Числовые ряды
Числовой ряд как числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм. Частные случаи признака Куммера. Исследование на сходимость ряда. Системы приближения к числам.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 28.04.2016 |
| Размер файла | 42,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
В теории числовых рядов одной из ключевых задач является исследование ряда на сходимость. В педагогических ВУЗах изучают только некоторые признаки сходимости: признак Коши, Даламбера и др., а они не всегда дают нам ответ вопрос: сходится ряд или расходится. Поэтому рассмотрим дальнейшие признаки сходимости знакоположительных рядов. Но для начала остановимся на основных моментах понятия ряда.
Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм имеет конечный предел:
,
который называют суммой ряда. частичная сумма ряда.
Если предел последовательности частичных сумм ряда не существует, то ряд называется расходящимся, соответственно расходящийся ряд суммы не имеет.
Первый признак, который мы рассмотрим - признак Куммера. Данный признак можно рассматривать как общую схему, для того чтобы получить другие признаки, которые являются частными случаями признака Куммера.
Пусть ряд с положительными членами , такими, что данный ряд расходится . Тогда ряд сходится, если при всех (n больших некоторого N большого) выполняется неравенство:
где . Если же , то ряд расходится. В предельной форме:
при ряд сходится, а при расходится.
Следующий признак очень похож на признак Даламбера, но первый существенно чувствительней, чем второй. Это признак Раабе.
Ряд сходится, если при достаточно больших выполняется неравенство:
,
где . Если , то ряд расходится. В предельной форме записывают иначе. Если существует предел
,
то при ряд сходится, а при расходится. Если же , то признак Раабе не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.
Пример. Исследовать на сходимость ряд
Ответ: ряд сходится.
Пример можно решить с использованием специальных методов оценивания, но проще это сделать, применив признак Раабе, поскольку пример не решается по признаку Даламбера.
Далее рассмотрим признак Бертрана, который значительно чувствительнее признака Раабе и может быть использован для крайне медленно сходящихся рядов. Если
где , то ряд сходится, а если, то расходится. При признак не дает ответа на вопрос.
И последний признак - признак Гаусса. Его можно получить из признаков Раабе и Бертрана, но он является более практичным.
Пусть для ряда отношение соседних членов может быть представлено в виде:
,
где и - постоянные, а - ограниченная величина.
Тогда ряд сходится, если и >1, и расходится в том случае, если 1, 1.
Это можно увидеть в следующей таблице:
|
расходится |
расходится |
|||
|
сходится |
сходится |
В рамках доклада мы рассмотрели дальнейшие признаки сходимости знакоположительных рядов. Таким образом, можно сделать следующие выводы:
1. Признаки, которые обычно изучаются в курсе математического анализа, не всегда дают ответ, поэтому при решении практических задач приходится применять более сложные.
2. Рассмотренные признаки взаимосвязаны. Можно увидеть, что признак Куммера рассматривается как общая схема для остальных признаков. А признак Гаусса выводится из признаков Раабе и Бертарна. Он более чувствителен, чем Раабе и более практичен, чем признак Бертарна. Таким образом, мы видим целую цепь все усиливающихся и при этом усложняющихся признаков сходимости.
3. Дальнейшие признаки сходимости рядов основаны на теоремах сравнения и являются достаточными, т. е. при выполнении условий признака для данного ряда можно сделать определенные утверждения о его поведении, но если условия признака для него не выполнены, то ничего о сходимости ряда утверждать нельзя, он может как сходиться, так и расходиться.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Определение числового ряда, его основные свойства. Ряды геометрической прогрессии. Исследование на сходимость гармонического ряда. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признак сходимости Лейбница.
лекция [137,2 K], добавлен 27.05.2010Исследование сходимости числового ряда. Использование признака Даламбера. Исследование на сходимость знакочередующегося ряда. Сходимость рядов по признаку Лейбница. Определение области сходимости степенного ряда. Сходимость ряда на концах интервала.
контрольная работа [131,9 K], добавлен 14.12.2012Понятие знакочередующихся рядов. Последовательность частичных сумм четного и нечетного числа членов. Исследование сходимости ряда. Проверка выполнения признака Лейбница. Погрешность при приближенном вычислении суммы сходящегося знакочередующегося ряда.
презентация [82,8 K], добавлен 18.09.2013Числовой ряд - бесконечная последовательность чисел, соединенных знаком сложения. Сумма n первых членов ряда. Функция натурального аргумента. Свойства сходящихся и расходящихся рядов. Понятие и формула расчета n-ного остатка. Поиск суммы исходного ряда.
презентация [123,7 K], добавлен 18.09.2013Изучение понятия числового ряда и его суммы. Особенности сходящихся и расходящихся рядов. Число e, как сумма ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Алгебраические операции и сходимость. Ряды с неотрицательными членами. Интегральный признак Коши-Маклорена.
методичка [514,1 K], добавлен 26.06.2010Описание признака сходимости числовых рядов Даламбера, решение задач на исследование сходимости. Формулировка радикального признака сходимости Коши знакоположительного ряда в предельной форме. Доказательство знакочередующихся и знакопеременных рядов.
реферат [190,9 K], добавлен 06.12.2010Основные понятия числового и знакопеременного ряда. Необходимые и достаточные признаки сходимости. Признак Лейбница. Исследование на абсолютную и условную сходимость ряда. Действия с суммой бесконечного числа слагаемых, расстановка скобок. Формула Эйлера.
курсовая работа [501,8 K], добавлен 12.06.2014Первое упоминание и использование числового ряда, его понятие и структура, этапы и направления дальнейшего исследования. Задачи, приводящие к понятию числового ряда и те, в которых он использовался. Признак Даламбера и Коши, Маклорена и сравнения.
курсовая работа [114,2 K], добавлен 01.10.2014Пределы функции, ее полное исследование с использованием дифференциального исчисления. Вычисление неопределенных интегралов с использованием методов интегрирования. Определенный и несобственный интегралы. Числовые ряды, их исследование на сходимость.
контрольная работа [713,2 K], добавлен 07.04.2013Понятие числовой прямой. Типы числовых промежутков. Определение координатами положения точки на прямой, на плоскости, в пространстве, система координат. Единицы измерения для осей. Определение расстояния между двумя точками плоскости и в пространстве.
реферат [123,9 K], добавлен 19.01.2012Определение степенного ряда. Теорема Абеля как определение структуры области сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Ряды Тейлора, Маклорена для функций. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена. Приложения степенных рядов.
реферат [89,3 K], добавлен 08.06.2010Определение условий сходимости положительного ряда и описание свойств гармонических рядов Дирихле. Изучение теорем сравнения рядов и описание схемы Куммера для вывода из нее признаков сравнения ряда. Вывод признаков сравнения Даламбера, Раабе и Бертрана.
курсовая работа [263,6 K], добавлен 14.06.2015Определение интервала сходимости ряда. Сходимость ряда на концах интервала по второму признаку сравнения положительных рядов и по признаку Лейбница. Решение дифференциальных уравнений по методу Бернулли. Методы нахождения неопределённого интеграла.
контрольная работа [73,0 K], добавлен 24.04.2013Исследование числовых рядов на сходимость. Область сходимости для разных степенных рядов. Разложение функции в ряд Тейлора. Нормы сеточной функции. Исследование устойчивости разностной схемы для однородного уравнения. Совокупность разностных уравнений.
курсовая работа [586,9 K], добавлен 19.04.2011Неопределенный интеграл. Объем тела вращения. Эмпирическая формула. Сходимость ряда. Вычисление объема тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями. Исследование на условную сходимость по признаку Лейбница.
контрольная работа [25,8 K], добавлен 27.05.2004Показатель надежности как числовая характеристика, с помощью которой можно количественно оценить надежность различных объектов техносферы. Общая характеристика свойств параметра потока отказов. Рассмотрение особенностей признака распределения Пуассона.
презентация [97,7 K], добавлен 03.01.2014Определение наименьшего и наибольшего значения функции в ограниченной области и ее градиента; общего интеграла и общего и частного решения дифференциального уравнения. Исследование ряда на абсолютную сходимость с применением признаков Коши и Даламбера.
контрольная работа [107,2 K], добавлен 25.11.2013Рассмотрение некоторых числовых последовательностей, заданных рекуррентно, их свойств и задач с ними связанных. Теория возвратных последовательностей. Свойства последовательности Фибоначчи и ее золотое сечение. Исследование последовательности Каталана.
реферат [812,1 K], добавлен 03.05.2015Члены последовательности и их изображение на числовой оси. Виды последовательностей (ограниченная, возрастающая, убывающая, сходящаяся, расходящаяся), их практические примеры. Определение и геометрический смысл предела числовой последовательности.
презентация [78,9 K], добавлен 21.09.2013Понятие и особенности определения функциональных рядов. Специфика выражения радиуса сходимости степенного ряда через его коэффициенты. Способы нахождения его области и интервала сходимости. Логический ход математического доказательства теоремы Абеля.
презентация [86,5 K], добавлен 18.09.2013
