Математична статистика

Размещено на http://www.allbest.ru/

Зміст

1. Математична статистика

2. Вибірковий метод

3. Числові характеристики вибірки

4. Статистичні оцінки параметрів розподілу

5. Елементи теорії регресії i кореляції

6. Статистичні гіпотези. Статистичні критерії

1. Математична статистика

математичний статистика регресія кореляція

Теорія ймовірностей займається вивченням математичних моделей випадкових явищ.

Якщо ми маємо адекватну математичну модель деякого випадкового явища, то можемо розраховувати ймовірності тих чи інших подій i за цими ймовірностями можемо передбачати частоти цих подій. Якщо ймовірнісна модель вибрана правильно, то такі передбачення будуть виконувати лише з випадковими похибками, які теж можемо розрахувати в рамках вибраної моделі. Математична статистика виділяється з теорії ймовірностей в самостійну область, хоча основні методи залишаються тими ж. Причиною цього є специфічність задач математичної статистики, які є певним чином оберненими до задач теорії ймовірностей. Якщо в теорії ймовірностей ми вважаємо, що модель задана явищем i проводимо розрахунки можливих реальних змін цього явища, то в математичний статистиці ми виходимо з відомих реалізацій деяких випадкових подій, з так званих статистичних даних. Математична статистика розробляє різноманітні методи, які дозволяють за цими статистичними даними підібрати потрібну ймовірнісну модель.

Основні задачі, які розв'язує математична статистика:

перевірка статистичних гіпотез;

статистичне оцінювання невідомих параметрів;

побудова довірчих інтервалів.

2. Вибірковий метод

Нехай для вивчення кількісної (дискретної або неперервної) ознаки X з генеральної сукупності утворено вибірку x₁, x₂, ..., x_n обсягом n елементів.

Якщо записати елементи у порядку зростання отримаємо варіаційний ряд. Спостережувані різні значення x_i ознаки X називаються варіантами, кількість значень однієї варіанти у вибірці -- її частотою n_i, відношення частоти до обсягу вибірки -- відносною частотою або емпіричною ймовірністю. Емпіричною функцією розподілу називають функцію:

де n_x -- кількість елементів вибірки, менших від x; n -- обсяг вибірки.

Полігоном частот називають ламану, що з'єднує точки:

Гістограмою частот називають ступінчасту фігуру, що складається з прямокутників, основами яких є інтервали, а висотами -- їх частоти (відносні частоти). При неперервному розподілі ознаки X у разі великої кількості спостережень весь інтервал, якому належать спостережувані значення, як правило, розбивають на декілька частин однакової довжини h i знаходять суми частот варіант, що потрапили в кожний утворений інтервал. Для вибору оптимальної довжини інтервалу використовують формулу:

3. Числові характеристики вибірки

Вибіркове середнє:

Вибіркова дисперсія:

Вибіркове середнє квадратичне відхилення:

Медіана:

Медіаною називається значення середнього елемента варіаційного ряду.

Якщо обсяг вибірки n=2m+1, то медіаною буде значення елемента з номером m+1. Якщо n=2m, то медіаною буде середнє арифметичне елементів вибірки з номерами m i m+1. Якщо задано інтервальний статистичний розподіл вибірки, то:

де x_Me -- нижня межа медіанного інтервалу; h -- довжина медіанного інтервалу; n_Me -- частота медіанного інтервалу.

Мода:

Модою називається варіанта з найбільшою частотою. Якщо задано інтервальний статистичний розподіл вибірки, то:

де x_Mo -- нижня межа модального інтервалу; n_Mo -- частота модального інтервалу; n_Mo?1 -- частота перед-модального інтервалу; n_Mo+1 -- частота пiслямодального інтервалу.

4. Статистичні оцінки параметрів розподілу

Статистичною оцінкою и* невідомого параметра и теоретичного розподілу називається функція f (X₁, X₂, ..., X_n) від спостережуваних значень випадкових величин X₁, X₂, ..., X_n.

Точковою називають статистичну оцінку, яка визначається одним числом и* = f (x₁, x₂, ..., x_n), де x₁, x₂, ..., x_n -- результати спостережень над кількісною ознакою X.

Незміщеною називають точкову оцінку и*, математичне сподівання якої дорівнює оцінюваному параметру и при будь-якому обсязі вибірки.

Незміщеною оцінкою генерального середнього є вибіркове середнє. Зміщеною оцінкою генеральної дисперсії є вибіркова дисперсія.

Незміщеною оцінкою генеральної дисперсії є виправлена вибіркова дисперсія:

Інтервальною називають оцінку, яка визначається числовим інтервалом. Довірчим називається інтервал (и₁, и₂), в який із заданою надійністю г попадає значення параметра и.

1) Інтервальна оцінка математичного сподівання a нормально розподіленої випадкової величини X:

де Ф(t_г)=г/2

2) Інтервальна оцінка середнього квадратичного відхилення нормально розподiленої випадкової величини X:

де q = q (б, n) -- табульована функція.

3) Інтервальна оцінка невідомої ймовірності p біноміального розподілу за відносною частотою w:

де Ц(t_г) = г/2, w = m/n -- відносна частота.

5. Елементи теорії регресії i кореляції

Вибірковим рівнянням прямої лінії регресії Y на X (X i Y -- випадкові величини, що спостерігаються) називається рівняння:

де x i y -- вибіркові середні значення випадкових величин X i Y; уX i уY -- вибіркові середні квадратичні відхилення; rXY -- вибірковий коефіцієнт кореляції.

6. Статистичні гіпотези. Статистичні критерії

Статистичною називають гіпотезу про вигляд невідомого розподілу або про параметри відомих розподілів.

Нульовою гіпотезою H₀ називають висунуту гіпотезу.

Альтернативною (конкуруючою) гіпотезою H₁ називають протилежну до нульової гіпотези.

Похибка першого роду полягає у відхиленні правильної нульової гіпотези внаслідок її перевірки.

Рівень значущості б -- це ймовірність похибки першого роду.

Похибка другого роду полягає у прийнятті неправильної нульової гіпотези внаслідок її перевірки.

Статистичним критерієм називають випадкову величину K, яка використовується для перевірки нульової гіпотези.

Критична область -- це сукупність значень критерію, при яких відхиляють нульову гіпотезу.

Область прийняття гіпотези -- сукупність значень критерію, при якій приймають нульову гіпотезу.

Основний принцип перевірки статистичних гіпотез полягає в наступному: якщо спостережуване значення критерію належить критичні області, то нульову гіпотезу відхиляють; якщо спостережуване значення критерію належить області прийняття гіпотези, то нульову гіпотезу приймають.

Критичними точками називають ті точки, що відділяють критичну область від області прийняття гіпотези.

Правостороння критична область визначається нерівністю: K>k_kp.

Лівостороння критична область визначається нерівністю: K > k_kp.

Двостороння критична область визначається нерівностями: K < k₁, K > k₂.

Для визначення критичної області задають рівень значущості б i шукають критичні точки з таких співвідношень:

для правосторонньої критичної області:

P{K > k_kp} = б;

для лівосторонньої критичної області:

P{K < k_kp} = б;

для двосторонньої (симетричної) критичної області:

P{K < ?k_kp} = б, P{K > k_kp} = б.

Потужністю критерію називають ймовірність попадання критерію в критичну область при умовi, що правильною є конкуруюча гіпотеза.

Размещено на Allbest.ru