Расчет логарифмических функций
Вычисление пределов и производных логарифмических функций, применение правила дифференцирования суммы. Построение графика функции, нахождение горизонтальных и наклонных асимптот. Вычисление неопределенных интегралов и дифференциального уравнения.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 19.04.2016 |
| Размер файла | 118,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Задание 1.
Вычислите пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:
а) ; б);
в) ; г).
Решение
а) .
При имеем неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель дроби на х4, получим
.
б) .
При имеем неопределенность вида . Разложим числитель и знаменатель дроби на множители, используя способ группировки.
Получим
в) .
При имеем неопределенность вида . Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю, а также разложим знаменатель на множители.
Получим
г) .
При имеем неопределенность вида . Воспользуемся тригонометрическими формулами, а также первым «замечательным пределом» . Получим
.
Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .
Задание 2.
Найти производные функций:
а) ; б) ; в) .
Решение
а) .
Используя правила дифференцирования суммы, частного, сложной функции и табличные производные, находим
б) .
Используя правило дифференцирования сложной функции и табличные производные, находим
.
в) .
Используя правила дифференцирования частного, сложной функции и табличные производные, находим
Ответ: а) ; б) ;
Задание 3.
Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить ее график:
Решение
1) Функция определена всюду, за исключением точек, в которых знаменатель равняется нулю, т.е. х=-2 и х=0 . Найдем пределы функции слева и справа в этих точках:
Следовательно, прямые х=-2 и х=0 являются вертикальными асимптотами графика функции.
2) Исследуем функцию на четность и нечетность. Поскольку область определения не симметрична относительно начала координат, то функция не является ни четной, ни нечетной. Она общего вида.
Функция непериодическая.
3) Находим критические точки функции, для чего вычисляем первую производную
Первая производная определена и существует на всей области определения функции.
Решаем уравнение y/=0:
Имеем
при функция возрастает;
при функция убывает;
при функция убывает;
при функция возрастает;
при функция убывает.
Таким образом, точка х=-4,09 - точка локального максимума функции:
,
4) Для разыскания точек перегиба находим вторую производную функции
Вторая производная определена и существует на области определения функции.
Приравниваем вторую производную к нулю
.
При график функции выпуклый вверх,
при график функции выпуклый вниз,
при график функции выпуклый вверх,
при график функции выпуклый вниз.
Значит, точка является точкой перегиба графика функции:
.
5) Ищем асимптоты, параллельные оси абсцисс:
.
Значит, горизонтальных асимптот нет.
Ищем наклонные асимптоты:
Значит, наклонная асимптота.
6) График функции пересекает ось абсцисс в точке (1;0).
7) Строим график функции
Задание 4.
Вычислить неопределенные интегралы:
а) ; б) ;
в) ; г) .
Решение
а) .
Преобразуем подынтегральное выражение и воспользуемся табличными интегралами, получим
б) .
Преобразуем подынтегральную функцию, получим:
в) .
Для вычисления данного интеграла используем интегрирование путем введения новой переменной (метод подстановки), которое основано на формуле:
,
где - дифференцируемая функция переменной t.
Таким образом,
г) .
Для вычисления данного интеграла применим формулу интегрирования по частям:
где u=ц(x), v=ш(x) - дифференцируемые функции от х.
Таким образом,
Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .
Задание 5.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:
.
Решение
Графиками заданных функций являются парабола и ось абсцисс. Сделаем чертеж фигуры, ограниченной ими.
Фигура D, ограниченная заданными линиями, является криволинейной трапецией, которую можно задать следующими неравенствами:
.
Находим площадь искомой фигуры:
Ответ:
Задание 6.
Найти .
Находим частные производные функции до получения искомых:
.
Задание 7.
логарифмический функция дифференциальный интеграл
Найти общее решение дифференциального уравнения:
Решение
Разделим обе части уравнения на :
(1)
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 1-го порядка.
Решение ищем в виде
y(x)=U(x)*V(x),
y/=U/V+UV/.
Подставляем у и у/ в уравнение (1):
(2)
Функцию V подберем такую, чтобы выражение в скобках было равно 0, т.е.
Подставляем V(x) в (2):
Таким образом, общее решение уравнения (1), а, значит, и исходного уравнения будет иметь вид:
.
Ответ: .
ЛИТЕРАТУРА
Расчет логарифмических функций
1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов, под ред. проф. Н.Ш. Кремера.- М: Банки и биржи, ЮНИТИ,1998.
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб. для вузов.-Высш.шк.,2000.
3. Подольский В.А., Суходский А.М., Мироненко Е.С. Сборник задач по математике: Учебное пособие - М.:Высш.шк.,1999.
4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1,2 \учебное пособие для вузов\ Мир и образование, 2003.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Изучение способов нахождения пределов функций и их производных. Правило дифференцирования сложных функций. Исследование поведения функции на концах заданных промежутков. Вычисление площади фигуры при помощи интегралов. Решение дифференциальных уравнений.
контрольная работа [75,6 K], добавлен 23.10.2010Вычисление пределов функций, производных функций с построением графика. Вычисление определенных интегралов, площади фигуры, ограниченной графиками функций. Общее решение дифференциального уравнения, его частные решения. Исследование сходимости ряда.
контрольная работа [356,6 K], добавлен 17.07.2008Вычисление и исследование предела и производной функции, построение графиков. Вычисление неопределенных интегралов, площади фигуры, ограниченной графиками функций. Нахождение решения дифференциального уравнения и построение графиков частных решений.
контрольная работа [153,6 K], добавлен 19.01.2010Нахождение производных функций, построение графика функции с помощью методов дифференциального исчисления, нахождение точки пересечения с осями координат. Исследование функции на возрастание и убывание, нахождение интегралов, установка их расходимости.
контрольная работа [130,5 K], добавлен 09.04.2010Условия существования предела в точке. Расчет производных функции, заданной параметрически. Нахождение точки экстремума, промежутков возрастания и убывания функций, выпуклости вверх и вниз. Уравнение наклонной асимптоты. Точка локального максимума.
курсовая работа [836,0 K], добавлен 09.12.2013Вычисление пределов функций. Нахождение производные заданных функций, решение неопределенных интегралов. Исследование функции и построение ее графика. Особенности вычисления площади фигуры, ограниченной линиями с использованием определенного интеграла.
контрольная работа [283,1 K], добавлен 01.03.2011Вычисление предела функции, не используя правило Лопиталя. Нахождение производной функции и построение ее графика. Исследование неопределенных интегралов и выполнение проверки дифференцированием. Вычисление площади фигуры, ограниченной графиками функций.
контрольная работа [317,3 K], добавлен 25.03.2014Полное исследование функции с помощью производных, построение графика функции, нахождение ее наибольшего и наименьшего значения на отрезке. Методика вычисления неопределенных и определенных интегралов. Нахождение общего решения дифференциального уравнения
контрольная работа [133,4 K], добавлен 26.02.2012Исследование функции на четность и периодичность. Нахождение вертикальных, горизонтальных (или наклонных) асимптот, а также экстремумов и интервалов монотонности. Определение интервалов выпуклости и точки перегиба. Построение графика исследуемой функции.
презентация [134,7 K], добавлен 21.09.2013Нахождение неопределенных интегралов (с проверкой дифференцированием). Разложение подынтегральных дробей на простейшие. Вычисление определенных интегралов, представление их в виде приближенного числа. Вычисление площади фигуры, ограниченной параболой.
контрольная работа [123,7 K], добавлен 14.01.2015Нахождение пределов функций. Определение значения производных данных функций в заданной точке. Проведение исследования функций с указанием области определения и точек разрыва, экстремумов и асимптот. Построение графиков функций по полученным данным.
контрольная работа [157,0 K], добавлен 11.03.2015Определение предела последовательности. Понятие производной и правила дифференцирования. Теоремы Роля, Лангража, правило Лапиталя. Исследования графиков функций. Таблица неопределенных и вычисление определенных интегралов. Функции нескольких переменных.
презентация [917,8 K], добавлен 17.03.2010Вычисление первого и второго замечательных пределов, неопределенного и определенного интегралов, площади криволинейной трапеции, координат середин сторон треугольника с заданными вершинами. Определение критических точек и асимптот графика функции.
контрольная работа [138,8 K], добавлен 29.01.2010Вычисление пределов и устранение неопределенности. Поиск производных функций. Вычисление приближенного значения 8.051/3. Определение полного дифференциала функции z=3sin(2x+3y). Формула интегрирования по частям. Решение линейного однородного уравнения.
контрольная работа [439,6 K], добавлен 25.03.2014Методика и основные этапы нахождения производной функции. Исследование методами дифференциального исчисления и построение графика функции. Порядок определения экстремумов функции. Вычисление неопределенных и определенных интегралов заменой переменной.
контрольная работа [84,3 K], добавлен 01.05.2010Нахождение частных производных, градиента функции. Вычисление интеграла, переход от двойного интеграла к последовательному, пределов интегрирования. Общее и частное решение дифференциального уравнения второго порядка. Применение признака Даламбера.
контрольная работа [297,6 K], добавлен 11.05.2013Расчет неопределенных интегралов, проверка результатов дифференцированием. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Нахождение площади фигуры, ограниченной заданной параболой и прямой. Общее решение дифференциального уравнения.
контрольная работа [59,8 K], добавлен 05.03.2011Понятие и назначение интегралов, их классификация и разновидности. Вычисление интегралов от тригонометрических функций: методика, основные этапы, используемые инструменты. Интегралы, зависящие от параметра, их отличительные особенности и вычисление.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 19.09.2011Вычисление интеграла, выполнение интегрирования по частям. Применение метода неопределенных коэффициентов, приведение уравнения к системе. Введение вспомогательных функций в процессе поиска решения уравнения и вычисления интеграла, разделение переменных.
контрольная работа [617,2 K], добавлен 08.07.2011Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Вычисление площади ромба. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители. Нахождение производной функции и асимптот графика. Правила дифференцирования частного произведения и сложной функции.
контрольная работа [158,8 K], добавлен 24.04.2009
