Правила интегрирования
Понятие определенного интеграла, применение формулы Ньютона-Лейбница при его вычислении. Использование метода замены переменной. Определение пределов интегрирования, правила перестановки. Свойства аддитивности и линейности. Классы интегрируемых функций.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 03.05.2016 |
| Размер файла | 43,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://allbest.ru
Определённый интеграл
Пусть на отрезке [a; b], (всюду ) определена непрерывная ограниченная функция f(x).
Произвольным образом разобьем отрезок [a; b] на n отрезков точками . .
Полученные отрезки , ,…, будем называть частичными. Длину k-го частичного отрезка , , обозначим . На каждом частичном отрезке выберем произвольную точку , (рис. 1) и вычислим значение функции в этой точке, т. е. .
Рис.1
Для каждого k, , найдём произведение и составим сумму:
(1)
Сумма (1) называется интегральной суммой функции f(x) на отрезке [a; b].
Определённым интегралом от функции f(x) в промежутке [a; b] называется предел её интегральной суммы, когда число частичных отрезков неограниченно возрастает, а длина наибольшего из них стремится к нулю:
.
Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.
Функция f(x) называется подынтегральной функцией,
f(x)dx - подынтегральным выражением,
x - переменной интегрирования,
отрезок [a; b] - отрезком интегрирования.
Функция f(x), для которой существует предел интегральной суммы, называется интегрируемой на отрезке.
Классы интегрируемых функций:
1) непрерывная на отрезке [a; b] функция интегрируема;
2) ограниченная на отрезке [a; b] функция, имеющая лишь конечное число точек разрыва, интегрируема;
3) монотонная ограниченная функция интегрируема.
Свойства определенного интеграла
1. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования:
.
2. Определённый интеграл с равными пределами интегрирования равен нулю:
.
3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак:
.
4. свойство аддитивности: при любом взаимном расположении чисел a, b, c имеет место формула:
.
5. свойство линейности:
.
интеграл аддитивность линейность
Вычисление определённого интеграла
1. Формула Ньютона - Лейбница:
,
где F(x) - первообразная для f(x).
Пример 1. Вычислить интеграл .
Решение. .
2. Замена переменной: пусть f(x) - непрерывная на отрезке [a;b] функция, а функция и ее производная непрерывны на отрезке , где , . Тогда справедлива формула:
.
Вместе с заменой переменной в определенном интеграле заменяются пределы интегрирования.
Пример 2. Вычислить интеграл .
Решение. Используем метод замены переменной. Положим . Тогда .
Находим новые пределы интегрирования, используя равенство замены переменной: если , то ; если , то .
Получим:
=
.
3. Интегрирование по частям: пусть u(x) и v(x) - непрерывные функции, которые имеют непрерывные производные на отрезке [a;b]. Тогда справедлива формула интегрирования по частям:
Пример 3. Вычислить интеграл .
Решение.
.
Задачи для самостоятельного решения
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
7. ;
8. ;
9. ; 1
0. ;
11. ; 1
2. ; 1
3. ; 1
4. ; 1
5. .
Домашнее задание
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
7. .
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Способы определения точного значения интеграла по формуле Ньютона-Лейбница и приближенного значения интеграла по формуле трапеций. Порядок нахождения координаты центра тяжести однородной плоской фигуры ограниченной кривой, особенности интегрирования.
контрольная работа [459,6 K], добавлен 16.04.2010Понятие и геометрический смысл определенного интеграла, его свойства. Формула Ньютона–Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Объем тела вращения. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
курс лекций [514,0 K], добавлен 31.05.2010Функция одной независимой переменной. Свойства пределов. Производная и дифференциал функции, их приложение к решению задач. Понятие первообразной. Формула Ньютона-Лейбница. Приближенные методы вычисления определенного интеграла. Теорема о среднем.
конспект урока [147,7 K], добавлен 23.10.2013Ознакомление с понятием и основными свойствами определенного интеграла. Представление формулы расчета интегральной суммы для функции y=f(x) на отрезке [а, b]. Равенство нулю интеграла при условии равенства нижнего и верхнего пределов интегрирования.
презентация [64,2 K], добавлен 18.09.2013Задача численного интегрирования функций. Вычисление приближенного значения определенного интеграла. Нахождение определенного интеграла методами прямоугольников, средних прямоугольников, трапеций. Погрешность формул и сравнение методов по точности.
методичка [327,4 K], добавлен 01.07.2009Понятие первообразной функции, теорема о первообразных. Неопределенный интеграл, его свойства и таблица. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл и основные свойства. Производная определенного интеграла и формула Ньютона-Лейбница.
курсовая работа [232,5 K], добавлен 21.10.2011Изучение понятия интегральной суммы. Верхний и нижний пределы интегрирования. Анализ свойств определенного интеграла. Доказательство теоремы о среднем. Замена переменной в определенном интеграле. Производная от интеграла по переменной верхней границе.
презентация [487,1 K], добавлен 11.04.2013Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Вычисление определенного интеграла как предела интегральной суммы по формуле Ньютона–Лейбница, замена переменной и интегрирование по частям. Длина дуги в полярной системе координат.
контрольная работа [345,3 K], добавлен 22.08.2009Определение криволинейного интеграла по координатам, его основные свойства и вычисление. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Вычисление площадей фигур с помощью двойного интеграла. Использование формулы Грина.
контрольная работа [257,4 K], добавлен 23.02.2011Особенности неопределенного интеграла. Методы интегрирования (Замена переменной. Интегрирование по частям). Интегрирование рациональных выражений. Интегрирование рациональных дробей. Метод Остроградского. Интегрирование тригонометрических функций.
лабораторная работа [1,7 M], добавлен 05.07.2010Определение неопределенного интеграла, первообразной от непрерывной функции, дифференциала от неопределенного интеграла. Вывод формулы замены переменного в неопределенный интеграл и интегрирования по частям. Определение дробнорациональной функции.
шпаргалка [42,3 K], добавлен 21.08.2009Понятие и характеристика неопределенного интеграла, его свойства. Методы интегрирования функций: разложение, замена переменной, по частям. Задача Коши, ее содержание. Дисперсия случайной величины. Решения для дифференциальных уравнений n-порядка.
лекция [187,9 K], добавлен 17.12.2010Вычисление интеграла, выполнение интегрирования по частям. Применение метода неопределенных коэффициентов, приведение уравнения к системе. Введение вспомогательных функций в процессе поиска решения уравнения и вычисления интеграла, разделение переменных.
контрольная работа [617,2 K], добавлен 08.07.2011Характеристика методов численного интегрирования, квадратурные формулы, автоматический выбор шага интегрирования. Сравнительный анализ численных методов интегрирования средствами MathCAD, а также с использованием алгоритмических языков программирования.
контрольная работа [50,8 K], добавлен 06.03.2011Интегралы, у которых один или оба предела интегрирования бесконечны, и у которых функция не ограничена на отрезке интегрирования. Понятие несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования. Геометрический смысл несобственного интеграла.
презентация [104,1 K], добавлен 18.09.2013Разложение функции в ряд Фурье, поиск коэффициентов. Изменение порядка интегрирования, его предел. Расчет площади фигуры, ограниченной графиками функций, с помощью двойного интеграла, объема тела, ограниченного поверхностями, с помощью тройного интеграла.
контрольная работа [111,8 K], добавлен 28.03.2014Решение задачи по нахождению площади криволинейной трапеции. Определение и свойства определённого интеграла. Необходимое условие интегрируемости и критерий Дарбу. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций. Доказательство формулы Ньютона-Лейбница.
контрольная работа [383,6 K], добавлен 25.03.2011Необходимое и достаточное условие существования определенного интеграла. Равенство определенного интеграла от алгебраической суммы (разности) двух функций. Теорема о среднем – следствие и доказательство. Геометрический смысл определенного интеграла.
презентация [174,5 K], добавлен 18.09.2013Нахождение частных производных, градиента функции. Вычисление интеграла, переход от двойного интеграла к последовательному, пределов интегрирования. Общее и частное решение дифференциального уравнения второго порядка. Применение признака Даламбера.
контрольная работа [297,6 K], добавлен 11.05.2013Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, как предел интегральной суммы. Связь между определенным и неопределенным интегралами. Формула Ньютона-Лейбница. Геометрический и механический смысл определенного интеграла.
реферат [576,4 K], добавлен 30.10.2010
