Кількісні ознаки елементів генеральної сукупності

Размещено на http://www.allbest.ru/

3

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Загальна інформація

дискретний статистичний кореляція

Кількісні ознаки елементів генеральної сукупності можуть бути одновимірними і багатовимірними, дискретними і неперервними.

Коли реалізується вибірка, кількісна ознака, наприклад Х, набуває конкретних числових значень (Х = х_і), які називають варіантою.

Зростаючий числовий ряд варіант називають варіаційним.

Кожна варіанта вибірки може бути спостереженою n_i раз (n_i 1 ), число n_i називають частотою варіанти x_i.

При цьому:

, (1)

де k -- кількість варіант, що різняться числовим значенням;

n -- обсяг вибірки.

Відношення частоти n_i варіанти x_i до обсягу вибірки n називають її відносною частотою і позначають через W_i, тобто:

. (2)

Для кожної вибірки виконується рівність:

. (3)

Якщо досліджується ознака генеральної сукупності Х, яка є неперервною, то варіант буде багато. У цьому разі варіаційний ряд -- це певна кількість рівних або нерівних частинних інтервалів чи груп варіант зі своїми частотами.

Такі частинні інтервали варіант, які розміщені у зростаючій послідовності, утворюють інтервальний варіаційний ряд.

На практиці для зручності, як правило, розглядають інтервальні варіаційні ряди, у котрих інтервали є рівними між собою.



2. Дискретний статистичний розподіл вибірки та її числові характеристики

Перелік варіант варіаційного ряду і відповідних їм частот, або відносних частот, називають дискретним статистичним розподілом вибірки.

У табличній формі він має такий вигляд:

X = xi	x1	x2	x3	…	xk
ni	n1	n2	n3	…	nk
Wi	W1	W2	W3	…	Wk

Дискретний статистичний розподіл вибірки можна подати емпіричною функцією F(x).

2.1 Емпірична функція F(x) та її властивості

Функція аргументу х, що визначає відносну частоту події X < x, тобто:

, (4)

називається емпіричною, або комулятою.

Тут n -- обсяг вибірки;

n_x -- кількість варіант статистичного розподілу вибірки, значення яких менше за фіксовану варіанту х;

F(x) -- називають ще функцією нагромадження відносних частот.

Властивості F(x):

0 F(x) 1;



F(x_min) = 0, де x_min є найменшою варіантою варіаційного ряду;

, де x_max є найбільшою варіантою варіаційного ряду;

F(x) є неспадною функцією аргументу х, а саме: F(x₂) F(x₁) при x₂ x₁.

2.2 Полігон частот і відносних частот

Дискретний статистичний розподіл вибірки можна зобразити графічно у вигляді ламаної лінії, відрізки якої сполучають координати точок (x_i; n_i), або (x_i; W_i).

У першому випадку ламану лінію називають полігоном частот, у другому -- полігоном відносних частот.

Приклад.

За заданим дискретним статистичним розподілом вибірки потрібно:

Побудувати F(x) і зобразити її графічно;

Накреслити полігони частот і відносних частот.

X = xi	-6	-4	-2	2	4	6
ni	5	10	15	20	40	10
Wi	0,05	0,1	0,15	0,2	0,4	0,1

Розв'язання.

Згідно з означенням та властивостями F(x) має такий вигляд:



Графічне зображення F (x) подано на рис. 1.

Рис. 1

Полігони частот та відносних частот зображено на рис. 2, 3.

Рис. 2

Рис. 3



2.3 Числові характеристики

1) вибіркова середня величина . Величину, яка визначається формулою:

, (5)

називають вибірковою середньою величиною дискретного статистичного розподілу вибірки.

Тут x_i -- варіанта варіаційного ряду вибірки;

n_i -- частота цієї варіанти;

n -- обсяг вибірки ().

Якщо всі варіанти з'являються у вибірці лише по одному разу, тобто n_i = 1, то

; (6)

2) відхилення варіант. Різницю ()n_i називають відхиленням варіант.

При цьому:

.

Отже, сума відхилень усіх варіант варіаційного ряду вибірки завжди дорівнює нулеві;

3) мода (Mo). Модою дискретного статистичного розподілу вибірки називають варіанту, що має найбільшу частоту появи.

Мод може бути кілька. Коли дискретний статистичний розподіл має одну моду, то він називається одномодальним, коли має дві моди -- двомодальним і т. д.;

4) медіана (Me). Медіаною дискретного статистичного розподілу вибірки називають варіанту, яка поділяє варіаційний ряд на дві частини, рівні за кількістю варіант;

5) дисперсія. Для вимірювання розсіювання варіант вибірки відносно вибирається дисперсія.

Дисперсія вибірки -- це середнє арифметичне квадратів відхилень варіант відносно , яке обчислюється за формулою

(7)

або

; (8)

6) середнє квадратичне відхилення вибірки _B. При обчисленні D_B відхилення підноситься до квадрата, а отже, змінюється одиниця виміру ознаки Х, тому на основі дисперсії вводиться середнє квадратичне відхилення

, (9)

яке вимірює розсіювання варіант вибірки відносно , але в тих самих одиницях, в яких вимірюється ознака Х;

7) розмах (R). Для грубого оцінювання розсіювання варіант відносно застосовується величина, яка дорівнює різниці між найбільшою x_max і найменшою x_min варіантами варіаційного ряду. Ця величина називається розмахом

; (10)

8) коефіцієнт варіації V. Для порівняння оцінок варіацій статистичних рядів із різними значеннями , які не дорівнюють нулеві, вводиться коефіцієнт варіації, який обчислюється за формулою

. (11)

Приклад.

За заданим статистичним розподілом вибірки потрібно:

обчислити , , ;

знайти Mo, Me;

обчислити R, V.

X = xi	2,5	4,5	6,5	8,5	10,5
ni	10	20	30	30	10

Розв'язання.

Оскільки , то згідно з формулами (5), (8), (9) дістанемо:

.

Для обчислення визначається



Тоді

.

= 5,16.

= 2,27.

Mo = 6,5; 8,5.

Отже, наведений статистичний розподіл вибірки буде двомодaльним. Me = 6,5, оскільки варіанта х = 6,5 поділяє варіаційний ряд 2,5; 4,5; 6,5; 8,5; 10,5 на дві частини: 2,5; 4,5 і 8,5; 10,5, які мають однакову кількість варіант.



3. Інтервальний статистичний розподіл вибірки та його числові характеристики

Перелік часткових інтервалів і відповідних їм частот, або відносних частот, називають інтервальним статистичним розподілом вибірки.

У табличній формі цей розподіл має такий вигляд:

h	x1 - x2	x2 - x3	x3 - x4	…	xk-1 - xk
ni	n1	n2	n3	…	Nk
Wi	W1	W2	W3	…	Wk

Тут h = x_i - x_i-1 є довжиною часткового i-го інтервалу. Як правило, цей інтервал береться однаковим.

Інтервальний статистичний розподіл вибірки можна подати графічно у вигляді гістограми частот або відносних частот, а також, як і для дискретного статистичного розподілу, емпіричною функцією F(x) (комулятою).

3.1 Гістограма частот та відносних частот

Гістограма частот являє собою фігуру, яка складається з прямокутників, кожний з яких має основу h і висоту

.

Гістограма відносних частот є фігурою, що складається з прямокутників, кожний з яких має основу завдовжки h і висоту, що дорівнює

.



Приклад.

За заданим інтервальним статистичним розподілом вибірки потрібно побудувати гістограму частот і відносних частот.

h = 8	0--8	8--16	16--24	24--32	32--40	40--48
ni	10	15	20	25	20	10
Wi	0,1	0,15	0,2	0,25	0,2	0,1

Розв'язання.

Гістограми частот і відносних частот наведені на рис. 4, 5.

Рис. 4

Площа гістограми частот:

Рис. 5



Площа гістограми відносних частот:

.

3.2 Емпірична функція F(x) (комулята)

При побудові комуляти F(x) для інтервального статистичного розподілу вибірки за основу береться припущення, що ознака на кожному частинному інтервалі має рівномірну щільність імовірностей. Тому комулята матиме вигляд ламаної лінії, яка зростає на кожному частковому інтервалі і наближається до одиниці.

Приклад.

Для заданого інтервального статистичного розподілу вибірки побудувати F(x) і подати її графічно.

h = 10	0--10	10--20	20--30	30--40	40--50	50--60
ni	5	15	20	25	30	5

Розв'язання.

Графік F(x) зображено на рис. 6.



Рис. 6

Аналогом емпіричної функції F(x) у теорії ймовірностей є інтегральна функція F(x) = P(X < x).

3.3 Медіана

Для визначення медіани інтервального статистичного розподілу вибірки необхідно визначити медіанний частковий інтервал. Якщо, наприклад, на і-му інтервалі [x_i-1 - x_i] F(x_i-1) < 0,5 i F(x_i) > 0,5, то, беручи до уваги, що досліджувана ознака Х є неперервною і при цьому F(x) є неспадною функцією, всередині інтервалу [x_i-1 - x_i] неодмінно існує таке значення X = Me, де F (Me) = 0,5.

Рис. 7



З подібності трикутників АВС і АВ₁С₁, зображених на рис. 7, маємо:

, (12)

де називають кроком.

3.4 Мода

Для визначення моди інтервального статистичного розподілу необхідно знайти модальний інтервал, тобто такий частинний інтервал, що має найбільшу частоту появи.

Використовуючи лінійну інтерполяцію, моду обчислимо за формулою:

, (13)

де x_i-1 -- початок модального інтервалу;

h -- довжина, або крок, часткового інтервалу;

-- частота модального інтервалу;

-- частота домодального інтервалу;

-- частота післямодального інтервалу.

Приклад.

За заданим інтервальним статистичним розподілом вибірки побудувати гістограму частот і F(x).

Визначити Mo, Me.

h = 4	0--4	4--8	8--12	12--16	16--20	20--24
ni	6	14	20	25	30	5



Розв'язання.

Гістограма частот зображена на рис. 8.

Рис. 8

Графік F (x) зображено на рис. 9.

Рис. 9

З рис. 8 визначається модальний інтервал, який дорівнює 16 -- 20.

Застосовуючи (13) і беручи до уваги, що , , , h = 4, , дістанемо

;



Отже, Mo = 16,17.

З графіка F(x) визначається медіанний інтервал, який дорівнює 12 -- 16.

Беручи до уваги, що F(12) = 0,4, F(16) = 0,65, h = 4 i застосовуючи (12), дістанемо:

Отже, = 13,6.

3.5 для інтервального статистичного розподілу вибірки

Для визначення перейдемо від інтервального розподілу до дискретного, варіантами якого є середина часткових інтервалів

і який має такий вигляд:

				…
				…

Тоді обчислюються за формулами:



; (14)

(15)

. (16)

Приклад.

За заданим інтервальним статистичним розподілом вибірки, в якому наведено розподіл маси новонароджених х_і, обчислити .

, кг	1--1,2	1,2--1,4	1,4--1,6	1,6--1,8	1,8--2	1,8--2	2--2,2	2,4--2,6	2,6--2,8	2,8--3	3--3,2
пі	5	12	18	22	36	24	19	15	11	9	2

Розв'язання.

Побудуємо дискретний статистичний розподіл за заданим інтервальним. Оскільки h = 0,2, то дістанемо:

	1,1	1,3	1,5	1,7	1,9	2,1	2,3	2,5	2,7	2,9	3,1
hi	5	12	18	22	36	24	19	15	11	9	2

Беручи до уваги (363), (364), (365) і те, що n = 173, дістанемо:

.

Отже, .



= 0,217149.

Отже, кг.



4. Двовимірний статистичний розподіл вибірки та його числові характеристики

Перелік варіант та відповідних їм частот спільної їх появи утворюють двовимірний статистичний розподіл вибірки, що реалізована з генеральної сукупності, елементам цієї вибірки притаманні кількісні ознаки Х і Y. У табличній формі цей розподіл має такий вигляд:

				…
				…
				…
				…
…	…	…	…	…	…	…
				…
				…

Тут -- частота спільної появи варіант

.

4.1 Загальні числові характеристики ознаки Х

Загальна середня величина ознаки Х:

(17)



Загальна дисперсія ознаки Х

(18)

Загальне середнє квадратичне відхилення ознаки Х

(19)

4.2 Загальні числові характеристики ознаки Y

Загальна середня величина ознаки Y:

(20)

Загальна дисперсія ознаки Y

(21)

Загальне середнє квадратичне відхилення ознаки Y

(22)



4.3 Умовні статистичні розподіли та їх числові характеристики

Умовним статистичним розподілом ознаки Y при фіксованому значенні називають перелік варіант ознаки Y та відповідних їм частот, узятих при фіксованому значенні Х.

.

				…
				…

Тут:

Числові характеристики для такого статистичного розподілу називають умовними. До них належать:

Умовна середня ознаки Y:

; (23)

Умовна дисперсія ознаки Y:

(24)



Умовне середнє квадратичне відхилення ознаки Y:

. (25)

вимірюють розсіювання варіант ознаки Y щодо умовної середньої величини

Умовним статистичним розподілом ознаки Х при називають перелік варіант та відповідних їм частот, узятих при фіксованому значенні ознаки .

.

				…
				…

Тут:

Умовні числові характеристики для цього розподілу:

Умовна середня величина ознаки Х

; (26)

Умовна дисперсія ознаки Х



; (27)

Умовне середнє квадратичне відхилення ознаки Х

. (28)

При відомих значеннях умовних середніх загальні середні ознаки Х та Y можна обчислити за формулами:

(29)

(30)

4.4 Кореляційний момент, вибірковий коефіцієнт кореляції

Під час дослідження двовимірного статистичного розподілу вибірки постає потреба з'ясувати наявність зв'язку між ознаками Х і Y, який у статистиці називають кореляційним. Для цього обчислюється емпіричний кореляційний момент за формулою:

. (31)

Якщо , то кореляційного зв'язку між ознаками Х і Y немає. Якщо ж то цей зв'язок існує.

Отже, кореляційний момент дає лише відповідь на запитання: є зв'язок між ознаками Х і Y, чи його немає.

Для вимірювання тісноти кореляційного зв'язку обчислюється вибірковий коефіцієнт кореляції за формулою

. (32)

Як і в теорії ймовірностей,

Приклад.

За заданим двовимірним статистичним розподілом вибірки ознак Х і Y потрібно:

обчислити ,

побудувати умовні статистичні розподіли й обчислити умовні числові характеристики.

	10	20	30	40
2	--	2	4	4	10
4	10	8	6	6	30
6	5	10	5	--	20
8	15	--	15	10	40
	30	20	30	20

Розв'язання.

Щоб обчислити , визначимо . Оскільки то



Отже,

Отже, .

Для визначення обчислюють



Тоді

Отже, а це свідчить про те, що між ознаками Х і Y існуватиме від'ємний кореляційний зв'язок.

Для вимірювання тісноти цього зв'язку обчислимо вибірковий коефіцієнт кореляції.

Отже, тобто тіснота кореляційного зв'язку між ознаками Х та Y є слабкою.

Умовний статистичний розподіл матиме такий вигляд:

	2	4	6	8
	4	6	5	15

Обчислюються умовні числові характеристики для цього розподілу:

Умовна середня величина:

Умовна дисперсія та середнє квадратичне відхилення:



;

.

Отже, .

Умовний статистичний розподіл матиме такий вигляд:

	10	20	30	40
	10	8	6	6

Обчислюються умовні числові характеристики.

Умовна середня величина:

Отже,

Умовна дисперсія та середнє квадратичне відхилення:



.

Отже,



5. Парний статистичний розподіл вибірки та його числові характеристики

Якщо частота спільної появи ознак Х і Y для всіх варіант, то в цьому разі двовимірний статистичний розподіл набуває такого вигляду:

					…
					…

Його називають парним статистичним розподілом вибірки. Тут кожна пара значень ознак Х і Y з'являється лише один раз.

Обсяг вибірки в цьому разі дорівнює кількості пар, тобто n.

Числові характеристики ознаки Х:

середня величина:

(33)

дисперсія:

; (34)

середнє квадратичне відхилення:

. (35)

Числові характеристики ознаки Y:

середня величина:



(36)

дисперсія:

(37)

середнє квадратичне відхилення:

; (38)

емпіричний кореляційний момент:

; (39)

вибірковий коефіцієнт кореляції:

. (40)

Приклад.

Залежність кількості масла , що його споживає певна особа за місяць, від її прибутку в гривнях наведена в таблиці:

, грн.	10,5	15,8	17,8	19,5	20,4	21,5	22,2	24,3	25,3	26,5	28,1	30,1	35,2	36,4	37	38,5	39,5	40,5	41	42,5
, грн.	70	75	82	89	95	100	105	110	115	120	125	130	135	140	145	150	155	160	165	170

Потрібно обчислити:

.

Розв'язання.

Оскільки обсяг вибірки n = 20, то маємо:

Отже, .

.

.

.



.

.

.

.

.



.

Оскільки значення близьке до одиниці, то звідси випливає, що залежність між кількістю масла, споживаного певною особою, та її місячним прибутком майже функціональна.



6. Емпіричні моменти

6.1 Початкові емпіричні моменти

Середнє зважене значення варіант у степені k (k = 1, 2, 3,…) називають початковим емпіричним моментом k-го порядку який обчислюється за формулою

. (41)

При k = 1 дістанемо початковий момент першого порядку:

. (42)

При k = 2 обчислимо початковий момент другого порядку:

. (43)

Отже, дисперсію вибірки можна подати через початкові моменти першого та другого порядків, а саме:

. (44)

6.2 Центральний емпіричний момент k-го порядку

Середнє зважене відхилення варіант у степені k (k = 1, 2, 3,…) називають центральним емпіричним моментом k-го порядку:



. (45)

При k = 1 дістанемо:

.

При k = 2 маємо:

На практиці найчастіше застосовуються центральні емпіричні моменти третього та четвертого порядків, що обчислюються за формулами:

(46)

. (47)

Підносячи до третього та четвертого степеня відхилення варіант, подаємо та через відповідні початкові моменти:

(48)

(49)

6.3 Коефіцієнт асиметрії

Центральний емпіричний момент третього порядку застосовується для обчислення коефіцієнта асиметрії:



. (50)

Якщо варіанти статистичного розподілу вибірки симетрично розміщені відносно , то в цьому разі оскільки .

При варіанти статистичного розподілу переважають варіанти . Таку асиметрію називають від'ємною. При варіанти переважають варіанти , і таку асиметрію називають додатною.

6.4 Ексцес

Центральний емпіричний момент четвертого порядку застосовується для обчислення ексцесу:

(51)

, як правило, використовується при дослідженні неперервних ознак генеральних сукупностей, оскільки він оцінює крутизну закону розподілу неперервної випадкової величини порівняно з нормальним. Для нормального закону розподілу, як відомо, .

Приклад.

Оцінки в балах х_і, одержані абітурієнтами на вступних іспитах з математики, наведені у вигляді дискретного розподілу:

	15	25	35	45	55	65	75	85
	5	10	15	20	25	15	8	2



Обчислити .

Розв'язання.

Використовуючи наведені вище формули і враховуючи, що обчислимо

Звідси

Остаточно маємо:



Отже, дістанемо:

Оскільки порівняно малий, то статистичний розподіл близький до симетричного.

Приклад.

Довжина заготівок х_і, виготовлених робітником за зміну, та частоти цих довжин п_і наведені у вигляді статистичного розподілу:

хі, мм	6,5	8,5	10,5	12,5	14,5	16,5
ni	4	16	20	30	24	6

Визначити

Розв'язання.

Обчислюється значення:

, .

Оскільки то дістанемо:

Отже,



Обчислимо центральний емпіричний момент четвертого порядку.

Оскільки то вершина закону розподілу випадкової величини, заданого щільністю ймовірностей, буде плоскою, тобто це так званий туповершинний розподіл.

Размещено на Allbest.ru

...