Планирование эксперимента математической модели физического процесса

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный

университет

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

Планирование эксперимента математической модели физического процесса

Выполнил:

Николаев В.А.

студент СМ-3

Проверил:

Летенко Д.Г.

Санкт-Петербург, 2014



ВВЕДЕНИЕ

В соответствии с заданием модель представляет собой неизвестную функцию Y (функцию отклика) аргументами которой являются два фактора Х₁ и Х₂. Априорно известно, что функция Y гладкая, непрерывная и определена в области положительных значений. Реализация математической модели осуществлена в программе «Моделирование процессов вероятностного характера». По условиям 9 варианта математической модели этой программы фактор Х₁ может изменяться в пределах от 5,8 до 10, а фактор Х₂ - в пределах от 10,8 до 15. Необходимо решить две задачи:

- найти значения факторов в заданных пределах, соответствующих наибольшему (экстремальному) значению функции отклика;

- найти интерполяционную функцию (уравнение регрессии), позволяющую вычислить значения функции отклика при любых значениях Х₁ и Х₂, лежащих в заданных диапазонах.

1. НАХОЖДЕНИЕ ЭКСТРЕМУМА МЕТОДОМ КРУТОГО ВОСХОЖДЕНИЯ

1.1 Выбор первоначальной подобласти исследования

Рассмотрим вопрос выбора подобласти исследования, используемой для определения градиента. Приведено графическое изображение области, в пределах которой рассматривается функция отклика в данном примере.

В связи с отсутствием каких-либо предварительных данных о функции отклика, в качестве начальной точки при поиске экстремума выберем точку 0, лежащую в центре области факторного пространства с координатами (Х₁=7,9 , Х₂=12,9). Эта точка будет нулевым уровнем в первоначальной подобласти факторного пространства.

Следующим шагом является выбор размеров подобласти и определение кодированных значений уровней факторов по формуле

где - натуральное значение фактора; - натуральное значение основного уровня; - интервал варьирования; j - номер фактора.

В качестве размеров этой подобласти, примем 1/10 часть области факторного пространства по Х₁ и по Х₂. Это составит, соответственно, (10-5,8)/10=0,42 и (15-10,8)/10=0,42. При этом интервал по Х₁ равен 0,42/2=0,21, по Х₂ = 0,42/2=0,21. Нижний уровень фактора в указанной подобласти Х₁ равен 7,9-0,21=7,69 (кодированное значение -1), а верхний 7,9+0,21=8,11(кодированное значение +1). Нижний уровень фактора Х₂ в этой подобласти равен 12,9-0,21=12,69 (кодированное значение -1), а верхний 12,9+0,21=13,11 (кодированное значение +1). Отметим, что указанный выбор пока ничем не обоснован. Критерием правильности выбора является адекватность математической модели, используемой для аппроксимации функции Y. Указанные параметры подобласти факторного пространства (прямоугольник с точками 1,2,3,4) приведены на рис. 1.

В связи с тем, что количество факторов сравнительно мало, используем полный факторный эксперимент типа 2². В качестве математической модели функции отклика в выбранной подобласти факторного пространства принимаем полином первой степени

адекватность которой достигается выбором соответствующих размеров исследуемой подобласти пространства.

1.2 Составление плана экспериментов

В полном факторном эксперименте (ПФЭ) реализуются все возможные сочетания уровней факторов. Общее число опытов равно n=2^k, где k - число факторов. В рассматриваемом случае k=2, n=2²=4.

В табл. 1 приведены условия эксперимента в виде матрицы планирования, где строки соответствуют различным опытам, а столбцы - кодированным значениям факторов.

Таблица 1. Таблица планирования для двух факторов 2².

№ опытов
1	+	-	-
2	+	+	-
3	+	-	+
4	+	+	+



Примечание: номера опытов соответствуют номерам точек факторного пространства (рис. 1).

1.3 Проведение эксперимента и обработка результатов

При проведении экспериментов реализуются фактические значения факторов, соответствующие кодированным значениям. В табл. 2 приведены результаты численного эксперимента, выполненного в соответствии с принятым планом. Каждый опыт производился один раз (без проведения параллельных опытов). В графе приведены полученные значения функции отклика. регрессия экстремум градиент функция

Для определения дисперсии Y и величины ошибки (среднеквадратического отклонения) проведем серию численных опытов при значениях факторов, соответствующих нулевому уровню (координатам центральной точки, указанной ранее).

Ориентируясь на условия проведения реальных экспериментов, связанных с значительными затратами времени и средств, ограничимся проведением трех численных опытов с помощью программы «Моделирование процессов вероятностного характера», результаты которых приведены ниже:

Таблица 2. Результаты численного эксперимента

№ опытов
1	7,69	12,69	697,78
2	8,11	12,69	701,28
3	7,69	13,11	709,31
4	8,11	13,11	713,09

По результатам эксперимента находим значения коэффициентов по формуле:



В частности, для модели

и двух факторов

Значение коэффициента для каждого фактора соответствует вкладу данного фактора в параметр оптимизации при переходе фактора с нулевого уровня на верхний или нижний. Вклад, определенный при переходе от нижнего уровня к верхнему, называется эффектом фактора (иногда его называют основным или главным эффектом). Он численно равен удвоенному коэффициенту.

В рассматриваемом случае

Коэффициент взаимодействия B₁₂ практически равен нулю, поэтому его действие может не учитываться. Производим проверку воспроизводимости численных экспериментов (однородности дисперсий, полученных при проведении параллельных опытов по критерию Кохрена



=204,828/735,329=0,279.

По таблице приложения 1 находим табличное (критическое) значение критерия при уровне значимости б=0,05 и k=N=4 =0,6287. Расчетное значение критерия существенно меньше критического, следовательно, рассматриваемые дисперсии однородны и численные эксперименты отвечают требованиям воспроизводимости. Дисперсия значений функции отклика при одинаковом количестве параллельных опытов равна среднему значению

.

Проводим анализ адекватности выбранной модели (вида полинома) опытным данным по критерию Фишера F. Оценки дисперсий в формуле расчета критерия расставляются так, чтобы его величина была больше единицы

Оценку дисперсии адекватности в случае отсутствия дублирования опытов производим по формуле:

где - расчетное значение Y, вычисленное по полученному уравнению регрессии при подстановке в него опытных данных значений Х_j; k - количество коэффициентов в уравнении регрессии; - число степеней свободы; n - количество параллельных опытов.

В рассматриваемом случае . Расчет приведен в табл.3.

Таблица 3. Расчет.

№ опыта	Х1	Х2	Х12
1	-1	-1	-1	613,12	613,12	0,00
2	+1	-1	+1	777,34	777,34	0,00
3	-1	+1	+1	756,27	756,27	0,00
4	+1	+1	-1	672,78	672,78	0,00
Сумма	-	-	-	-	-	0,00

Так как , то

Табличное значение F_Т при (для ), (для ) и уровне значимости 0,05 равно 241. То есть , что свидетельствует о том, что принятая модель адекватна. Об этом свидетельствует и сопоставление результатов расчета по полученному полиному и результатов эксперимента (табл.1) - разница результатов равна нулю.

Проверяем статистическую значимость коэффициентов полинома. Доверительный интервал для j- того коэффициента определяется по формуле

Здесь t=2,262 - квантиль распределения Стьюдента при числе степеней свободы , с которыми определялась дисперсия для вероятности 0,95, равной выбранному уровню значимости 0,05. Доверительные интервалы

Как следует из полученных выражений, все коэффициенты не равны нулю и являются, следовательно, статистически значимыми.

При оценке адекватности модели возможны следующие случаи:

1. Линейная модель адекватна. При этом ни один из эффектов взаимодействия не может быть значим. Принятие решения определяются значимостью линейных коэффициентов.

Если все линейные коэффициенты незначимы, то в первой серии опытов были выбраны слишком узкие интервалы варьирования факторов. Следующим шагом должно быть повторение эксперимента при более широких интервалах. Может оказаться, что почему-либо нельзя расширять интервалы. Тогда можно рекомендовать многократное повторение той же самой серии опытов, в результате которых при статистическом усреднении обычно удается выделить значимые коэффициенты.

Если все коэффициенты значимы, то решение однозначно - переходят к движению по градиенту. Может оказаться, что один из коэффициентов резко несимметричен. Тогда движение по его градиенту выродится в обычный однофакторный эксперимент, который менее эффективен. Поэтому в этих случаях следует повторить эксперимент, уменьшив интервал варьирования этого фактора или увеличив интервалы других факторов.

Наиболее часто встречается случай, когда часть линейных коэффициентов значима, а часть незначима. Здесь важно определить судьбу незначимых факторов. Если первой серии предшествовало экспериментальное отсеивание факторов и незначимым оказался слабый эффект, включенный в планирование эксперимента по осторожности то, получив для него незначимый коэффициент, можно его отсеять. Если же отсеивание не предшествовало первой серии, то отбрасывать фактор только по незначимости коэффициента рискованно. Обычно расширяют его интервал варьирования в следующей серии, и только если и там он окажется незначимым, то его отсеивают. Отсеивание приводит к уменьшению числа факторов и позволяет значительно упростить задачу.

2. Линейная модель неадекватна. В этом случае значим хотя бы один коэффициент взаимодействия. Возможны несколько причин неадекватности.

Чаще всего неадекватность возникает в результате неудачного выбора интервалов варьирования. В этом случае центр плана (нулевая точка) переносится в экспериментальную точку, давшую наилучшие или одно из наилучших значение параметра оптимизации, а интервалы варьирования уменьшаются тем сильнее, чем больше по абсолютной величине коэффициенты уравнения регрессии.

Другой причиной неадекватности, кроме выбора интервалов варьирования, является попадание нулевой точки в «почти стационарную область», близкую к оптимальной точке. На первых этапах планирования это получается редко. Если известно предельное значение параметра оптимизации, то о близости к оптимуму можно судить по его значениям в опытах. Если предельное значение неизвестно, то критерием служит движение по градиенту. Когда оптимальная область действительно достигнута, то в зависимости от постановки задачи либо исследование заканчивается, либо изучают «почти стационарную» область.

Решение о движении по градиенту можно принимать и при неадекватной модели. Вне оптимальной области модель не нужна - нужен трамплин для быстрого попадания в эту область. При движении по градиенту ставят весьма мало опытов. Если движение по градиенту окажется удачным, то новый план будет ставится в уже более благоприятной области. Если же исследователь потерпит неудачу, то он вернется назад и изменит интервалы варьирования. Потери при этом обычно невелики.

Может оказаться, что после включения нескольких эффектов взаимодействия модель станет адекватной. Конечно при сохранении числа степеней свободы. Тогда возникает задача движения по градиенту нелинейной модели. Эта задача имеет решение, но ее сложность препятствует ее практическому использованию. Обычная альтернатива - движение по градиенту неадекватной модели.

В рассматриваемом случае решение одно - переходить к движению по градиенту.

1.4 Движение по градиенту - «крутое восхождение»

Градиент

Как следует из рисунка, в поисках максимального значения функции отклика следует двигаться в направлении правого верхнего угла прямоугольной области факторного пространства.

При движении по градиенту факторы одновременно изменяются пропорционально их коэффициентам уравнения регрессии и в ту сторону, которую показывает знак.

Эффективность градиента существенно зависит от характера поверхности отклика. Поэтому он не инвариантен относительно всего, что формирует поверхность: от выбора параметра оптимизации и от выбора интервалов варьирования факторов. Чем симметричнее уравнение относительно коэффициентов, тем более благоприятна ситуация.

Координаты точек, лежащих на градиенте, получают путем умножения коэффициентов уравнения регрессии на интервал варьирования. Все эффекты независимы друг от друга. Важным является только соотношение произведений коэффициентов на соответствующие интервалы. Их абсолютные величины могут все одновременно умножаться или делиться на любое положительное число. При этом получатся точки, опять лежащие на градиенте, но только с другим шагом. Шаги получаются, если к нулевому уровню последовательно алгебраически прибавлять строки из величин, пропорциональных составляющим градиента. Шаг движения выбирают для одного фактора, а для остальных () его рассчитывают по выражению

где - выбранный шаг движения для фактора l ; - шаг движения для фактора i; Вi, Вl - коэффициенты уравнения регрессии соответствующих факторов; , - интервалы варьирования фактора i и фактора l.

Первый шаг, т.е. результат первого сложения полученной строки составляющих градиента с нулевым уровнем, должен давать точку, лежащую за экспериментальной областью хотя бы по одному из факторов. Однако этот шаг не должен быть столь большим, чтобы выйти за пределы области определения хотя бы одного из факторов. Если при выборе в этом диапазоне окажется, что для каких-то факторов шаги различаются меньше, чем ошибки в установлении значений, то приходится их изменять через 2 - 3 шага. Для облегчения расчетов обычно шаги округляются.

Если при движении к оптимуму возникает ситуация, препятствующая изменению каких-либо факторов, то эти факторы можно фиксировать на оптимальных уровнях, продолжая движение по остальным факторам.

Стратегия проведения опытов на градиенте основана на идее захвата оптимума в «вилку». Важно убедиться, что на первых шагах значения параметра оптимизации возрастают, а затем наступает такой момент, когда они начинают убывать (после прохождения экстремума).

Этот момент и должен быть зафиксирован. Такая стратегия требует меньшего количества опытов, чем все шаги.

Если цель исследования - поиски не максимума, а минимума, то знаки коэффициентов уравнения регрессии должны быть изменены на обратные.

В случае нескольких параметров оптимизации обычно задачу разбивают на параллельные ветви, каждая из которых повторяет описанную процедуру для одного параметра.

Шаг движения прият равным 0,21 для фактора Х_2, а для фактора Х₁ рассчитан по приведенной выше формуле. В опытах 8-14 Х₁ зафиксирован на нижнем допускаемом уровне. Мысленные опыты помечены в таблице звездочками.

Таблица.4. Расчет крутого восхождения

Исследуемый фактор	Х1	Х2	Y (среднее)	Исследуемый фактор	Х1	Х2
Основной уровень	7,9	12,9	-	Вi	20,18	9,65
Интервал в	0,42	0,42	-	Крутое восхождение
Верхний уровень	8,11	13,11	-		8,48	4,05
Нижний уровень	7,69	12,69	-	Шаг	0,4397	0,21
Кодированные значения переменных	Х1	Х2	-	Округление	0,44	0,21
Опыты	1	-1	-1	613,12	Опыты	5*	8,34	13,11
						6*	8,78	13,32
	2	+1	-1	777,34		7*	9,22	13,53
						8	9,66	13,74
	3	-1	+1	756,27		9	9,66	13,95
						10	9,66	14,16
						11	9,66	14,37
	4	+1	+1	672,78		12	9,66	14,58
						13	9,66	14,79
						14	9,66	15

Для мысленного варианта 7* найдем теоретическое значение функции отклика. Для этого найдем кодированные значения факторов.



где - натуральное значение фактора; - натуральное значение основного уровня; - интервал варьирования; j - номер фактора.

В соответствии с формулой, приведенной выше

Теоретическое значение Y:

Найденное значение Y больше, полученного в точке 3, лежащей на градиенте, в первой серии опытов. Это говорит об адекватности модели за пределами подобласти 1234.

вариант	X1	X2	Y
7	3,14	1,5	782,74
8	4,19	2	808,69
9	4,19	2,5	813,52
10	4,19	3	818,34
11	4,19	3,5	823,16
12	4,19	4	827,99
13	4,19	4,5	832,81
14	4,19	5	837,63

Произведем численное моделирование исследуемого процесса с параметрами реального опыта 8. Результат Y=808,69. Значение функции отклика увеличилось - то есть градиент работает - нужно по нему двигаться дальше.

Выполним численное моделирование процесса с данными опытов 13 и 14. В результате получаем в 13 опыте Y=832,81 а в 14 опыте Y=837,63.

Анализ результатов движения по градиенту показывает, что функция отклика Y увеличивается при уменьшении Х₁ и увеличении Х₂. Увеличение происходит при всех значениях факторов, лежащих на градиенте. Следовательно, максимальное (оптимальное) значение Y лежит на границе области факторного пространства. Подобласть, содержащая максимум функции отклика, действительно находится в верхнем левом углу факторного пространства.

Рассмотрим возможные решения, принимаемые после реализации «крутого восхождения».

Основой для принятия решений служит рассмотрение возникшей при движении по градиенту ситуации. Возможны следующие ситуации.

При движении по градиенту адекватной модели может оказаться, что значения параметра оптимизации проходят через максимум. Это наиболее благоприятный случай. Одно из решений - условия наилучшего опыта принимают за нулевую точку следующей серии. Интервалы варьирования, если это возможно, должны быть уменьшены, так как ближе к максимуму сильнее проявляется кривизна поверхности. Вокруг нового центра снова делают линейное приближение, проверяют его адекватность, значимость коэффициентов, принимают решения, и все повторяют до тех пор, пока линейное приближение при минимальных интервалах окажется неадекватным, либо движение по градиенту окажется неэффективным. Это означает, что достигнута «почти стационарная область». Другие решения - окончание исследования (если исследователя устраивает результат) или достройка линейного плана до плана второго порядка в целях более точного описания области оптимума.

Может оказаться, что ни один из опытов на градиенте не дал результата, превосходящего лучший результат предыдущей серии. При этом, если модель была неадекватной, приходится вернуться назад и повторить эксперимент, уменьшив шаг варьирования. Если же модель была адекватной, то, по-видимому, наблюдается плоский экстремум, что должно быть проверено дополнительными опытами.

В рассматриваемом случае возможной точкой экстремума (максимума) является точка с координатами Х₁=9,66 и Х₂=15 области факторного пространства. Для уточнения этого предположения используем план второго порядка.

1.5 Уточнение максимального значения функции отклика с помощью плана второго порядка

Функцию отклика в области оптимума аппроксимируем полиномом второй степени вида:

Для оценки всех коэффициентов полинома второй степени необходимо, чтобы в плане эксперимента каждый фактор принимал не менее трех значений. Применение планов 3^k связано с большим числом опытов. Более рациональным является центральное композиционное планирование.

Центральный композиционный план второго порядка получают достройкой некоторого количества точек к «ядру», образованному линейным планом. При числе факторов k менее пяти за «ядро» центрального композиционного плана обычно принимают план полного факторного эксперимента типа 2^k. Если число факторов более пяти, то за ядро принимают полуреплику от полного факторного эксперимента типа 2^k. Такой выбор обусловлен тем, что от «ядра» плана требуется раздельная оценка всех линейных эффектов и парных эффектов взаимодействия.

Величина звездного плеча принимается в зависимости от числа независимых переменных. При наличии двух факторов б=1. В табл. 5 приведена матрица центрального композиционного плана второго порядка для двух факторов.

Приведенная матрица не обладает ортогональностью, что затрудняет вычисление коэффициентов уравнения регрессии. В связи с этим переходим к новой переменной

Кроме этого ортогонализация достигается выбором звездного плеча б. При числе переменных равном двум б=1.

Реализация опытов по матрице планирования с преобразованной квадратичной переменной позволяет построить модель вида

Рассмотрим подобласть факторного пространства, примыкающую к точке предполагаемого максимума, уменьшив интервалы варьирования факторов в два раза, по сравнению с интервалами, принятыми в первой серии опытов. Координаты нулевой точки по Х₁ = 9,66 + 0,21/2 = 9,765 , а по Х₂ = 15 - 0,21/2 = 14,895.

Для определения дисперсии Y и величины ошибки (среднеквадратического отклонения) проведем серию численных опытов при значениях факторов, соответствующих нулевому уровню.

Значения функции отклика Y меньше максимального значения, полученного в крайней верхней правой точке области факторного пространства. Это подтверждает гипотезу о предполагаемом максимуме.

В данной серии опытов максимальное значение функции отклика имеет место в верхней правой точке факторного пространства.

По результатам эксперимента находим значения коэффициентов по формуле:

где i - номер столбца матрицы, j - номер опыта, - элементы соответствующего столбца матрицы, - значение параметра оптимизации j-том опыте. Для модели

и двух факторов



Преобразованный полином имеет вид

Чтобы перейти к обычной форме записи полинома, находим величину В₀ по выражению:

Примечание: находится при б=1.

Полином в обычной форме записи имеет вид

Определим дисперсии коэффициентов уравнения регрессии по формуле

где - дисперсия исследуемого процесса

- сумма квадратов соответствующих столбцов матрицы планирования.



Дисперсия коэффициента

Проводим анализ адекватности по критерию Фишера F.

Оценку дисперсии адекватности в случае отсутствия дублирования опытов производим по формуле

где - расчетное значение Y, вычисленное по полученному уравнению регрессии при подстановке в него опытных данных значений Х_j; k - количество коэффициентов в уравнении регрессии; - число степеней свободы.

,

Табличное значение F_Т при (для большей дисперсии ) , (для меньшей дисперсии ) и уровне значимости 0,05 равно 8,81. То есть , что свидетельствует о том, что принятая модель адекватна.

Доверительные интервалы для коэффициентов

Здесь t=2,262 - квантиль распределения Стьюдента при числе степеней свободы , с которыми определялась дисперсия для вероятности 0,95, равной выбранному уровню значимости 0,05.

Из приведенного расчета следует, что все линейные коэффициенты статистически значимы. Коэффициенты B₁, B₂, В₁₂, В₁₁, В₂₂ меньше доверительного интервала (т.е. могут быть равны 0) и, следовательно не являются статистически значимыми. Малые значения коэффициентов могут быть обусловлены:

В₁₂ - вероятным отсутствием взаимодействия между факторами;

В₁₁, В₂₂ - вероятным отсутствием кривизны поверхности или невозможностью ее проявления при выбранных интервалах варьирования.

Из полученной модели следует, что поверхность, отображаемая функцией отклика, близка к плоской, так как коэффициенты при квадратичных членах полинома близки к нулю. Кроме этого, это обстоятельство свидетельствует о том, что максимальное значение функции лежит далеко за пределами рассматриваемой области факторного пространства и, следовательно, как и предполагалось ранее, наибольшее значение в пределах области факторного пространства лежит на ее границе. Таким образом искомое оптимальное значение функции отклика равно Y=776,85 при Х₁=9,87 и Х₂=15.

Перейдем к решению следующей задачи - определению аппроксимирующего полинома, позволяющего определять значения функции отклика Y при любых значениях факторов, лежащих в пределах факторного пространства.



2. НАХОЖДЕНИЕ ИНТЕРПОЛЯЦИННОЙ ФУНКЦИИ (УРАВНЕИЯ РЕГРЕСИИ)

При нахождении интерполяционной функции рассматривается вся область факторного пространства. По условиям задачи фактор Х₁ может изменяться в пределах от 5,8 до 10, а фактор Х₂ - в пределах от 10,8 до 15.

Рассмотрим возможность использования для аппроксимации функции отклика полинома первой степени

.

Используем полный факторный эксперимент типа 2². В табл. 2.1 приведены условия проведения экспериментов в виде матрицы планирования, а в табл. 2.1 значения факторов.

Таблица 2.1 Значения факторов

Факторы
Основной уровень	7,9	12,9
Интервал варьирования	0,21	0,21
Верхний уровень	10	15
Нижний уровень	5,8	10,8

Для определения дисперсии Y и величины ошибки (среднеквадратического отклонения) проведем серию численных опытов при значениях факторов, соответствующих основному уровню.

В табл. 2.2 приведены результаты экспериментов, выполненных по условиям табл. 2.1 без проведения параллельных опытов.



Таблица 2.2 Результаты численного эксперимента

№ опытов
1	5,8	10,8	613,12
2	10	10,8	672,78
3	5,8	15	756,27
4	10	15	777,34

Так как матрица планирования эксперимента ортогональна, то используем ранее приведенные формулы для нахождения значения коэффициентов полинома:

В частности, для модели

и двух факторов

Следовательно, искомый полином имеет следующий вид:



Исходные данные Вариант= 9 номер расчета= 7 Среднее значение 703,107013249269 Дисперсия= 150,207058064528 Среднее кв. отклонение= 12,2558989088736 Фактор 1= 7,9 Фактор 2= 12,9 Фактор 3= 0 Фактор 4= 0

Количество опытов= 10

Определяем дисперсии коэффициентов полинома. Дисперсии коэффициентов одинаковы и равны

Проводим анализ адекватности выбранной модели (вида полинома) опытным данным по критерию Фишера F. Оценки дисперсий в формуле расчета критерия расставляются так, чтобы его величина была больше единицы

Оценку дисперсии адекватности в случае отсутствия дублирования опытов производим по формуле:

где - расчетное значение Y, вычисленное по полученному уравнению регрессии при подстановке в него опытных данных значений Х_j; k - количество коэффициентов в уравнении регрессии; - число степеней свободы; n - количество параллельных опытов.

В рассматриваемом случае . Расчет приведен в табл.2.3.



Таблица 2.3 Расчет

№ опыта	Х1	Х2	Х12	yр	уср	(yi-ypi)2
1	-1	-1	1	613,12	613,12	0,00
2	1	-1	-1	672,78	672,78	0,00
3	-1	1	-1	756,27	756,27	0,00
4	1	1	1	777,34	777,34	0,00
Сумма	-	-	-	-	-	0,00

Так как , то

Табличное значение F_Т при (для ), (для ) и уровне значимости 0,05 равно 241. То есть , что свидетельствует о том, что принятая модель адекватна. Об этом свидетельствует и сопоставление результатов расчета по полученному полиному и результатов эксперимента (табл.1) - разница результатов равна нулю.

Производим проверку соответствия функции отклика полиному второй степени вида

Введем обозначения

;

С учетом принятых обозначений полином примет вид



Используем центральный рототабельный план на основе шестиугольника.

Приведенная матрица планирования не является ортогональной, поэтому коэффициенты полинома рассчитываются методами матричной алгебры.

Строим матрицу Х^т, транспонированную к матрице Х:

Вычисляем матрицу произведения:

Находим матрицу , обратную :

Вычисляем матрицу произведений:

Вычисляются коэффициенты уравнения регрессии

Таким образом, преобразованный полином имеет вид:

Определяем дисперсии коэффициентов полинома, которые равны соответственно произведениям диагональных элементов матрицы С^-1 на дисперсию S²_Y. Дисперсии коэффициентов равны

Проводим анализ адекватности выбранной модели (вида полинома) опытным данным по критерию Фишера F.



Оценку дисперсии адекватности в случае отсутствия дублирования опытов производим по формуле

где - расчетное значение Y, вычисленное по полученному уравнению регрессии при подстановке в него опытных данных значений Х_j; k - количество коэффициентов в уравнении регрессии; - число степеней свободы.

Табличное значение F_Т при , и уровне значимости 0,05 равно 241. То есть , что свидетельствует о том, что принятая модель адекватна. Проверяем статистическую значимость коэффициентов полинома. Для статистической оценки используем дисперсию в нулевой точке полученную ранее при проверке наличия линейной зависимости исследуемой функции отклика. Доверительные интервалы для j- тых коэффициентов



Здесь t= 2,2622- квантиль распределения Стьюдента при числе степеней свободы , с которыми определялась дисперсия для вероятности 0,95, равной выбранному уровню значимости 0,05.

Полученные линейные коэффициенты больше доверительного интервала и, следовательно, являются статистически значимыми. Коэффициенты при квадратичных членах B₃ , B₄ и B₅ показывающие наличие взаимодействия между факторами не является статистически значимым, что говорит о возможном отсутствии связи между ними. Этими слагаемыми можно пренебречь

Производим обратную подстановку и получаем уравнение регрессии вида

Полученный полином описывает зависимость функции отклика от кодированных значений факторов. Перейдем к действительным значениям переменных, используя формулу перехода, приведенную ранее.

Это уравнение описывает изменение y относительно координат, проходящих через центр факторного пространства. В то время, как координаты х₁ и х₂ определяют положение точки факторного пространства относительно координат с центром х₁=0 и х₂=0. В связи с этим формальное преобразование уравнения приводит к неверному результату. В связи с этим необходимо использовать уравнение в том виде, в котором оно приведено выше.

Анализ приведенного графика показывает, что поверхность отклика почти плоская и не имеет экстремальных точек внутри области факторного пространства - максимум этой функции в области факторного пространства действительно находится (как определено ранее) на границе области и соответствует точке с координатами х₁=10 и х₂=15.

Таким образом решены обе поставленные задачи - найдены максимум функции отклика в пределах заданного факторного пространства и выражение, аппроксимирующее исследуемый процесс.

Размещено на Allbest.ru

...