Краевые задачи для псевдопараболо-гиперболического уравнения четвертого порядка
Существование и единственность решения задачи для псевдопараболического и гиперболического уравнений четвертого порядка, когда условия склеивания задается на не характеристической линии. Сведение решаемой задачи к решению системы интегральных уравнений.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 18.05.2016 |
| Размер файла | 331,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
Саадалов Толонбай Ысманович
ст. преподаватель кафедры информатики
Ошского технологического университета М.М. Адышева,
Кыргызская Республика, г. Ош
Аннотация
Доказано существование и единственности решения задачи для псевдопараболического и гиперболического уравнений четвертого порядка, когда условия склеивания задается на не характеристической линии.
Proved the existence end uniqueness of the solutions of the problems for pseudoparabolic and hyperbolic equations of fourth order when the conditions of conjugation are not set on the characteristic line.
Ключевые слова: задачи сопряжения, псевдопараболические и гиперболические уравнения, уравнение Фредгольма.
Keywords: problems of conjugation, pseudoparabolic and hyperbolic equations, Fredholm equations.
задача гиперболический уравнение интегральный
1. Постановка задачи. Пусть означает квадрат, ограниченной отрезками характеристических прямых , где - произвольное положительное число. Через и обозначим подобласти области , для которых прямая является общей границей.
В области рассмотрим уравнения четвертого порядка с постоянными коэффициентами вида
(1)
(2)
где: .
Отметим, что уравнение (1) является каноническим видом уравнения гиперболического типа относительно старшего коэффициента, обладающее двумя двукратными действительными характеристиками, а уравнение (2) - каноническим видом уравнения гиперболического типа относительно старшего коэффициента, имеющее две действительные характеристики, один из которых трехкратный, а другой - однократный [3]. Уравнение (2) часто называют псевдопараболическим [4; 6; 7].
Пусть означает класс функций, обладающее непрерывными производными вида
.
Задача 1. Требуется найти функцию , удовлетворяющее следующим условиям:
1. удовлетворяет области уравнению (1);
2. удовлетворяет области уравнению (2);
3. краевым условиям
(3)
(4)
(5)
5. условиям сопряжения
(6)
где: - заданные функции, удовлетворяющие условиям
(7)
Отметим, что в задаче 1 на линии заданы три условия сопряжения. Такие задачи мало исследованы [2], хотя они часто используются при математическом моделировании в ряде прикладных задачах [1; 5].
Для решения задачи 1 введем следующие обозначения
, (8)
где: - неизвестные функции.
2. Представление решения задачи в области . Рассмотрим следующие вспомогательные задачи.
Задача 2. Требуется найти из класса решение уравнения (1), удовлетворяющее уравнению (1) и условиям (8).
Задача 3. Требуется найти из класса решение уравнения (2) и условиям (8).
Имеет место следующие теоремы.
Теорема 1. Если ,тогда существует единственное решение задачи 2 и это решение представимо в виде
(9)
.
Теорема 2. Если ,тогда существует единственное решение задачи 3, которое представимо в виде
(10)
.
3. Сведение задачи к решению системы интегральных уравнений. Применяя первое условие (3) из (9) получим
(11)
Дифференцировав (9) по имеем
(12)
При получении (12) мы использовали следующие свойства , , . Далее, воспользовавшись вторым условием (3) из (12) приходим к соотношению
(13)
Отсюда, дифференцированием (13) по получаем
(14)
После двукратного дифференцирования (10) по , имеем
(15)
Применяя условие (4) из (15) будем иметь
(16)
Здесь мы использовали следующие равенства:
Из (11) и (16) получим
(17)
Из (5) и (10) получим соотношение
(18)
.
Итак, задачу 1 свели системе уравнений (11), (14), (17), (18). Эту систему запишем в виде
(19)
,
,
Пусть
, (20)
Тогда система уравнений (19) имеет единственное решение, и это решение через резольвенту можно представить в виде
, (21)
где:
,
Имеет место
Теорема 3. Решение задачи 1 существует и единственно, если выполняются условия (7) и (20).
Пример 1. Пусть
Тогда, решение задачи имеет вид
(22)
Нетрудно проверить, что (22) удовлетворяет всем условиям задачи 1.
Список литературы
1. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. - М.: Наука, 1980. - 688 с.
2. Джураев Т.Д., Сопуев А., Мамажанов М. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа. - Ташкент: Фан, 1986. - 220 с.
3. Джураев Т.Д., Сопуев А.К теории дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка. - Ташкент: Фан, 2000 - 144 с.
4. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. - М.: Высш. шк., 1995. - 301 с.
5. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1977. - 736 с.
6. Colton D. Pseudo parabolic equations in One Space variable // J. Differential Equations. - 1972. № 12. - P. 559-565.
7. Rundell W., Stecher M. Remarks concerning the supports of solutions of pseudoparabolic equation // Proc. Amer. Math. Sos. - 1977. V. 63. № 1. - P. 77-81.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Обзор краевых задач для уравнения смешанного эллептико-гиперболического типа. Доказательство существования единственного решения краевой задачи для одного уравнения гиперболического типа со специальными условиями сопряжения на линии изменения типа.
контрольная работа [253,5 K], добавлен 23.04.2014Практическое решение дифференциальных уравнений в системе MathCAD методами Рунге—Кутты четвертого порядка для решения уравнения первого порядка, Булирша — Штера - системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и Odesolve и их графики.
лабораторная работа [380,9 K], добавлен 23.07.2012Изучение методов Рунге-Кутты четвертого порядка с автоматическим выбором длины шага интегрирования для решения дифференциальных уравнений. Оценка погрешности и сходимость методов, оптимальный выбор шага. Листинг программы для ЭВМ, результаты, иллюстрации.
курсовая работа [2,9 M], добавлен 14.09.2010Поверхности второго порядка аналитической геометрии. Свойства гиперболического параболоида, порядок разыскания его прямолинейных образующих. Пример решения уравнения прямолинейных образующих для заданной поверхности гиперболического параболоида.
курсовая работа [2,5 M], добавлен 26.05.2019Приведение к системе уравнений первого порядка. Разностное представление систем дифференциальных уравнений. Сеточные методы для нестационарных задач. Особенность краевых задач второго порядка. Разностные схемы для уравнений в частных производных.
реферат [308,6 K], добавлен 13.08.2009Задачи Коши для дифференциальных уравнений. График решения дифференциального уравнения I порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к однородному. Однородные и неоднородные линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.
лекция [520,6 K], добавлен 18.08.2012Порядок и процедура поиска решения дифференциального уравнения. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка, с разделяющими переменными.
лекция [744,1 K], добавлен 24.11.2010Понятие о голоморфном решении задачи Коши. Теорема Коши о существовании и единственности голоморфного решения задачи Коши. Решение задачи Коши для линейного уравнения второго порядка при помощи степенных рядов. Интегрирование дифференциальных уравнений.
курсовая работа [810,5 K], добавлен 24.11.2013Анализ методов решения систем дифференциальных уравнений, которыми можно описать поведение материальных точек в силовом поле, законы химической кинетики, уравнения электрических цепей. Этапы решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений.
курсовая работа [791,0 K], добавлен 12.06.2010Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Теорема существования, единственности решения задачи Коши. Общее решение дифференциального уравнения, изображаемое семейством интегральных кривых на плоскости. Способ нахождения огибающей семейства кривых.
реферат [165,4 K], добавлен 24.08.2015Понятие, закономерности формирования и решения дифференциальных уравнений. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши. Существующие подходы и методы решения данной задачи, оценка погрешности полученных значений. Листинг программы.
курсовая работа [120,8 K], добавлен 27.01.2014Формирование системы их пяти уравнений по заданным параметрам, ее решение методом Гаусса с выбором главного элемента. Интерполяционный многочлен Ньютона. Численное интегрирование. Решение нелинейных уравнений. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.
контрольная работа [115,5 K], добавлен 27.05.2013Описание газлифтного процесса с помощью системы дифференциальных уравнений с частными производными гиперболического типа. Конечно-разностная аппроксимация производных функций и решение дискретной линейно-квадратичной задачи оптимального управления.
статья [41,4 K], добавлен 17.10.2012Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, однородных, линейных уравнений первого порядка и уравнений допускающего понижение порядка. Введение функций в решение уравнений. Интегрирование заданных линейных неоднородных уравнений.
контрольная работа [92,7 K], добавлен 09.02.2012Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной. Применение рекуррентного соотношения. Техника применения метода Эйлера для численного решения уравнения первого порядка. Численные методы, пригодные для решения задачи Коши.
реферат [183,1 K], добавлен 24.08.2015Существование и единственность решений дифференциальных уравнений. Геометрическая интерпретация решений. Линейные и нелинейные системы. Дифференциальные уравнения, моделирующие динамику популяций конкурирующих видов, их решения и фазовые портреты.
дипломная работа [2,5 M], добавлен 27.06.2012Описание общих принципов метода сеток, его применение к решению параболических уравнений. Исследование разрешимости получаемой системы разностных уравнений. Разработка программы для численного решения поставленной задачи, выполнение тестовых расчетов.
курсовая работа [165,8 K], добавлен 12.10.2009Понятия и решения простейших дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений произвольного порядка, в том числе с постоянными аналитическими коэффициентами. Системы линейных уравнений. Асимптотическое поведение решений некоторых линейных систем.
дипломная работа [395,4 K], добавлен 10.06.2010Характеристика уравнений с разделяющимися переменными. Сущность метода Бернулли и метода Лагранжа, задачи Коша. Решение линейных уравнений n-го порядка. Фундаментальная система решений - набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.
контрольная работа [355,9 K], добавлен 28.02.2011Замечательные линии 3-го порядка: Декартов лист, циссоида Диоклеса, строфрида, верзьера Аньези. Линии четвертого и высших порядков и некоторые трансцендентные линии: спираль Архимеда, кривая кратчайшего спуска. Площадь области, ограниченной лемнискатой.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 07.08.2015
