Биография и основные труды Ж. Фурье

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Казанский (Приволжский) федеральный университет"

Реферат

по математике

Биография и основные труды Ж.Фурье

Исполнитель:

Ахметова Альбина,

студентка гр.10.1-509

Преподаватель:

Хусаинова Альфира Хамзовна

Казань 2016

Введение

Фурьй Жан Батист Жозеф - французский математик, иностранный почетный член Петербургской АН (1829), член Парижской АН (1817). Окончив военную школу в Осере, работал там же преподавателем. 1796-98 преподавал в Политехнической школе в Париже. В 1798 вместе с другими учеными принимал участие в Египетской экспедиции Наполеона Бонапарта. В 1802-15 Фурье был префектом департамента Изер; в 1817 переехал в Париж. преобразование фурье интеграл математик

Первые труды Фурье относятся к алгебре. Уже в лекциях 1796 он изложил теорему о числе действительных корней алгебраического уравнения, лежащих между данными границами (опубл. 1820). В 1818 Фурье исследовал вопрос об условиях применимости разработанного И.Ньютоном метода численного решения алгебраических уравнений. Итогом работ Фурье по численным методам решения является "Анализ определенных уравнений".

Основной областью занятий Фурье была математическая физика. В 1807 и 1811 он представил Парижской АН свои первые открытия по теории распространения тепла в твердом теле, а в 1822 опубликовал известную работу "Аналитическая теория тепла", сыгравшую большую роль в последующем развитии математики. В ней Фурье вывел дифференциальное уравнение теплопроводности и далеко развил идеи, в самых общих чертах намеченные ранее Д.Бернулли, разработал для решения уравнения теплопроводности при тех или иных заданных граничных условиях метод разделения переменных (т.н. метод Фурье), который он применял к ряду частных случаев (куб, цилиндр и др.). В основе этого метода лежит представление функций тригонометрическими рядами Фурье, которые хотя и рассматривались иногда ранее, но стали действительным и важным орудием математической физики только у Фурье. "Аналитическая теория тепла" явилась отправным пунктом создания теории тригонометрических рядов и разработки некоторых общих проблем математического анализа. Фурье привел первые примеры разложения в тригонометрические ряды Фурье функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями. Тем самым он внес важный вклад в решение знаменитого спора о понятии функции, в котором участвовали крупнейшие математики 18 в. Его попытка доказать возможность разложения в тригонометрический ряд Фурье любой произвольной функции была неудачна, но положила начало большому циклу исследований, посвященных проблеме представимости функций тригонометрическими рядами и интегралами (интеграл Фурье). С этими исследованиями было связано возникновение теории множеств и теории функций действительного переменного.

Имя Фурье носят следующие математические объекты:

· интеграл Фурье

· коэффициенты Фурье

· метод Фурье

· преобразование Фурье

· ряд Фурье

1. Биография

Жан Батист Жозеф Фурье (21 марта 1768 - 16 мая 1830) - известный французский математик и физик, иностранный почетный член Петербургской АН (1829). Его «Аналитическая теория тепла» (1822) явилась отправным пунктом в создании теории тригонометрических рядов.

Жан Батист Жозеф Фурье родился во французском городе Осер и был 12-м из 15 детей в семье портного (девятым во втором браке отца). Его отец, Жозеф Фурье, происходил из семьи лавочника.

Мать Жана Батиста умерла в 1777 году, когда Фурье было девять лет. В том же году скончался отец. По другим источникам Фурье стал сиротой в возрасте восьми лет.

В своей первой школе, которой руководил церковный музыкант, Фурье показывал успехи в изучении французского и латыни. В возрасте 12 лет при содействии епископа Осера Фурье устроили в военную школу при бенедиктинском монастыре. Здесь он вскоре отличился благодаря способностям, в особенности, математическим. К 13 годам Жозеф заинтересовался математикой, а в возрасте 14 лет он освоил шеститомный «Курс математики» Безу. В это же время он стал собирать свечные огарки в здании школы, чтобы иметь возможность заниматься по ночам. В 1782 - 1783 годах Фурье получил множество призов по риторике, математике, механике и пению. Последовавшая продолжительная болезнь, возможно, объяснялась этими усиленными занятиями.

Из-за происхождения и бедности Фурье был лишен возможности выдвинуться на военной службе, хотя и грезил военной карьерой и хотел стать артиллеристом или военным инженером, и поэтому после окончания училища в 1784 году остался в нем в качестве преподавателя математики, истории и риторики.

В 1787 году Фурье поступил в бенедектинское аббатство, где собирался получить сан. Сомневаясь в своём выборе, вскоре покинул аббатство и в 1789 году отправился в столицу. В Париже в Королевской Академии Наук Фурье представил работу о численном решении уравнений любой степени, которая, однако, потерялась в вихре тогдашних революционных событий.

Революция пришла раньше, чем он смог решить, кем ему стать - монахом, военным или математиком. Революционный декрет октября 1789 года отменил религиозные обеты, а вскоре имущество церкви и монашеских орденов было конфисковано. Фурье вернулся в Осер и стал преподавать математику, риторику, историю и философию, в школе, которую сам закончил. Комиссар, который посетил школу в октябре 1792 года, отмечал либеральную атмосферу занятий и был недоволен только малым количеством занятий по латинскому языку, которые, по просьбе родителей, уступили место занятиям по математике.

До февраля 1793 года Фурье не занимался политикой, несмотря на то, что в Осере располагалось самое воинствующее провинциальное отделение партии якобинцев. В 1793 году в Осере состоялись бурные дебаты по принципам выделения людей от региона по требованию Конвента. Фурье выступил на этих дебатах и предложил план, который был в конечном итоге поддержан. В марте 1793 года Фурье получил предложение вступить в Comite de Surveillance, которое он принял. В сентябре того же года комитет, который занимался делами путешественников, стал частью революционного террора и был обязан аррестовывать сторонников тирании или федерализма и врагов свободы. Фурье, не желающий участвовать в этом, подал письменное заявление о выходе из комитета, которое было отклонено.

По делам комитета Фурье отправился в департамент Loiret. Проезжая мимо Орлеана он стал участником локального конфликта, высказавшись в защиту глав нескольких местных семей, когда представитель Конвента осуществил множество арестов и намеревался использовать передвижную гильотину. В результате 29 октября 1793 года его полномочия были отозваны с невозможностью получить их в дальнейшем, и Фурье в страхе вернулся в Осер, где продолжил состоять в местном отделении партии и преподавать в школе. Более того, в июне 1794 года он стал президентом революционного комитета в Осере. После этого Фурье направился в Париж на встречу с Робеспьером, которая не была успешной, так как 4 июля, сразу по возвращению в Осер, он был арестован. Фурье уже ожидал гильотины, когда в результате переворота Робеспьер был арестован и казнён, после чего Фурье был освобождён.

30 октября 1794 года декретом Конвента в Париже была организована Нормальная школа, в которой на деньги республики обучалось 1500 студентов, которым предстояло стать школьными учителями. Студенты были номинированы от различных округов, в частности, так как Осер номинировал своего кандидата в то время, когда Фурье сидел в тюрьме, он был номинирован соседним округом Сент-Флорентин и поступил в школу после подтверждения из Осера. В школе преподавали такие выдающиеся учёные как Лагранж, Лаплас, Монж. Занятия начались 20 января 1795 года, но уже в мае 1795 года школа прекратила своё существование.

В то же время оппоненты Фурье написали письмо в Нормальную школу утверждая, что нельзя готовить учителей для детей из тех кандидатов, кто были выбраны ещё при Робеспьере, в частности самого Фурье. В мае 1795 года в Осер пришло два приказа: 12 мая - обезоружить участников террора, включая Фурье, 30 мая - отказавшихся взять под стражу. К тому времени Фурье получил позицию в Политехнической школе, носившей в то время другое название. Он пытался сопротивляться, отказался от позиции и писал письмо в муниципалитет Осера, но 7 июня был схвачен и отправлен в тюрьму. Из тюрьмы он написал множество писем в свою защиту, утверждая в частности, что при Робеспьере он был посажен в тюрьму и перевороту 9 термидора он обязан своей жизнью и свободой. В августе 1795 года по неизвестной причине Фурье был освобождён. Его освобождение связывают с изменившимся политическим климатом в стране, или с возможным заступничеством Лагранжа и Монжа.

1 сентября 1795 года Фурье восстановился на работу в Политехнической школе, которая занималась подготовкой военных, и директором которой был Монж. Фурье преподавал начертательную геометрию, некоторые главы анализа (совместно с Лагранжем), а также занимался подбором учеников. Через два года стал руководить кафедрой анализа и механики, сменив на этом посту Лагранжа.

Первые труды Фурье относятся к алгебре. В лекциях 1796 года он изложил теорему о числе действительных корней алгебраического уравнения, лежащих между данными границами, названную его именем; полное решение вопроса о числе действительных корней алгебраического уравнения было получено в 1829 году Ж.Ш.Ф. Штурмом.

В 1798 году Монж, близкий к Наполеону, привлек Фурье к участию в Египетской экспедиции. Наполеон собирался обосноваться в Египте надолго. В Каире был учрежден, по образцу французского, Египетский институт, главной задачей которого стало всестороннее изучение страны. Монж возглавил институт, а Фурье стал его секретарем. Фурье активно участвовал в различных научных исследованиях, в том числе далеких от математических. Он показал себя хорошим администратором, заодно он искусно выполнял и дипломатические поручения. Это отразилось на его дальнейшей судьбе.

Египетская компания Наполеона кончилась провалом. Сам он тайком покинул Египет в 1799 году. Французская армия была вынуждена эвакуироваться летом 1801 года, а вместе с нею возвратился и Фурье. Фурье восстановился в должности профессора в политехнической школе. Однако, Наполеон предложил ему пост префекта департамента Изер, а Фурье не мог отказаться от предложения и отправился в Гренобль. Основными достижениями Фурье на посту является руководство осушением болот на доверенных ему территориях, а также строительство новой дороги, соединившей Гренобль с Турином. На этом посту Фурье оставался целых 12 лет. В свободное время он продолжал научные исследования по алгебре, активно работал в новой области - теории теплоты. Главные результаты в теории теплопроводности Фурье получил в 1807 году, но с публикацией их ему пришло долго ждать.

В 1809 году Фурье получил от Наполеона титул барона и был награждён орденом Почётного легиона.

В 1809 году Фурье написал обширное историческое введение к вышедшему на французском языке труду "Описание Египта".

Тем временем экспансионистская политика Наполеона вела Францию через серию временных успехов к полному разгрому. За это время Фурье получил префектуру в Лионе. Но уже 1 мая, за полтора месяца до поражения Наполеона под Ватерлоо и конца "ста дней", он был отстранен от должности за недостаточную активность.

В Париже, куда переехал Фурье, он жил сначала на весьма скромную пенсию префекта. Затем он получил место директора Статистического бюро департамента Сены. В занятиях статистикой ему помог опыт, приобретенный в Египте, и это дело он поднял на большую высоту.

В мае 1816 года Парижская академия наук избрала Фурье своим членом. Людовик XVIII отменил избрание, но через некоторое время сменил гнев на милость. Фурье простили политическое прошлое и даже сохранили пожалованный Наполеоном баронский титул.

12 мая 1817 года Фурье вновь избирают членом Академии наук, но на этот раз избрание утверждается. Более того, вскоре он становится одним и самых влиятельных академиков, а в ноябре 1822 года избирается пожизненно непременным ее секретарем. В этом же году выходит его классическая "Аналитическая теория тепла". В ней Фурье вывел дифференциальное уравнение теплопроводности и развил идеи, в самых общих чертах намеченные ранее Даниилом Бернулли, разработал для решения уравнения теплопроводности при тех или иных заданных граничных условиях метод разделения переменных, который он применял к ряду частных случаев (куб, цилиндр и др.). В основе этого метода лежит представление функций тригонометрическими рядами, которые хотя и рассматривались иногда ранее, но стали действенным и важным орудием математической физики только у Фурье.

"Аналитическая теория тепла" явилась отправным пунктом создания теории тригонометрических рядов и разработки некоторых общих проблем математического анализа. Фурье привёл первые примеры разложения в тригонометрические ряды функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями. Тем самым он внёс важный вклад в решение знаменитого спора о понятии функции, в котором участвовали крупнейшие математики XVIII века. Его попытка доказать возможность разложения в тригонометрический ряд любой произвольной функции была неудачна, но положила начало большому циклу исследований, посвященных проблеме представимости функций тригонометрическими рядами. С этими исследованиями было в значительной мере связано возникновение теории множеств и теории функций действительного переменного.

Несмотря на то, что должность секретаря отнимала у Фурье много времени, он продолжил научную работу по ряду вопросов математики и физики. Его труды и исследования обеспечили ему мировую известность. Применяемые им методы были совершенно оригинальными, он значительно усовершенствовал теорию уравнений. Ряды, названные его именем, сыграли большую роль в математике и применяются часто и теперь.

В 1818 году Фурье исследовал вопрос об условиях применимости разработанного Исааком Ньютоном метода численного решения уравнений, не зная об аналогичных результатах, полученных в 1768 году французским математиком Мурайлем. Итогом работ Фурье по численным методам решения уравнений является "Анализ определённых уравнений", изданный посмертно в 1831 году.

В 1820 году Фурье подсчитал, что объект размером с Землю, и на данном расстояния от Солнца, должен быть значительно холоднее, чем планета на самом деле, если нагревается только вследствие поступающего солнечного излучения. Он рассматривал различные возможные источники дополнительного наблюдаемого тепла в статьях, опубликованных в 1824 и 1827 годах. В конце концов, Фурье предположил, что атмосфера Земли может действовать как изолятор, который, позволяя планете нагреваться, предотвращает её остывание, т.е. высказал предположение о существовании явления, которое сегодня называют «парниковый эффект».

Многие свои планы Фурье не успел завершить. В архиве Парижской академии наук имеется большое число незаконченных рукописей: по теории неравенств, теории вероятностей, теории параллельных. Эта незавершенность ряда его начинаний объясняется не только нагрузкой секретаря, но и ухудшением его здоровья. Врачей он слушать не хотел, постоянно жил в душной и жаркой квартире, и к тому же боясь ревматизма, всегда чрезвычайно тепло одевался. На учащавшиеся приступы удушья он не обращал внимания.

Спускаясь по лестнице, 4 мая 1830 года Фурье потерял сознание и упал, что только обострило его состояние.

16 мая 1830 года Фурье стало совсем плохо, и в тот же день в собственной постели он скончался. Фурье был похоронен на кладбище Пер-Лашез в Париже. Его гробница украшена орнаментом с египетскими мотивами.

Имя Фурье внесено в список 72-х величайших учёных Франции, помещённый на первом этаже Эйфелевой башни.

2. Интеграл Фурье

Если функция f(x) абсолютно интегрируема на всей числовой оси, то есть если интеграл

Сходится, и если она удовлетворяет условиям на любом конечном интервале, то ее можно представить интегралом Фурье

,

Эта интегральная формула Фурье получается из ряда Фурье для функции f(x) в интервале (-l, l) при l.

3. Коэффициенты Фурье

Существует фундаментальная связь между аналитичностью функции и скоростью убывания её коэффициентов Фурье. Чем «лучше» функция, тем быстрее её коэффициенты стремятся к нулю, и наоборот. Степенное убывание коэффициентов Фурье присуще функциям класса , а экспоненциальное -- аналитическим функциям. Примеры такого рода связи:

Коэффициенты Фурье любой интегрируемой функции стремятся к нулю (лемма Римана -- Лебега).

Если функция принадлежит классу

то есть дифференцируема раз и её -я производная непрерывна, то

=0(

если ряд сходится абсолютно, то

при всех .

Если функция принадлежит классу Гёльдера с показателем , то ряд сходится абсолютно (теорема Бернштейна).

4. Метод Фурье

Метод разделения переменных -- метод решения дифференциальных уравнений, основанный на алгебраическом преобразовании исходного уравнения к равенству двух выражений, зависящих от разных независимых переменных.

В применении к уравнениям в частных производных схема разделения переменных приводит к нахождению решения в виде ряда или интеграла Фурье. В этом случае метод также называют методом Фурье.

Метод Фурье, или метод разделения переменных основывается на том, что решение ищется в виде

- произведения двух функций. Одна из которых зависит только от x, а другая только от t.

5. Преобразование Фурье

Преобразование Фурье (символ ?) -- операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие -- гармонические колебания с разными частотами (подобно тому, как музыкальный аккорд может быть выражен в виде амплитуд нот, которые его составляют ).

Преобразование Фурье функции f вещественной переменной является интегральным и задаётся следующей формулой:

Хотя формула, задающая преобразование Фурье, имеет ясный смысл только для функций класса , преобразование Фурье может быть определено и для более широкого класса функций и даже обобщённых функций. Это возможно благодаря ряду свойств преобразования Фурье:

Преобразование Фурье является линейным оператором

Преобразование Фурье и дифференцирование. Если , то

Из этой формулы легко выводится формула для -й производной:

Формулы верны и в случае обобщённых функций.

Преобразование Фурье и сдвиг.

Эта и предыдущая формула являются частными случаями теоремы о свёртке, так как сдвиг по аргументу -- это свёртка со сдвинутой дельта-функцией , а дифференцирование -- свёртка с производной дельта-функции.

Преобразование Фурье и растяжение.

Преобразование Фурье обобщённых функций

Преобразование Фурье можно определить для широкого класса обобщённых функций. Определим вначале пространство гладких быстро убывающих функций (пространство Шварца):

Ключевым свойством этого пространства является то, что это инвариантное подпространство по отношению к преобразованию Фурье.

Теперь определим его двойственное пространство . Это некоторое подпространство в пространстве всех обобщённых функций -- так называемые обобщённые функции медленного роста. Теперь для функции её преобразованием Фурье называется обобщённая функция , действующая на основные функции по правилу

6. Ряд Фурье

Ряд Фурье -- представление произвольной функции с периодом в виде ряда

Этот ряд может быть также записан в виде:

где

-- амплитуда -го гармонического колебания,

-- круговая частота гармонического колебания,

-- начальная фаза -го колебания,

-- -я комплексная амплитуда

В более общем виде рядом Фурье элемента гильбертова пространства называется разложение этого элемента по ортогональному базису. Существует множество систем ортогональных функций: Уолша, Лагера, Котельникова и др.

Разложение функции в ряд Фурье является мощным инструментом при решении самых разных задач благодаря тому, что ряд Фурье прозрачным образом ведёт себя при дифференцировании, интегрировании, сдвиге функции по аргументу и свёртке функций.

Заключение

Математик и физик высочайшего уровня, Жозеф Фурье своими исследованиями совершил революцию в научном мире.

В 1830 г. здоровье Фурье резко ухудшается. Первые симптомы аневризмы сердца проявляются у него ещё во время пребывания в Египте и Гренобле, но с возвращением в Париж приступы удушья становятся всё тяжелее. Всё это осложняет падение Фурье с лестницы, случившееся 4 мая 1830 г. Через несколько дней, 16 мая 1830 г., Фурье скончался. Похоронен учёный на кладбище Пер-Лашез в Париже. Могила его украшена в египетском стиле в знак того, что он был секретарём Каирского института, а также как напоминание о его вкладе в издание «Описание Египта». Имя Фурье числится в списке 72 двух имён выдающихся людей Франции, увековеченных на первом этаже Эйфелевой башни.(http://to-name.ru/biography/zhan-batist-zhozef-fure.htm) (mathprofi) (ВикипедиЯ)

Размещено на Allbest.ru