Случайные величины
Вычисление наивероятнейшей частоты события. Функция распределения случайной величины, определение её математического ожидания, дисперсии и моды. Вероятность наступления противоположного события. Функция распределения непрерывной случайной величины.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 04.04.2016 |
| Размер файла | 164,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Расчетно-графическая работа
по дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика
Тема: «Случайные величины»
Задача 1. В каждом из 11 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,36. Вычислить все вероятности рk, k = 0, 1, 2, ..., 11, где k частота события А. Построить график вероятностей рk. Найти наивероятнейшую частоту
Решение:
q=1- p=0,64
Вычисляем значение рk по формуле Бернулли
р0=
p1=
p2=
p3=
p4=
p5=
p6=
p7=
p8=
p9=
p10=
p11=
Найдем наивероятнейшую частоту по заданным условиям:
np - q ? k ? np + p,
вероятность случайный непрерывный
Значит, наивероятнейшая частота k = 4 и, было получено ранее, значение р4 является максимальным.
Задача 2. В каждом из 730 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,47. Найти вероятность того, что событие А происходит:
а) точно 300 раз;
б) меньше чем 300 и больше чем 254 раз;
в) больше чем 300 раз
Решение:
а) Используем локальную теорему Лапласа . Находим:
Значение функции ?(x) найдем из таблицы:
(3,2) =0,0024, P730(300) =0,0024 / 13,48 =0,000178 .
б) Используем интегральную теорему Лапласа.
Находим:
Значения функции Ф(х) найдем из таблицы:
Р730(254<k <300) = Ф (-3,2) - Ф (-6,6) = -Ф (3,2) + Ф (6,6) =-0,9993+ 1 = 0,0007.
в) Используем интегральную теорему Лапласа.
Находим:
Р730(300<k) = Р730(300<k <730) = Ф (28,7) -- Ф (-3,2) = 1 -1+ 0,9993= 0,9993.
Задача 3. В каждом из 548 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,46. Найти вероятность того, что событие А происходит:
а) точно 268 раз;
б) точно 238 раз;
в) меньше чем 294 и больше чем234раз;
г) меньше чем 283 раз
Решение: При решении этой задачи используем теоремы Лапласа: локальную в случаях, а) и б) и интегральную для случаев в) и г).
Имеем:
а) ; ?(1,36) =0,1582
Р548 (268) =0,1582/ 11,68=0,0135.
; ?(-1,21) =0,1919
Р548 (238) =0,1919/ 11,68=0,0164.
в) ;
Р548(234<k<294) = Ф(3,59) - Ф(-1,58) = Ф(3,59) - 1 + Ф(1,58) =0,9998 - 1 + 0,9429 = 0,9427 .
г) ;
Р548(k<283) =Р548(0<k<283)= Ф(2,65) - Ф(-21,58)=Ф(2,65) - 1 + Ф(21,58) = 0,996 - 1+ 1 = 0,996.
Задача 4. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 1/800. Найти вероятность того, что среди 5600 соединений имеет место:
а) точно 2 неправильных соединений;
б) меньше чем 3 неправильных соединений; в) больше чем 8 неправильных соединений
Решение: Здесь вероятность события мала, поэтому используем формулу Пуассона.
Получаем:
? = 5600*1/800 =7
а) Из таблиц определяем Р5600(2) =0,022341 .
б) Имеем: ?= 7.
Р5600(k<3) = Р5600(0) + Р5600(1) + Р5600(2) = 0,000912 + 0,006383 + 0,022341= 0,029636.
в) Имеем: ?= 7.
Эту задачу можно решить проще - найти вероятность противоположного события, так как в этом случае нужно вычислить меньше слагаемых. Имеем
Р5600(k>8) = 1 - Р5600(k ? 8) = 1 - Р5600(0) - Р5600(1) - Р5600(2)-Р5600(3) -Р5600(4) -Р5600(5)- Р5600(6)- -Р5600(7)-Р5600(8) = 1-0,000912-0,006383-0,022341-0,052129-0,091226-0,127717-0,149003-0,130377-0,101405 =0,318507 .
Задача 5. В каждом из 540 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,79. Найти вероятность того, что относительная частота k/540 этого события отличается по абсолютной величине от вероятности 0,79 не больше чем на 0,0049 (на 0,0098)
Решение:
P540(|k/540-0,79| < 0,0049)=2Ф(0,28)-1=2*0,6103-1=0,2206
P540(|k/540-0,79| < 0,0098)= 2Ф(0,56)-1=2*0,7123-1=0,4246
Задача 6. Случайная величина Х задана рядом распределения
|
Х |
9 |
13 |
17 |
25 |
|
|
Р |
0,11 |
0,14 |
0,5 |
0,25 |
Найти функцию распределения F(x) случайной величины Х и построить ее график. Вычислить для Х ее математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и моду Мо
Решение:
Находим функцию распределения:
Найдем математическое ожидание
М(Х)=9*0,11+13*0,14+17*0,5+25*0,25=17,56
Найдем дисперсию:
(Х2)=81*0,11+169*0,14+289*0,5+625*0,25=333,32
D(X)=333,32-308,3536=24,97
Моду Mo найдем по максимальной вероятности: Mo=17.
Задача 7. Случайная величина Х задана функцией плотности вероятности
0, x<0
f(x)= x/128, 0 ? x ? 16
0, x>16
Найти функцию распределения F(x) случайной величины Х. Построить график функции f(x) и F(x). Вычислить для Х ее математическое ожидание M(Х), дисперсию D(X), моду Мо и медиану Ме
Решение:
Функцию распределения F(х) непрерывной случайной величины найдем по формуле:
, 0< x ?16
Поэтому
0, x<0
F(x)= x2 /256, 0 ? x ? 16
1, x>16
Находим математическое ожидание:
М(Х)=
Найдем дисперсию:
M(X2)=
D(X)=128-113,85=14,15
Для нахождения медианы Ме нужно решить уравнение х2/ 256= 1/ 2, или х2 =128. Случайная величина определена только на интервале [0, 16], значит, Ме = 11,31.
Задача 8. Случайная величина Х задана функцией распределения
0, x<0
F(x)= x/9, 0 ? x ? 9
1, x>9
Найти функцию плотности вероятности f(x) случайной величины Х. Построить графики функций f(x) и F(x). Вычислить для Х ее математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х), моду Мо и медиану Ме
Решение: Функцию плотности вероятности найдем как производную от F(x):
0, x<0
f(x)= 1/9, 0 ? x ? 9
0, x>9
Находим математическое ожидание:
М(Х)=
Найдем дисперсию:
M(X2)=
D(X)=27-20,25=6,75
Для нахождения медианы Ме нужно решить уравнение х/9= 1/ 2, или х2 =4,5.
Случайная величина определена только на интервале [0, 9], значит, Ме = =2,12.
Мода принимает значение в интервале [0, 9]
Задача 9. Задана случайная величина Х € N(6,8). Найти вероятность того, что эта случайная величина принимает значение:
а) в интервале [4,10];
б) меньшее 4;
в) большее 10;
г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не больше чем на 2
Решение:
Для пунктов а, б, в воспользуемся формулой
а) Р(4 ? Х?10)=Ф() - Ф() =Ф(2)-Ф(-1)=Ф(2)-1+Ф(1)=0,9772-1+0,8413=0,8185
б) Р(-? ? Х?4)=Ф() - Ф() =Ф(-1)-Ф(-?)=1-0,8413-0=0,1587
в) Р(10 ? Х?? )=Ф()- Ф() =Ф(?) - Ф(2)=1-0,9772=0,0288
г) Для решения воспользуемся формулой
P(|X-6| ? 2)=2*Ф(1)-1=2*0,8413-1=0,6826
Задача 10. Задана случайная величина Х € N(-4, 3) и точки -13, -7, -3, 5, 10 на числовой оси, разделяющие ее на шесть интервалов. Найти вероятность того, что случайная величина Х принимает значения в этих интервалах
Решение:
|
xi |
(xi-м) / у |
Ф((xi-м) / у) |
P(xi ? Х? xi+1) |
|
|
-? |
-? |
0 |
0,0013 |
|
|
-13 |
-3 |
0,0013 |
0,1574 |
|
|
-7 |
-1 |
0,1587 |
0,4706 |
|
|
-3 |
0,33 |
0,6293 |
0,3694 |
|
|
5 |
3 |
0,9987 |
0,0012 |
|
|
10 |
4,67 |
0,9999 |
0,0001 |
|
|
? |
? |
1 |
||
|
УP=1 |
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Определение вероятности для двух несовместных и достоверного событий. Закон распределения случайной величины; построение графика функции распределения. Нахождение математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного отклонения случайной величины.
контрольная работа [97,1 K], добавлен 26.02.2012Вычисление математического ожидания, дисперсии, функции распределения и среднеквадратического отклонения случайной величины. Закон распределения случайной величины. Классическое определение вероятности события. Нахождение плотности распределения.
контрольная работа [38,5 K], добавлен 25.03.2015Дискретные случайные величины и их распределения. Формула полной вероятности и формула Байеса. Общие свойства математического ожидания. Дисперсия случайной величины. Функция распределения случайной величины. Классическое определение вероятностей.
контрольная работа [33,8 K], добавлен 13.12.2010Случайные величины. Функция и плотность распределения вероятностей дискретной случайной величины. Сингулярные случайные величины. Математическое ожидание случайной величины. Неравенство Чебышева. Моменты, кумулянты и характеристическая функция.
реферат [244,6 K], добавлен 03.12.2007Непрерывная случайная величина и функция распределения. Математическое ожидание непрерывной случайной величины. Среднее квадратичное отклонение. Кривая распределения для непрерывной случайной величины. Понятие однофакторного дисперсионного анализа.
контрольная работа [165,5 K], добавлен 03.01.2012Определение вероятности наступления события, используя формулу Бернулли. Вычисление математического ожидания и дисперсии величины. Расчет и построение графика функции распределения. Построение графика случайной величины, определение плотности вероятности.
контрольная работа [390,7 K], добавлен 29.05.2014Функция распределения непрерывной случайной величины. Математическое ожидание непрерывной случайной величины, плотность распределения вероятностей системы. Ковариация. Коэффициент корреляции.
лабораторная работа [52,3 K], добавлен 19.08.2002Использование формулы Бернулли для нахождения вероятности происхождения события. Построение графика дискретной случайной величины. Математическое ожидание и свойства интегральной функции распределения. Функция распределения непрерывной случайной величины.
контрольная работа [87,2 K], добавлен 29.01.2014Особенности функции распределения как самой универсальной характеристики случайной величины. Описание ее свойств, их представление с помощью геометрической интерпретации. Закономерности вычисления вероятности распределения дискретной случайной величины.
презентация [69,1 K], добавлен 01.11.2013Понятия теории вероятностей и математической статистики, применение их на практике. Определение случайной величины. Виды и примеры случайных величин. Закон распределения дискретной случайной величины. Законы распределения непрерывной случайной величины.
реферат [174,7 K], добавлен 25.10.2015Определение вероятностей различных событий по формуле Бернулли. Составление закона распределения дискретной случайной величины, вычисление математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения случайной величины, плотностей вероятности.
контрольная работа [344,8 K], добавлен 31.10.2013Решение задач по определению вероятности событий, ряда и функции распределения с помощью формулы умножения вероятностей. Нахождение константы, математического описания и дисперсии непрерывной случайной величины из функции распределения случайной величины.
контрольная работа [57,3 K], добавлен 07.09.2010Алгоритм определения вероятности события и выполнения статистических ожиданий. Оценка возможных значений случайной величины и их вероятности. Расчет математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения. Анализ характеристик признака.
контрольная работа [263,8 K], добавлен 13.01.2014Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал. Построение графика функции распределения случайной величины. Определение вероятности того, что наудачу взятое изделие отвечает стандарту. Закон распределения дискретной случайной величины.
контрольная работа [104,7 K], добавлен 24.01.2013Плотность распределения непрерывной случайной величины. Характеристика особенностей равномерного и нормального распределения. Вероятность попадания случайной величины в интервал. Свойства функции распределения. Общее понятие о регрессионном анализе.
контрольная работа [318,9 K], добавлен 26.04.2013Определение вероятности определенного события. Вычисление математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения дискретной случайной величины Х по известному закону ее распределения, заданному таблично. Расчет корреляционных признаков.
контрольная работа [725,5 K], добавлен 12.02.2010Определение, доказательство свойств и построение графика функции распределения. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал. Понятие о теореме Ляпунова. Плотность распределения "хи квадрат", Стьюдента, F Фишера—Снедекора.
курсовая работа [994,4 K], добавлен 02.10.2011События и случайные величины. Функция распределения и ее характерные свойства. Сущность и определение основных числовых характеристик случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, моменты. Критерии и факторы, влияющие на их формирование.
контрольная работа [118,5 K], добавлен 30.01.2015Нахождение вероятности события, используя формулу Бернулли. Составление закона распределения случайной величины и уравнения регрессии. Расчет математического ожидания и дисперсии, сравнение эмпирических и теоретических частот, используя критерий Пирсона.
контрольная работа [167,7 K], добавлен 29.04.2012Задачи математической статистики. Распределение случайной величины на основе опытных данных. Эмпирическая функция распределения. Статистические оценки параметров распределения. Нормальный закон распределения случайной величины, проверка гипотезы.
курсовая работа [57,0 K], добавлен 13.10.2009
