Основы параллельного проектирования

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Иркутской области

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Иркутской области

«Ангарский политехнический техникум»

Реферат

на тему: «Параллельное проектирование»

по дисциплине: Математика

Выполнила: Бобова Юлия

Проверил: Юдина Ю.А.

Ангарск - 2016 год

Содержание

Введение

1. Что такое параллельное проектирование

2. Свойства параллельного проектирования

3. Решение задач с помощью параллельного проектирования

Выводы

Список использованной литературы

Введение

Геометрия, наравне со многими другими разделами математики, дает возможность почувствовать красоту математики вообще и может стать для кого-то началом пути в «большую науку». Кроме того, каждый любитель геометрии имеет шанс открыть нечто новое и пополнить ее сокровищницу собственной драгоценной находкой, ибо геометрия поистине неисчерпаема!

А. Г. Мякишев «Элементы геометрии треугольника»

Геометрия многолика. И одну задачу можно решить большим количеством разных способов. В школе изучается лишь малая часть того, что принято называть геометрией. Моя работа называется «Помогает параллельное проектирование». Работа показывает, что параллельное проектирование позволяет не только строить проекции фигур и пространственных тел, но еще и облегчает решение ряда задач, связанных с нахождением отношений отрезков и нахождения отношения площадей.

В этой работе рассмотрен удивительный способ для решения ряда задач. Способ, не описанный в школьном учебнике. Способ, основанный на свойствах параллельного проектирования таких как: любой треугольник при помощи параллельного проектирования можно перевести в правильный; при параллельном проектировании сохраняются отношения отрезков и площадей фигур.

Работа состоит из двух частей. В первой части работы рассказывается, что же такое параллельное проектирование, формулируются и доказываются некоторые его свойства. Во второй - практической части рассмотрен ряд задач, которые можно решать с помощью параллельного проектирования.

К сожалению, параллельное проектирование очень редко используется. Оно не упоминается в школьной программе до десятого класса, хотя оно могло бы существенно упростить решение некоторых задач по геометрии. К тому же я считаю эту тему очень интересной и стоящей, ведь мы встречаемся с параллельным проектированием каждый день.

Цель: исследование параллельного проектирования и его свойств, а также применение параллельного проектирования при решении задач.

Методы исследования:

1. Изучение теории по параллельному проектированию

2. Доказательство некоторых свойств параллельного проектирования

3. Установление связи между параллельным проектированием и решением задач

4. Выполнение практической части.

1. Что такое параллельное проектирование

Ветреный летний день.

Прижавшиеся к стене

Дерево и его тень.

И тень интересней мне.

Иосиф Бродский. «Сидя в тени»

Пусть - р некоторая плоскость, l - пересекающая ее прямая (рис. 1). Через произвольную точку A, не принадлежащую прямой l, проведем прямую, параллельную прямой l. Точка пересечения этой прямой с плоскостью р называется параллельной проекцией точки A на плоскость р в направлении прямой l. Обозначим ее A'. Если точка A принадлежит прямой l, то параллельной проекцией A на плоскость р считается точка пересечения прямой l с плоскостью р.

математика параллельный проектирование

Таким образом, каждой точке A пространства сопоставляется ее проекция A' на плоскость р. Это соответствие называется параллельным проектированием на плоскость р в направлении прямой l.

Определение: Пусть Ф - некоторая фигура в пространстве. Проекции ее точек на плоскость р образуют фигуру Ф', которая называется параллельной проекцией фигуры Ф на плоскость р в направлении прямой l. Говорят также, что фигура Ф' получена из фигуры Ф параллельным проектированием.

Мы не раз встречались с параллельным проектированием в жизни. Например, наша тень в солнечный день на ровном асфальте есть наша параллельная проекция ( солнечные лучи приближенно можно считать параллельными ввиду большой удалённости Солнца от Земли).

Параллельное проектирование позволяет получать наглядные изображения пространственных (трёхмерных) фигур на (двумерной) плоскости (рис. 4). Дело в том, что параллельное проектирование сохраняет ряд важных черт изображаемой фигуры. Перечислим основные свойства параллельного проектирования в предложении, что направление проектирования не параллельно рассматриваемым прямым и отрезкам (в противном случае их проекциями являются точки.

2. Свойства параллельного проектирования

Свойство 1. Проекция прямой есть прямая, проекция отрезка - отрезок.

Свойство 2. Две параллельные прямые проектируются либо в две параллельные прямые, либо в одну и ту же прямую. Проекции параллельных отрезков лежат либо на параллельных прямых, либо на одной прямой.

Свойство 3. Длины проекций параллельных отрезков или отрезков лежащих на одной прямой, пропорциональны длинам этих отрезков

Доказательство свойства №3. Пусть АВ и СD - отрезки не параллельные направлению проектирования l ; А`, B`, C`, D` - проекции точек А, В, С, D соответственно на плоскость а в направлении l . Если А` B` и C` D` - один и тот же отрезок, то АВ = СD и доказываемое утверждение очевидно. Пусть А` B` и C`D`различны. Рассмотрим сначала случай, когда проектируемые отрезки лежат на одной прямой (рис. 10). Тогда их проекции лежат на линии пересечения плоскости а и плоскости, проходящей через прямую АВ параллельно направлению проектирования l. Применяя известную теорему о пропорциональных отрезках, получим, что АВ :CD = A` B` : C` D`.

Теперь рассмотрим случай, когда отрезки АВ и СD параллельны, а их проекции различны (рис. 11). Возьмём на продолжении отрезка СD за точку С точку Е такую, что СЕ = АВ. Так как (СЕ) ll (AB), но четырёхугольник АВЕС - параллелограмм в плоскости, проходящей через прямые АВ и СD ( по признаку параллелограмма), следовательно, (АС) ll (BE). Пусть Е` - проекция точки Е на плоскость а в направлении l. По свойству №2 (A` C`) ll (B` E`) и (A` B`) ll (C` E`) ( так как (АС) ll (BE) и (АВ) ll (CE)), но (A`B`) ll (C`D`), значит, Е` принадлежит (C`D`) и, так как A`B`E`C` - параллелограмм, А`B` = C`E`. Итак равенство АВ : СD = A`B` : C`D` равносильно равенству СЕ : ЕD = A`B` : C`D`, тем самым мы свели рассматриваемый случай к разработанному выше.

Свойство 4. При параллельном проектировании сохраняется отношения площадей двух любых фигур, если направление проектирования не параллельно плоскостям фигур.

Свойство 5. Любой треугольник можно рассматривать как параллельную проекцию данного треугольника с точностью до подобия.

Доказательство свойства 5: Докажем, что в общем случае треугольник любой формы может служить параллельной проекцией равностороннего треугольника.

Действительно, пусть дан произвольный треугольник ABC в плоскости р Построим на одной из его сторон. например, AC равносторонний треугольник AB1C так, чтобы точка B1 не принадлежала плоскости р. Обозначим через l прямую, проходящую через точки B1 и B. Тогда ясно, что треугольник ABC является параллельной проекцией треугольника AB1C на плоскость р в направлении прямой l.

3. Решение задач с использованием параллельного проектирования

Задача №1. Доказать, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции и точку пересечения продолжений ее боковых сторон, делит основания трапеции пополам.

Решение: Изобразим на плоскости в (рис. 11) и мысленно параллельно спроектируем его на плоскость б так, чтобы треугольник AMD перешел в A1M1D1 равнобедренный треугольник (рис.12).

Из свойств параллельного проектирования следует, что проекцией трапеции ABCD является трапеция A1B1C1D1, то есть B1C1 // A1D1. Далее, так как треугольник A1M1D1 равнобедренный, то его высота M1H1 совпадает с медианой и является осью симметрии треугольника.

При симметрии относительно прямой M1H1 точка A1 переходит в точку D1, поэтому прямая A1M1 переходит в прямую D1M1 , а прямая B1C1 переходит в себя, так как она перпендикулярна оси симметрии.

Следовательно, точка C1 переходит в точку B1, прямая A1C1 переходит в прямую B1D1, а поэтому N1 точка пересечения прямых A1C1 и B1D1 находится на оси симметрии, то есть на прямой M1H1.

В результате доказано, что для трапеции точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой. Поэтому при обратном параллельном проектировании трапеции A1B1C1D1 в трапецию ABCD точки M1, P1, N1, H1 , лежащие на одной прямой, проектируются соответственно в точку M пересечения прямых AB и CD, в точку P - середину основания BC, в точку N пересечения диагоналей AC и BD и в точку H - середину основания AD, причем точки M, P, N, H также лежат на одной прямой.

Что и требовалось доказать.

Выводы

1. Анализ теоретического материала по параллельному проектированию позволил узнать свойства и область применения параллельного проектирования.

2. Решение практических задач показало, что многие задачи, даже очень сложные можно решить с помощью параллельного проектирования, сэкономив при этом и время, и силы.

3. Я узнала много нового и интересного, работая над данной темой. Многие задачи оказываются не такими трудными, как казалось бы. Это действительно занимательно и увлекательно. Так же эта прекрасная тема пригодится мне в будущем, при изучении стереометрии в старших классах.

Список литературы

1) А. Ю. Калинин, Д. А. Терешин. «Стереометрия 10». МФТИ 1996.

2) А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. «Неожиданный шаг или сто тринадцать красивых задач». Киев, Агрофирма «Александрия» 1993.

Размещено на Allbest.ru