Основные понятия теории устойчивости

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Основные понятия теории устойчивости

2. Общие теоремы об устойчивости линейных дифференциальных систем

3. Устойчивость линейной дифференциальной системы с постоянной и почти постоянной матрицами

3.1 Устойчивость линейной дифференциальной системы с постоянной матрицей

3.2 Устойчивость линейной дифференциальной системы с почти постоянной матрицей

Список использованной литературы



Введение

Работа носит реферативный характер. В ней рассмотрены вопросы устойчивости решений линейной дифференциальной системы и системы с почти постоянной матрицей.

В первой части приведены основные определения, необходимые для дальнейшего изложения. Вводится понятие дифференциальной системы, устойчивого решения дифференциальной системы, асимптотически устойчивого решения. Для дальнейших доказательств вводится теорема Лопиталя и лемма Гронуолла-Беллмана.

Во второй части даются определения устойчивости линейной дифференциальной системы и асимптотической устойчивости линейной дифференциальной системы.

В третьей части доказываются теоремы об устойчивости линейных дифференциальных систем с постоянной и почти постоянной матрицей. Приведены соответствующие примеры.



1. Основные определения и теоремы

В этом пункте собраны все те леммы, которые нам понадобятся в последующем. Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений

,

где t - независимое переменное (время); , … , - искомые функции; - функции, определенные в некотором полуцилиндре:

{0<t<+?},

- открытая область действительного или комплексного n-мерного векторного пространства. В дальнейшем для краткости систему (1.1) будем называть дифференциальной.

Систему (1.1) можно записать в виде матрично-векторного уравнения

,

Вектор-функцию , определенную в некотором интервале (a, b) ?I: и удовлетворяющую при a<t<b уравнению (1.2), будем называть его решением. дифференциальный асимптотический лопиталь

Определение 1 Решение ?=?(t) (a<t<?) системы (1.2) называется устойчивым по Ляпунову при t>+? (или, короче, устойчивым), если для любых

е>0 и (a, ?) существует д=д(е, )>0 такое, что

1) все решения y=y(t) системы (1.2) (включая решение ?(t)), удовлетворяющие условию

(1.3)

Определены в промежутке 0<t<? то есть

,

2) для этих решений справедливо неравенство

,

Определение 2 Решение ?=?(t) (a<t<?) будем называть неустойчивым по Ляпунову, если для некоторых д>0 существует решение (хотя бы одно) и момент => такие, что

,

Определение 3 Решение ?=?(t) (a<t<?) называется асимптотически устойчивым при t>+?, если: 1) это решение устойчиво по Ляпунову и 2) для любого существует ?=?()>0 такое, что все решения y=y(t) (?t<?), удовлетворяющие условию , обладают свойством

,

Теорема Лопиталя [2] если:

,

f(x) и g(x) дифференцируемы в окрестности a

,

то существует

,

.

Лемма Гронуолла-Беллмана[1] Пусть u(t)?0 и f(t)?0 при t? непрерывные функции при этом для t? u(t) является решением неравенства:

,

где с - положительная постоянная. Тогда при t? справедлива оценка

.



2. Общие теоремы об устойчивости линейных дифференциальных систем

Рассмотрим линейную дифференциальную систему

,

где A(t), f(t) C(), и пусть

,

соответствующая однородная система.

Определение 1 Линейную систему (2.1) будем называть устойчивой, если все ее решения y=y(t) соответственно устойчивы (или неустойчивы) по Ляпунову при t>?.

Теорема 2.1 Для устойчивости линейной системы (2.1) при любом свободном члене f(t) необходимо и достаточно, чтобы было устойчивым тривиальное решение ?0 (<t<?, ) соответствующей однородной системы (2.2).

Доказательство

1) Докажем сначала необходимость условия теоремы. Пусть ?=?(t) (?t<?) есть некоторое устойчивое решение неоднородной системы (2.1). Это значит, что для каждого е>0 существует д>0 такое, что для любого решения y=y(t) системы (2.1) при ?t<? справедливо неравенство

(2.3)

если только

(2.4)

Но

(2.5)

является решением линейной однородной системы (2.2), причем любое ее решение x(t) может быть представлено в виде (2.5).

Таким образом, неравенства (2.3) и (2.4) эквиваленты следующим:

,

если только .

Отсюда вытекает, что тривиальное решение ?0 соответствующей однородной системы (2.2) устойчиво по Ляпунову при t>?.

Теорема доказана.

Замечание 2.1 Устойчивость тривиального решения ?0 однородной системы (2.2) вытекает из устойчивости хотя бы одного решения линейной системы (2.1) при каком-нибудь свободном члене f(t).

Следствие 2.1 Линейная дифференциальная система устойчива, когда устойчиво хотя бы одно решение этой системы.

Замечание 2.2 Таким образом, поведение решений линейной неоднородной системы (2.1) с любым свободным членом f(t) в смысле устойчивости такое же, как и поведение решений соответствующей однородной системы (2.2).

Определение 3 Линейную дифференциальную систему (2.1) назовем асимптотически устойчивой, если все решения y(t) этой системы асимптотически устойчивы при t>+?.

Утверждение 2.1 Линейная однородная дифференциальная система (2.2) устойчива тогда и только тогда, когда ее решения ограничены.

Утверждение 2.2 Линейная однородная дифференциальная система (2.2) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все ее решения стремятся к нулю при , то есть

,

Утверждение 2.3 Для асимптотической устойчивости линейной неоднородной дифференциальной системы (2.1) при любом свободном члене f(t) необходимо и достаточно, чтобы была асимптотически устойчива соответствующая однородная система (2.2).



3. Устойчивость линейной дифференциальной системы с постоянной и почти постоянной матрицами

3.1 Устойчивость линейной дифференциальной системы с постоянной матрицей

Рассмотрим систему

,

где A=[] - постоянная (n- матрица.

Теорема 3.1 Линейная однородная система (3.1.1) с постоянной матрицей А устойчива тогда и только тогда, когда все характеристические корни матрицы А обладают неположительными вещественными частями

,

причем характеристические корни, имеющие нулевые вещественные части, допускают лишь простые элементарные делители.

Доказательство

1) Докажем сначала достаточность условий теоремы.

Пусть - все характеристические корни матрицы А с отрицательными веществами частями отвечающие различным клеткам Жордана, и - все характеристические корни матрицы A с нулевыми вещественными частями, причем - общее число клеток Жордана в нормальной форме матрицы А. Тогда в силу формулы x(t)= любое решение системы (3.1.1) имеет вид

, (3.1.2)

где - некоторые полиномиальные вектор-функции, степень которых ниже кратности корня , и -- постоянные вектор-столбцы. Так как , то

при .

Кроме того,

.

Поэтому из формулы (3.1.2) вытекает, что каждое решение ограничено на полуоси

Следовательно, на основании утверждения 2.1 система (3.1.1) устойчива.

2) Докажем теперь необходимость условий теоремы

Пусть система (3.1.1) устойчива. Покажем сначала, что все характеристические корни матрицы A имеют неположительные вещественные части. Действительно, предположим, что найдется собственное значение матрицы A такое, что

.

Тогда система (3.1.1) имеет нетривиальное решение вида

,

где Отсюда

,

и, таким образом, решение неограниченно, что противоречит устойчивости системы. Поэтому

,

Покажем теперь, что каждый характеристический корень с нулевой вещественной частью имеет простые элементарные делители.

Предположим, что матрица A приведена к жордановой форме

,

где det S?0, причем некоторому характеристическому корню

соответствует клетка Жордана

,

типа , где >1. Тогда

,

будет являться матричным решением системы (3.1.1), так как

,

Из формулы (3.1.4) получаем

,

Отсюда будем иметь

,

Так как

,

то, воспользовавшись, первой нормой при t?0, получаем

,

где Из неравенства (3.1.5) получаем

,

при t?0.

Таким образом, при t>?, что невозможно для устойчивой системы.

Теорема доказана.

Теорема 3.2 Линейная однородная система (3.1.1) с постоянной матрицей А асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все характеристические корни матрицы А имеют отрицательные вещественные части то есть

.

Доказательство

1) Докажем сначала достаточность условия теоремы. Пусть - все характеристические корни матрицы A, отвечающие различным клеткам Жордана, причем

Re

Из формулы

x(t)=

вытекает, что каждое решение системы (3.1.1) имеет вид

,

где - полиноминальные матрицы. Отсюда на основании условия (3.1.6) получаем

,

и, следовательно, в силу утверждения 2.2 система (3.1.1) асимптотически устойчива.

2) Докажем теперь необходимость условия (3.1.6). Пусть система (3.1.1) асимптотически устойчива. Тогда эта система устойчива по Ляпунову при t>?, и, следовательно, на основании теоремы 1 имеем

,

Допустим, что найдется хотя бы один характеристический корень такой, что

Re.

Тогда система (3.1.1) имеет решение вида

,

где с - ненулевой вектор-столбец. Поэтому

,

и, значит, о0 при t>?, что противоречит асимптотической устойчивости системы (3.1.1). Следовательно,

.

Теорема доказана полностью.

3.2 Устойчивость линейной дифференциальной системы с почти постоянной матрицей

Теорема 3.3 Пусть система

(3.2.1)

где A - постоянная (nЧn) - матрица, устойчива при t >?.

Тогда система

(3.2.2)

где B(t)C[, ?) b

(3.2.3)

также устойчива при t>?.

Доказательство

Без нарушения общности рассуждения можно считать, что

Пусть X(t) - фундаментальная матрица системы (3.2.1) такая, что X(0)=E.

Рассматривая B(t)y как свободный член в уравнении (3.2.2) и применяя метод вариации произвольных постоянных Лагранжа,

Будем искать решение в виде

y=X(t)u, (3.2.4)

где u=u(t) - новая неизвестная вектор-функция. Подставляя выражение (3.2.4) в уравнение (3.2.2) получим

,

или так как

,

то отсюда будем иметь

,

Следовательно,

,

Поэтому на основании формулы (3.2.4) находим

,

где - матрица Коши. Для определения произвольного вектора с в формуле (3.2.5) положим t==0. Тогда будем иметь

,

и, следовательно,

,

Так как X(0)=E, то из формулы (3.2.6) получим

.

Из формулы (3.2.6) вытекает, что неоднородная система (2.1.1) имеет частное решение

,

удовлетворяющее условию (0)=0.

Так как A(t)=A постоянна и X(0)=E, то

.

представляют собой фундаментальные матрицы однородной системы

.

совпадающие при . Поэтому

.

Следовательно получаем, что дифференциальная система

.

имеет общее решение

y(t)=X(t)y(0)+.

получим, что каждое решение y(t) удовлетворяет интегральному уравнению

y(t)=X(t)y(0)+(t?0). (3.2.7)

Отсюда

.

Так как система (3.2.1) устойчива, то матрица X(t) ограничена, то есть

.

Таким образом,

,

Используя лемму Гронуолла - Беллмана, будем иметь

,

Следовательно (утверждение 2.1), система (3.2.2) устойчива при t>?.

Пример

,

Теорема 3.4

Если матрица A=[постоянна и система

,

асимптотически устойчива при t>?, то возмущенная линейная система

,

где и B(t)>0 при t>?, также асимптотически устойчива.

Доказательство

Из асимптотической устойчивости системы (3.2.8) в силу теоремы 3.2 следует, что характеристические корни матрицы A обладают отрицательными вещественными частями. Положим

,

И выберем число столь малым, чтобы имело место неравенство

,

В уравнении (3.2.9) сделаем замену переменных

,

Тогда

,

Переходя к интегральному уравнению, будем иметь

,

Отсюда, так как на основании формулы (3.2.12) для решения получаем интегральное уравнение

,

Производя оценку по норме, при t?найдем

,

Как известно

,

где c=c( - некоторая положительная постоянная. Поэтому

,

Или

,

Отсюда, применяя лемму Гронуолла - Беллмана, будем иметь

,

Следовательно,

,

На основании теоремы Лопиталя получаем

,

Поэтому

,

при t?T. Отсюда неравенство (3.2.13) принимает вид

.

при t>T, и значит, в силу леммы Гронуолла-Беллмана, для любого решения y(t) системы (3.2.9) справедливо равенство

,

Таким образом, систем (3.2.9) асимптотически устойчива.

Теорема доказана.

Рассмотрим пример.

.



Список использованной литературы

1. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. -М. 1997. -

2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Том 1 (6-е издание, 1968)

Размещено на Allbest.ru

...