Размещено на http: //www. allbest. ru/

Оснащение Э. Бортолотти SH-распределения

Будылкин Андрей Александрович



Аннотация

Построен двойственный образ SH - распределения [1]. Введено оснащение Э. Бортолотти Л-подрасслоения. Изучение SH-распределений актуально, так как эти образы являются обобщениями специальных классов регулярных гиперполос [2; 3], гиперповерхностей и гиперполосных распределений [4]. Индексы принимают значения:

;I, J, K,…у,с,ф,…=i, j, k,…; б,в,г,….

Ключевые слова: распределение; тензор; квазитензор; нормализация; квазинормаль; геометрический объект.



Abstract

Built dually SH - distribution [1]. Permission equipment E. Bortolotti Л-sub-bundle. Study of SH-relevant distributions, as these images are generalizations of the special classes of regular hyperstrips [2; 3], hypersurfaces and hyperband distribution [4]. The indices take the values:

;I, J, K,…у,с,ф,…=i, j, k,…; б,в,г,….

Keywords: distribution; tensor; quasi tensor; normalization; quasi normal; geometric object.



1. Двойственный образ SH - распределения

Рассмотрим SH - распределение [1], для которого плоскость L(A0) в каждом центре А0 является характеристикой H - плоскости при смещении центра вдоль кривых принадлежащих плоскости Л(А0). В этом случае тензор

. (1)

SH - распределение при условии (1) задается уравнениями [1]:

,

(2

,

Введем в рассмотрение систему из (n+1)2 форм Пфаффа :

 

.



Формы  удовлетворяют структурным уравнениям проективного пространства и задают ифинитезимальные перемещения тангенциального репера

, (4)

.

Докажем, что преобразование  форм проективного пространства по закону (3) является инволютивным, т. е. -1. Действительно, прежде всего из формул



согласно уравнениям (1), (3) находим

(6)

,

.

В силу (6) имеем

Из дифференциальных уравнений (2), записанных относительно тангенциального репера (5), с использованием (4) соответственно имеем:

(7)

  (8)

Наконец, из соотношений



согласно формулам (6)-(8), находим еще две группы необходимых нам соотношений между объектами, отнесенными к различным реперам  и :

(9)

(10)

Теперь, используя соотношения (6)-(10), из формул (1),(3) получаем формулы, определяющие преобразование

  

 

 (13)

 

 



Итак, из соотношений (1) и (13) получаем, что -1. Дифференциальные уравнения регулярного  - распределения, двойственного данному регулярному SН - распределению, имеют аналогичный вид (без соответствующих замыканий):

(14)

.

Таким образом, доказана

Теорема 1. Регулярное SН - распределение проективного пространства Pn во второй дифференциальной окрестности его образующего элемента индуцирует:

1) проективное пространство , двойственное исходному проективному пространству  относительно инволютивного преобразования  форм  по закону (3),

2) регулярное распределение  ? , двойственное исходному, причем его дифференциальные уравнения в тангенциальном репере (4) - (5) имеют вид (14), аналогичный уравнениям SН - распределения проективного пространства  [1].

В разных дифференциальных окрестностях можно построить поля фундаментальных и охваченных объектов двойственного многообразия  ? , используя те же формулы охватов. Построенные поля геометрических объектов определяют внутреннюю геометрию многообразия  ? , двойственную геометрии исходного SН - распределения проективного пространства .

Двойственная теория имеет место и на оснащенном SН - распределении в . Пусть основные структурные подрасслоения SН - распределения нормализованы полями квазитензоров  В силу (2), и соотношений

убеждаемся, что функции

 (15)

(16)

удовлетворяют соответственно дифференциальным уравнениям:

(17)

где:



Таким образом, всякая нормализация SН - распределения индуцирует двойственную ей нормализацию. При этом оснащающие объекты (,), (,) связаны соотношениями (15) - (16).

В результате справедлива

Теорема 2. Нормализация одного из регулярных распределений  ?  и SН ?  равносильна нормализации другого, при этом компоненты полей оснащающих объектов связаны соотношениями (15) - (17).

В первых трех дифференциальных окрестностях мы построили (без применения теории двойственности) различные внутренние инвариантные нормализации SН - распределения проективного пространства [1]. Теперь, утверждаем: в силу двойственности теории SН - распределения, зная закон охвата объекта нормали первого (второго) рода  () любого ассоциированного распределения с данным SН - распределением, можно построить внутренним образом определенную соответствующую нормаль второго (первого) рода  () рассматриваемого ассоциированного распределения по следующей схеме [3; 4]. Построим охват квазитензора  () двойственного образа  ? , аналогичный охвату  (), после чего по закону (3) найдем соответствующую нормаль  (). В этом случае будем говорить, что поля нормалей  и  двойственны друг другу по отношению к инволютивному преобразованию [3].

2. Инвариантное оснащение базисного Л - подрасслоения данного SH - распределения в смысле Э. Бортолотти

Определение. Л - подрасслоение m - мерных линейных элементов Л(А0) данного SH - распределения, назовем оснащенным в смысле Э. Бортолотти [7], если каждому центру А0 SH - распределения поставлена в соответствие гиперплоскость Bn-1(A0), не проходящая через точку А0.

Гиперплоскость Э. Бортолотти Bn-1(A0) зададим относительно репера R1 уравнением:

(18)

Компоненты полей объектов , определяющих гиперплоскость Bn-1(A0), удовлетворяют уравнениям:

(19)

(20)

(21)

Согласно уравнениям (19) получаем, что в качестве охвата квазитензора {} можно взять квазитензор {}, где

, (22)

Это равносильно тому, что оснащающая гиперплоскость Bn-1(A0) проходит через первую ось КенигсаKn-m-2(A0) = [Kб] = [] подмногообразия H(Л) [3]. В силу соотношений (3), систему уравнений (19) - (21) представим в двойственном виде:

(23)

(24)

(25)



где: функции , , , учитывая

,

имеют следующее строение

Сравнивая уравнения (23) - (25) с соответствующими уравнениями (19) - (21), видим, что оснащение в смысле Э. Бортолотти H(Л)- подрасслоения полем гиперплоскостей  определяет поле плоскостей (A0), оснащающих в смысле Э. Картана двойственное подмногообразие  в [8]. Это поле задается полями объектов  (важно при этом заметить, что плоскость  имеет размерность m).

Поле плоскостей  определяется неоднозначно потому, что квазитензор :



(26)

двойственный квазитензору , можно охватить не единственным образом. В частности, уравнениям (23) удовлетворяют компоненты квазитензора , где

; , (27)

при этом

(28)

Так как охват  определяет в каждом центре первую ось Кенигса

[Kб] Л -

подрасслоения, то по двойственности охват (28) определяет (m+1) - мерную инвариантную плоскость

,

содержащую в каждом центре А0 текущий элемент базисного Л- подрасслоения: Л(А0)?Km+1(А0). Плоскость К m+1 (А0), по аналогии с плоскостью  назовем второй осью Кенигса Л- подрасслоения в его центре А0. Плоскость Картана  двойственного подмногообразия  при охвате (28) есть m - мерная плоскость Km(A0), содержащаяся во второй оси Кенигса Km+1(A0): Km(A0). Так как Km и Л(А0), то Km Л(А0) = .

Теорема 3. При охвате (28) оснащение в смысле Бортолотти Н(Л) - подрасслоения полем гиперплоскостей Bn-1, равносильно оснащению в смысле Э. Картана двойственного образа  полем m - мерных плоскостей Кm, принадлежащих полю вторых осей Кенигса распределения . Отметим, что оснащение Л - подрасслоения в смысле Э. Бортолотти влечет за собой его оснащение полем нормалей 2-го рода {. Обратно, если на Л - подрасслоении задано поле нормалей 2-ого рода {}, то такое оснащение подмногообразия Л определяет его оснащение в смысле Э. Бортолотти, ибо в качестве одного из возможных охватов функции  можно взять:

(29)

При охвате (29) функции  оснащающую гиперплоскость (А0) назовем гиперплоскостью Кенигса нормали .

Запишем условия неподвижности оснащающей плоскости Бортолотти:

(31)

, (32)

. (33)



Подставляя вместо функций с чертой их выражения через функции без черты, получим соотношения, равносильные (31) - (33)

(34)

(35)

, (36)

. (

Одновременное выполнение (36) и (37) является условием того что при смещении точки А0гиперплоскость (А0) «вращается» вокруг нормали второго рода.

Покажем, что при m>1, следуя работе [3], это условие эквивалентно тому, что оснащающая гиперплоскость Бортолотти (А0) является неподвижной.

Действительно, замыкая уравнения

равносильные соотношениям (37), с исползованием условий (36) получим:



(38)

Соотношения (39), в силу линейной независимости каждой из систем форм , , при m>1 равносильны соотношениям (35).

Уравнения (19) в силу соотношений (36) можно переписать в следующем виде:

Замыкая полученные уравнения, с использованием условий (38), получим соотношения (34).

Теорема 4. На Л - подрасслоении (при m>1) данного SH - распределения оснащающая гиперплоскость Э. Бортолотти (А0) неподвижна тогда и только тогда когда она «вращается» вокруг нормали второго рода Кm-1(А0)

Запишем условия (37) при К= :

Свертывая эти соотношения по индексам , найдем охват квазитензора

.



Запишем условия (36) при К = j:

Свертывая последние равенства с тензором , с учетом , получим:

(39)

Теорема 5. Если на регулярном Л - подрасслоение данного SН - распределения оснащающая гиперплоскость  неподвижна, то она в каждом центре А0 является плоскостью Кенигса нормали  второго рода.

Из соотношений (37) следует, что неподвижная оснащающая гиперплоскость Э. Бортолотти, то есть плоскость Кенигса нормали  второго рода, определяется следующим охватом

. (40)

Таким образом, получаем, что в случае неподвижности оснащающей плоскости Э. Бортолотти на Л - подрасслоении охваты 40 и 39, определяют одну и ту же плоскость Кенигса нормали

Определение. Л - подрасслоение SH - распределения назовем сильно оснащенным, если оно оснащено в смысле Э. Бортолотти и Э. Картана одновременно [5].

Сильное оснащение Л - подрасслоения влечет за собой его нормализацию. Справедливо и обратное утверждение: всякая нормализация Л - подрасслоения в смысле Нордена - Чакмазяна индуцирует его сильное оснащение полями плоскостей Кенигса Кn-m-1 нормалей первого и второго рода соответсвенно.

Определение. Л - подрасслоение SH - распределения назовем согласовано оснащенным, если оно сильно оснащено и при этом в каждой точке А0 оснащающие плоскости Картана Кn-m-1 и Бортолотти Bn-1 инцидентны [6].

Определяющие плоскость Картана точки:

,

принадлежат плоскости Бортолотти

тогда и только тогда, когда их координаты удовлетворяют уравнению

Следовательно, аналитическим условием согласованности оснащения подмногообразия Л является обращение в нуль относительного инварианта : бортолотти математика распределение гиперполосный

.

Отметим, что согласованное оснащение Л - подрасслоения является сильным: обратное утверждение, вообще говоря, неверно.



Список литературы

1. Будылкин А.А. Инвариантные нормализации скомпонованного гиперплоскостного распределения проективного пространства // Естественные и математические науки в современном мире / г. Новосибирск, 2015. вып. № 2 (26) -С. 24-33.

2. Попов Ю.И. Столяров А.В. Специальные классы регулярных гиперполос проективного пространство. Учебное пособие, издание 2-ое. Изд-во БФУ им. Им. Канта, Калининград, 2011. - 122 с.

3. Столяров А.В. Двойственная теория оснащенных многообразий; Монография 2-е изд. / Чуваш. Ин-т, Чебоксары 1994 г. 290 с.

4. Cтоляров А.В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов. - В кн.: Проблемы геометрии (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР), - М., 1975, Т. 7, С 117-151.

5. Фисунов П.А. Двойственные нормальные связности на гиперполосах специальных классов. - Чебоксары, 1999. - 33 с. - Деп. В ВИНИТИ РАН 1999. - № 1835-В99.

6. Фисунова С.В. Двойственные линейные связности на распределении гиперплоскостных элементов. // Дифференц. Геометрия многообразий фигур. - Калининград, 1999, № 30. - С. 94-97.

7. Bortolotti E. Connessioni nelle varieta luogo di spati; applicazione alla geometria metrica differenziale delle cngruenze di rette // Rend. Semin. Sci. Univ. Cagliari. - 1933, - V. 3, - P. 81-89.

8. Cartan E. Les espaces a connexion projective // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. - М., 1937. - Вып. 4. - С. 147-159.

Размещено на Аllbest.ru

...