Приложения поверхностных интегралов
Характеристика интегральных поверхностей первого и второго рода. Определение и вычисление поверхностного интеграла. Основной подсчет статических моментов плоскости относительно координатных плоскостей. Выражение через параметры подинтегральной функции.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 12.06.2016 |
| Размер файла | 161,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Уфимский государственный авиационный технический университет, кандидат технических наук, доцент кафедры математики
ПРИЛОЖЕНИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Рабчук А.В.
Самигуллина Р.Г.
Поверхностные интегралы первого и второго рода
Пусть f(x, y, z) - функция, заданная в точках некоторой гладкой поверхности S. Рассмотрим разбиение поверхности S на части S1…,Sn с площадями и диаметрами d1,…,dn соответственно. Произвольно выбрав на каждой из частей Si точку Mi(xi, yi, zi), составим сумму
Которая называется интегральной суммой первого рода для функции f(x, y, z).Если при (где ) существует предел интегральных сумм, который не зависит от способа разбиения поверхности S на части и выбора точек Mi, то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода и обозначается
Если функция f(x, y, z) непрерывна, то интеграл
существует.
Определение поверхностного интеграла первого рода аналогично определению криволинейного интеграла первого рода. Свойства поверхностного интеграла первого рода (линейность, аддитивность и т.д.) также аналогичны соответствующим свойствам криволинейного интеграла первого рода.
Если поверхность S задана на области D плоскости Оху функцией z=z(x,y), причем z(x,y) непрерывна, вместе со своими частыми производными z'x= z'x(x,y) и z'у = z'у(x,y), то поверхностный интеграл сводится к двойному с помощью формулы:
Если поверхность S задана параметрически в виде , где x, у, z - непрерывно дифференцируемые функции в некоторой области G плоскости то
где
Приложения поверхностного интеграла первого рода
Пусть S - гладкая материальная поверхность с плотностью . Пусть с помощью поверхностных интегралов первого рода можно вычислить:
1) статические моменты этой поверхности относительно координатных плоскостей
2) координаты центра тяжести поверхности
где
3) моменты инерции относительно координатных осей и начала координат
, ,
.
Определение и вычисление поверхностного интеграла второго рода
Площадь поверхности S можно найти по формуле:
пл.S.
Если - поверхностная плотность материальной поверхности S, то ее масса m находится так:
Пусть S - гладкая ориентированная поверхность, на которой задана непрерывная функция , и пусть в каждой точке M поверхности определено положительное направление нормали , ( - непрерывная вектор-функция).
Выберем ту сторону S+ поверхности S, для которой угол между единичной нормалью и осью Oz острый. Теперь разобьем поверхность S на части S1,…,Sn c диаметрами d1,…,dn. Обозначим через площади соответствующих проекций частей S1,…,Sn на плоскость Оху , а через d - максимум из чисел d1,…,dn.. Выбрав в каждой части Si произвольную точку Mi(xi, yi, zi), составим сумму
которая называется интегральной суммой второго рода для функции Предел интегральных сумм (он существует в силу непрерывности ) при , который не зависит от способа разбиения поверхности S на части и выбора точек Mi, называется поверхностным интегралом второго рода от функции по поверхности S и обозначается
Аналогично определяются поверхностные интегралы второго рода
и
от непрерывных функций и . Сумма трех указанных поверхностных интегралов второго рода называется общим поверхностным интегралом второго рода и обозначается
Пусть теперь поверхность S имеет явное представление . Тогда поверхностный интеграл второго рода сводится к двойному интегралу по области D
Если выбрана противоположная сторона поверхности S, то
Аналогично вычисляются и поверхностные интегралы
и
Примеры:
1. Вычислить поверхностный интеграл первого рода
где - сфера х2+у2+z2=R2.
В силу симметрии относительно координатных плоскостей поверхности и подынтегральной функции ограничимся вычислением интеграла при условии (т.е. в первом октанте), а результат умножим на 8.
Используя сферические координаты, запишем параметрические уравнения сферы , учитывая, что Тогда. поверхностный интеграл координатный функция
а область интегрирования - четверть круга (обозначим ее через В) в параметрической форме имеет вид
,
Остается выразить через параметры подынтегральную функцию
На сфере имеем:
Таким образом, данный интеграл равен
Ответ:
Вычислить поверхностный интеграл первого рода
где - часть плоскости х+у+z=1, заключенная в первом октанте.
Поверхность можно выразить явно: где область D - треугольник, ограниченный прямыми х=0, у=0 и х+у=1. При этом,
Данный интеграл сводится к двойному (при этом знаменатель подынтегральной функции равен 1+х+z=1+х+(1-х-у)=2-у):
Ответ:
3. Вычислить где S - часть конической поверхности z2=x2+y2, заключенной между плоскостями z=0 и z=1.
Имеем
Тогда искомый интеграл преобразуется в двойной интеграл:
Областью интегрирования D является круг =1; поэтому
Ответ:
4. Вычислить интеграл по верхней стороне верхней половины сферы x2+y2+z2=R2.
Проекцией сферы на плоскость хОу является круг D, ограниченный окружностью x2+y2=R2 . Уравнение верхней полусферы имеет вид ; следовательно, Переходя к полярным координатам, получим
При вычислении была сделана подстановка , откуда
Ответ:
5. Найти момент инерции полусферы относительно оси Оz.
Имеем
Областью интегрирования является проекция полусферы на плоскость хОу, т.е. круг x2+y2 = а2; поэтому, переходя к полярным координатам, получим
Ответ:
Библиографический список
1. Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс - 7-е изд., - М.: Айрис-пресс, 2008.
2. Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 2 курс - 5-е изд., - М.: Айрис-пресс, 2007.
3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс - 7-е изд. - М.: Айрис-пресс, 2008.
Аннотация
Традиционно, такие разделы высшей математики как поверхностные интегралы, особенно их применение, вызывают затруднения у студентов при изучении. В первой части мы рассмотрели криволинейные интегралы. А в данной статье кратко дана теория о поверхностных интегралах и приведено много разобранных примеров взятых из различных источников, в частности из [1,2,3].
Ключевые слова: интеграл поверхностный, интегральная сумма, момент инерции, параметрическое уравнение,статический момент, центр тяжести
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Определение понятия поверхностного интеграла первого и второго рода, их основные свойств, примеры вычисления и его перевода в обыкновенный двойной. Рассмотрение потока векторного поля через поверхность, как механического смысла поверхностного интеграла.
контрольная работа [157,6 K], добавлен 24.01.2011Алгоритм вычисления интегральной суммы для функции нескольких переменных по кривой АВ. Определение понятия криволинейного интеграла второго рода. Представление суммы интегралов двух функций вдоль кривой АВ как криволинейного интеграла общего вида.
презентация [69,4 K], добавлен 17.09.2013Определение криволинейного интеграла по координатам, его основные свойства и вычисление. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Вычисление площадей фигур с помощью двойного интеграла. Использование формулы Грина.
контрольная работа [257,4 K], добавлен 23.02.2011Поверхностный интеграл как интеграл от функции, заданной какой-либо поверхности. Сущность и понятие поверхностного интеграла первого и второго рода, взаимосвязь между ними и вычисление. Формулы Остроградского и Стокса, их доказательство и применение.
курсовая работа [321,7 K], добавлен 09.10.2011Несобственные интегралы первого рода. Понятие абсолютно и условно сходящегося интеграла. Несобственные интегралы второго рода. Определение непрерывности функции и равномерной сходимости. Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра.
курсовая работа [240,1 K], добавлен 23.03.2011Понятие интеграла. Приложения двойных интегралов к задачам механики: масса плоской пластинки переменной плотности; статические моменты и центр тяжести пластинки; моменты инерции пластинки. Вычисление площадей и объёмов с помощью двойных интегралов.
реферат [508,3 K], добавлен 16.06.2014Интеграл по кривой, заданной уравнением y=y(x). Вычисление криволинейного интеграла. Кривая от точки А к В при изменении параметра. Непрерывные функции со своими производными. Отрезок параболы, заключенный между точками. Решение разными методами.
презентация [44,4 K], добавлен 17.09.2013Вычисление площадей плоских фигур. Нахождение определенного интеграла функции. Определение площади под кривой, площади фигуры, заключенной между кривыми. Вычисление объемов тел вращения. Предел интегральной суммы функции. Определение объема цилиндра.
презентация [159,1 K], добавлен 18.09.2013Понятие определённого интеграла, расчет площади, объёма тела и длины дуги, статического момента и центра тяжести кривой. Вычисление площади в случае прямоугольной криволинейной области. Применение криволинейного, поверхностного и тройного интегралов.
курсовая работа [2,1 M], добавлен 19.05.2011Вычисление первого и второго замечательных пределов, неопределенного и определенного интегралов, площади криволинейной трапеции, координат середин сторон треугольника с заданными вершинами. Определение критических точек и асимптот графика функции.
контрольная работа [138,8 K], добавлен 29.01.2010Поверхностный интеграл второго рода, вычисление поверхности. Теорема Остроградского-Гаусса. Дивергенция, векторное поле скоростей. Поток вектора через замкнутую поверхность, направления внешней нормали. Поверхность произвольных частей.
реферат [354,0 K], добавлен 23.02.2011Уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной заданному вектору, плоскости в отрезках, проходящей через три точки. Общее уравнение плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.
презентация [106,9 K], добавлен 21.09.2013Непрерывность функции: определение, практические примеры, график, приращение. Точка разрыва первого и второго рода функции, примеры. Бесконечность односторонних пределов функции. Практический пример отложения точки разрыва второго рода на графике.
презентация [270,1 K], добавлен 21.09.2013Использование численных методов, позволяющих найти приближенное значение определенного интеграла с заданной точностью. Анализ формул трапеции и параболы (Симпсона). Основной принцип построения формул приближенного вычисления определенного интеграла.
презентация [96,6 K], добавлен 18.09.2013Рассмотрение задач численного интегрирования по простейшим формулам. Понятие тройных интегралов и их применение для вычисления объема, массы, площади, моментов инерции, статистических моментов и координат центра масс тела на конкретных примерах.
курсовая работа [348,5 K], добавлен 17.12.2013Способы вычисления интегралов. Формулы и проверка неопределенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции. Неопределенный, определенный и сложный интеграл. Основные применения интегралов. Геометрический смысл определенного и неопределенного интегралов.
презентация [1,2 M], добавлен 15.01.2014Вычисление площади фигуры, ограниченной заданными линиями, с помощью двойного интеграла. Расчет двойного интеграла, перейдя к полярным координатам. Методика определения криволинейного интеграла второго рода вдоль заданной линии и потока векторного поля.
контрольная работа [392,3 K], добавлен 14.12.2012Изучение теории кратных интегралов. Исследование понятия "двойной и тройной интеграл". Применение кратных интегралов для вычисления объема, массы, площади, моментов инерции, статистических моментов и координат центра масс тела на конкретных примерах.
курсовая работа [469,0 K], добавлен 13.12.2012Непосредственное (элементарное) интегрирование, вычисление интегралов с помощью основных свойств неопределенного интеграла и таблицы интегралов. Метод замены переменной (метод подстановки). Интегрирование по частям, определение точности интегралов.
презентация [117,8 K], добавлен 18.09.2013Несобственные интегралы первого, второго и третьего рода. Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов. Несобственные интегралы, содержащие параметр. Гамма-функция и бета-функция Эйлера. Критерий Коши и эквивалентные условия сходимости.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 20.09.2013
