Единственность решения задачи сопряжения для уравнений в частных производных третьего порядка
Математические модели ряда задач механики сплошных сред, физики и техники, параметры которых резко отличаются в окрестности линии сопряжения. Доказательство единственности решения задачи. Вычисление значения криволинейного интеграла по границе области.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 19.05.2016 |
| Размер файла | 322,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Единственность решения задачи сопряжения для уравнений в частных производных третьего порядка
Аркабаев Нуркасым Кылычбекович
старший преподаватель кафедры «Программирования
Ошского государственного университета
Кыргызская Республика, г. Ош
В работе рассмотрим задачу сопряжения для уравнений вида
(1)
, (2)
где: , , а .
Пусть означает класс функций, имеющие производные .
Уравнения (1) и (2) по классификации работы [2] принадлежат разным типам. Прямая является характеристикой одновременно для уравнений (1) и (2).
Краевые задачи как для уравнения (1), так и для уравнения (2), в отдельности, рассматривались в работах [1; 5; 7].
К таким задачам приводятся математические модели ряда задач механики сплошных сред, физики и техники, параметры которых резко отличаются в окрестности линии сопряжения [3; 4; 6].
ЗАДАЧА 1. Найти в области функцию , удовлетворяющую уравнению (1) в области , а в области - уравнению (2), а также же краевым условиям:
, , , (3)
(4)
где: , заданные функции, причем
(5)
. (6)
Отметим, что из постановки задачи 1 вытекает следующие условия сопряжения на линии :
, . (7)
Относительно коэффициентов уравнения (1) предполагаем следующее условие
. (8)
Используя условия сопряжения (7) введем обозначения
, , (9)
где: , пока неизвестные функции.
Тогда в силу (6) имеем следующие условия согласования
(10)
, . (11)
Переходя к пределу при в уравнении (1) имеем
. (12)
Докажем единственность решения задачи 1. Имеет место
ТЕОРЕМА. Если выполняются условия (5), (6), (8), (10), (11) и
, (13)
, (14)
(15)
то задача 1 имеет единственное решение.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим задачу с однородными условиями
, , , (16)
, , , , (17)
, ,
при этом условия согласования (10), (11) примут вид
, , , (18)
, . (19)
Интегрируя тождество
по области и используя формулу Грина имеем
. (20)
Вычисляя значения криволинейного интеграла по границе области из (17) с учетом (14) получим
. (21)
С другой стороны, в силу условия (13) из (14) и (15), (16) будем иметь
. (22)
Из (21) и (22) получаем равенство
,
из которого имеем
: : .
Тогда в области приходим к следующей однородной задаче:
, (23)
, , , (24)
, .
Интегрируя тождество
по области и учитывая (24) имеем
. (25)
При выполнении условия (15) из (25) получим
: , ,
: .
Отсюда, в силу непрерывности в следует, что
: .
Это означает, что однородная задача (23), (24) имеет только тривиальное решение. Следовательно, решение задачи 1 единственно.
Теорема доказана.
Список литературы
математический криволинейный интеграл
1. Абдиназаров С. Краевые задачи для уравнений с кратными характеристиками: Автореф. дис. ... докт. физ.-мат. наук: 01.01.02. - Ташкент, 1992. - 27 с.
2. Джураев Т.Д., Попёлок Я. О классификации и приведении к каноническому виду уравнений с частными производными третьего порядка // Дифференц. уравнения. - 1991. Т. 27. № 10. - С. 1734-1745.
3. Кузьмин А.Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения к газодинамике. - Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1990. - 208 с.
4. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. - М.: Высш. шк., 1995. - 301 с.
5. Хошимов А.Р. Краевые задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками в криволинейных областях. Дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. - Ташкент, 1995. - 94 с.
6. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. - М.: Мир, 1977. - 624 с.
7. Шхануков М.Х. Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнений третьего порядка: Дис. ... докт. физ.-мат. наук: 01.01.02. - Нальчик, 1985. - 225 с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Доказательство теоремы единственности для кривых второго порядка. Преимущества и недостатки разных способов доказательства теоремы единственности. Пучок кривых второго порядка. Методы решения теоремы единственности для поверхностей второго порядка.
курсовая работа [302,7 K], добавлен 22.01.2011Понятие, закономерности формирования и решения дифференциальных уравнений. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши. Существующие подходы и методы решения данной задачи, оценка погрешности полученных значений. Листинг программы.
курсовая работа [120,8 K], добавлен 27.01.2014Приведение к системе уравнений первого порядка. Разностное представление систем дифференциальных уравнений. Сеточные методы для нестационарных задач. Особенность краевых задач второго порядка. Разностные схемы для уравнений в частных производных.
реферат [308,6 K], добавлен 13.08.2009История возникновения уравнений, понятие их решения и виды упрощения. Анализ способов решения ряда занимательных задач с помощью уравнений. Обращение Аль-Хорезми с уравнениями как с рычажными весами. Параметры и переменные, область определения и корень.
реферат [38,0 K], добавлен 01.03.2012Основные определения теории уравнений в частных производных. Использование вероятностных, численных и эмпирических методов в решении уравнений. Решение прямых и обратных задач методом Монте-Карло на примере задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона.
курсовая работа [294,7 K], добавлен 17.06.2014Порядок и процедура поиска решения дифференциального уравнения. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка, с разделяющими переменными.
лекция [744,1 K], добавлен 24.11.2010Определение дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа. Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. Принцип построения разностных схем. Конечно-разностный метод решения задач. Двусторонний метод аппроксимации.
дипломная работа [603,8 K], добавлен 24.01.2013Обзор краевых задач для уравнения смешанного эллептико-гиперболического типа. Доказательство существования единственного решения краевой задачи для одного уравнения гиперболического типа со специальными условиями сопряжения на линии изменения типа.
контрольная работа [253,5 K], добавлен 23.04.2014Понятие о голоморфном решении задачи Коши. Теорема Коши о существовании и единственности голоморфного решения задачи Коши. Решение задачи Коши для линейного уравнения второго порядка при помощи степенных рядов. Интегрирование дифференциальных уравнений.
курсовая работа [810,5 K], добавлен 24.11.2013Метод сеток (конечных разностей) - вид численного анализа. Расчет стержней и пластин на прочность, устойчивость и колебания. Формулы для приближенного вычисления производных от функций переменных, расчет упругих систем и разномерных краевых задач.
учебное пособие [4,2 M], добавлен 30.12.2011Структура текстовой задачи. Условия и требования задач и отношения между ними. Методы и способы решения задач. Основные этапы решения задач. Поиск и составление плана решения. Осуществление плана решения. Моделирование в процессе решения задачи.
презентация [247,7 K], добавлен 20.02.2015Особенности дифференциальных уравнений как соотношения между функциями и их производными. Доказательство теоремы существования и единственности решения. Примеры и алгоритм решения уравнений в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель в примерах.
курсовая работа [657,0 K], добавлен 11.02.2014Классификация гиперболических уравнений в общей классификации уравнений математической физики. Классификация уравнений: волновое, интегро-дифференциальные, уравнение теплопроводности. Методы решения в зависимости от видов гиперболических уравнений.
контрольная работа [249,3 K], добавлен 19.01.2009Решение эллиптических и параболических дифференциальных уравнений в частных производных. Суть метода Кранка-Николсона и теории разностных схем для теплопроводности. Построение численных методов с помощью вариационных принципов, описание Matlab и Mathcad.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 13.03.2011Определение криволинейного интеграла по координатам, его основные свойства и вычисление. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Вычисление площадей фигур с помощью двойного интеграла. Использование формулы Грина.
контрольная работа [257,4 K], добавлен 23.02.2011Нахождение частных производных, градиента функции. Вычисление интеграла, переход от двойного интеграла к последовательному, пределов интегрирования. Общее и частное решение дифференциального уравнения второго порядка. Применение признака Даламбера.
контрольная работа [297,6 K], добавлен 11.05.2013Использование метода конечных разностей для решения краевой задачи уравнений с частными производными эллиптического типа. Графическое определение распространения тепла методом конечно-разностных аппроксимаций производных с применением пакета Mathlab.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 06.07.2011Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Теорема существования, единственности решения задачи Коши. Общее решение дифференциального уравнения, изображаемое семейством интегральных кривых на плоскости. Способ нахождения огибающей семейства кривых.
реферат [165,4 K], добавлен 24.08.2015Задачи на нахождение неопределенного интеграла с применением метода интегрирования по частям. Вычисление площади, ограниченной заданными параболами. Решение дифференциального уравнения первого порядка. Исследование на сходимость ряда; признаки сходимости.
контрольная работа [136,7 K], добавлен 16.03.2010Изучение методики расчета температурных полей, использующей традиционный конечный элемент и введенный коэффициент учета объемности поля. Порядок математического моделирования задачи механики сплошных сред. Преимущества и недостатки численного решения.
курсовая работа [781,4 K], добавлен 28.12.2012
