Дробно-факторний експеримент

Размещено на http://www.allbest.ru/

КУРСОВА РОБОТА

з дисципліни "Моделювання систем"

на тему: Дробно-факторний експеримент

КИЇВ

2015

Зміст

1. Актуальність

2. Дробно-факторний експеримент

3. Роздільна здатність ДФЕ

1. Актуальність

Рішення більшості проблем вимагає проведення складних і дорогих досліджень. Більшість об'єктів дослідження являють собою багатофакторні системи, що важко піддаються аналітичному опису. Тому оптимальному плануванню та проведенню експериментальних досліджень слід приділяти велику увагу. Довгий час для опису складних багатофакторних систем, як правило, використовувалася повнофакторна методика, при якій досліджувалася поведінка об'єкта в залежності від кожного фактора окремо, в той час як інші фіксувалися на певних рівнях.

Такий шлях приводив до отримання великої кількості надлишкової інформації. Повний факторний експеримент доцільно використовувати при порівняно невеликому числі факторів, в іншому випадку число варіантів варіювання стає непомірно великим і реалізація експерименту ускладнюється.

Наприклад, для проведення чотирьохфакторного експерименту за однофакторною методикою необхідно зробити 44 = 256 дослідів, проводячи досліди в чотирьох точках при фіксованих значеннях трьох факторів. У результаті виходить велика кількість графічних залежностей або рівнянь, в яких дуже важко орієнтуватися.

Іншими словами, повний факторний експеримент включає в себе надмірну кількість дослідів.

Тому для таких досліджень доцільно застосовувати метод дробного факторного експерименту. Для цього необхідно скоротити число дослідів за рахунок тієї інформації, що не дуже істотна при побудові лінійних моделей. При цьому потрібно стежити, щоб матриця планування не позбулася своїх оптимальних властивостей. Зробити це не так просто, але все ж можливо.

2. Дробно-факторний експеримент

Дробно-факторний експеримент необхідно використовувати тоді, коли число факторів більше або дорівнює 2 і повно-факторний експеримент проводити не вигідно. ДФЕ умовно позначають 2К-Р, де р - число лінійних ефектів, прирівняних до ефектів взаємодії. При р = 1 мають 1/2 ПФЕ - напіврепліка р = 2 мають 1/4 ПФЕ - чверть репліка. Від дійсних значень факторів до кодованих переходять також, як і при ПФЕ (2К). При побудові будь-якого плану матриці планування ДФЕ похідні комбінацій факторів можна прирівняти до нових факторів, якщо відомо, що ефект взаємодії між факторами відсутній. Значення нового фактора визначають за знаками, які вказані в цьому стовпці. При цьому скорочується число дослідів. Якщо в ПФЕ один з ефектів взаємодії замінити фактором, то отримаємо 1/2 від ПФЕ, тобто ДФЕ 24-1. Якщо 2 ефекту взаємодії замінити факторами х4 і х5, то отримаємо 25-2 ПФЕ. Якщо х4, х5 і х6, то отримаємо 26-3 ПФЕ. В якості підходящого ДФЕ необхідно брати ПФЕ, число дослідів в якому більше числа факторів у досліджуваному процесі

.

Частина від ПФЕ повинна складатися з даних у рядках плану матриці планування з парним або непарним числом змінних. Наприклад, матриця планування 23-1 може бути представлена двома частинами: при

х3 = х1 х2;

х3 = -х1 -х2

(верхня або нижня частина).

3. Роздільна здатність ДФЕ

При відсутності однорідної інформації про ефекти взаємодії слід брати частину від ПФЕ з максимальною роздільною здатністю. Якщо існує інформація про ефекти взаємодії, то нею слід користуватися при виборі ДФЕ. Роздільні оцінки незмішаних лінійних ефектів і різних взаємодій ДФЕ визначають його роздільну здатність.

Слід визначити генеруюче співвідношення, яке для кожної матриці планування показує, яка з взаємодій прийнята незначною і замінена новим фактором. Знаходять визначальний контраст, тобто співвідношення похідних факторів, що задає елементи стовпця, складеного тільки з +1 або -1. Наприклад, визначити визначальний контраст з 2-х частин матриці планування 23-1. аналітичний чотирьохфакторний матриця планування

Дві частини плану матриці планування 23-1, К = 3, р = 1 К - загальне число факторів; р - число лінійних факторів.

Похідна матриці 1 і матриці 2,

наведених у 3 стовпцях, виходить за співвідношенням

x1x2х3 = 1

У стовпцях знаходяться однакові знаки. У першому випадку їх елементи рівні +1, у другому -1; умовне (кодове) позначення похідних стовпців, в яких є тільки плюси або тільки мінуси, крім стовпця х0, називають визначальним контрастом і позначають +1. Контраст допомагає визначити спільні оцінки параметрів.

Потім визначають спільні оцінки факторів, тобто завжди для будь-якої матриці планування потрібно послідовно перемножити графи незалежних змінних х1, х2, х3; при цьому враховуючи, що xi2=1, так як 12=1. У прикладі, наведеному в останній таблиці, спільні оцінки задаються наступними співвідношеннями:

Це означає, що коефіцієнти факторів або параметрів двох частин плану матриці планування будуть спільними оцінками наступних параметрів:

Для оцінки роздільної здатності ДФЕ (великої дробності 1/4; 1/8; 1/16) необхідно користуватися узагальненим визначальним контрастом. Будують матрицю планування великої дробності, наприклад: 1/16 ДФЕ 27 Виходить ПФЕ. Отримаємо таблицю: План матриці планування 27-4

Комбінація похідних факторів дозволяє оцінити подвійні взаємодії, а також припустити їх несуттєвими і прирівняти їх до 0. В іншому випадку необхідно прирівняти комбінації факторів похідних до нових факторів. Користуючись таким плануванням, можна отримати модель (статистичну) досліджуваного процесу, явища або об'єкта у вигляді рівняння регресії такого вигляду:

Регресія - якщо дано розподіл 2-х випадкових величин х1х2, то регресією х2х1 називається будь-яка функція

наближено представляюча статистичну залежність х2 від х, при цьому ця функція в сумі з випадковою величиною являє собою величину х2 і величинаназивається поправочним (залишковим) членом. Генеруюче співвідношення показує, яка з взаємодій прийнята незначною. Y може включати в себе парні, потрійні взаємодії. Генеруюче співвідношення дозволяє визначити:

Для плану 27-4 один з можливих записів (підходів) для визначення генеруючих співвідношень:

Визначальний контраст: похідна тих факторів, похідні яких завжди рівні 1. Визначальними контрастами для плану 27-4 є співвідношення:

Якщо попарно перемножити ці визначальні контрасти, то отримаємо:

Якщо перемножити визначальні контрасти по 3 фактори, то отримаємо:

Визначимо узагальнюючий визначальний контраст. Тобто похідну вищого порядку визначаючих контрастів, щоб визначити роздільну здатність дробно-факторного експерименту. Записуємо у наступному вигляді:

Остаточний вираз:

;

Реальна модель має вигляд:

Коефіцієнти цієї моделі

в0,в1 є оцінками

Охарактеризуємо роздільну здатність дрoбно-факторного експерименту множенням узагальнюючого визначального контрасту послідовно на: Якщо усіма ефектами взаємодії, починаючи з потрійних, можна знехтувати, то коефіцієнти параметрів регресії будуть спільними оцінками - Це означає, що ми отримали рівняння регресії:

З останнього визначення видно, що планування експерименту пов'язанe з деякою алгоритмічною мовою, що дозволяє будувати статистичні характеристики процесів що оптимізуються.

Размещено на Allbest.ru