Приближенные методы вычисления определенных интегралов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Брянская государственная инженерно-технологическая академия»

Кафедра математики

Приближенные методы вычисления определенных интегралов

Методические указания и задания к расчетно-графической работе

для студентов всех направлений подготовки бакалавров очной формы обучения

Составители: Баранова И.М., зав. кафедрой математики БГИТА,

Гущин Г.В., доцент кафедры математики БГИТА,

Еловиков А.Б., доцент кафедры Высшей математики ЗФЭИ,

Часова Н.А., доцент кафедры математики БГИТА

Рецензент: Евтюхов К.Н. - к., ф.- м.н., профессор кафедры физики

Брянск 2012



Введение

При решении ряда физических и технических задач встречаются определенные интегралы, которые не могут быть вычислены в элементарных функциях. Кроме того, в некоторых важных задачах возникает необходимость вычисления определенных интегралов, подынтегральные функции которых не являются элементарными.

Наиболее употребляемыми приближенными методами вычисления определенных интегралов являются: метод прямоугольников, метод трапеций и метод парабол (Симпсона).

Основная идея этих методов заключается в замене подынтегральной функции функцией более простой природы - многочленом малой степени (0, 2, 3, …).

Приближенные методы вычисления определенных интегралов

1. Метод прямоугольников

Разобьем отрезок на равных частей при помощи точек:

, , , .

Метод прямоугольников заключается в замене интеграла суммой:

.

Для приближенных практических расчетов применяется формулы:

, (1)

. (2)

Из рисунка ясно, что если - положительная и возрастающая функция, то формула (1) выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входящих» прямоугольников, а формула (2) - площадь ступенчатой фигуры, состоящей из «выходящих» прямоугольников.

Абсолютная погрешность приближенных равенств (1) и (2) оценивается с помощью следующей формулы: , где - наибольшее значение на отрезке .

2. Метод трапеций

Разобьем отрезок на равных частей при помощи точек:

, , , .

Метод трапеций заключается в замене интеграла суммой:

.



Для приближенных практических расчетов применяется формула:

. (3)

Абсолютная погрешность приближения, полученного по формуле трапеций, оценивается с помощью формулы , где .

3. Метод парабол (метод Симпсона)



а) Через любые три точки с координатами проходит только одна парабола .

б) Выразим площадь под параболой на отрезке через :

.

Учитывая значения и из пункта а) следует:



.

в) Разобьем отрезок на равных частей при помощи точек:

, , , .

Метод парабол заключается в замене интеграла суммой:

.

Для приближенных практических расчетов применяется формула:

. (4)

Абсолютная погрешность вычисления по формуле (4) оценивается соотношением , где .

4. Оценка точности вычисления «неберущихся» интегралов

В данной работе вычисление абсолютной и относительной погрешности проводится при условии, что известно точное значение определенного интеграла. Однако не всякая первообразная, даже тогда, когда она существует, выражается в конечном виде через элементарные функции. Таковы первообразные, выраженные интегралами , , , и т.д. Во всех подобных случаях первообразная представляет собой некоторую новую функцию, которая не сводится к комбинации конечного числа элементарных функций.

Определенные интегралы от таких функций можно вычислить только приближенно. Для оценки точности вычисления в таких случаях используют, например, правило Рунге. В данном случае интеграл вычисляется по выбранной формуле (прямоугольников, трапеций, парабол Симпсона) при числе шагов, равном n, а затем при числе шагов, равном . Погрешность вычисления значения интеграла при числе шагов, равном , вычисляется по формуле Рунге:, для формул прямоугольников и трапеций , а для формулы Сипсона . Таким образом, интеграл вычисляется для последовательных значений числа шагов , , ..., где - начальное число шагов. Процесс вычислений заканчивается, когда для очередного значения будет выполнено условие , где - заданная точность.

Для того чтобы не вычислять один и тот же интеграл по нескольку раз для разных разбиений отрезка интегрирования, можно вычислить шаг интегрирования заранее.

Пример. Выбрать шаг интегрирования для вычисления интеграла с точностью 0,01 пользуясь квадратурными формулами прямоугольников, трапеций, Симпсона.

Квадратурная формула прямоугольников.

Вычислим, при каком шаге погрешность будет составлять 0,01:

подынтегральный трапеция парабола неберущийся

.

Поскольку , то .

При шаге отрезок разбивается на равностоящих узлов.

Квадратурная формула трапеций.

Вычислим, при каком шаге погрешность составит 0,01:

.

Поскольку , .

При шаге ,отрезок разбивается на равностоящих узлов.

Квадратурная формула Симпсона.

Вычислим, при каком шаге погрешность составит 0,01:

,

, .

При шаге , отрезок разбивается на равностоящих узлов.

Как и следовало ожидать, наименьшее количество равностоящих узлов получается при вычислении интеграла по квадратурной формуле Симпсона.

Содержание РГР «Приближенные методы вычисления определенных интегралов»

Студенту предлагается работа, состоящая из четырех этапов:

1 этап - точное вычисление определенного интеграла.

2 этап - приближенное вычисление определенного интеграла одним из методов: прямоугольников или трапеций.

3 этап - приближенное вычисление определенного интеграла методом парабол.

4 этап - расчет и сравнение абсолютной и относительной ошибок приближенных методов: , где - точное решение интеграла, - значение интеграла, полученное с помощью приближенных методов.

Построение графика подынтегральной функции.

Варианты и образец выполнения РГР приведены ниже.

Варианты

№ варианта	f(x)	a	b	Шаг h
1		0	1	0,1
2		0	1	0,1
3		0	1	0,1
4		0	1	0,1
5		0	р	0,1р
6		0	1	0,1
7		0	1	0,1
8		0	1	0,1
9		0	1	0,1
10		0	р/2	0,05р
11		0	1	0,1
12		0	1	0,1
13		0	1	0,1
14		1	2	0,1
15		0	р	0,1р
16		1	2	0,1
17		0	1	0,1
18		0	р/2	0,05р
19		0	1	0,1
20		0	р/2	0,05р
21		0	1	0,1
22		0	1	0,1
23		0	р/2	0,05р
24		0	р/2	0,05р
25		0	р/2	0,05р
26		0	р/2	0,05р
27		0	1	0,1
28		0	1	0,1
29		0	р/2	0,05р
30		0	1	0,1

Образец выполнения РГР

Задание. Вычислить интеграл

1. Точное вычисление:

= 0,40631714.



2. Приближенное вычисление с помощью формул прямоугольников:

,

, .

, .

Составим таблицу:

№	xi	yi = f (xi)
0	0	0
1	0,1	0,010005
2	0,2	0,04016
3	0,3	0,091207
4	0,4	0,165041
5	0,5	0,265165
6	0,6	0,396981
7	0,7	0,567851
8	0,8	0,786966
9	0,9	1,065081
10	1	1,414214

По первой формуле прямоугольников получаем:

? 0,1 = 0,1·3,062514 = 0,306251.

По второй формуле прямоугольников получаем:



? 0,1 = 0,1· 4,802669 = 0,480267.

В данном случае первая формула дает значение интеграла с недостатком, вторая - с избытком.

Вычислим относительную и абсолютную погрешности.

I = 0,40631714, ,

, .

, .

3. Приближенное вычисление по формуле трапеций:



В нашем случае получаем:

? 0,1 = =0,1 = 0,1·4,095562 = =0,409556.

Вычислим относительную и абсолютную погрешности.

I = 0,40631714,

, .

4. Приближенное вычисление по формуле Симпсона:

В нашем случае получаем:

? =

= = 0,406325.

Вычислим относительную и абсолютную погрешности.

I = 0,40631714



, .

В действительности, = 0,40631714.

Таким образом, при разбиении отрезка на 10 частей по формуле Симпсона мы получили 5 верных знаков; по формуле трапеций - три верных знака; по формуле прямоугольников мы можем ручаться только за первый знак.



Литература

1. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов: учеб. пособие для втузов / Г. С. Бараненков [и др.]; под ред. Б.П. Демидовича. - М.; Владимир: Астрель: Изд-во АСТ: ВКТ, 2010. - 495 с.

2. Кудрявцев, Л.Д. Краткий курс математического анализа: учеб. для вузов. Т. 1: Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной. Ряды / Л. Д. Кудрявцев. - 3-е изд., перераб. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. - 399 с.

3. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учеб. пособие для втузов. В 2 т. Т. 1 / Н. С. Пискунов. - Изд. стер. - М.: Интеграл-Пресс, 2004. - 415 с.

4. Шипачев В.С. Высшая математика : учеб. для вузов / В. С. Шипачев. - 7-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2005. - 479 с.

Размещено на Allbest.ru

...