її навколо даної точки на даний кут. Вони повинні вміти розв'язувати задачі на побудову фігур, в які переходить дані фігури при русі. Якщо врахувати, що в школі вивчають чотири види рухів, то виходячи, що учні повинні вміти виконувати 16 відповідних побудов. При цьому повинні варіюватись неістотні умови. Наприклад, слід запропонувати учням побудувати коло, симетричне даному відносно даної прямої, якщо ця пряма: а) лежить поза колом; б) перетинає коло; в) проходить через центр даного кола. Тоді, засовавши програму GRAN-2D, можна показати учням правильні побудови, і, якщо у них виникли запитання, обговорити їх.

Під час опрацювання даної теми є можливість розглянути загальне поняття рівності геометричних фігур. Дві фігури називається рівними, якщо рухом одну з них можна перевести іншу.

При перевірці домашнього завдання, можна скористатися різними програмними засобами, такими як DG, GRAN-2D, GeoGebra або іншими. Це значно спростить роботу вчителя, оскільки привичне зображення малюнків на дошці займає багато часу.

Також, при перевірці та корекції знань вивченої теми, можна застосувати тестову перевірку знань, використовуючи програмне забезпечення. За допомогою цього вчитель зможе об'єктивно оцінити знання учнів і частково підготовити до ЗНО, яке їх чекає після закінчення школи.

1.3 Методика вивчення перетвореннь подібності

Після вивчення чотирьох видів геометричного перетворення які були різновидами переміщення, тобто зберігали відстані між точками, розглядають геометричне перетворення, яке може змінювати відстані між точками, -- перетворення подібності. Поняття подібності для трикутників вже знайоме учням з курсу 8 класу.

Найскладнішим з погляду сприймання учнями і методики вивчення є поняття перетворення подібності. Якщо учні засвоять це поняття, то означення подібних фігур як таких, що переводяться одна в одну пере-творенням подібності, не призведе до труднощів.

Можливі такі методичні варіанти введення поняття перетворення подібності: 1) учитель сам формулює означення та ілюструє його прикладами (абстрактно-дедуктивний метод);

2) учнів спочатку підводять до введення означення на відомих із життєвого досвіду прикладах (конкретно-індуктивний метод).

Наочне уявлення про перетворення подібності дає зображення ділянки місцевості на плані, виконане в масштабі (рис. 1.3). Масштаб у цьому випадку є коефіцієнтом подібності і вказує, у скільки разів реальні відстані між об'єктами відрізняються від відстаней на плані.

Вперше про гомотетію фігур пояснюють учням ще перед ознайомлення з рухами, щоб показати, що існують і такі геометричні перетворення, при яких відстані змінються. Згодом цей конкретний приклад геометричного перетворення слід узагальнити:

Гомотетією з центром О називається таке перетворення фігури F у фігуру F'. унаслідок якого кожна тонка X фігури F переходить у точку X' фігури F' так, що точка X' лежить на промені ОХ і OX' = kOX (k - фіксоване додатне число).(Рис.1.4.)

Рис. 1.3. Рис. 1.4.

Число k називають коефіцієнтом гомотетії, d самі фігури F і F' -- гомотетичними..

В теоретичних курсах розглядають також гомотетії з від'ємними коефіцієнтами, але в загальноосвітній школі обмежуються випадками, коли k>0. Це треба мати на увазі, відповідаючи, наприклад, на такі запитання «Чи правильно, що два ромби з відповідно паралельними сторонами гомотетичні?» Коли дотримуватись шкільного означення, відповідати на запитання слід так: «Правильно, якщо дані ромби не рівні».

Бажано звернути увагу учнів і на те, як змінюються розміри фігур при гомотетіях з різними коефіцієнтами: при k>1 дістають фігури, більші від даних, при k<1 - менші від даних. Зрозуміло, що сказане стосується тільки обмежених фігур, а не таких, як пряма, промінь, півплощина, кут та ін.. При будь-якій гомотетії кожний кут переходить в рівний йому кут.

Щоб геомотетію можна було використовувати для розв'язування задач, слід розглянути найважливіші її властивості, довести, що при гомотетії відрізок переходить у паралельний йому відрізок. Коло - у коло і. д. Треба також запропонувати учням кілька задач на побудову геометричних фігур, на визначення коефіцієнта гомотетії.

Необов'язково обмежуватись тільки многокутниками, колами та іншими геометричними фігурами, які традиційно розглядаються в геометрії. Корисно запропонувати, принаймі сильнішим учням, дослідити, чи гомотетичні графіки функцій і , побудовані на одній координатній площині. Виявляється, гомотетичні графіки функцій і при кожному a>0.

Застосування гомтетії в шкільному курсі геометрії займає особливе місце. За допомагою гомотетіх можна: довести існування подібних фігур і навчити будувати подібні фігури; розв'язувати багато задач на побудову.

Поняття подібності, паралельності, співнапрямленості тощо дозволяють встановити відповідності між певними об'єктами (геометричними фігурами). Такі співвідношення називаються відношенням.

Слід наголосити, що відношення зустрічаються не тільки в геометрії, але в багатьох інших науках і в повсякденному житті. Наприклад, між числами можна встановити відношення «більше», «менше», «дорівнює», між іменниками української мови - «мати однакові закінчення», між людьми - «бути родичем» тощо.

У підручнику [5] наводяться такі властивості: рефлективність,симетричність та транзитивність.

Відношення та їх властивості, що вивчаються в геометрії, мають досить широке узагальнення, а вміння знаходити спільні риси між поняттями і міркуваннями в різних галузях людської діяльності допомагає краще розумітися на кожній із них.

1.4 Метод геометричних перетворень

Геометричні перетворення можна застосовувати не лише опосередковано (тобто для виконання задач, які ґрунтуються на конкретних властивостях різного роду перетворень), а й для розв'язання інших геометричних задач, зокрема до задач на побудову. Таке застосування носить назву носить назву метод геометричних перетворень.

Суть цього методу полягає в розгляді поряд з даними фігурами їхніх образів, отриманих за допомогою певного перетворення.

Залежно від того, яке перетворення застосовується, розрізняють метод симетрії, повороту, паралельного перенесення і подібності (для трикутників він розглядався у 8 класі).

Метод симетрії передбачає заміну даної в умові фігури або її елементів симетричними їм відносно деякої точки або прямої, або ж в задачах на знаходження найменших значень певних величин.

Приклад1. У прямокутному трикутнику медіана, проведена до меншого катета, дорівнює m і утворює з більшим катетом кут 15°. Знайдіть площу трикутника.

Розв'язання

Нехай у трикутнику ABC ?В =90, ВС<АВ, AM=m -медіана. Побудуємо точку М₁, симетричну точці М відносно прямої АВ. Тоді трикутники МАС і М₁АВ рівновеликі, оскільки мають спільну висоту АВ, а М₁В = ВМ = МС за побудовою. Отже

За побудовою трикутник М₁АМ рівнобедрений з бічною стороною m і кутом між бічними сторонами 30°. Таким чином,

Відповідь: .

Метод повороту доцільно використовувати в задачах, у яких задано фігури з рівними сторонами й відомими кутами - орівносторонні й рівнобедрені прямокутні трикутники, квадрати тощо. На практиці для повороту прямої а навколо точки О на даній прямій обирають дві точки і здійснюють їх поворот навколо точки О (рис. 1.5).

рис. 1.5.

Метод паралельного перенесення особливо ефективний у випадках, коли елементи даної фігури (фігур) віддалені один від одного, внаслідок чого важко відобразити на рисунку дані умови. Зближення елементів зручно проводити шляхом паралельного перенесення.

Размещено на Allbest.ru