Объемы и поверхности тел вращения

Размещено на http://www.allbest.ru/

19

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

Объемы и поверхности тел вращения

1. Тела вращения

1.1 Цилиндр

многогранник математический вращение цилиндр

Пусть даны две параллельные плоскости и ₁ и на плоскости фигура К, ограниченная замкнутой линией l (рис. 1.1, а). Цилиндром называется тело, образованное заключенными между двумя параллельными плоскостями отрезками всех параллельных прямых, пересекающих фигуру К в одной из плоскостей.

Поясним это. Проведем через произвольную точку XK прямую до пересечения с плоскостью ₁ в точке Х₁. Когда точка Х при движении описывает фигуру К, тогда отрезки XX₁ параллельных прямых образуют цилиндр. При этом точка Х₁ описывает фигуру К₁₁, равную К. Отрезки с одним концом на линии l, ограничивающей фигуру К, называются образующими цилиндра, линия l - направляющей цилиндра, фигуры К и К₁ в плоскостях и ₁ - основаниями цилиндра.

Круговым называется цилиндр, основанием которого является круг, при этом направляющей l является окружность (рис. 1.1, б).

Рис. 1.1

Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны к плоскостям оснований. В дальнейшем будем рассматривать только прямой круговой цилиндр, и называть его просто цилиндром (рис. 1.2). Радиусом цилиндра является радиус его основания. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований.

Прямой круговой цилиндр можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольника ABCD вокруг оси, содержащей его сторону ВС (рис. 1.3). Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым.

Рис. 1.2 Рис. 1.3 Рис. 1.4

Задача 1.1. Через образующую цилиндра проведена плоскость под углом к плоскости осевого сечения, содержащего ту же образующую. Диагональ d прямоугольника, полученного в сечении, образует с плоскостью основания угол . Найти образующую и площадь основания цилиндра.

Решение. АА₁В₁В - осевое сечение (рис. 1.4). Образующая АА₁ перпендикулярна к плоскости основания, поэтому АА₁А₁С₁ и АА₁А₁В₁. Следовательно, С₁А₁В₁ - линейный угол двугранного угла АА₁ и С₁А₁В₁=. Из прямоугольного треугольника АА₁С находим АС= A₁Ccos = dcos. Треугольник А₁С₁В₁ - прямоугольный, А₁С₁В₁=90^o.

Тогда или . Площадь основания S == , образующая АА₁ = A₁Csin= dsin.

1.2 Конус

Круговым конусом называется тело, образованное всеми отрезками, соединяющими данную точку - вершину конуса - с точками круга - основания конуса.

Пусть - плоскость, К - круг в плоскости с центром О и точка S (рис. 1.5). Соединим каждую точку Х круга К с точкой S отрезком XS. Все отрезки XS образуют круговой конус.

Конус называется прямым, если прямая, соединяющая его вершину с центром основания, перпендикулярна к плоскости основания. Будем рассматривать только прямой круговой конус, и называть его просто конусом.

Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса. Все образующие конуса равны.

Прямой круговой конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника AOS вокруг оси, содержащей его катет SO (рис. 1.6).

Высотой конуса называется перпендикуляр, проведенный из его вершины на плоскость основания. Ось конуса - прямая, содержащая его высоту. Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называется осевым. Часть конуса, заключенная между его основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию, называется усеченным конусом. На рис. 1.7 изображен усеченный конус, OO₁ - высота, АВ - образующая.

Рис. 1.5 Рис. 1.6



Рис. 1.7 Рис. 1.8

Задача 1.2. В конусе проведено сечение плоскостью, проходящей через его вершину. Найти площадь сечения, если радиус конуса равен 3 см, двугранный угол между плоскостями сечения и основания 60, а угол между образующей и высотой 45°.

Решение. Сечение конуса - ASB (рис. 1.8). Проведем SKAB, тогда, согласно теореме о трех перпендикулярах, OKAB. Угол SKO - линейный угол двугранного угла AB, S_ASB = ЅAB*SK. Из АSО находим AS= , SO=AO=3 см. Из SKO SK=.

По теореме Пифагора из SKO: AК = (см).

Окончательно имеем S_ASB = .

1.3 Шар

Понятие шара и свойства его сечений

Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от некоторой фиксированной точки. Данные точка и расстояние называются соответственно центром и радиусом шара. Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой. Значит, сфера состоит из всех тех точек шара, которые удалены от центра шара на расстояние, равное радиусу. На рис. 1.9 О - центр сферы (шара), отрезок ОМ (М - произвольная точка сферы) - радиус сферы (шара): ОМ=R. Отрезок AB, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы (шара). Значит, AB=2R.

Шар можно получить при вращении полукруга вокруг оси, содержащей его диаметр. При этом полуокружность описывает шаровую поверхность или сферу.

Теорема 1.1. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, проведенного из центра шара на секущую плоскость.

Доказательство. Пусть О - центр шара, - секущая плоскость. Проведем на плоскость из центра шара перпендикуляр ОА. Точка А - основание этого перпендикуляра (рис. 1.10). Возьмем произвольную точку - X шара, принадлежащую плоскости , и соединим ее с точками О и А. Тогда по теореме Пифагора АХ = . Согласно определению шара, OX R, поэтому АХ. Следовательно, любая точка сечения шара плоскостью находится от точки А на расстоянии, не большем, чем . Это значит, что точка Х принадлежит кругу с центром А и радиусом . Кроме того, любая точка Х этого круга принадлежит шару. Таким образом, сечение шара плоскостью есть круг.

Рис. 1.9 Рис. 1.10 Рис. 1.11

Круг в сечении шара плоскостью будет тем больше, чем ближе плоскость к центру шара, т.е. чем меньше расстояние ОА (рис. 1.10). Сечение шара плоскостью, проходящей через центр шара, называется большим кругом, а сечение сферы - большой окружностью. Очевидно, что радиус большого круга равен радиусу шара.

Теорема 1.2. Любая плоскость, проходящая через центр шара, является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.

Доказательство. Пусть - плоскость, проходящая через центр О шара (рис. 1.11). Возьмем произвольную точку Х шара. Построим точку Х, симметричную точке Х относительно плоскости : XX₁ и ХА = Х₁А. Тогда ОХА - ОХ₁А по (--). Из равенства треугольников следует, что ОХ = ОХ₁. Так как ОХR, то ОХ₁R. Значит, точка Х₁, симметричная точке X, принадлежит шару.

Построим точку Y, симметричную точке Х относительно центра шара. Тогда ОY = ОХ R. Это значит, что точка Y принадлежит шару. Итак, центр О шаpa является центром его симметрии.

Части шара и шаровой поверхности

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-либо плоскостью (рис. 1.16).

Круг радиусом О₁С в сечении шара называется основанием, отрезок О₁А радиуса шара, перпендикулярного к плоскости сечения, - высотой шарового сегмента.

Сегментной поверхностью (сферическим сегментом) называется часть шаровой поверхности, отсекаемая от нее плоскостью. На рис. 1.16 О₁С - радиус окружности основания сегментной поверхности, О₁А - высота сегментной поверхности.

Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между параллельными плоскостями, пересекающими шар (рис. 1.17). Круги радиусов О₁С и О₂А в сечении шара называются основаниями шарового слоя, отрезок 0₁0₂ - высотой.

Шаровым поясом называется часть шаровой поверхности, заключенная между двумя секущими параллельными плоскостями. На рис. 1.17 отрезки О₁С и О₂А - радиусы окружностей оснований шарового пояса, O₁O₂ - высота.

Шаровым сектором называется тело, которое получается из шарового сегмента и конуса следующим образом:

если шаровой сегмент меньше полушара, то шаровой сегмент дополняется конусом, основанием которого является основание сегмента, а вершина находится в центре шара (рис. 1.18);

если же сегмент больше полушара, то указанный конус «удаляется» (рис. 1.19).

За высоту шарового сектора принимают высоту части его сферической поверхности.

Задача 1.5. Радиус кругового сектора - r, а дуга - (0 <</2). Сектор вращается вокруг оси, содержащей крайний радиус. Найти высоту полученного шарового сектора.

Решение. Отрезок О₁А - высота шарового сектора (рис. 1.20). Рассмотрим осевое сечение шарового сектора: AOC = , О₁А = ОА - 00₁. Из ОО₁С имеем: ОО₁ =OС cos = r cos . Тогда О₁А= r - r cos = r (1 - cos ) == 2r sin² (/2).

Рис. 1.16 Рис. 1.17 Рис. 1.18

Рис. 1.19 Рис. 1.20

2. Объемы тел

2.1 Объемы многогранников

Объем цилиндра (прямого)

Теорема 11.4. Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту:

V =S_оснН,

где S - площадь основания цилиндра; Н - высота.

Доказательство. Доказательство проведем для прямого кругового цилиндра (рис. 11.9). Построим две прямые призмы Ф₁ и Ф₂ высотой Н, равной высоте цилиндра, и основаниями соответственно Р₁ и Р₂, где Р₁ и Р₂ - два n-угольника, один из которых P₁ вписан в основание цилиндра, другой P₂ - описан. Призма Ф₁ содержится в цилиндре, Ф₁ содержит цилиндр, поэтому

где ₁, ₂ - сколь угодно малые величины, стремящиеся к нулю при увеличении числа сторон n так, чтобы длины сторон n - угольника стремились к нулю.

Имеем: (S_осн-₁) H<V<(S_осн-₂) H;

S_оснH-₁H<V<S_осн+₂H

При n lim ₁Н =0 и lim ₁Н =О.

Отсюда следует, что объем цилиндра V = S_оснН.



Рис. 2.9 Рис. 2.10

Следствие. Объем прямого кругового цилиндра равен V =R^гН, где R - радиус основания; Н - высота.

Задача 11.5. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, отстоящее от оси на расстоянии d и отсекающее от окружности основания дугу величиной . Площадь сечения равна S. Найти объем цилиндра (рис. 2.10).

Решение. Пусть АВСО - сечение, площадь которого S, ОК АВ, ОК = d, АОВ = , следовательно, КОА = /2. Из ОАК OA= , АВ = 2АК = 2d tg (/2).

2.1 Объемы тел с известными площадями поперечных сечений

Формула объема тела с известными площадями поперечных сечений. Объем тела вращения

Используя формулу вычисления объема прямого цилиндра, получим формулу объема произвольного тела, для которого известны площади сечений, перпендикулярных некоторой прямой l.

Пусть даны ограниченное тело Ф и ось x (рис. 2.11). Зная абсциссу x, можно вычислить площадь S = S (x) - сечения тела Ф плоскостью, перпендикулярной к оси x и проходящей через точку с абсциссой x, т.е. площадь сечения является функцией от x. Пусть x=a и x=b - абсциссы крайних сечений тела.

Рис. 2.11

Теорема 2.5. Если для данной фигуры известны площади S = S(x) всех ее поперечных сечений плоскостями, перпендикулярными к некоторому данному направлению, принятому за ось x, а x b, то объем тела Ф вычисляем по формуле .

Доказательство. При вычислении объема V разобьем фигуру Ф на n элементарных фигур плоскостями, перпендикулярными к оси x, от x =а до х=b.

Для этого разделим отрезок [а, b] точками х₀=а, х₁, х₂,…, х_n-1, х_n = Ь(х₀ < х₁ < х₂ <… < х_n) на п произвольных отрезков.

Обозначим длины этих отрезков:

Через точки деления проведем плоскости, перпендикулярные к оси х, которые разобьют данное тело на элементарные тела объемами V₁, V₂,…, V_n.

Внутри каждого элементарного отрезка [x_k-1, x_k] выберем произвольную точку _k так, что х_{k-1 k} < х_k.

Через точки _k проведем плоскости, перпендикулярные к оси х, площадь сечения которых с телом Ф будет равна S_k = S(_k).

Объем V_k каждого элементарного тела заменим объемом прямого цилиндра с площадью основания S(_k) и высотой x_k. Объем каждого такого цилиндра равен S(_k) x_k. Сумма объемов всех цилиндров

Объем V является приближенным значением объема V данного тела. Сумму V_n называют интегральной. Количество точек х_n разбиения отрезка [а, b] будем неограниченно увеличивать (n) так, чтобы длина каждого отрезка х_k. стремилась к нулю (х_k).

Объем V определяет предел, к которому стремится последовательность сумм V_n объемов цилиндров при условии, что max х_k:

Если S(х) - непрерывная функция на отрезке [а, b], то этот предел существует, не зависит от точек разбиения х_n и от выбора точки L на каждом элементарном отрезке и равен определенному интегралу от функции S (х) на отрезке [а, b]:

Следствие. Объем тела вращения, т.е. объем тела, полученного при вращении вокруг оси х криволинейной трапеции, ограниченной осью х, прямыми х = а, х = b и кривой у=f(x), вычисляется по формуле



Доказательство. Пусть дано тело вращения (рис. 2.12). Уравнение кривой AB-y=f(x) - функция непрерывная на отрезке [a, b]. Выведем формулу для вычисления площади поперечных сечений S(х).

Через точку х проведем плоскость, перпендикулярную к оси х. Она пересечет тело по кругу с центром N на оси х и радиусом NF =f(х), поэтому площадь этого сечения

,

тогда

Рис. 2.12

Объем конуса

Теорема 2.8. Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту:

где S_осн - площадь основания конуса; Н - высота; R - радиус основания.

Доказательство. Пусть дан круговой конус (рис. 2.16), OK = Н - высота конуса. Ось х направим по ОК, О - начало координат. Абсцисса изменяется от О до Н.

Рис. 2.16

Конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямой ОА вокруг оси х. Уравнение ОА имеет вид y=kx=Rx/H. Тогда объем конуса вычисляется по формуле

Теорема 2.9. Объем усеченного конуса

где Н - высота усеченного конуса; R₁, R₂ - радиусы оснований конуса; S₁, S₂ - площади оснований конуса.



Рис. 2.17

Задача 2.7. Равносторонний треугольник со стороной а вращается около внешней оси (не пересекающей треугольник), которая лежит в плоскости треугольника параллельно его стороне и отстоит от нее на расстоянии, равном половине высоты треугольника. Найти объем фигуры вращения.

Решение. Треугольник АВС - равносторонний AB = ВС = СВ =a AD ВС, l - ось вращения. Пусть АD = h, тогда DK = h /2. Найдем объем, полученный при вращении АВС вокруг l (рис. 2.17). Объем V = 2V_ABD = 2 (V₂-V₁), где V - объем усеченного конуса; V - объем цилиндра, полученный при вращении, соответственно, трапеции ABNK и прямоугольника BNKD вокруг l.

Объем шара и его частей

Теорема 2.10. Объем шара V= 4/3 R³, где R - радиус шара;

Обьем шарового сегмента V= H²(R-H/3), где Н - высота сегмента; R - радиус шара.

Рис. 2.18

Доказательство. Пусть дан шар радиусом R с центром в точке О (рис. 2.18). Ось х проведем через точку О, начало координат выберем в центре шара О. Плоскость ху пересекает шар по окружности радиусом R и с центром в точке О, ее уравнение

Шар мы получим, если будем вращать вокруг оси х криволинейную трапецию, ограниченную осью х и верхней полуокружностью, уравнение которой

Вычислим объем шара:

Вычислим объем шарового сегмента высотой Н = DC, OD = R - Н, R - Н х R. Воспользовавшись формулой для вычисления объема тела вращения, получим (рис. 2.18)



Замечание. Объем шарового сектора можно представить в виде суммы (разности) объемов шарового сегмента и конуса.

Задача 2.8. Вычислить объем шарового слоя, радиусы окружностей, в основании которого R₂ и R₁ (R₁> R₂, центр шара вне слоя), R - радиус шара.

Рис. 2.19

Решение. Дано KB = R₂, DС = R₁, OD = R. Из рис. 2.19 видно, что

Н₁ = ОС =

Выбрав за ось x прямую OA (O - начало координат), по формуле (2.1) вычислим объем шарового слоя.

Уравнение полуокружности AKD имеет вид , при этом Тогда объем шарового слоя

3. Площади поверхности тел

3.1 Площадь поверхности тел вращения

Площадь поверхности кругового цилиндра

Различают площадь боковой S_бок цилиндра и площадь S поверхности цилиндра.

Площадью поверхности цилиндра называют сумму площадей боковой поверхности и площадей оснований цилиндра.

Теорема 3.5. Площадь боковой поверхности кругового цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра:

где К - радиус основания, Н - высота цилиндра.

Доказательство. Вычислим искомую площадь, используя определение

Тело F_h, о котором говорится в определении, заключено между цилиндрическими поверхностями, радиусы которых R+h, R-h (h>0), и двумя плоскостями, перпендикулярными к оси цилиндра и отстоящими на расстоянии Н + 2h (рис. 3.6). Поэтому

С другой стороны, тело F_h, полностью содержит в себе тело, заключенное между цилиндрическими поверхностями, радиусы которых R + h и R - h, и двумя плоскостями оснований, расстояние между которыми Н, поэтому V_h > V₄ - V₃ = (R+h)²H-(R-h)²H=4RhH

Имеем: 4RhH < V_h. < 4Rh (Н + 2h). Разделив неравенства на 2h, получим 2Rh < V_h/2h=2R (H+2h).

При h0 H+2hH и правая и левая части неравенства стремятся к 2RH, поэтому

Задача 3.4. Полуцилиндрический свод подвала имеет длину 6 м и диаметр 5,8 м. Найти площадь поверхности подвала.

Рис. 3.6 Рис. 3.7

Решение. Площадь поверхности S подвала складывается из площади S_п пола (прямоугольник), площади S_б боковой поверхности полуцилиндра и площади S_к двух полукругов:

Задача 3.5. Площадь боковой поверхности цилиндра развертывается в квадрат, диагональ которого 2 (рис. 3.7). Определить объем цилиндра.

Решение. Сторона квадрата а, радиус основания цилиндра r. Имеем:

Площадь поверхности конуса

Различают площадь боковой S_бок поверхности и площадь S поверхности конуса.

Площадью поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности конуса и основания: S = S_бок + S_осн

Теорема 3.6. Площадь боковой поверхности конуса равна произведению длины окружности основания конуса на половину образующей:

где R-радиус основания конуса, l - длина образующей.

Задача 3.6. Найти площадь боковой поверхности усеченного конуса, у которого радиусы оснований R₁ и R₂, длина образующей l.

Рис. 3.8

Решение. Дополним усеченный конус до полного (рис. 3.8). Пусть О₁B = R₁, О₂B₂ =R₂, В₁В₂ =l. Обозначим SB₁ =l₁, SB₂ =l₂. Тогда боковая поверхность усеченного конуса S=S_2бок-S_1бок=R₂l₂ - R₁l₁, а l₁ = l₂ - l. Так как O₁S₁B₁ O₂SB₂, то

Подставим полученное значение в формул у площади:

Задача 3.7. Коническая крыша силосной башни имеет диаметр 6 м и высоту 2 м. Сколько листов кровельного железа потребуется для этой крыши, если размер листа 0,7 х 1,4 м, а на швы и обрезки тратится 10% площади крыши?

Решение. Из условия следует, что высота конической крыши Н = 2 м, радиус основания конуса R = 3 м, следовательно, образующая l = м.

Площадь боковой поверхности конуса, или площадь крыши силосной башни, определяем по формуле S_бок=Rl=3133,14*3*3,633,9м².

Найдем, какую площадь займут обрезки и материалы на швы: S_обр =33,9*10%=3,9*0,1 = 3,39 м².

Полная площадь S = S_бок + S_обр = 33,9 м² + 3,39 м² 37,3 м².

Площадь листа железа равна 0,7*1,4 = 0,98 м². Всего потребуется 37,3:0,98 38 листов железа.

Площадь поверхности шара и его частей

Теорема 3.7. Площадь поверхности сферы равна S = 4R², где R радиус сферы.

Доказательство. Найдем площадь сферы, пользуясь определением площади поверхности .Тело F_h является слоем между двумя концентрическими сферами, радиусы которых R +h и R - h, h>0 (рис. 3.9).

Объем его равен разности объемов шаров этих радиусов:

Тогда

Рис. 3.9

Теорема 3.8. Площадь поверхности сферического сегмента равна S = 2RH, где R - радиус сферы, Н - высота сегмента.

Доказательство. Аналогично теореме 3.7 , где V_h - объем тела F_h (рис. 3.10).

Тело F_h заключено между поверхностями двух сегментов, высоты которых Н + 2h и Н, шаровых поверхностей радиусами соответственно R + h и R - h. Объем тела меньше разности объемов этих сегментов:

С другой стороны, тело F_h содержит в себе тело, заключенное между сегментами шаровых поверхностей, высоты которых H + h и H - h и радиусы R + h и R - h соответственно, поэтому его объем будет больше разности объемов этих сегментов:

Имеем:

.

Разделив неравенства на 2h, получим

При h0 левая и правая части неравенства будут стремиться к 2RH, поэтому площадь сегмента

Рис. 3.10 Рис. 3.11

Теорема 3.9. Площадь поверхности шарового пояса S == 2RH, где R - радиус шара, Н - высота пояса.

Доказательство. Площадь шарового пояса высотой Н = ВС можно найти как разность площадей поверхностей двух сегментов с высотами СА и ВА (рис. 3.11):

S=S_сег.CA-S_сег.BA=2R*CA-2R*BA=2R (CA-BA)=2R*BC=2RH.

Доказательство проведено для случая, когда шаровой слой расположен по одну сторону от центра шара. Для других положений пояса доказательства проводятся аналогично.

Задача 3.8. Диаметр Марса составляет половину земного. Диаметр Юпитера в 11 раз больше земного. Как относятся площади поверхностей Марса, Юпитера и Земли?

Решение. Пусть R_м - радиус Марса, R_з - радиус Земли, R_ю - радиус Юпитера.

По условию R_з = 2R_м, R_ю= 11*R_з = 11*2R_м=22R_м.

Выразим площади поверхностей через радиус Марса:

т.е. площади поверхностей сфер относятся как квадраты радиусов.

Литература

Геометрия для подготовительных отделений вузов: Справ. Пособие/ А.И. Герасимович, Г.Т. Пушкина - Варварчук, З.П. Шарикова, В.К. Цыганова. - Мн.: Выш.шк.

Абрамович М.И., Стародубцев М.Т. - Математика, геометрия и тригонометрические функции. - М.:Высш.шк., 1976.

Сборник задач по математике/ Под ред. М.И. Сканави. - М.: Высш.шк., 1980.

Погорелов А.В. Геометрия: Учебное пособие для 6-10 классов средней школы. - М.: Просвещение, 1982.

Размещено на Allbest.ru

...