Методики введения различных множеств чисел для школьников и студентов и выявление наиболее оптимально варианта

Размещено на http://www.allbest.ru/

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

1. Особенности введения действительных чисел в вузе

1.1 Некоторые сведения из теории множеств

1.2 Натуральные и целые числа

1.2.1 Отношение эквивалентности

1.2.2 Мощность множества. Целые положительные числа

1.2.3 Отношение порядка на множестве N

1.2.4 Построение кольца целых чисел

1.2.5 Построение множества всех рациональных чисел

1.2.6 Арифметические операции над рациональными числами

1.2.7 Отношение порядка на множестве Q

1.2.8 Представление рациональных чисел в виде бесконечных десятичных дробей

1.3 Вещественные числа

1.3.1 Сечение Дедекинда

1.3.2 Множество R всех вещественных чисел и его полнота

1.3.3 Числовые множества и их границы

2. Особенности введения действительных чисел в школе

2.1 Натуральные числа

2.1.1 Натуральный ряд

2.1.2 Разряды в записи числа

2.1.3 Расширенный ряд натуральных чисел

2.1.4 Сравнение натуральных чисел

2.1.5 Арифметические операции над натуральными числами

2.2 Целые числа

2.2.1 Арифметические операции над целыми числами

2.3 Рациональные числа

2.3.1 Арифметические действия над рациональными дробями

2.3.2 Десятичные дроби

2.3.3 Бесконечные десятичные дроби. Периодические десятичные дроби

2.4 Иррациональные числа

2.5 Действительные числа

Заключение

Список литературы



ВВЕДЕНИЕ

Курсовая работа содержит:

- 4 использованных источника;

- 2 главы.

В курсовой работе изучаются особенности введения множества действительных чисел.

Целью курсовой работы являются изучение методик введения различных множеств чисел для школьников и студентов и выявление наиболее оптимально варианта.

Для достижения поставленной цели использовались

- различные учебные пособия;

- собственные рассуждения.

В курсовой работе получены следующие результаты:

1) рассмотрены основные определения и теоремы, помогающие усвоить особенности введения действительных чисел для студентов;

2) установлены основные причины возникновения тех или иных множеств;

Курсовая работа носит исключительно теоретический характер. Её результаты могут лечь в разработку оптимальных вариантов преподнесения материала как для школьников, так и для студентов.

Эта курсовая работы разбита на две логические главы: введение действительных чисел в вузе и введение действительных чисел в школе. В основу первой части лег подход Дедекинда определения множества действительных чисел. Если Вейерштрасс в качестве модели вещественного числа использовал его формальную десятичную запись, то Дедекинд предложил иной подход, основанный на Дедекиндовых сечениях множества рациональных чисел. Современные курсы математического анализа излагают чаще всего теорию Дедекинда.

1. ОСОБЕННОСТИ ВВЕДЕНИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В ВУЗЕ

1.1 Некоторые сведения из теории множеств

Для того, чтобы ввести множество действительных чисел так, как они вводятся в книге Э.И. Зверовича «Вещественный и комплексный анализ», надо вспомнить теорию множеств.

Множеством будем называть совокупность, собрание, коллекцию, набор каких-либо предметов. Например, можно говорить о множестве всех домов данного города, множестве учеников данной школы. Множества будем обозначать прописными буквами латинского алфавита. Все множества состоят из элементов. Запись «x A» означает, что элемент x принадлежит множеству A( или x является элементом A). Запись «x A» означает, что элемент x не принадлежит множеству A. Задать множество - это означает указать правило, позволяющее отличать элементы данного множества, от других элементов, которые не принадлежат данному множеству. [1]

Между некоторыми парами множеств устанавливается отношение включения. Говорят, что множество A включается в множество B (или множество A содержится в множестве B), если все элементы множества A являются элементами множества B, и обозначается A B. В данном случае говорят, что множество A называется подмножеством множества B. Отношение включения обладает следующим свойством транзитивности: A B, B C A C, т.е. если A является подмножеством B, а B - подмножество C , то A является подмножеством C. Равенство двух множеств равносильно тому, что каждое из них содержится в другом. [1]

Кроме множеств, содержащих элементы, вводится в рассмотрение пустое множество, т.е. множество, в котором вообще нет элементов. Оно обозначается символом . Включение A выполняется для любого множества. [1]

Важнейшими операциями над множествами являются объединение (), пересечение () и разность ().

Определение(1.1). Объединением двух множеств A и B называется множество A B, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B. [1]

Если известно, что множества А и В не пересекаются, то их объединение обозначают иногда символом и называют дизъюнктным объединением.

Определение(1.2). Пересечением множеств A и B является множество A B, которое состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежит как множеству A, так и множеству B. [1]

Определение(1.3). Разностью множеств A и B называется множество , элементы которого принадлежат A и не принадлежат B. [1]

Из других операций над множествами в анализе часто используется декартово произведение, т.е. множество A B, состоящее из всех упорядоченных пар (a, b), где a A, b B.[1]

Все эти сведения помогут понять, как вводятся действительные числа способом, который будет представлен ниже.

1.2 Натуральные и целые числа

1.2.1 Отношение эквивалентности

Всем известен тот факт, что множество натуральных чисел является подмножеством множества действительных чисел. Поэтому сначала мы введём натуральные числа, которые будут основой дальнейших рассуждений.

Определение(1.4). Бинарным отношением на множестве М называется любое подмножество декартова произведения M M, т.е. Если (a; b) , то говорят, что элементы a и b находятся между собой в отношении . [1]

Задавая различные подмножества множества M M, будем получать разные бинарные отношения. Примером бинарного отношения является отношение эквивалентности.

Определение(1.5). Отношением эквивалентности (~) на множестве M называется такое бинарное отношение на M, которое a, b, c M удовлетворяет следующим условиям:

1) a ~ a (рефлективность);

2) a ~ b a ~ b (симметричность);

3) a ~ b, b ~ c a ~ c (транзитивность). [1]

Определение(1.6). Пусть ~ - отношение эквивалентности на множестве М. Класс эквивалентности элемента a M определяется так:

. [1]

Теорема(1.1). Любые два класса эквивалентности либо не пересекаются, либо совпадают.

Считается, что M и заданы. Пусть и - классы эквивалентности. Если

,

то . По определению5 имеем: , откуда по симметричности и транзитивности заключаем, что ; поэтому

= . [1]

Определение(1.7). Фактор-множеством множества М по отношению эквивалентности называется множество элементами которого являются всевозможные классы эквивалентности, т.е.

. [1]

1.2.2 Мощность множества. Целые положительные числа

Определение(1.8). Два множества называются равномощными, если существует биективное отображение одного из них на другое. Для конечных множеств это означает, что они содержат одинаковое количество элементов, но это определение имеет смысл и для бесконечных множеств. [1]

Существует теорема, которая говорит, что равномощность есть отношение эквивалентности на любой непустой совокупности множеств. Используя эту теорему и утверждение, что любые два класса эквивалентности либо не пересекаются, либо совпадают, можем ввести понятие мощности множества.

Определение(1.9). Мощностью множества M будем называть класс множеств, равномощных с множеством M. Другими словами, мощность есть обобщение понятия количества элементов во множестве, которое имеет смысл и для бесконечных множеств. Для обозначения мощности будем использовать вертикальные отрезки, с обеих сторон буквы, обозначающей множество (M). [1]

Определение(1.10). Непустое множество М называется конечным, если оно не равномощно никакому собственному подмножеству. Мощности M непустых конечных множеств условимся называть натуральными числами. [1]

Множество натуральных чисел будем обозначать буквой . Так как

,

То

.

Если

,

то полагаем

,

вводя тем самым натуральное число 1. Если

,

То

.

Если

,

то полагаем

,

вводя тем самым натуральное число 2. Если

,

То

.

Если

,

то полагаем

,

вводя тем самым натуральное число 3. Продолжая этот процесс до тех пор, пока не окажется, что

,

вводим тем самым натуральное число

. [1]

Таким образом, можно представить множество в следующем виде:

.

Очевидно, что множество бесконечное. Введём арифметические операции над натуральными числами.

1. Сумму двух натуральных чисел определим равенством

,

где и - непересекающиеся конечные множества, для которых

, .

Из коммутативности и ассоциативности дизъюктного объединения вытекают соответствующие свойства суммы чисел:

. [1]

2. Пусть - непустые конечные множества, причём , . Далее, пусть ,. Разность

определяется так:

. [1]

Поскольку

,

Причём

,

То

, т.е. . [1]

3. Произведение натуральных чисел , определим так:

,

где и - конечные множества, для которых , . Произведение обладает свойством коммутативности, т.е.

.

Из ассоциативности декартова произведения множеств вытекает ассоциативность произведения натуральных чисел, т.е.

.

Так же можно определить распределительных закон:

.

И наконец,

[1]

1.2.3 Отношение порядка на множестве N

Пусть a, b, c .

Определение(1.11). Будем говорить, что , если

. [1]

Теорема(1.2) (свойство линейной упорядоченности). Для любых двух натуральных чисел выполняется только одно из следующих соотношений:

.

Пусть и - такие множества, что и , . Если , то . Если же , то множества и неравномощны. В этом случае существует либо инъекция и тогда , либо инъекция и тогда . [1]

Справедливы также следующие свойства: :

Теорема(1.3) (свойство транзитивности). Пусть . Если , то .

Cуществуют числа , такие, что

, .

Отсюда

,

т.е. . [1]

Так же справедливы неравенства .

Таким образом, можно утверждать, что множество построено, а операции на нём определены.

1.2.4 Построение кольца целых чисел

Построение кольца действительных чисел будет производиться добавлением во множество натуральных чисел недостающих элементов (нуль и отрицательные числа). Мотивом расширения множества натуральных чисел служит проблема обеспечения неограниченной возможности вычитания. На множестве эта операция ограничена, т.к. мы можем отнимать только меньшее число из большего.

Целое число 0 (нуль) вводим как мощность пустого множества , т.е.

.

Естественно считать, что для любого выполняется неравенство , а также равенства

. [1]

Введём два биективных образа множества . Первый назовём множеством всех положительных целых чисел

,

а второй - множеством всех отрицательных целых чисел

. [1]

Объединив эти множества и множество , получим множество всех целых чисел:

. [1]

Подчиняя введённые числа неравенствам:

c сохранением свойства транзитивности, превращаем в линейно упорядоченное множество.

Для того, чтобы ввести арифметические операции, сначала отождествим целые положительные числа с соответствующими натуральными числами, т.е. положим:

.

Кроме того, полагаем, что

.

Модуль целого числа a определим как целое неотрицательное число , равное , т.е. положим

.

Теорема(1.4). Для любых имеем:

1) (коммутативность);

2) (ассоциативность);

3) (свойство нуля);

4) (сумма противоположных чисел).

Определив сумму любых двух чисел, легко определить и их разность, сведя ее к сумме:

. [1]

Теорема(1.5) (неравенство треугольника). Для любых справедливы следующие неравенства:

[1]

Операция умножения целых чисел определяется с помощью операции умножения натуральных чисел и известного правила знаков.

Произведение целых чисел определяется следующим образом:

Теорема(2.6). Для любых имеем:

1) (коммутативность);

2) (ассоциативность);

3) (свойство единицы);

4) (дистрибутивность);

5) (отсутствие делителей нуля). [1]

Отметим, что множество всех целых чисел вместе с операцией сложения и умножения является кольцом. Кольцом называется всякое множество, в котором введены две операции (называемые обычно сложением и умножением). По отношению к операции сложения должны выполняться все утверждения теоремы 3. По отношению к операции умножения - условия ассоциативности и дистрибутивности. Если выполнена коммутативность умножения, то кольцо называется коммутативным; если в нем есть элемент 1, оно называется кольцом с единицей. Если же выполнено и условие (5) из теоремы 5, то оно называется кольцом без делителей нуля. [1]

1.2.5 Построение множества всех рациональных чисел

Рассмотрим уравнения вида

,

где и - известные целые числа, а - неизвестное. Чтобы решение было возможным, необходимо ввести операцию деления (:), и решение приобретает вид

множество натуральный вещественный введение

,

то есть

.

Опять возникает проблема, что x не всегда принадлежит , поэтому множество целых чисел необходимо расширить. Таким образом, вводится множество рациональных чисел с элементами , где и .

Обыкновенными дробями условимся называть элементы декартова произведения

Пусть Условимся записывать обыкновенную дробь в виде , или , или . Таким образом, множество всех обыкновенных дробей можно записать следующим образом:

.

Присвоим этой формуле номер (1).

Введем на этом множестве отношение эквивалентности (равенства дробей).

Равенство обыкновенных дробей определяется следующим образом:

.

Этому утверждению присвоим номер (2)

Рациональными числами условимся называть классы эквивалентности множества (1) всех обыкновенных дробей по отношению (2) равенства дробей.

Через будем обозначать множество всех рациональных чисел, т.е. следующее фактор-множество:

[1]

С учётом всего вышеперечисленного, имеем Таким образом, множество есть расширенное множество .

1.2.6 Арифметические операции над рациональными числами

Введём понятие поля в алгебраическом смысле.

Определение(1.12). Множество называется полем, если в нём введены две операции (сложение и умножение), которые обладают следующими свойствами:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9) [1]

Определение(1.13). Арифметические операции над обыкновенными дробями определяются следующими равенствами:

1)

2)

3) [1]

Теорема(1.7). Множество всех рациональных чисел вместе с операциями, введёнными в определении (2.13), является полем. [1]

Замечание: как и в любом поле, в поле отсутствуют делители нуля, т.е.

Предположим, что

Тогда и мы имеем

т.е.

. [1]

1.2.7 Отношение порядка на множестве Q

Рассмотрим отношение порядка на множестве

Определение(1.14). Пусть а - дробь, которая представляет число . Будем полагать, что если - целые числа, имеющие одинаковые знаки. Пусть - любые рациональные числа. Будем считать, что , если и только если

[1]

Определение(1.15). Модуль числа определяется равенством

Очевидно, что

,

Причем

[1]

Теорема(1.8) (неравенство треугольника). Для любых справедливы следующие неравенства

[1]

Теорема(1.9) (свойство плотности). Для любых двух не равных между собой чисел существует число , заключенное между ними. Таких чисел бесконечно много. [1]

Отношение порядка обладает свойством транзитивности:

Доказательство этого утверждения получаем из сложения неравенств

[1]

1.2.8 Представление рациональных чисел в виде бесконечных десятичных дробей

Введем необходимые определения.

Определение(1.15). Десятичной мантиссой называется всякое отображение вида

[1]

Присвоим этому отображению номер (3).

Условимся записывать мантиссу в виде где - поэлементная запись отображения (3). [1]

Определение(1.16). Бесконечной десятичной дробью условимся называть всякое выражение вида где - целое неотрицательное число, а после десятичной точки записана десятичная мантисса. [1]

Условимся каждую десятичную дробь рассматривать как десятичную бесконечную, мысленно добавляя к ней последовательность нулей. Бесконечные десятичные дроби подразделяются на периодические и непериодические. Это зависит от свойств мантисс.

Определение(1.17). Мантисса называется периодической, есть её можно представить в виде

где запись означает, что последовательность цифр считается записанной справа бесконечно много раз подряд. [1]

Теорема(1.10). Каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической дроби. Верное и обратное утверждение, что каждая такая дробь представляет рациональное число. [1]

1.3 Вещественные числа

Если натуральные числа возникли в процессе счета, рациональные -- из потребности оперировать частями целого, то вещественные числа предназначены для измерения непрерывных величин. Таким образом, расширение запаса рассматриваемых чисел привело к множеству вещественных чисел, которое помимо чисел рациональных включает также другие элементы, называемые иррациональными.

1.3.1 Сечение Дедекинда

Желая расширить множество , введем понятие сечения.

Определение(1.18). Множество называется сечением, если выполнены следующие условия:

1)

2)

3) множество не содержит наибольшего числа. [1]

Условимся употреблять буквы q, p, r, … только для обозначения рациональных чисел, а сечение условимся обозначать буквами …. Исключение будут составлять те случаи, когда сечение явным образом связано с некоторым рациональным числом.

Теорема(1.11). Если

[1]

Лемма(1.1). Пусть - множество, включающее в себя все отрицательные числа, нуль и все положительные рациональные числа, квадрат которых меньше двух. Множество - сечение, притом такое, что среди его верхних чисел нет наименьшего. [1]

Однако для некоторых сечений наименьшее число существует. Это вытекает из следующей теоремы.

Теорема(1.12). Пусть r . Определим множество следующим образом:

Тогда - сечение, а r - наименьшее его верхнее число.

Определение(1.19). Сечение, построенное в теореме (1.12), будем называть рациональным сечением, а r - его пограничным числом. [1]

Определение(1.20). Сечения считаются равными, если они равны как множества. В случае их неравенства считаем, что , если . [1]

Таким же образом определяются и другие отношения порядка между сечениями. Далее изучим свойства отношения порядка на множестве сечений.

Теорема(1.13) (линейная упорядоченность сечений). Для любых сечений выполняется только одно из следующих трех соотношений:

,

Теорема(1.14) (плотность множества сечений). Для любых двух сечений не равных между собой существует сечение, заключенное между ними. Таких сечений бесконечно много. [1]

Теорема(1.15) (свойство транзитивности). Пусть - сечения. Тогда

Теорема(1.15). Пусть - сечения и

.

Тогда - сечение. [1]

Определение(2.21). Сечение, построенное в теореме (2.15), обозначается и называется суммой сечений . [1]

Теорема(1.16). Пусть - сечения. Тогда выполняются следующие условия:

1)

2)

3)

4)

5) [1]

Теорема(1.17). Для любых сечений таких, что , справедливо неравенство

В частности, полагая

имеем: если

,

То

[1]

Определение(1.22). Модулем сечения называется неотрицательное сечение | |, задаваемое следующим образом:

| |:=

Теорема(1.18).Для любых сечений имеем

. [1]

Определение(1.23). Для любых сечений полагаем

Кроме того, произведение сечений считается равным нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

Теорема(1.19). Пусть - сечения. Тогда:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8) . [1]

Теорема(1.20). Для любых имеем:

1)

2)

3) [1]

Теорема(1.21). Для любого сечения имеем: [1]

1.3.2 Множество R всех вещественных чисел и его полнота

В предыдущем пункте были рассмотрены некоторые множества - сечения. На множестве всех сечений были введены отношения порядка и арифметические операции. Выяснилось, что арифметика сечений совпадает с арифметикой рациональных чисел. Так же внимание было уделено тому, что упорядоченное поле всех рациональных чисел изоморфно упорядоченному полю всех рациональных сечений. Этот изоморфизм установлен в теореме (2.19). Это позволяет отождествить любое рациональное сечение с порождающим его рациональным числом . Да, - это не то же самое, что и , но их свойства, которые мы изучаем, одинаковы в обоих полях. Поэтому можно дать следующее определение.

Определение(1.24). Вещественными, или действительными, числами будем называть сечения. Рациональные сечения будем называть рациональными числами, а все остальные сечения - иррациональными числами. [1]

Таким образом, все свойства сечений Дедекина - это свойства вещественных чисел. Множество всех действительных чисел будем обозначать символом . Важнейшим свойством действительных чисел является свойство непрерывности. Одну из формулировок, которые устанавливают это свойство, приведём ниже.

Теорема(1.22) (Дедекинда). Пусть - такие множества вещественных чисел, что

1)

2)

3)

Тогда

[1]

Теперь рассмотрим вопрос о представлении вещественных чисел в виде бесконечных десятичных дробей. На множестве всех бесконечных десятичных дробей можно естественным образом ввести арифметические операции и порядок. Таким способом множество всех десятичных дробей можно превратить в линейно упорядоченное поле.

Рациональные числа изображаются бесконечными периодическими дробями, а иррациональные - бесконечными непериодическими. Этот вывод можно сделать благодаря теореме, которая говорит, что каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической дроби. Вещественные же числа определяются как бесконечные десятичные дроби. Так можно утверждать благодаря следующей теореме.

Теорема(1.23). Если исключить из рассмотрения все периодические дроби, периодом которых является цифра 9, то оказывается, что упорядоченное поле вех остальных десятичных дробей изоморфно упорядоченному полю всех вещественных чисел. [1]

Теорема(1.24). Существует биективное и сохраняющее порядок соответствие между множеством всех вещественных чисел и множеством всех точек числовой оси. [1]

Вещественное число , которое согласно предыдущей теореме соответствует данной точке , лежащей на числовой оси, называется координатой точки . Эта же теорема показывает, что вещественных чисел достаточно для того, чтобы каждой точке числовой оси приписать координату. Поэтому множество можно отожествить с множеством всех точек числовой оси.

1.3.3 Числовые множества и их границы

Определение(1.25). Числовым множеством называется любое подмножество множества всех вещественных чисел. [1]

Примеры числовых множеств: , а так же любое непустое конечное множество чисел.

Наиболее часто встречающиеся примеры числовых подмножеств - числовые промежутки. Для их определения необходимо задать два числа . Так же

Определение(1.26). Множество

называется открытым промежутком или интервалом. [1]

Определение(1.27). Множество

называется замкнутым промежутком или отрезком. [1]

Определение(1.28). Множества

называются полуоткрытыми промежутками или полуинтервалами. [1]

Определение(1.29). Множества

называются открытыми лучами или полубесконечными интервалами.[1]

Определение(1.30). Множества

называются полубесконечными отрезками. [1]

Иногда минус бесконечность и плюс бесконечность присоединяют к множеству и постулируют, что . Поэтому множество мы можем записать в виде интервала . Присоединив элементы и к множеству , получим упорядоченное расширение множества

и играют роль самого маленького и большого числа соответственно, хотя числами они не являются. [1]

Так же можно ввести понятие ограниченного множества, нижней и верхней границ.

Определение(1.31). Числовое множество называется ограниченным сверху, если . Число называется верхней границей множества . Наименьшая из всех верхних границ называется точной верхней границей множества и обозначается. [1]

Определение(1.32). Числовое множество называется ограниченным снизу, если Число называется нижней границей множества . Наибольшая из всех нижних границ называется точной нижней границей множества и обозначается символом. [1]

Определение(1.33). Числовое множество называется ограниченным, если оно ограничено как сверху, так и снизу. [1]

Существует теорема, которая говорит, что если множество ограниченно сверху, то существует единственное число , а если снизу, то существует единственное число. Эта теорема решает проблему существования у числовых множеств точных границ. Эта проблема имеет в математическом анализе фундаментальное значение.

Иногда целесообразно рассматривать точные верхнюю и нижнюю грани неограниченных множеств. Тогда по определению полагают, что

,

если множества непустые и не ограничены ни снизу, ни сверху. [1]

И так же для пустого множества естественно принять такое определение:

[1]

Теперь можно говорить, что множество действительных чисел введено.

2. ОСОБЕННОСТИ ВВЕДЕНИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В ШКОЛЕ

2.1 Натуральные числа

Когда детей учат считать, то первым называют числом 1, затем 2, 3 и так далее. Эти числа, возникающие при счёте, называются натуральными.

Необходимость в натуральных числах возникает не только при счёте, но и чтобы выразить результаты измерения различных величин: длины, площади, объёма и так далее. Так же натуральные числа необходимы при решении многих задач.

2.1.1 Натуральный ряд

Натуральные числа , записанные в том порядке, в каком используются при счёте, называются натуральным рядом. Натуральный ряд обозначается буквой .

В натуральном ряду за каждым числом следует число, большее на 1. Процесс перечисления натуральных чисел не имеет конца, поэтому натуральный ряд бесконечен. [3]. Доказывается это утверждение очень просто: допустим, что это не так. Пусть существует наибольшее натуральное число - n. Прибавив к n единицу, получим натуральное число n+1, которое больше n, что противоречит предположению.

2.1.2 Разряды в записи числа

Все натуральные числа можно записать с помощью десяти цифр: . Условимся цифры называть чётными, а - нечётными. Значение цифры в записи числа зависит от её позиции. Эта позиция называется разрядом. Например, в записи 9702 двойка означает две единицы, нуль - нуль десятков, семь - семь сотен, девять - девять тысяч. Поэтому указанную систему записи чисел называют десятичной позиционной системой счисления.

Чтобы было удобно прочитать многозначное число, его разряды объединяют в группы, по три разряда в каждой группе, начиная с первого разряда, т.е. справа налево. Каждая такая группа называется классом. Первые три цифры справа (единицы, десятки, сотни) составляют класс единиц, три следующие (единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч) - класс тысяч. Далее идут классы миллионов, миллиардов и т.д. [3]

2.1.3 Расширенный ряд натуральных чисел

Расширим ряд натуральных чисел, добавив к нему число 0. Нуль считается числом, предшествующим всем натуральным числам. Ряд натуральных чисел с числом 0 обозначается

2.1.4 Сравнение натуральных чисел

Узнать, какое из натуральных чисел больше или меньше другого очень просто. Из двух натуральных чисел меньше то, которое при счёте называется раньше. Т.е. из двух натуральных чисел меньшим считается то, которое в натуральном ряду расположено левее, а большим - то, которое расположено правее. В натуральном ряду число 7 расположено левее числа 11, значит, 7 меньше 11. [3]

Результат сравнения двух чисел записывают при помощи знаков больше «» и меньше «». Так,

,

А

.

Такие записи называются неравенствами.

Для сравнения многозначных натуральных чисел удобно пользоваться следующими двумя правилами:

1. Из двух натуральных чисел с разным количеством разрядов меньше то, у которого разрядов меньше. [3]

Например, сравним числа 9879 и 12893. Т.к. у числа 9879 четыре разряда, а у числа 12893 пять разрядов, то

.

2. Два натуральных числа с одинаковым количеством разрядов сравнивают поразрядно, начиная с высшего разряда. Меньше то число, у которого цифра наибольшего отличающегося разряда меньше. [3]

Сравним числа 2739 и 5300. Высший разряд каждого из них четвёртый. У первого числа 2 единицы четвёртого разряда, а у второго - 5 единиц. Значит

Считается, что 0 меньше любого натурального числа.

2.1.5 Арифметические операции над натуральными числами

Над натуральными числами можно производить арифметические действия: сложение, вычитание, умножение и деление.

Сложить два числа, например 5 и 2, значит прибавить к 5 единицу два раза. Полученное число называют суммой и обозначают , а числа 5 и 2 - слагаемыми.

Если одно из слагаемых равно нулю, то сумма равна другому слагаемому, т.е. при любом числе

. [3]

Чтобы сложить несколько натуральных чисел, то надо сложить сначала два из них, а затем к сумме прибавить следующее натуральное число и т.д. Очевидно, что сумма двух натуральных чисел - натуральное число.

Сложение натуральных чисел подчинено переместительному (коммутативному) закону, т.е. от перемены мест слагаемых сумма не меняется:

;

и сочетательному закону:

Вычесть из натурального числа a натуральное число b - значит найти такое число x, которое в сумме с числом b даст число a, т.е.

Число называется разностью чисел a и b и обозначается

.

Число a называется уменьшаемым, а число b - вычитаемым. Из определения и свойств суммы легко понять, что . [3]. Когда у людей возникла необходимость вычитать из меньшего числа большее, стал вопрос о расширении множества натуральных чисел, что и станет толчком в дальнейших рассуждениях. Но пока, именно на множестве натуральных чисел, вычитание возможно лишь в случае, когда уменьшаемое больше вычитаемого. Разность двух таких чисел - натуральное число. Отметим, что

Произведением натурального a на натуральное число b, большее 1, называют сумму b слагаемых, каждое из которых равно a, и обозначают

.

Числа a и b называются множителями. Действие нахождения произведения чисел a и b называют умножением. Произведением числа a на 1 называют самое число a, т.е.

По определению считают, что

Умножение чисел обладает переместительным законом:

и сочетательным законом:

Это значит, что от перестановки множителей, результат произведения не измениться. [3]

Так же выполняется равенство

Это равенство называется распределительным законом относительно сложения. Ещё есть равенство, выражающее распределительных закон относительно вычитания:

Результат умножения двух натуральных чисел - натуральное число.

Разделить натуральное число a на натуральное число b - значит найти такое натуральное число c, при умножении которого на число b получается a, т.е.

Если

,

То

.

Число называется частным чисел a и b, число a - делимым, b - делителем числа a. Из определения следует, что

На нуль делить нельзя. [3]

Деление одного натурального числа на другое натуральное число нацело не всегда возможно. А как их разделить, выясним в дальнейшем.

2.2 Целые числа

Натуральные числа можно изображать точками на прямой линии. Чтобы определить положение точки на прямой по отношению к началу отсчёта, т.е. точке нуль, нужно знать не только её расстояние от нуля, но и указать, по какую сторону от начала отсчёта оно находится. Направление вправо называют положительным направлением, а влево - отрицательным. Положительное направление обозначают стрелкой.

Координатная прямая выглядит так:

Числа как раз называются отрицательными, а - положительными. Число 0 не является ни отрицательным, ни положительным.

Число, показывающее положение точки на координатной прямой называется координатой этой точки.

По рисунку видно, что, например, точки с координатами 5 и -5 находятся на одинаковом расстоянии от начала отсчёта. Поэтому эти числа называют противоположными. Для каждого числа существует ему противоположное ему число.

Натуральные числа, противоположные им числа и нуль называют целыми числами. Множество всех целых чисел обозначают

.

Меньшим считается число, которое расположено левее на координатной прямой, и большим то, которое расположено правее. Из этого следует, что всякое положительное число больше нуля, а всякое отрицательное - меньше. [2]

Введём понятие модуля числа. Модулем числа a называется неотрицательно число , определяемое формулой:

Для положительного числа модуль равен самому числу, например

,

а модуль отрицательного числа равен расстоянию от этого числа до начала координат, т.е. модуль отрицательного числа равен противоположному ему числа, например

2.2.1 Арифметические операции над целыми числами

Введение отрицательных чисел делает выполнимым действие вычитания над целыми числами. Теперь разность возможна и при . Арифметические действия над целыми числами выполняются по правилам, приведённым ниже.

Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и перед полученным числом поставить минус.[2]. Например,

Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо из большего модуля вычесть меньший и поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше. [2]. Например,

Отметим тот факт, что сумма противоположных чисел равно нулю.

Если надо сложить несколько чисел, среди которых есть положительные и отрицательные, можно сложить отдельно положительные и отдельно отрицательные, а потом к сумме положительных прибавить сумму отрицательных. [2]. Например,

Чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому. [2]. Например,

Чтобы перемножить два числа с разными знаками, нужно перемножить модули этих чисел и перед полученным числом поставить минус. [2]. Например,

При изменении знака любого множителя знак произведения изменяется, а модуль его остаётся тем же. Если же меняются знаки у обоих множителей, то знак произведения не изменится. Например,

.

Чтобы перемножить два отрицательных числа, нужно перемножить их модули, поэтому произведением двух отрицательных чисел всегда будет число положительное. [2]. Например,

Чтобы разделить отрицательно число на отрицательно число, нужно разделить модуль одного числа на другое. Поэтому результатом деления двух отрицательных чисел будет число положительное. [2] Например,

Чтобы разделить два числа с разными знаками, надо разделить их модули и перед результатом поставить знак минус. Поэтому результатом деления двух чисел с разными знаками всегда будет число отрицательное. Например,

При делении нуля на любое число получаем нуль.

Действия над целыми числами обладают теми же свойства, что и действия над натуральными числами.

Деление одного натурального числа на другое нацело не всегда возможно. Вследствие этого рассматривают более общее понятие - деление с остатком.

Разделить натуральное число a на натуральное число b с остатком - значит представить число a в виде

где q и r - неотрицательные целые числа, причём

.

Число q называется неполным частным, а r - остатком от деления числа a на b. Так же следует отметить, что для любой пары натуральных чисел a и b существует единственная пара неотрицательных чисел q и r.

2.3 Рациональные числа

Рациональной дробью называют упорядоченную пару (a; b) целых чисел a и b, у которой , т.к. на нуль делить нельзя. В рациональной дроби число a называют числителем, а b - знаменателем. [2]

Рациональные дроби, у которых числитель и знаменатель - положительные числа, называются положительными. Знаменатель положительной рациональной дроби показывает, на сколько равных частей разделена единица, а числитель - сколько взято таких частей. Отсюда следует правило сравнения рациональных дробей с равными знаменателями или с равными числителями.

Из двух положительных рациональных дробей с равными знаменателями больше та, числитель которой больше, и меньше та, числитель которой меньше:

Из двух положительных рациональных дробей с равными числителями больше та, знаменатель которой меньше, и меньше та, знаменатель которой больше:

Положительную рациональную дробь, числитель которой меньше знаменателя, называют правильной. Положительная рациональная дробь, числитель которой больше знаменателя, называется неправильной. Любая неправильная дробь больше правильной.

Теперь введёт понятие равенства двух рациональных дробей.

Две рациональные дроби и называют равными тогда и только тогда, когда

Из определения равенства двух рациональных дробей следует, что

где n - любое целое число, отличное от нуля. Рациональная дробь не изменится, если её числитель и знаменатель умножить на одно и то же целое число, отличное от нуля. Это позволяет привести две рациональные дроби и привести к общему знаменателю bd:

Число d называют дополнительным множителем первой дроби, число b - дополнительным множителем второй дроби.

Неравенство двух положительных рациональных дробей определяется следующим соотношением:

Обратное утверждение так же верное: если

То

Согласно определению равенства дробей можно сделать вывод, что при делении числителя и знаменателя на одно и то же число, дробь не изменится, т.е.

В таком случает говорят, что дробь сокращена на общий множитель числителя и знаменателя n. Например, числитель и знаменатель дроби можно сократить на общий множитель 3:

2.3.1 Арифметические действия над рациональными дробями

Суммой рациональных дробей и называют рациональную дробь, определённую формулой

т.е. дроби с разными знаменателями приводятся к общему знаменателю; при сложении дробей с равными знаменателями складываются их числители. [3]. Например,

Произведением рациональных дробей и называют дробь :

Это означает, что при умножении дробей отдельно умножаются числителя и отдельно - знаменатели, полученные результаты будут соответственно числителем и знаменателем произведения данных дробей. Например,

Аналогично сложению вводится правило вычитания двух дробей. Разностью дробей и называют дробь , такую, что

Складывая дроби по формуле и используя утверждение, что дробь не изменится, если её числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, находим:

Формула, определяющая правило умножения двух дробей, даёт возможность получить правило деления дробей. Частным дробей называют такую дробь , для которой

Из этой формулы получаем:

Полученная формула означает следующее: чтобы разделить одну дробь на другую, достаточно числитель первой дроби умножить на знаменатель второй и произведение записать числителем; числитель второй дроби умножить на знаменатель первой и результат записать знаменателем.

Обратимся к определению равенства дробей и введём понятие рационального числа. Это определение разбивает множество всех рациональных дробей на классы эквивалентности. Приведём примеры таких классов - классов эквивалентности рациональных дробей:

Рациональным числом называют каждый класс эквивалентных рациональных дробей. Разные классы определяют разные рациональные числа. Например, первый из указанных классов определяет рациональное число, а второй - рационально число

Для обозначения рациональных чисел r применяют рациональные дроби из класса эквивалентности, задающего это число:

Если каждому рациональному числу, содержащему рациональную дробь вида , поставить в соответствие целое число a, то получится взаимно однозначное отображение множества указанных рациональных чисел на множестве целых чисел. Рациональные числа, содержащие дроби вида , обозначают a.

Из утверждения, что нуль при делении на любое число даёт нуль следует, что дроби вида называют нулём.

Если r - рациональное число и , то рационально число, содержащее рациональную дробь , называют отрицательным числом, противоположным числу r, и обозначают .

Таким образом, получено множество рациональных чисел, которое в качестве своего подмножества содержит множество целых чисел. Множество всех рациональных чисел обозначают . Из сказано следует, что .

Сравнение рациональных производиться таким образом: каждое положительное рациональное число больше нуля: каждое отрицательное рациональное число меньше нуля: ; всякое отрицательное рациональное число считается меньше любого положительного числа. Положительное рациональное число считается меньше другого положительного рационального числа, если их разность - число положительное.

2.3.2 Десятичные дроби

Десятичной дробью называют дробь, знаменатель которой - число, выраженное единицей с одним или несколькими нулями, т.е. дробь вида (n - целое, k - натуральное). [4] Десятичные дроби записывают так:

Если к десятичной дроби приписать справа нуль, то дробь не изменится. Если десятичная дробь оканчивается нулём, то этот нуль можно убрать.

Из двух десятичных дробей с разными целыми частями больше та, у которой целая часть больше. Например:

Чтобы сравнить две дроби с одинаковыми целыми частями, надо уравнять, приписывая сзади нули, число десятичных знаков после запятой в обеих дробях и сравнить их дробные части. Например:

Действия над десятичными дробями

1. Допустим, у нас появилась необходимость сложить две десятичные дроби . Каждая десятичная дробь равна некоторой обыкновенной дроби, а их мы складывать умеем:

Нетрудно заметить, что сложение десятичных дробей сводится к сложению натуральных чисел. Поэтому слагаемые можно записать столбиком так, чтобы запятая была под запятой и сложить, как натуральные числа, а затем поставить запятую под запятыми слагаемых. Сложение десятичных дробей обладает теми же свойствами, что и сложение натуральных чисел.

2. Вычитание десятичных дробей так же сводится к вычитанию натуральных чисел и производится аналогично сложению - в столбик, запятая под запятой. Свойства так же сохраняются.

3. Чтобы перемножить десятичные дроби, нужно перемножить их как натуральные числа, не обращая внимание на запятые, а в полученном произведении отделить запятой справа столько десятичных знаков, сколько их в обоих множителях вместе. Например:

Законы умножения натуральных чисел так же остаются неизменными и для умножения десятичных дробей.

4. Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, нужно разделить её на это число уголком по правилу деления натуральных чисел - при этом запятую в частном поставить так, как только закончится деления целой части дроби.

Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь, можно в делимом и делители перенести запятую на столько знаков вправо, сколько их после запятой в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число.

2.3.3 Бесконечные десятичные дроби. Периодические десятичные дроби

С помощью деления числителя на знаменатель любое дробное неотрицательное число можно обратить в конечную или бесконечную десятичную дробь. Например

Для единообразия конечные десятичные дроби и целые числа будем дополнять бесконечной последовательностью нулей. Например,

Следовательно, любое неотрицательное рациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби

где - целая часть числа ; - его дробная часть. Такое представление возможно и для отрицательных рациональных чисел.

Бесконечную десятичную дробь называют периодической, если у неё, начиная с некоторого места, одна цифра или группа цифр повторяются, непосредственно следуя одна за другой. Эту повторяющуюся группу цифр называют периодом. Так, вместо 5,666… пишут 5, (6) и читают: пять целых и шесть в периоде. [4]

2.4 Иррациональные числа

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a называют неотрицательно число, квадрат которого равен a. Для арифметического квадратного корня из числа a принято обозначение .

Теорема(2.1). Среди рациональных чисел нет такого, которое явилось бы значением .

Допустим противное: существует такое рационально число, квадрат которого равен 2. Это число можно представить в виде несократимой дроби , где m,n - натуральные числа. Тогда

Поскольку число - чётное, поэтому число - также чётное, т.к. квадрат нечётного числа есть нечётное число, т.е.

где k - натуральное число. Подставим это выражение в равенство

Получим

,

Так как - чётное число, то - так же чётное, поэтому и n - чётное. Итак, m и n - чётные числа, что противоречит предположению о том, что дробь является несократимой. Значит, не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. Следовательно, не является рациональным числом. [2]

Это число называют иррациональным. Иррациональными числами являются и т.п. Отметим, что к иррациональным числам относится число , выражающее отношение длины окружности к её диаметру.

Было сказано, что каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Так же было отмечено, что любая периодическая десятичная дробь является представлением некоторого рационального числа.

Кроме периодических бесконечных дробей существуют непериодические дроби. Такова, например, дробь у которой после первой двойки одна единица, после второй - две единицы и т.д. Каждая непериодическая десятичная дробь

где - целая часть, а - десятичные знаки, является представлением некоторого нового (не рационального) числа, называемого иррациональным. Множество всех таких чисел называется множеством иррациональных чисел. [2]

2.5 Действительные числа

Итак, мы ввели множество натуральных чисел, которое обозначается Затем было введено число нуль и отрицательные, которые очень долго пробивали себе путь, потому что многие их отвергали, но потом оказалось, что они очень удобны. Натуральные числа, число нуль и отрицательные составляют множество целых чисел Множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел. Далее пришлось многие вещи, деньги делить. Благодаря этому появились дроби. Но дроби определённого характера: числитель их - целое число, а знаменатель - натуральное. Множество таких «хороших» дробей именуется множество рациональных чисел Теперь же думали, что существует взаимно однозначное соответствие между координатной прямой и множеством всех рациональных чисел. Пока в Древней Греции не построили прямоугольный треугольник с катетами 1 и 1 и не попытались найти его гипотенузу. Тогда уже знали теорему Пифагора, и написали, что гипотенуза равна корню из 2. И попытались было понять, что корень из двух тоже рациональное число. Но выяснилось, что это не так. Это мы уже доказали. Так появилась необходимость внедрения множества иррациональных чисел.

Множеством действительных (вещественных) чисел называют множество всех иррациональных чисел и всех иррациональных чисел. Таким образом, оказывается, что любое действительное число представляется бесконечной десятичной дробью. Множество всех действительных чисел обозначается .

Действительные числа упорядочены по величине, т.е. для любых двух действительных чисел x и y справедливо одно и только одно из соотношений:

. [4]

Действия над действительными числами аналогичны действиям на множестве рациональных чисел.

Можем говорить о том, что множество действительных чисел введено и операции на нём введены.



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Число -- основное понятие математики, используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей. Письменными знаками для обозначения чисел служат цифры, а также символы математических операций. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа с развитием науки значительно расширилось.

Натуральные числа, получаемые при естественном счёте; множество натуральных чисел обозначается . То есть (иногда к множеству натуральных чисел также относят нуль, то есть ). Натуральные числа замкнуты относительно сложения и умножения (но не вычитания или деления). Сложение и умножение натуральных чисел коммутативны и ассоциативны, а умножение натуральных чисел дистрибутивно относительно сложения и вычитания.

Целые числа получаемые объединением натуральных чисел с множеством чисел противоположных натуральным и нулём, обозначаются . Любое целое число можно представить как разность двух натуральных. Целые числа замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения (но не деления). Такая алгебраическая структура называется кольцом.

Рациональные числа -- числа, представимые в виде дроби m/n (n?0), где m -- целое число, а n -- натуральное число. Рациональные числа замкнуты уже относительно всех четырёх арифметических действий: сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на нуль). Для обозначения рациональных чисел используется знак .

Действительные (вещественные) числа представляют собой расширение множества рациональных чисел, замкнутое относительно некоторых (важных для математического анализа) операций предельного перехода. Множество вещественных чисел обозначается . Его можно рассматривать как пополнение поля рациональных чисел при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величиной. Кроме рациональных чисел, включает множество иррациональных чисел, не представимых в виде отношения целых.

В конце можем сделать вывод, что как и в школе, так и в вузе, действительные числа вводятся благодаря постепенному введению других множеств: сначала множества натуральных чисел, затем множества целых чисел, рациональных и иррациональных, а потом уже множество действительных или вещественных чисел.

В школе эти множества вводятся гораздо проще, т.е. более интуитивно понятно, а для того, чтобы понять способ введения их в вузе, можно обладать более полными знаниям по математике.



СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Зверович Э.И., Вещественный и комплексный анализ, Минск, Высшая школа, 2006

2. Гусак Г.М., Капуцкая Д.А., Математика для подготовительных отделений вузов, Минск, Высшая школа, 1989

3. Е.П. Кузнецовой, Г.Л. Муравьевой, Л.Б. Шнепермана, Математика. 5 класс в 2-х частях, Минск, НИО, 2009

4. Е.П. Кузнецова, Г.Л. Муравьева, Л.Б. Шнеперман, Математика. 6 класс, Минск, НИО, 2009

Размещено на Allbest.ru

...