Особенности циклоиды

Размещено на http://www.allbest.ru/

Учреждение образования

«Белорусский государственный педагогический

университет имени Максима Танка»

Физико-математический факультет

Кафедра математики и методики преподавания математики

КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ

«ЦИКЛОИДА»

Минск, 2016



ОГЛАВЛЕНИЕ

циклоида арка таутохронный маятник

• Введение
• 1. Основные свойства циклоиды
• 2. Геометрическое определение циклоиды
• 3. Площадь арки циклоиды
• 4. Длина дуги арки циклоиды
• 5. Объём тела, полученного вращением арки циклоиды
• 6. Наилучший маятник
• Заключение
• Список используемой литературы



ВВЕДЕНИЕ

Тема моей курсовой работы - циклоида. Эта кривая замечательная во многих отношениях. Она - и след точки обода катящегося колеса, она же кривая колебаний постоянного периода, она же кривая быстрейшего спуска. В наше время циклоидальные кривые применяются при многих технических расчетах, и знание этих кривых облегчает изучение деталей машин. Не вдаваясь в подробности, упомянем, что свойствами циклоидальных кривых пользуются при построении профилей зубьев шестерен и во многих других технических вопросах. Даже с чисто прикладной точки зрения кривые эти заслуживают самого серьезного внимания. Поэтому я посчитала данную тему актуальной и интересной для изучения.

Какие же задачи возникают при изучении циклоиды? Прежде всего, нужно дать ей чисто геометрическое определение, независимое от механики. Далее нужно изучить ее свойства, рассмотреть касательную, вычислить площадь, ограниченную аркой циклоиды и ее основанием, длину дуги, объем тела, образованного вращением арки циклоиды вокруг направляющей прямой.

В курсовой работе подробно будет рассмотрено таутохронное свойство циклоиды и применение его для создания наилучшего маятника. Значение маятниковых часов нельзя преуменьшить, так как они вплоть до недавнего времени выполняли роль точнейших часов, обеспечивающих службу времени в астрономических обсерваториях.

Еще одной заслугой циклоиды, которую нельзя не отметить, является то, что ей пользовались учёные при разработке приёмов исследования кривых линий, которые привели к изобретению дифференциального и интегрального исчислений. В своей работе я предлагаю сравнить вычисление длины дуги арки циклоиды, площади поверхности под аркой и объёмы тел, образованных вращением арки циклоиды до появления интегрального исчисления, длинных и не всегда абсолютно строгих, и с использованием интегрирования.

Цель работы: изучение материала по теме «Циклоида»; изучение особенностей наилучшего маятника; сравнение исследования кривых линий до и после появления интегрального исчисления, вычисление длины дуги арки циклоиды, площади поверхности под аркой и объёмы тел, образованных вращением арки циклоиды.



1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЦИКЛОИДЫ

Для начала необходимо выяснить, какая же кривая называется циклоидой.

Рассмотрим круг радиуса a с центром в точке А. Пусть рассматриваемый круг катится без скольжения вдоль оси ОХ. Кривая, описываемая при этом любой точкой окружности, называется циклоидой.

Это определение циклоиды никогда не удовлетворяло ученых: ведь оно опирается на механические понятия -- скорости, сложения движений и т. д. Поэтому геометры всегда стремились дать циклоиде «чисто геометрическое определение» Но для того, чтобы дать такое определение, нужно прежде всего изучить основные свойства циклоиды, пользуясь ее механическим определением. Выбрав наиболее простое и характерное из этих свойств, можно положить его в основу геометрического определения.

Начнем с изучения касательной и нормали к циклоиде. Что такое касательная к кривой линии, каждый представляет себе достаточно ясно; поэтому его приводить здесь не будем. Нормалью называется перпендикуляр к касательной, восставленный в точке касания. На рис. 1.1 изображена касательная и нормаль к кривой АВ в ее точке М.

Рис. 1.1

Рассмотрим циклоиду (рис.1.2). Круг катится по прямой АВ. Допустим, что вертикальный радиус круга, проходивший в начальный момент через нижнюю точку циклоиды, успел повернуться на угол ц и занял положение ОМ. Иными словами, мы считаем, что отрезок М_оТ составляет такую долю отрезка М_оМ₁, какую угол ц составляет от полного оборота. При этом точка М₀ пришла в точку М.

Рис. 1.2

Точка М и есть интересующая нас точка циклоиды.

Стрелочка OH изображает скорость движения центра катящегося круга. Такой же горизонтальной скоростью обладают все точки круга, в том числе и точка М. Но, кроме того, точка М принимает участие во вращении круга. Скорость МС, которую точка М на окружности получает при этом вращении, направлена по касательной МС₁ к окружности, т. е. перпендикулярно к радиусу ОМ. А т.к. в этом случае скорость МС по величине равна скорости MP (т. е. скорости ОН). Поэтому параллелограмм скоростей в случае нашего движения будет ромбом (ромб МСКР на рис. 1.2). Диагональ МК этого ромба как раз и даст нам касательную к циклоиде.

Все сказанное дает возможность решить следующую задачу на построение: дана направляющая прямая АВ циклоиды, радиус r производящего круга и точка М, принадлежащая циклоиде (рис. 1.2). Требуется построить касательную МК к циклоиде.

Имея точку М, мы без труда строим производящий круг, в том его положении, когда точка на окружности попадает в М. Для этого предварительно найдем центр О при помощи радиуса МО=r (точка О должка лежать на прямой, параллельной АВ, на расстоянии r от нее). Затем строим отрезок MP произвольной длины, параллельный направляющей прямой. Далее строим прямую МС₁, перпендикулярную к ОМ. На этой прямой откладываем от точки М отрезок МС, равный MP. На МС и MP, как на сторонах, строим ромб. Диагональ этого ромба и будет касательной к циклоиде в точке М.

Это построение -- чисто геометрическое, хотя получили мы его, используя понятия механики. Теперь мы можем проститься с механикой и дальнейшие следствия получать без ее помощи. Начнем с простой теоремы.

Теорема 1.Угол между касательной к циклоиде (в произвольной точке) и направляющей прямой равен дополнению до 90° половины угла поворота радиуса производящего круга.

Иными словами, на рис. 1.2

? KLT равен или

? КМР = .

Это равенство мы теперь докажем. Для сокращения речи условимся угол ц поворота радиуса производящего круга называть «основным углом». Значит, угол МОТ на рис. 1.2 -- основной угол. Будем считать основной угол острым. Для случая, когда катящийся круг сделает больше четверти полного оборота, доказательство будет аналогично.

Рассмотрим угол СМР. Сторона СМ перпендикулярна ОМ (касательная к окружности перпендикулярна радиусу). Сторона MP (горизонталь) перпендикулярна к ОТ (к вертикали). Но угол МОP, по условию, острый, а угол СМР -- тупой. Значит, углы МОТ и СМР составляют в сумме 180° (углы со взаимно перпендикулярными сторонами, из которых один острый, а другой -- тупой).

Итак, угол CMP равен 180° -ц. Но, как известно, диагональ ромба делит угол при вершине пополам. Следовательно, уго



КМР = 90° -,

что и требовалось доказать.

Обратим теперь внимание на нормаль к циклоиде. Изобразим левую часть рис. 1.2 крупнее, причем проведем нормаль ME (ME ? МК; рис. 1.3).

Из рис. 1.3 следует, что угол ЕМР равен разности углов КМЕ и КМР, т.е. равен 90° - ? KMP.

Рис. 1.3

Но мы только что доказали, что сам угол КМР равен 90° -

Таким образом, получаем:

? РМЕ = 90° - ? КМР = 90° - (90° - ) =

Мы доказали простую, но полезную теорему. Дадим ее формулировку:

Теорема 2. Угол между нормалью к циклоиде (в любой ее точке) и направляющей прямой равен половине «основного угла».

Соединим» точкой (Т) производящего круга теперь точку М («текущую» точку циклоиды) с «нижней (с точкой касания производящего круга и направляющей прямой -- рис. 1.3). Треугольник МОТ, очевидно, равнобедренный (ОМ и ОТ -- радиусы производящего круга). Сумма углов при основании этого треугольника равна 180° - ц, а каждый из углов при основании -- половике этой суммы. Итак, ? OMT = 90° - .

Обратим внимание на угол РМТ. Он равен разности углов ОМТ и ОМР. Мы видели сейчас, что ? OMT равен 90° - ; что касается угла ОМР, то нетрудно выяснить, чему он равен. Ведь угол ОМР равен углу DOM (внутренние накрестлежащие углы при параллельных).

Рис. 1.4

Непосредственно очевидно, что ? DOM равен 90°- ц. Значит, ? OMP= = 90° - ц. Таким образом, получаем:

? РМТ = ? ОМТ - ? ОМР = 90° - - (90° - ц) = .

Получается замечательный результат: угол РМТ оказывается равным углу РМЕ (по теореме 2). Следовательно, прямые ME и МТ сольются! Наш рис. 1.3 сделан не совсем правильно! Правильное расположение линий дано на рис. 1.4.

Сформулируем полученный результат в виде теоремы 3.

Теорема 3 (первое основное свойство циклоиды). Нормаль к циклоиде проходит через «нижнюю» точку производящего круга.

Из этой теоремы получается простое следствие. Угол между касательной и нормалью, по определению, -- прямой. Это угол, вписанный в окружность производящего круга. Поэтому он должен опираться на диаметр круга. Итак, ТТ₁-- диаметр, и T₁ -- «верхняя» точка производящего круга. Сформулируем полученный результат.

Следствие (второе основное свойство циклоиды). Касательная к циклоиде проходит через «верхнюю» точку производящего круга.

Чтобы объяснить это свойство нам необходимо построить циклоиду.

Рис. 1.5

Построение циклоиды производится в следующей последовательности:

1. На направляющей горизонтальной прямой откладывают отрезок АА₁₂, равный длине производящей окружности радиуса r, (2рr);

2. Строят производящую окружность радиуса r, так чтобы направляющая прямая была касательной к неё в точке А;

3. Окружность и отрезок АА₁₂ делят на несколько равных частей, например на 12;

4. Из точек делений 1¹, 2¹, ...12¹ восстанавливают перпендикуляры до пересечения с продолжением горизонтальной оси окружности в точках 0₁, 0₂, ...0₁₂;

5. Из точек деления окружности 1, 2, ...12 проводят горизонтальные прямые, на которых делают засечки дугами окружности радиуса r;

6. Полученные точки А₁, А₂, ...А₁₂ принадлежат циклоиде.

На рис. 1.6 основание циклоиды разделено на 6 равных частей;

Рис. 1.6

Чем число делений будет больше, тем, чертеж получится точнее. В каждой точке циклоиды, построенной нами, проведем касательную, соединяя точку кривой с «верхней» точкой производящего круга. На нашем чертеже получилось семь касательных (из них две -- вертикальные). Проводя теперь циклоиду от руки, будем заботиться, чтобы она действительно касалась каждой из этих касательных: это значительно увеличит точность чертежа. При этом сама циклоида будет огибать все эти касательные).

Проведем на том же рис. 1.6 нормали во всех найденных точках циклоиды. Всего будет, не считая направляющей, пять нормалей. Можно построить от руки огибающую этих нормалей. Если бы мы вместо шести взяли 12 или 16 точек деления, то нормалей на чертеже было бы больше, и огибающая наметилась бы ясней. Такая огибающая всех нормалей играет важную роль при изучении свойств любой кривой линии. В случае циклоиды обнаруживается любопытный факт: огибающей нормалей циклоиды служит точно такая же циклоида, только сдвинутая на 2a вниз и на ра вправо. Этот факт характерен именно для циклоиды.



2. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦИКЛОИДЫ

Теперь мы дадим определение циклоиды как геометрического места точек, не пользуясь механикой. Проще всего поступить так. Рассмотрим произвольную прямую АВ (будем условно считать ее направление горизонтальным) и на ней точку М₀. Далее рассмотрим всевозможные круги определенного радиуса, касающиеся этой прямой и расположенные по одну сторону от нее. На каждом круге от точки Т касания его с прямой АВ отложим (в направлении к точке М₀) дугу ТМ, по длине равную отрезку М₀Т. Геометрическое место точек М (взятых на всех упомянутых нами кругах) и будет циклоидой.

Установим еще одно важное свойство циклоиды и попробуем именно его положить в основу изучения этой кривой.

Рассмотрим треугольник МТТ₁ (рис. 2.1), образованный вертикальным диаметром производящего круга, касательной к циклоиде и нормалью к ней.

Рис. 2.1

Угол МТ₁Т, как вписанный в окружность, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, т. е. равен . Проведем МК||АВ и ME?АВ. Отрезок МЕ будет играть в дальнейшем значительную роль, поэтому дадим ему имя и обозначение: будем называть его «высотою» точки М циклоиды и обозначать буквою h. Итак, высота точки М циклоиды -- это расстояние ее от направляющей прямой.

Обратим внимание на угол КМТ. Он равен углу МТ₁Т. Из треугольника ТМТ₁ получаем:

МТ = 2аsinа из треугольника ТКМ:

КТ = МТ sin.

Сопоставляя эти результаты и замечая, что КТ = h, получим окончательно:

h = 2asin² .

Мы выразили высоту точки М через угол между касательной в точке М и вертикалью (горизонталью мы по-прежнему считаем направление прямой АВ). Теперь выразим синус этого угла через «высоту». Получим, очевидно:

,

где через k обозначена постоянная для данной циклоиды величина. Полученный результат изложим в теореме.

Теорема 4. Синус угла между касательной к циклоиде в точке М и вертикалью пропорционален квадратному корню из «высоты» точки М.

Этим свойством обладает, очевидно, любая циклоида. Возникает вопрос: в какой мере это свойство характеризует именно циклоиду: будет ли всякая кривая, обладающая этим свойством, непременно циклоидой? Можно доказать, что это будет именно так, -- что верна и следующая (обратная) теорема:

Теорема 5. Если даны прямая АВ и точка М, то единственной кривой, удовлетворяющей условиям теоремы 4 и проходящей через точку М, будет циклоида.

При этом радиус производящего круга этой циклоиды связан с коэффициентом k, о котором говорится в теореме 4, следующим соотношением:.

Стоит также обратить внимание на еще одну замечательную кривую, которую называют спутницей циклоиды.

Рассмотрим циклоиду (рис. 2.2). Из её точки М опустим перпендикуляр на вертикальный диаметр производящего круга. Получим точку Р. Проделаем такое построение для всех без исключения точек циклоиды.

Тогда точка P опишет некоторую кривую. Эта кривая и называется спутницей циклоиды

Рис. 2.3

Рассмотрим циклоиду, точку М на ней и соответствующую точку Р на спутнице (рис. 2.3) Центр производящего круга обозначим буквой Q. Тогда будем иметь:

QP=QMcos?MQP=acos(180⁰-ц)=-acosц=-asin(90⁰-ц)= asin(ц -90⁰).

Начертим геометрическое место центров производящего круга (прямая ХХ₁). От точки М₀ отложим по АВ отрезок М₀K, равный . Проведем KY ? ХХ₁. Точку пересечения этих прямых обозначим буквой О. Отрезок M₀R на направляющей прямой от острия циклоиды до точки прикосновения производящего круга равен aц, где ц -- основной угол MQR, выраженный в радианах. Отрезок OQ на горизонтальной оси ХХ₁ равен M₀R - M₀K=a(ц - ), а отрезок QP равен asin? PMQ, т.е. равен синусу угла (ц - ), умноженному на радиус a.

Итак, от точки О по горизонтали откладываются отрезки, равные по длине дугам окружности, а по вертикали линии синусов соответствующих этим дугам углов. Это есть известное нам построение обыкновенной синусоиды.

Значит, спутницей циклоиды называют синусоиду.

Не будем углубляться в изучение свойств этой поистине замечательной кривой, отметим как факт только, что площадь, ограниченная спутницей одной арки циклоиды и её основанием, равна удвоенной площади производящего круга.

3. ПЛОЩАДЬ АРКИ ЦИКЛОИДЫ

Первое упоминание о вычислении площади, заключённой между аркой циклоиды и её основанием, имеется в трудах Вивиани и Торричелли. Они при этом пользовались особым приёмом, который назывался «способом неделимых». Этот способ состоит в том, что криволинейную фигуру разбивают на бесконечно тонкие полоски, площадь которых находится сравнительно легко, а затем эти площади складываются. Этот приём привел к появлению через полвека интегрального исчисления.

Рис. 3.1

Рассмотрим фигуру, ограниченную аркой циклоиды и синусоидой. На рисунке 3.1 эта фигура, состоящая из двух лепестков, обведена жирной линией. Займёмся вычислением её площади.

Прежде всего, построим зеркальное отражение правого лепестка фигуры относительно направляющей прямой АВ (это отражение дано на рисунке 4.1 штриховой линией). Перенесём затем эту штриховую кривую налево вверх и приложим ее к левому лепестку так, чтобы дуги синусоид, входящие в контур каждого из лепестков, совпали. Получим выпуклую фигуру, заштрихованную на рисунке 3.1 и изображённую отдельно на рис. 3.2. Такую фигуру называют фигурой Роберваля. Установим важнейшие свойства этой фигуры.

Рис. 3.2

1.Выпуклая фигура М₀РLM равновелика двухлепестковой фигуре, изображенной жирной линией на рис.3.1. Это видно из того, что она «составлена» из тех же лепестков.

2. Любая горизонтальная хорда выпуклой фигуры равна удвоенной хорде лепестка, находящейся на том же расстоянии от АВ. Действительно, хорды СЕ и РН (рис. 3.1) правого лепестка, равноудалённые от производящего круга одинаково удалены от центра. Значит КТ = СЕ = РН = Р₁Н₁ = TL.

Это дает важный результат: хорда МР выпуклой фигуры (рис. 3.2) равна хорде производящего круга СК, расположенный на том же расстоянии от направляющей прямой.

Рассмотрим теперь выпуклую фигуру Роберваля и круг, касающихся тех же прямых АВ и А₁В₁, и точки их пересечения с окружностью и с контуром выпуклой фигуры соединим последовательно прямолинейными отрезками, как показано на рисунке. Полученные таким образом вписанные многоугольники (HLMNPQRSTKи H₁L₁M₁N₁P₁Q₁R₁S₁T₁K₁) мы будем называть «соответственными» многоугольники на ряд трапеций (и треугольников). Площади «соответственных» трапеций в круге и в фигуре Робервеля, например NPRS и N₁P₁R₁S₁, равны, потому что у трапеций этих соответственно равны нижние основания, верхние основания (соответственные хорды) и высоты. На рис. 3.2 равновеликие соответственные трапеции покрыты одинаковой штриховкой.

Будем теперь неограниченно увеличивать число «промежуточных» прямы, параллельных АВ, так чтобы расстояние между любой соседней парой стремилось к нулю. Тогда в круге мы получим серию вписанных многоугольников, число сторон которых неограниченно возрастает, а каждая из сторон стремится к нулю. Мы знаем, что площади S_nэтих многоугольников имеют пределом площадь круга:

limS_n=рa².

Как будет себя вести при этом последовательность многоугольников, вписанных в выпуклую фигуру Роберваля? Площадь ?_n последовательных вписанных многоугольников будет стремиться к площади ? фигуры Роберваля. Известно, что если две переменные величины сохраняют при всех своих изменениях соответственно равные значения и одна из них стремится к определённому пределу, то к тому же пределу стремится и другая. Но каждый многоугольник, вписанный в фигуру Роберваля, равновелик соответственному многоугольнику, вписанному в круг. Поэтому мы заключаем, что предел площадей многоугольников, вписанных в фигуру Роберваля, равен пределу площадей соответственных многоугольников, вписанных в круг; а это значит, что площадь выпуклой фигуры Роберваля равна площади производящего круга:

?=ра².

Отсюда получаем немедленное следствие: площадь двухлепестковой фигуры равна площади производящего круга.

Взглянем теперь на рисунок 3.1. Площадь фигуры AOTPBKA, как мы видели, равна удвоенной площади производящего круга. Площадь двухлепестковой фигуры мы только что определили: она равна площади производящего круга. Следовательно, площадь, ограниченная аркой циклоиды и ее основанием, равна утроенной площади производящего круга.

Теперь найдём площадь, заключённую между аркой циклоиды и её основанием при помощи дифференциальной геометрии.

, где t?[0,2р].

Найдем производную

4. ДЛИНА ДУГИ АРКИ ЦИКЛОИДЫ

Длина дуги циклоиды впервые была вычислена английским архитектором и математиком Реном в 1658 году. Рен исходил из механических соображений, напоминающих первые работы Торричелли и Роберваля. Он рассматривал поворот катящегося круга на весьма малый угол около «нижней» точки производящей окружности. Чтобы придать наводящим соображениям Рена доказательную силу, пришлось бы рассмотреть целый ряд вспомогательных теорем, соответственно пришлось бы затратить слишком много труда.

Рис. 4.1

Гораздо удобнее воспользоваться более длинным, но пологим путем. Для этого нужно рассмотреть особую кривую, которая есть у каждой пологой кривой - ее развёрткой.

Рассмотрим выпуклую дугу АВ кривой линии (рис. 4.1). Представим себе, что к дуге АВ в точке А прикреплена гибкая нерастяжимая нить такой же длины, как сама дуга АВ, причем эта нить «навёрнута» на кривую и плотно к ней прилегает, так что её конец совпадает с точкой В. Будем «развертывать» -- распрямлять нить, держа ее натянутой, так что свободная часть СМ нити будет все время направлена по касательной к дуге АВ. При этих условиях конец нити опишет некоторую кривую. Вот эта-то кривая и называется разверткой или, по-латыни, эвольвентой исходной кривой.

Если дуга кривой не всюду выпукла в одну сторону, если она, подобно кривой АВ на рис. 4.2, имеет точку С, в которой касательная к кривой переходит с одной ее стороны на другую (такая точка называется точкой перегиба), то и в этом случае можно говорить о развертке кривой, но рассуждения придется немного усложнить.

Рис. 4.2

Представим себе, что нить закреплена как раз в точке перегиба С (рис. 4.2). Нить, сматываясь с дуги ВС, опишет кривую ВМР -- развертку.

Теперь представим себе нить, намотанную на дугу АС исходной кривой, но эта нить уже удлиненная: в точке С к ней привязан кусочек нити СР. Сматывая удлиненную нить АСР с кривой СА, мы получим дугу РНК, образующую вместе с дугой ВМР единую непрерывную кривую -- непрерывную, но не везде плавную: точке прогиба С исходной кривой будет соответствовать острие (точка возврата) кривой ВМРНК: кривая ВМРНК и будет эвольвентой (разверткой) кривой ВСА.

Эти примеры помогли нам привыкнуть к новым понятиям эволюты и эвольвенты. Теперь займёмся исследованием разверток циклоидальных кривых.

Изучая ту или иную кривую, мы нередко строили вспомогательную кривую -- «спутницу» данной кривой. Так, мы стоили синусоиду -- спутницу циклоиды. Теперь, исходя из данной циклоиды, мы постоим неразрывно связанную с ней вспомогательную циклоиду же. Оказывается, совместное изучение такой пары циклоид в некоторых отношениях проще, чем изучение одной отдельно взятой циклоиды. Такую вспомогательную циклоиду мы будем называть сопровождающей циклоидой.

Рис. 4.3

Рассмотрим половину арки циклоиды АМВ (рис. 4.3). Нас не должно смущать, что циклоида эта расположена непривычным образом («вверх ногами»). Проведем 4 прямые, параллельные направляющей прямой АК на расстояниях a, 2a, 3a и 4a. Построим производящий круг в положении, соответствующем точке М (на рис. 4.3 центр этого круга обозначен буквою О). Угол поворота МОН обозначим через ц. Тогда отрезок АН будет равен бц (угол ц выражен в радианах).

Диаметр НТ производящего круга продолжим за точку Т до пересечения (в точке Е) с прямой РР. На ТЕ как на диаметре построим окружность (с центром О₁). Построим касательную в точке М к циклоиде АМВ. Для этого точку М нужно, как мы знаем, соединить с точкой Т. Продолжим касательную МТ за точку Т до пересечения со вспомогательной окружностью, и точку пересечения назовем М₁. Вот этой-то точкой М₁ мы и хотим теперь заняться.

Угол МОН мы обозначили через ц. Поэтому угол МТН будет равняться (вписанный угол, опирающийся на ту же дугу). Треугольник ТО₁М₁, очевидно, равнобедренный. Поэтому не только угол О₁ТМ₁, но и угол ТМ₁О₁ будут каждый равняться . Таким образом, на долю угла ТО₁М₁ в треугольнике ТО₁М₁ остается ровно р - ц радианов (вспомним, что угол 180? равен р радианов). Заметим еще, что отрезок НК равен, очевидно, б (р - ц).

Рассмотрим теперь окружности с центром О₂, изображенную на рис.4.3 штриховой линией. Из чертежа ясно, чтом это за окружность. Если катить ее без скольжения по прямой СВ, то её точка В опишет циклоиду ВВ. Когда штриховой круг повернется на угол р -- ц, центр О₂ придет в точку О₁, а радиус О₂В займет положение О₁М₁. Таким образом, построенная нами точка М₁ оказывается точкою циклоиды ВВ .

Описанное построение ставит в соответствие каждой точке М циклоиды АМВ точку М₁ циклоиды ВМ₁В. На рис. 4.4 это соответствие показано более наглядно. Полученная таким путем циклоида называется сопровождающей. На рис. 4.3 и 4.4 циклоиды, изображенные жирными штриховыми линиями, являются сопровождающими по отношению к циклоидам, изображенными жирными сплошными линиями.

Из рис. 4.3 видно, что прямая ММ₁ является нормалью в точке М₁ к сопровождающей циклоиде. Действительно, эта прямая проходит через точку М₁ циклоиды и через точку Т касания производящего круга и направляющей прямой («наинизшую» точку производящего круга, как мы говорили когда-то; теперь она оказалась «наивысшей», потому что чертеж повернут). Но эта же прямая, по построению, является касательной к «основанию» циклоиде АМВ. Таким образом, исходная циклоида касается каждой нормали сопровождающей циклоиды. Она является огибающей для нормалей сопровождающей циклоиды, т.е. ее эволютой. А «сопровождающая» циклоида оказывается просто-напросто эвольвентой исходной циклоиды!

Занимаясь этим громоздким, но в сущности простым построением, мы доказали замечательную теорему, открытую голландским ученым Гюйгенсом. Вот эта теорема: эволютой циклоиды служит точно такая же циклоида, только сдвинутая.

Построив эволюту не к одной арке, а ко всей циклоиде (что можно, разумеется, сделать только мысленно), затем эволюту к этой эволюте и т.д., получим рис. 4.5, напоминающий черепицу.

Обратим внимание на то, что при доказательстве теоремы Гюйгенса мы не пользовались ни бесконечно малыми, ни неделимыми, ни приблизительными оценками. Даже механикой мы не пользовались, хотя употребляли иногда заимствованные из механики выражения. Доказательство это совершенно в духе тех рассуждений, которыми пользовались ученые XVII века, когда хотели строго обосновать результаты, полученные с помощью различных наводящих соображений.

Из теоремы Гюйгенса получается сразу важное следствие. Рассмотрим отрезок АВ на рис. 4.4. Длина этого отрезка равна, очевидно, 4a. Представим себе теперь, что на дугу АМВ циклоиды намотана нить, закрепленная в точке А и снабженная карандашом в точке В. Если мы будем «сматывать» нить, то карандаш будет двигаться по развертке циклоиды АМВ, т.е. по циклоиде ВМ₁В. Длина нити, равная длине полуарки циклоиды, будет, очевидно, равна отрезку АВ, т.е., как мы видели, 4a. Следовательно, длина L всей арки циклоиды будет равна 8a, и формулу L=8a можно считать теперь достаточно строго доказанной.

Вычислим длину дуги при помощи дифференциальной геометрии. Решение, полученное таким способом получится куда короче и легче:

где t?[0,2р]

r(t)=

=

| r(t)|===2sin



5. ОБЪЁМ ТЕЛА, ПОЛУЧЕННОГО ВРАЩЕНИЕМ АРКИ ЦИКЛОИДЫ

Найдём объём тела, порождённого вращением арки циклоиды вокруг её основания. Роберваль находил его, разбив полученное яйцеобразное тело (рис. 5.1) на бесконечно тонкие слои, вписав в эти слои цилиндрики и сложив их объёмы. Доказательство получилось длинное, утомительное и не вполне строгое. Поэтому для его вычисления обратимся к высшей математике. Зададим уравнение циклоиды параметрически.

В интегральном исчислении при изучении объемов пользуется следующим замечанием:

Рис. 5.1

Если кривая, ограничивающая криволинейную трапецию задана параметрическими уравнениями и функции в этих уравнениях удовлетворяют условиям теоремы о замене переменной в определенном интеграле, то объем тела вращения трапеции вокруг оси Ох, будет вычисляться по формуле:



,

Воспользуемся этой формулой для нахождения нужного нам объема.

=

Таким же образом вычислим и поверхность этого тела.

L={(x,y): x=a(t - sin t), y=a(1 - cost), 0 ? t ? 2р}

В интегральном исчислении существует следующая формула для нахождения площади поверхности тела вращения вокруг оси х кривой, заданной на отрезке [a,b] параметрически (t₀ ?t ?t₁):

S=

Применяя эту формулу для нашего уравнения циклоиды получаем:

Рассмотрим также другую поверхность, порождённую вращением арки циклоиды. Для этого построим зеркальное отражение арки циклоиды относительно её основания, и овальную фигуру, образованную циклоидой и её отражением будем вращать вокруг оси KT (рис. 5.2)

Рис. 5.2

Сначала найдём объём тела, образованного вращением арки циклоиды вокруг оси KT. Его объём будем вычислять по формуле(*):

Таким образом, мы посчитали объём половины данного репообразного тела. Тогда весь объём будет равен

Для нахождения площади поверхности этого тела вращения при помощи интеграла также необходимо разбить его напополам по горизонтали и рассмотреть верхнюю его часть.

Значит площадь поверхности полученного тела равна

=.



6. НАИЛУЧШИЙ МАЯТНИК

Наблюдая в храме за качающейся люстрой, Галилей обнаружил, что время полного качания люстры, т.е. время, по истечению которого она вернется в исходное положение (так называемый период колебания), было одинаково и при больших размахах и при малых. Это наблюдение привело Галилея к мысли, что качающееся тело (маятник) можно использовать для регулирования хода часов.

Самому Галилею осуществить часы с маятником не удалось, а вскоре выяснилось, что его наблюдения были неточны. Более точные наблюдения показали, что период колебания маятника тем больше, чем больше размах; но благодаря неизбежному трению оси и сопротивлению воздуха размах колебаний обыкновенного маятника все время уменьшается, а значит, будет уменьшаться и период его колебаний. Часы с обыкновенным маятником -- иначе называемым круговым маятником (потому что каждая точка его описывает дугу окружности), не могут идти верно.

Рис. 6.1



Гюйгенс придумал, какое приспособление нужно сделать круговому маятнику, чтобы у него был постоянный размах. Но он решил и другую интересную задачу -- ответил на вопрос, по какой кривой должна двигаться точка, чтобы период ее колебаний не зависел от амплитуды. Он придумал конструкцию, которая осуществила движение центра тяжести маятника по этой кривой.

Начнем с приспособления, обеспечивающего верный ход часам с круговым маятником. Зубчатое колесо А (рис. 6.1) приводиться во вращение цепью с гирькою В на конце. На ось этого колеса насажена шестерня, наглухо с ним связанная. Эта шестерня и приводит в движение стрелки часов, а потому нужно, чтобы колесо А двигалось равномерно.

Но гирька В, как и всякое тело, под действием тяжести будет двигаться ускоренно, сообщая ускоренное же вращение колесу А. Устранить затруднение должен маятник ММ.

Якорь С, лежащий в плоскости колеса А, наглухо соединен с маятником ММ, сам маятник ММ лежит за плоскостью чертежа и потому он начерчен пунктиром. Якорь снабжен зубцами Н и К.

В момент, изображенный на рис. 6.1, колесо А удерживается левым зубцом Н якоря С. Когда маятник качнет влево, зубец Н якоря отпустит захваченный зубец колеса, и колесо повернется, но только на ползубца, потому что зубец К якоря попадет в промежуток между зубцами колеса и задержит его. Когда после этого маятник снова качнет вправо, зубец на этой стороне будет задержан якорем. Итак, при каждом полном качании маятника (туда и обратно) колесо повернется ровно на один зубец, т.е. на определенную долю окружности. Движение колеса будет строго равномерным. Зубцы якоря, как видно из рис. 6.1, срезаны наискось, так что зубец колеса, который был задержан якорем и снова отпущен, должен скользить по косой поверхности зубца якоря. Вследствие этого якорь сообщит маятнику небольшой толчок. Эти ритмические толчки восполнят потерю энергии, которую маятник расходует на преодоление трения и сопротивления воздуха. Поэтому размах маятника не будет уменьшаться. Таким образом, гиря сообщает энергию и колесам часов, и самому маятнику,-- маятник же регулирует ход часов.

А если часы остановятся? Пустить в ход их не трудно: достаточно поднять гирю и качнуть маятник. Но при этом размах качания может оказаться другим, и часы пойдут хотя равномерно, но неверно (уйдут вперед или начнут отставать). Гюйгенс придумал приспособление, которое позволяет легко регулировать ход часов. Но Гюйгенса, как истинного ученого, заинтересовал вопрос: каков должен быть «совершенный» маятник, маятник, время качания которого не зависит от величины размаха? Рассмотрим подробно, как же Гюйгенс решил этот вопрос.

Слово «таутохрона» значит «равномерная». Так назвал Гюйгенс кривую, которую он начал разыскивать, т.е. такую кривую, по которой должен двигаться центр тяжести маятника, для того чтобы период его качания не зависел от величины размаха. Поиски увенчались успехом: таинственная таутохрона оказалась незадолго перед тем изученной циклоидой. При этом Гюйгенс проявил исключительное остроумие. Достаточно сказать, что учение об эволютах было создано в процессе решения именно этой задачи.

Рис. 6.2

Гюйгенс рассуждал следующим образом. Представим себе желобок в форме циклоиды, как это изображено на рис. 6.2.

По этому желобку катится тяжелый шарик М. Мы рассмотрим идеальный случай,-- тот случай, когда трение и сопротивление воздуха отсутствует.

Обозначим точки возврата циклоиды через М₀ и М?₀, а радиус производящего круга через а. Начертим круг радиуса а, касающийся циклоиды в вершине (круг с центром О) и производящий круг в положении, соответствующем точке М циклоиды (дан штриховой линией). Допустим, что мы положили шарик в точку М₁ желобка и отпустили его без толчка. Под действием тяжести он покатиться вниз. Изучим его движение.

Какова будет скорость шарика, когда он опустится до точки М циклоиды? Это нетрудно посчитать. Опустившись из точки М₁ в точку М, шарик израсходует некоторое количество потенциальной энергии. Эта потеря энергии равна произведению веса шарика mg(m -- масса шарика, g -- ускорение силы тяжести) на «потерю высоты», т.е. на разность высоты шарика в положениях М₁ и М, причем высомты отсчитываются от какого-то определенного уровня, например, от уровня земли. От какого уровня ни отсчитывать высомты, разность их в нашем случае будет равна отрезку НМ. Итак, потеря потенциальной энергии шарика будет равна mg·HM.

Но в силу закона сохранения энергии потерянная потенциальная энергия шарика превратиться в кинетическую энергию его движения, равную, как известно, , если через обозначить пока неизвестную скорость шарика. Приравнивая эту кинетическую энергию потерянной потенциальной, получим уравнение

,

из которого сразу находим значение искомой скорости

.



Направление этой скорости тоже определить нетрудно. Она будет направлена по касательно к циклоиде, т.е. по хорде ML (рис. 6.2), где L - «наинизшая» точка производящего круга.

Нас будет интересовать не столько сама скорость , сколько ее вертикальная проекция, т.е. «скорость опускания шарика», скорость изменения его высоты. Эту вертикальную проекцию легко вычислить: она равна , где -- угол между хордой ML и вертикалью. Хорда АТ круга с центром О, очевидно, равна и параллельна хорде ML, а потому угол LMP равен углу KAT, что и отмечено на рис. 6.2. Итак:

.

Неравномерное движение по циклоиде будем сравнивать с равномерным движением по окружности. С этой целью построим вспомогательную окружность так: через вершину А циклоиды проводится перпендикуляр AD(диаметр круга с центром О), а через начальную точку М₁ движения шарика проводится параллель М₁В к ее основанию. Пусть точка пересечения этих параллели и перпендикуляра будет обозначена буквою В. Окружность, построенная на АВ, как на диаметре, и будет искомой вспомогательной окружностью. Пока неясно, чем именно она лучше других окружностей.

Начнем с того, что вертикальную слагающую скорости движения шарика свяжем с элементами вспомогательной окружности. Имеем:

, (*)

потому что НМ = ВК. Из треугольника АКТ получим:

.

Но АТ=2а cos, а потому

, или

, откуда

.

Подставим найденное значение косинуса в выражение для МР, отмеченное звездочкой (*). Получим:

· = · .

Последний корень равен средней пропорциональной между отрезками ВК и АК, т.е. между отрезками гипотенузы АВ треугольника АВС, на которые последняя разделяется высотою СК. Но эта средняя пропорциональная, по известной теореме о пропорциональных линиях в прямоугольном треугольнике, равна как раз высоте СК:

ВК·АК=СК².

Поэтому для вертикальной составляющей МР скорости движения шарика по циклоиде получим окончательно:

МР= · КС.

Величины a и g даны нам с самого начала и не связаны ни с точкою М, ни с ее начальным положением М₁. Таким образом, движение шарика по циклоиде вполне определяется хордою КС вспомогательной окружности, т.е. в конечном итоге положением точки С на этой окружности.

Рассмотрим равномерное движение точки С по вспомогательной окружности с угловой скоростью радианов в секунду, т.е. градусов в секунду. При этом скорость точки С по окружности будет равна произведению радиуса окружности на угловую скорость, выраженную в радианах (в секунду), т.е. равна

.

С какой скоростью опускается точка С, с какою скоростью меняется ее расстояние от прямой М₀ М?₀ при равномерном движении точки С по окружности? Это нетрудно подсчитать.

Скорость движение точки окружности направлена по касательной к окружности, т.е. перпендикулярно радиусу. Ее проекция на вертикаль равна самой скорости умноженной на косинус угла рис 6.3. Но угол равен, очевидно, углу КСО₁: оба получаются путем вычитания угла О₁СЕ из прямого угла. Косинус угла КСО₁ равен . Для вертикальной проекции скорости равномерного движения по окружности находим:

.

Получается замечательный результат: когда точка движется равномерно по окружности, ее проекция на вертикаль движется точно так же, как проекция на вертикаль шарика, катящегося по циклоиде. Проекции обеих скоростей в любой момент времени равны друг другу. Но отсюда следует, что точка окружности из В в А и шарик на циклоиде из М₁ в А придут в одно время. Это время легко определить. Мы говорили уже, что точка на вспомогательной окружности делает радианов секунду, иными словами, на один радиан она повернется за секунд, а на радианов -- за . Точно такое же время нужно и нашему шарику, чтобы скатиться по циклоиде из точки М₁в точку А. Такое же время понадобиться ему, чтобы по инерции подняться до точки М?₁, такое же -- чтобы снова спуститься, и такое же -- чтобы подняться и вернуться в исходное положение (в точку М₁). Значит, время полного колебания шарика (период колебания) будет равняться :

.

Это -- весьма замечательная формула. Мы видим, что период движения шарика по циклоидальному желобку вполне определяется размерами желобка (радиусом производящего круга циклоиды) и ускорением силы тяжести. Положение точки М₁на циклоиде, ее расстояние от прямой М₀ М?₀ не имеет никакого значения. С какой бы точки циклоиды ни начинал движения шарик, период его колебания будет один и тот же.

Гюйгенс задумался над тем, как использовать таутохронное свойство циклоиды для устройства «совершенного» маятника. Как заставить шарик маятника двигаться таутохронно, не прибегая к желобкам и тому подобным приспособлениям с большим трением? Размышляя об этом, Гюйгенс пришел к понятиям об эволюте и эвольвенте.

Изготовим шаблон, состоящий из двух одинаковых полуарок циклоиды, имеющих общую точку возврата О (рис. 6.4). Радиус производящего круга обозначим, как всегда, через a. Шаблон укрепим вертикально, и в точке возврата О привяжем нить, по длине равную 4a -- т.е. удвоенному диаметру производящего круга циклоиды. Свободный конецнити Т снабдим тяжелым шариком.

Рис. 6.4

Шарик будет описывать при своем движении развертку циклоиды АСОЕВ, потому что нить будет наматываться на шаблон. Но разверткой циклоиды служит точно такая же циклоида. Значит, кривая ВМТРА, по которой движется шарик, будет циклоидой, порожденной крум гом радиуса a.

Если мы поместим шарик в произвольную точку М и предоставим самому себе, он начнет совершать колебания, причем период этих колебаний не будет зависеть от выбора точки М. Если даже, под влиянием трения и сопротивления воздуха, размах колебаний будет уменьшаться, время колебания маятника остается неизменным. Поистине этот маятник будет таутохронным!

Рис. 6.5



Рассмотрим теперь малые колебания маятника по дуге АВ циклоиды (рис. 6.5). Если эти колебания очень малы, то влияние направляющего шаблона практический не будет ощущаться и маятник будет двигаться почти как обыкновенный маятник длинною l=4a, подвешенный в точке О. Путь АВ циклоидального маятника практически не будет отличаться от пути СЕ кругового маятника длины 4a. Значит, и период малых колебаний обыкновенного кругового маятника длиною l=4a не будет практически отличаться от периода циклоидального маятника. Вводя в формулу

,

с которой мы познакомились выше, вместо a равную ему величину , получим выражение периода малых колебаний кругового маятника через его длину:

.



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе выполнения курсовой работы я изучила материалы по теме циклоида, изучила особенности наилучшего маятника, сравнила довольно изящное, но не очень простое исследование циклоиды до появления интегрального исчисления, с наиболее простым и привычным, изученным в дифференциальной геометрии и математическом анализе; в очередной раз убедившись в необходимости изучения этих дисциплин. Как оказалось, циклоида имеет огромное практическое применение не только в математике, но и в технологических расчетах, в физике.

Работа по изучению данной темы оказалась довольно увлекательной и интересной.



СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Берман Г.Н. Циклоида. -М., 2007. -113с.

2. Савелов А.А. Плоские кривые. - М., 1960. - 293 с.

3. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. -М., 2005, т.2. -464 с.

Размещено на Allbest.ru

...