Способы деления отрезка в заданном отношении

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Московской области

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Московский государственный областной университет (МГОУ)

Физико-математический факультет

Кафедра высшей алгебры, элементарной математики и методики преподавания математики

КУРСОВАЯ РАБОТА

по курсу «Элементарная математика»

Тема:

Задача о деление отрезков в заданном отношении и порождаемые ею теории

Выполнила: Колесник Анна

Студентка 21 группы 2 курса

Научный руководитель:

Ст. преп. Высоцкая П.А.

Москва - 2015

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

1. Деление отрезка

1.1 Задачи на построение

1.2 Геометрическое определение "золотого сечения"

1.3 Вывод формул для нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении, на плоскости

1.4 Координаты точки, которая делит отрезок в заданном отношении, в пространстве

1.5 Теории порождаемые задачей о делении отрезка в данном отношении (Теорема Чевы, Теорема Менелая)

2. Нахождение координат точки

2.1 Нахождение координат точки, делящей отрезок в данном отношении

2.2 Применение теорем Менелая и Чевы для решения задач

Заключение

Список используемых ресурсов

ВВЕДЕНИЕ

Данная работа посвящена задаче о делении отрезка в заданном отношении и порождаемым ею теориям.

Задача о делении отрезка сыграла важную роль в становлении геометрии, на ее основе было создано множество теорий. Многие ученые (от древнего мира до наших дней) рассматривали данную задачу и использовали ее в своих трудах, и в моей работе будут рассмотрены данные теории, таких великих умов как Джованни Чева, Менелая Александрийского и Евклида.

А так же рассмотрим решение задачи о делении отрезка в заданном отношении способом построения, и разберемся с нахождением координат точки, которая делит некоторый отрезок в заданном отношении, получим формулы для нахождения координат такой точки по координатам концов отрезка. После этого рассмотрим решения нескольких характерных задач.

Цель данной работы, рассмотреть различные способы деления отрезка в заданном отношении.

Задачи данной работы:

· изучить вопрос о том, как разделить отрезок прямой в заданном отношении по средствам построения;

· изучить вопросы о том найти координаты точки, делящей отрезок в данном отношении, на плоскости и в пространстве;

· изучить теории порождённые задачей о делении отрезка в заданном отношении и рассмотреть их практическое применение.

1. Деление отрезка

1.1 Задачи на построение

Деление отрезка пополам

Деление отрезка пополам выполняется следующим образом. На отрезке AB необходимо, из точки А, отложить дугу большую половине этого отрезка. Далее, не меняя значения циркуля, из точки В построим засечки, пересекающие нашу дугу. Пересечение дуги и засечек образуют точки E и D, затем проводим прямую через эти точки, которая и поделит наш отрезок АВ ровно на две части. Если продолжить деление полученных частей пополам можно таким же способом разделить отрезок на 4, 8, 16 и т.д., т.е. на число кратное 2.

Доказательство:

Соединим точки Е и D с концами отрезка AB. По построению AD = AE = DB = EB. Поэтому равнобедренные треугольники DAE и DBE равны по трем сторонам. Отсюда следует равенство углов ADO и BDO. В равнобедренном треугольнике ABD, DO- биссектриса, проведенная к основанию, следовательно, она медиана и высота. Отсюда AO = OB, и точка O - середина отрезка AB.



Деление отрезка прямой на пропорциональные части

Существует теорема Фалеса, которая звучит следующим образом: "если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки". Используя данную теорему мы можем произвести деление отрезка прямой на пропорциональные части. Разберем как выполняется данное деление.

Для того чтобы разделить отрезок АВ в соотношении например 3:2 (отсчитывая от точки А), необходимо под произвольным углом из точки А провести вспомогательную прямую. Затем на этой прямой отложить 5 произвольных, но равных между собой отрезков. Далее соединить прямой точки В и 5 и из точки 3 параллельно прямой В5 провести прямую до пересечения ее с отрезком АВ, полученная точка пересечения D разделит отрезок АВ в соотношении 3:2. Мы получим отношение AD:DB = 3:2

Доказательство:

Рассмотрим треугольники АСВ и AEB. Данные треугольники подобны по двум углам (?A- общий, ?ACD=?AEB- соответственные). Следовательно, отношения сторон треугольников равны. По построению =, значит и =. Значит, отрезок АВ поделен в заданном отношении.

Деление отрезка в крайнем и среднем отношении

На рисунке отрезок АО разделен так, что отношение отрезка АО к отрезку АК равно отношению отрезка АК к отрезку КО (АО : АК=АК : КО). Такое деление известно под названием золотое сечение или золотое отношение. Правило золотого сечения получило популярность благодаря своим применениям в живописи и, особенно, в архитектуре, а также обнаружению этой пропорции (и тесно связанных с ней чисел Фибоначчи) в живой природе.

Графическое построение золотого сечения выполняется следующим образом: отрезок АО делим на две равные части (точка С); в точке О строим перпендикуляр к отрезку АО, на перпендикуляре откладываем отрезок ОМ который равен отрезку ОС; точки А и М соединяют прямой. Далее на этой прямой от точки М откладывают отрезок MN = ОМ и на отрезке АО от точки А откладывают отрезок АК из точки N. Точка К и будет являться результирующей точкой которая делит отрезок АО в крайнем и среднем отношении.

1.2 Геометрическое определение "золотого сечения"

Самым известным математическим сочинением античной науки являются "Начала Евклида". Это научное произведение написано Евклидом в 3 веке до новой эры и содержит основы античной математики: элементарную геометрию, теорию чисел, алгебру, теорию пропорций и отношений, методы определения площадей и объемов и др. Евклид подвел в этом сочинении итог трехсотлетнему развитию греческой математики и создал прочный фундамент для дальнейшего развития математики.

Именно из "Начал Евклида" к нам пришла следующая геометрическая задача, называемая задачей "о делении отрезка в крайнем и среднем отношении". Суть задачи состоит в следующем. Разделим отрезок АВ точкой С в таком отношении, чтобы большая часть отрезка СВ так относилась к меньшей части АС, как отрезок АВ к своей большей части СВ (Рис. 1), то есть:

= (1)

Рисунок 1. Деление отрезка в крайнем и среднем отношении ("золотое сечение")

Обозначим отношение (1) через x. Тогда, учитывая, что АВ = АС + СВ, отношение (1) можно записать в следующем виде:

откуда вытекает следующее алгебраическое уравнение для вычисления искомого отношения x:

x² = x + 1 (2)

Из "физического смысла" отношения (1) вытекает, что искомое решение уравнения (2) должно быть положительным числом, откуда вытекает, что решением задачи о делении отрезка в крайнем и среднем отношении является положительный корень уравнения (2), который мы обозначим через t, то есть

Леонардо да Винчи назвал это число "золотым сечением" или "золотой пропорцией". Существует мнение, что Леонардо да Винчи не был первым, кто использовал такое название. Считается, что этот термин идет от Клавдия Птоломея, который дал ему такое название, убедившись, что рост человека правильного телосложения естественно делится именно в таком отношении. Закрепился же этот термин и стал популярным благодаря Леонардо да Винчи, который часто его использовал.

Уравнение (2) часто называют "уравнением золотой пропорции".

Заметим, что на отрезке АВ существует еще одна точка D (Рис.1), которая делит его "золотым сечением", так как

Золотое сечение широко встречается в геометрии. Из "Начал Евклида" известен следующий способ геометрического построения "золотого сечения" с использованием линейки и циркуля (Рис. 2). Построим прямоугольный треугольник ABC со сторонами AB = 1 и AC = Ѕ. Тогда в соответствии с "Теоремой Пифагора" cторона

Проведя дугу AD с центром в точке C до пересечения с отрезком CB в точке D, мы получим отрезок

Рисунок 2. Геометрическое построение золотого сечения.

Проведя дугу DB с центром в точке B до ее пересечения с отрезком AB в точке E, мы получим деление отрезка AB в точке E "золотым сечением", поскольку

или

Таким образом, хорошо известный в древнем мире простой прямоугольный треугольник с отношением катетов 1:2 мог послужить основой для открытия "теоремы квадратов", золотой пропорции и, наконец, "несоизмеримых отрезков" - трех великих математических открытий, приписываемых Пифагору.

Многие математические закономерности, как говорится "лежали на поверхности", их нужно было только увидеть человеку с аналитическим умом, мыслящему логически, чем и отличались античные философы и математики. Не исключено, что древние математики могли прийти к "золотому сечению", исследуя так называемый простейший прямоугольник с отношением сторон 2:1, называемый также "двухсмежным квадратом", так как он состоит из двух квадратов (Рис. 3).

Рисунок 3. Прямоугольник с отношением сторон 2:1 ("двухсмежный квадрат")

Если вычислить диагональ DB "двухсмежного квадрата", то в соответствии с теоремой Пифагора она равна

Если теперь взять отношение суммы отрезков AD + DB к большей стороне АВ "двухсмежного квадрата", то мы придем к "золотой пропорции", так как

Свое восхищение "золотым сечением" знаменитый астроном Иоганн Кеплер выразил в следующих словах:

"В геометрии существует два сокровища - теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем".

1.3 Вывод формул для нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении, на плоскости

Начнем с постановки задачи на плоскости.

Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат Oxy и заданы координаты двух несовпадающих точек A(x_A, y_A) и B(x_B, y_B). Нам требуется найти координаты x_C и y_C точки С, которая делит отрезок АВ в отношении , где - некоторое положительное действительное число.

Поясним смысл фразы: «точка С делит отрезок АВ в отношении ». Это выражение означает, что точка С лежит на отрезке АВ (является внутренней точкой отрезка АВ) и отношение длин отрезков АС и СВ равно (то есть, выполняется равенство = ). Обратим внимание, что в этом случае точка А является как бы началом отрезка, а точка В - его концом. Если же сказано, что точка С делит отрезок ВА (а не АВ) в отношении , то будет выполняться равенство = . Очевидно, что при = 1 точка С является серединой отрезка АВ.

Поставленная задача может быть решена с помощью векторов.

Изобразим в прямоугольной декартовой системе координат некоторый отрезок АВ, точку С на нем и построим радиус-векторы точек А, В и С, а также векторы и . Будем считать, что точка С делит отрезок АВ в отношении .

Мы знаем, что координаты радиус-вектора точки равны соответствующим координатам этой точки, поэтому,

= (x_A, y_A) и = (x_B, y_B)

Найдем координаты вектора , которые будут равны искомым координатам точки С, делящей отрезок АВ в заданном отношении .

В силу операции сложения векторов можно записать равенства

= + и = + = -

Их мы используем в следующем абзаце.

Так как точка С делит отрезок АВ в соотношении , то = , откуда модуль |AC| = |CB| . Векторы и лежат на одной прямой и имеют одинаковое направление, а выше мы отметили, что 0 , поэтому, по определению операции умножения вектора на число справедливо равенство = . Подставив в него = - , имеем = () . Тогда равенство = + можно переписать как = +() , откуда в силу свойств операций над векторами получаем

= (+)

Осталось вычислить координаты вектора

= (+),

выполнив необходимые и в координатах. Так как

= (x_A,y_A) и = (x_B,y_B),

то +=(x_A+x_B,y_A+y_B),

следовательно,

= (+)=(, ).

Таким образом, на плоскости координаты точки С, которая делит отрезок АВ в отношении , находятся по формулам

x_C= и y_C=

1.4 Координаты точки, которая делит отрезок в заданном отношении, в пространстве

Теперь рассмотрим задачу нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении, не на плоскости, а в трехмерном пространстве.

Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz заданы координаты точек A(x_A,y_A,z_A) и B(x_B,y_B,z_B), а требуется найти координаты x_C, y_C и z_C точки С, которая делит отрезок АВ в отношении .

Если провести рассуждения, аналогичные случаю на плоскости, то также придем к равенству

= (+)

Векторы и являются радиус-векторами точек А и В, поэтому,

= (x_A,y_A,z_A) и = (x_B,y_B,z_B). Тогда

= (+) = (, , ).

Следовательно, в трехмерном пространстве точка С, делящая отрезок АВ в заданном отношении , имеет координаты

(, , )

1.5 Теории порождаемые задачей о делении отрезка в данном отношении

1) Джованни Чева (Ceva Giovani, 1648-1734) - итальянский инженер и математик. Окончил университет в Пизе. Основные его труды - работы по геометрии и механике. Теорема, известная сегодня как теорема Чевы, была доказана им в 1678 году.

Теорема (теорема Чевы). Пусть точки A₁,B₁,C₁ лежат на сторонах BC,AC и AB треугольника ABC соответственно.

Пусть отрезки AA₁,BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Тогда

(обходим треугольник по часовой стрелке)

Доказательство. Обозначим через O точку пересечения отрезков AA₁, BB₁ и CC₁ . Опустим из точек C и A перпендикуляры на прямую BB₁ до пересечения с ней в точках K и L соответственно (см. рисунок).

Поскольку треугольники AOB и BOC имеют общую сторону OB, то их площади относятся как высоты, проведенные на эту сторону, т.е. AL и CK:

Последнее равенство справедливо, так как прямоугольные треугольники AB₁L и CB₁K подобны по острому углу. Аналогично получаем

и

Перемножим эти три равенства:

что и требовалось доказать.

Замечание. Отрезок (или продолжение отрезка), соединяющий вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне или ее продолжении, называется чевианой.

Теорема (обратная теорема Чевы). Пусть точки A₁, B₁, C₁ лежат на сторонах BC, AC и AB треугольника ABC соответственно. Пусть выполняется соотношение

Тогда отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

Доказательство. Пусть O - точка пересечения отрезков AA₁ и BB₁ и прямая CO пересекает сторону AB в некоторой точке C₂. Достаточно доказать, что C₁ = C₂.

По теореме Чевы для точек A₁,B₁ и C₂ имеем

Но тогда

Значит, точки C1 и C2 делят отрезок AB в одном и том же отношении. Пусть AC₁ = x, AC₂ = y, AB = c. Тогда

откуда

то есть точки и совпадают.

2) Теорема Менелая

Менелай Александрийский (, I в.) - древнегреческий математик и астроном. Автор работ по сферической тригонометрии: написал 6 книг о вычислении хорд и 3 книги “Сферики'', сохранившиеся в арабском переводе. Для получения формул сферической тригонометрии использовал теорему, известную сегодня как теорема Менелая.

Теорема Менелая. Пусть прямая пересекает треугольник , причем - точка ее пересечения со стороной , - точка ее пересечения со стороной , и - точка ее пересечения с продолжением стороны . Тогда

Доказательство. Проведем через точку прямую, параллельную . Обозначим через ее точку пересечения с прямой .

Треугольники и подобны (?С₁AB₁ = ?KCB₁, ?AC₁B₁ = ?CKB₁)

Следовательно:

Треугольники и также подобны (?BA₁C₁ = ?KA₁C, ?BC₁A₁ = ?CKA₁) Значит,

Из каждого равенства выразим :

откуда

что и требовалось доказать.

Теорема (обратная теорема Менелая). Пусть дан треугольник . Пусть точка лежит на стороне , точка - на стороне , а точка - на продолжении стороны , причем выполняется соотношение

Тогда точки и лежат на одной прямой.

Доказательство. Заметим для начала, что , поскольку, по условию, это выражение равно . Следовательно, прямые и не параллельны.

Проведем прямую через точки и . Она пересечет прямую в некоторой точке . Для точек и справедлива теорема Менелая, так что

Отсюда следует, что

Из этого равенства следует, что обе точки и лежат на продолжении отрезка за одну и ту же точку, ибо правее данное отношение меньше , а левее оно строго больше . Пусть . Тогда, учитывая, что и , перепишем полученное равенство в виде



Из равенства следует, что , и доказано, что точка , совпадающая с , лежит на прямой .

Замечание. Теоремы Менелая (прямая и обратная) верны также и в том случае, когда все три точки лежат на продолжениях сторон треугольника . То есть справедлива следующая

Теорема. Пусть дан треугольник . Точки лежат на продолжениях сторон и соответственно. Три точки и лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство

Доказательство этой теоремы, точно такое же, как и доказательство, приведенное выше.

2. Нахождение координат точки

2.1 Нахождение координат точки, делящей отрезок в данном отношении, примеры и решения

Применим полученные в теоретической части, в пунктах 1.3, 1.4, формулы при нахождении координат точки, делящей отрезок в заданном отношении. Рассмотрим решения наиболее часто встречающихся задач по этой теме.

Задача 1

Найдите координаты точки С, которая делит отрезок АВ в отношении пять к трем, если A(11,1,0), B(-9,2,-4).

Решение: По условию = . Применим формулы для нахождения координат точки С, делящей отрезок АВ в отношении = , по известным координатам концов отрезка:

Ответ: С(-, ,-)

геометрический отрезок менелай чева

Задача 2

Точка С(2,-5) делит отрезок АВ в отношении . Определите координаты точки А, если В(1,0).

Решение: В данном примере =. Так как точка С делит отрезок АВ в данном отношении, то справедливы формулы x_C = и y_C = , из которых получаем x_A = (1 + )x_C - x_B и y_A = (1 + )y_C - y_B соответственно. Подставляем значения из условия и вычисляем искомые координаты точки А:

Ответ: A (,-)

Одной из самых характерных задач, в которой приходится вычислять координаты точки, делящей отрезок в заданном соотношении, является задача на нахождение центра тяжести треугольника.

Известно, что центром тяжести треугольника является точка пересечения его медиан (обозначим ее как М), а каждая из медиан делится точкой М в отношении 2 к 1, считая от вершины треугольника. Поэтому, если нам известны координаты точек, которые являются концами медианы, то мы можем найти координаты точки, делящей медиану в отношении два к одному.

Задача 3

Найдите координаты центра тяжести треугольника АВС, если известны координаты его вершин A(2,3,1), B(4,1,-2), C(-5,-4,8).

Решение:

Пусть АD - медиана треугольника АВС, а точка M(x_M,y_M,z_M) - центр тяжести этого треугольника.

Точка М является точкой пересечения медиан треугольника АВС, следовательно, точка М делит отрезок AD в отношении два к одному, то есть, л = 2. Тогда мы можем найти координаты точки М по формулам x_M = , y_M = , z_M = . Однако мы не знаем координаты точки D. Найдем их.

Так как AD - медиана треугольника АВС, то D - середина стороны ВС, следовательно, координаты точки D равны полусуммам соответствующих координат точек В и С (по теореме о нахождении координат середины отрезка):

Осталось вычислить искомые координаты центра тяжести треугольника:

Ответ: (, 0, )

2.2 Применение теорем Менелая и Чевы для решения задач

В пункте 1.5 данной курсовой работы мы рассмотрели теоремы Чевы и Менелая, теперь рассмотри практическое использование данных теорем на примерах.

Задача 1

В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3BN; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС. Прямая MN пересекает сторону АВ в точке F. Найти отношение Решение:

По условию задачи МА = АС, NC = 3BN. Пусть MA = AC =b, BN = k, NC = 3k. Прямая MN пересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей.

По теореме Менелая

Ответ:

Задача 2

Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство:

Пусть AM₁, BM₂, СM₃ - медианы треугольника АВС. Чтобы доказать, что эти отрезки пересекаются в одной точке, достаточно показать, что

Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки AM₁, BM₂ и СM₃ пересекаются в одной точке.

Имеем:

Итак, доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Задача 3

На стороне PQ треугольника PQR взята точка N, а на стороне PR - точка L, причем NQ = LR. Точка пересечения отрезков QL и NR делит QL в отношении m:n, считая от точки Q. Найдите

Решение:

По условию NQ = LR, Пусть NA = LR =a, QF = km, LF = kn. Прямая NR пересекает две стороны треугольника PQL и продолжение третьей.

По теореме Менелая

Ответ:

Задача 4

Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство:

Покажем, что

Тогда по теореме Чевы (обратной) AL₁, BL₂, CL₃ пересекаются в одной точке. По свойству биссектрис треугольника

Перемножая почленно полученные равенства, получаем

Для биссектрис треугольника равенство Чевы выполняется, следовательно, они пересекаются в одной точке.

Задача 5

В треугольнике АВС AD - медиана, точка O - середина медианы. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке К. В каком отношении точка К делит АС, считая от точки А?

Решение:

Пусть BD = DC = a, AO = OD = m. Прямая ВК пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника ADC.

По теореме Менелая

Ответ:

Задача 6

Докажите, если в треугольник вписана окружность, то отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон, пересекаются в одной точке.

Доказательство:

Пусть A₁, B₁и C₁ - точки касания вписанной окружности треугольника АВС. Для того чтобы доказать, что отрезки AA₁, BB₁и CC₁ пересекаются в одной точке, достаточно показать, что выполняется равенство Чевы:

Используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения: C₁B = BA₁ = x, AC₁ = CB₁ = y, BA₁ = AC₁ = z.



Равенство Чевы выполняется, значит, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Задача 7

Рассмотрим два способа решения одной задачи. Первый способ довольно длинный, но данный прием, который в нем используется, применяется довольно часто при решении задач, в которых дано отношение отрезков. Второй способ позволяет решить задачу в одно действие, но в нем используется Теорема Менелая.

Итак задача: На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки M и N так, что AM:MB=2:3, BN:NC=2:1. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O. Найти отношение CO:OM.

Решение 1:

Вот наш треугольник:

Проведем через точку В прямую параллельно отрезку AB, затем продолжим отрезок AN до пересечения с этой прямой и поставим там точку К:

Рассмотрим треугольники ANC и BNK. Эти треугольники подобны, так как AC||BK. Стороны треугольника BNK относятся к сторонам треугольника ANC как 2:1.

Пусть AC = x, BK = 2x.

Теперь продолжим отрезок MC до пересечения с прямой BK. Поставим там точку L.

Мы получили подобные треугольники LMB и AMC, сходственные стороны которых относятся как 3:2. Так как AC = x, то LB = 1,5x.

Пусть LM = 3n, MC = 2n. Тогда LC = 5n.

Теперь рассмотрим подобные треугольники LOK и AOC.

,

следовательно, . Пусть LO = 3,5z, OC = z. Тогда LO+OC=LC=4,5z. Получили, что 5n = 4,5z. Тогда MC = 2n = z.

Отсюда MO = MC-CO = z-z = z

Отсюда CO:OM = z:z = 5:4 = 1,25.

Ответ: 1,25

Решение 2:

Теперь используем при решении данной задачи теорему Минелая. Рассмотрим треугольник MBC и прямую AN:

Запишем теорему Менелая для этого треугольника:

Ответ: 1,25

Рассмотрев применение теорем Чевы и Менелая при решении задач можно сделать следующий вывод: знание данных теорем весьма упрощает решение задачи, однако зачастую задачу все таки можно решить и не применяя данных теорем, но, как правило, решение будет весьма объёмным.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной курсовой работе были рассмотрены теоретические и практические аспекты задачи о деление отрезка в заданном отношении.

Если говорить о значении данной задачи, то можно с уверенностью сказать что ее значимость в геометрии весьма велика. Задача о делении отрезка в заданном отношении нашла свое применение в теории геометрии, послужила основой для создания многих других теорем, а так же применяется при решении различных задач, в том числе и в задачах на построение.

В данной работе рассмотрены не только способы деления отрезок прямой в заданном отношении по средствам построения, а так же изучены вопросы о том найти координаты точки, делящей отрезок в данном отношении, на плоскости и в пространстве. А так же рассмотрены задачи, в которых применяются теоретические знания, полученные в ходе изучения задачи о делении отрезка в заданном отношении и порождённых ей теорий.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ РЕСУРСОВ:

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

2. Геометрия: Доп. главы к шк. учеб. 8 к л.: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.-- М.: Просвещение, 1996.--205 е.: ил.

3. Деление отрезка в данном отношении; Популярные лекции по математике; Н.М. Бескин; издат. «Наука», главная редакуия физико-математической литературы, Москва

4. В.В. Ткачук, “Математика абитуриенту”, М.: Изд-во МЦНМО, 2004

5. Я.П. Понарин, “Элементарная геометрия. Т.1. Планиметрия, преобразования плоскости”, М.: Изд-во МЦНМО, 2004.

6. Я.П. Понарин, “Элементарная геометрия. Т.1. Планиметрия, преобразования плоскости”, М.: Изд-во МЦНМО, 2004.

7. Деление отрезка в данном отношении, координаты, примеры, решения.

8. Деление отрезка прямой

9. Аналитическая геометрия на плоскости; §6 Деление отрезка в данном отношении.

10. Теорема Чевы

11. Теорема Менелая

12. ЕГЭ, задачи из С части.

Размещено на Allbest.ru

...