О задаче сопряжения для псевдопараболических уравнений третьего порядка
Определение псевдопараболических уравнений по характеру свойств решений. Решение задачи сопряжения для псевдопараболических уравнений третьего порядка с использованием тождества Лагранжа, функций Грина и Римана. Определение условий разрешимости уравнения.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 18.05.2016 |
| Размер файла | 283,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
О ЗАДАЧЕ СОПРЯЖЕНИЯ ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Молдояров Уларбек Дуйшобекович
ст. преподаватель кафедры ИТАС,
Ошский государственный университет,
Кыргызская Республика, г. Ош,
Аннотация
Методом функции Грина и Римана доказана разрешимость задачи сопряжения для псевдопараболических уравнений третьего порядка, когда линия изменения типа уравнений является характеристической линией.
Abstract
The methods of Green and Riemann functions proved the solution of the conjugation problem for a pseudoparabolic third order equations, when the line of changing the type of equations is the characteristic line.
Ключевые слова: задача сопряжения, краевые условия, функции Римана и Грина, псевдопараболические уравнения, уравнение Вольтерра.
Keywords: Conjugation problem, boundary conditions, pseudoparabolic equations and Volterra equation.
1. Постановка задачи
В области , ограниченная линиями где - монотонно невозрастающая кривая, причем . Рассмотрим задачу сопряжения для уравнений
, (1)
, (2)
где: .
Пусть означает класс функций, имеющих производные Относительно коэффициентов и заданных функций предполагаем следующее
(3)
Уравнения вида (1) и (2) часто называются псевдопараболическими по характеру свойств решений [6; 7]. Вырождающиеся параболические уравнения вида (1) рассмотрены в работах [1; 2; 6]. Частные случаи уравнений вида (1) и (2) встречаются при изучении поглощения почвенной влаги растениями [3].
Задача 1. Найти функцию , удовлетворяющую уравнения (1) и (2) в областях и соответственно краевым условиям
(4)
(5)
и начальному условию
(6)
где: - заданные гладкие функции, причем
(7)
Введем следующие обозначения
(8)
где - пока неизвестные функции.
2. Соотношения, полученные из области
Продифференцировав уравнение (1) по будем иметь
(9)
где: - известная функция.
Рассмотрим следующую смешанную задачу: найти в области решения уравнения (9), удовлетворяющие краевые условия
(10)
Решение задачи (9), (10) через функции Грина представимо в виде [4]
(11)
где:
псевдопараболический уравнение сопряжение тождество
- является решением следующей сопряженной задачи
При из (11) получаем соотношение между и :
(12)
где:
.
3. Соотношение между и из области
Составим тождество Лагранжа
(13)
где: .
Пусть произвольная точка области . Осуществляя интегрирование тождества (13) по области и учитывая свойства функции Римана , имеем представление
(14)
где:
Функцией Римана назовем решение уравнения
, (15)
удовлетворяющее условия
(16)
(17)
причем является решением следующей задачи Коши:
(18)
Очевидно, что решение задачи (18) существует и в единственном виде. Разрешимость этой задачи эквивалентно сводится к решению интегрального уравнения Вольтерра второго рода
. (19)
Решение интегрального уравнения (19) через резольвента представим в виде
где: -ядро резольвента
Из (15) - (18) для функции Римана получаем интегральное уравнение
(20)
Лемма 1. Если
(21)
то (22)
Из (22) вытекает неравенство
(23)
Используя второе условие (4) из (14), имеем
(24)
где: .
Если учесть неравенство (23), то уравнение (24) является интегральным уравнением Вольтерра второго рода и ее обращение относительно имеет вид
(25)
где:
4. Сведение задачи к интегральному уравнению
Из (12) и (25) получим
(26)
где:
Так, разрешимость задачи 1 эквивалентно редуцировалась к разрешимости интегрального уравнения Вольтерра второго рода (26) имеющее слабое ядро, которое допускает единственное непрерывное решение.
Таким образом, доказана нижеследующая теорема.
Теорема. Если выполняются условия (3), (7) и (21), то решение задачи 1 существует и единственно.
Список литературы
1. Базалий Б.В., Дегтярёв С.П. Первая краевая задача для вырождающихся параболических уравнений // Нелин. граничн. задачи. - 1991. Вып. З. - С. 6-13.
2. Исянгильдин А.Х. Краевые задачи нелокальными условиями сопряжения для дифференциальных уравнений смешанного типа: автереф. дис. … канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. - Уфа, 1996. - 11 с.
3. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. - М.: Высш. шк., 1995. - 301 с.
4. Сопуев А. Краевые задачи для уравнений четвертого порядка и уравнений смешанного типа // Дис. … докт. физ.-мат. наук: 01.01.02. - Бишкек, 1996. - 249 с.
5. Colton D. Pseudo parabolic equations in One Space variable // J. Differential Equations. - 1972. № 12. - P. 559-565.
6. Pagani C.D. On the parabolic equation a related one // Ann. mat. pure ed apple. Ser. Quarto. - 1974. T. 10. - P. 333-399.
7. Rundell W., Stecher M. Remarks concerning the supports of solutions of pseudoparabolic equation // Proc. Amer. Math. Sos. - 1977. V. 63. № 1. - P. 77-81.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, однородных, линейных уравнений первого порядка и уравнений допускающего понижение порядка. Введение функций в решение уравнений. Интегрирование заданных линейных неоднородных уравнений.
контрольная работа [92,7 K], добавлен 09.02.2012Характеристика уравнений с разделяющимися переменными. Сущность метода Бернулли и метода Лагранжа, задачи Коша. Решение линейных уравнений n-го порядка. Фундаментальная система решений - набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.
контрольная работа [355,9 K], добавлен 28.02.2011Виды дифференциальных уравнений: обыкновенные, с частными производными, стохастические. Классификация линейных уравнений второго порядка. Нахождение функции Грина, ее применение для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями.
курсовая работа [4,8 M], добавлен 29.04.2013Появление понятия функций Ляпунова. Развитие теории устойчивости движения. Применение функций Ляпунова к исследованию продолжимости решений дифференциальных уравнений. Методы построения функций Ляпунова, продолжимость решений уравнений третьего порядка.
дипломная работа [543,4 K], добавлен 29.01.2010Теория определителей в трудах П. Лапласа, О. Коши и К. Якоби. Определители второго порядка и системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Определители третьего порядка и свойства определителей. Решение системы уравнений по правилу Крамера.
презентация [642,7 K], добавлен 31.10.2016Практическое решение дифференциальных уравнений в системе MathCAD методами Рунге—Кутты четвертого порядка для решения уравнения первого порядка, Булирша — Штера - системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и Odesolve и их графики.
лабораторная работа [380,9 K], добавлен 23.07.2012Определители второго и третьего порядков, свойства определителей. Два способа вычисления определителя третьего порядка. Теорема разложения. Теорема Крамера, которая дает практический способ решения систем линейных уравнений используя определители.
лекция [55,2 K], добавлен 02.06.2008Дифференциальные уравнения Риккати. Общее решение линейного уравнения. Нахождение всех возможных решений дифференциального уравнения Бернулли. Решение уравнений с разделяющимися переменными. Общее и особое решения дифференциального уравнения Клеро.
курсовая работа [347,1 K], добавлен 26.01.2015Система двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, порождённая прямым и обратным преобразованиями Беклунда высшего аналога второго уравнения Пенлеве. Аналитические свойства решения, наличие у системы четырёхпараметрических семейств решений.
реферат [104,0 K], добавлен 28.06.2009Понятия и решения простейших дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений произвольного порядка, в том числе с постоянными аналитическими коэффициентами. Системы линейных уравнений. Асимптотическое поведение решений некоторых линейных систем.
дипломная работа [395,4 K], добавлен 10.06.2010Определение понятия уравнения с параметрами. Принцип решения данных уравнений при общих случаях. Решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями. Девять примеров решения уравнений.
реферат [67,0 K], добавлен 09.02.2009Система линейных уравнений. Общее и частные решения системы линейных уравнений. Нахождение векторного произведения. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Исследование функции на непрерывность. Тригонометрическая форма числа.
контрольная работа [128,9 K], добавлен 26.02.2012Абсолютная величина и её свойства. Простейшие уравнения и неравенства с модулем. Графическое решение уравнений и неравенств с модулем. Иные способы решения данных уравнений. Метод раскрытия модулей. Использование тождества при решении уравнений.
курсовая работа [942,4 K], добавлен 21.12.2009Понятие о голоморфном решении задачи Коши. Теорема Коши о существовании и единственности голоморфного решения задачи Коши. Решение задачи Коши для линейного уравнения второго порядка при помощи степенных рядов. Интегрирование дифференциальных уравнений.
курсовая работа [810,5 K], добавлен 24.11.2013Анализ методов решения систем дифференциальных уравнений, которыми можно описать поведение материальных точек в силовом поле, законы химической кинетики, уравнения электрических цепей. Этапы решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений.
курсовая работа [791,0 K], добавлен 12.06.2010Описание общих принципов метода сеток, его применение к решению параболических уравнений. Исследование разрешимости получаемой системы разностных уравнений. Разработка программы для численного решения поставленной задачи, выполнение тестовых расчетов.
курсовая работа [165,8 K], добавлен 12.10.2009Приведение к системе уравнений первого порядка. Разностное представление систем дифференциальных уравнений. Сеточные методы для нестационарных задач. Особенность краевых задач второго порядка. Разностные схемы для уравнений в частных производных.
реферат [308,6 K], добавлен 13.08.2009Знакомство с уравнениями и их параметрами. Решение уравнений первой степени с одним неизвестным, определение множества допустимых значений неизвестного. Понятие модуля числа, решение линейных уравнений с модулем и квадратных уравнений с параметром.
контрольная работа [122,1 K], добавлен 09.03.2011Изучение биографии и деятельности Франсуа Виета и его вклада в математику. Определение понятия квадратного уравнения. Сущность уравнений частного порядка и их решение рациональным способом. Анализ теоремы Виета как инструмента для решения уравнений.
презентация [320,7 K], добавлен 31.05.2019Сведения из истории математики о решении уравнений. Применение на практике методов решения уравнений и неравенств, основанных на использовании свойств функции. Исследование уравнения на промежутках действительной оси. Угадывание корня уравнения.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 07.09.2010
