Пуассоновская модель

.

Исследования эмпирических байесовских оценок для пуассоновского распределения, проведенные в работе (Maritz, 1969), привели к другому типу характеризационной теоремы. В статье (Shanbhag and Clark, 1972) показано, что если функция X имеет распределение вида (68) и если случайная величина с плотностью распределения

где , 0 < < с, причем постоянная с может быть бесконечной, то функция линейна тогда и только тогда, когда экспоненциальна, а X имеет распределение Пуассона.

Характеризации, основанные на свойствах выборочных статистик, были также развиты в работах (Kharshikar. 1970) и (Shanbhag, 1970а). Оказывается, если функция X имеет распределение типа степенного ряда, то условие (где и - это выборочные среднее и дисперсия) характеризует пуассоновское распределение. В более общем варианте этой теоремы используется некоторая квадратичная форма от наблюдений. Модификация этого результата, предложенная в статье (Wang, 1972), как позднее было показано в работе (Shanbhag, 1973) нуждается в уточнении.

Другая характеризация (основанная на ковариационной матрице Бхаттачария) была получена в статье (Shanbhag, 1972). Но она скорее всего, может иметь ограниченную практическую ценность, так как справедлива также для биномиального и отрицательно биномиального распределений.

В работе (Daboni, 1959) дается следующая характеризация в терминах смеси биномиальных распределений. Предположим, что X - случайная величина, распределенная как смесь биномиальных распределений с параметрами X, р. Тогда случайные величины X и (N - X) независимы в том и только том случае, когда N имеет распределение Пуассона.

В статье (Boswell and Patil, 1973) показано, что следующие четыре утверждения относительно дискретной случайной величины , , эквивалентны

1. Существует действительное число а такое, что , а , > 0.

2. > 0.

3. Для любой функции , имеющей конечное математическое ожидание,

.

4. Случайная величина ) имеет пуассоновское распределение, >0. В этой же статье приводится и более общая формулировка, которая позволяет случайной величине быть либо дискретной, либо непрерывной.

В работе (Patil and Ratnaparkhi, 1977) доказано, что если случайная величина X распределение типа степенного ряда, то необходимое и достаточное условие того, что оно пуассоновское, равенство где - второй факториальный момент.

В статье (Samaniego, 1976) случайная величина Y = + называется «свернутой пуассоновской величиной», если и независимы, а имеет пуассоновское распределение. В этой статье получены характеризации свернутых пуассоновских распределений.

Хорошо известная характеризация в терминах условного (полиномиального) распределения независимых случайных величин при заданной сумме была распространена в работе (Singh, 1978) на случай усеченных в нуле величин X. Характеризация, основанная на многомерной модели расщепления, была получена в статье (Rao and Srivastava, 1979); другая характеризация, опирающаяся на эту модель дана в работе (Ratnaparkhi, 1981).

Следующий новый тип характеризации описан в статье (Rao and Sreehari, 1987). Неотрицательная целочисленная случайная величина X имеет пуассоновское распределение тогда и только тогда, когда

где верхняя грань берется по всем действительным функциям h(*) таким, что ожидание конечно.

Характеризация пуассоновского распределения, основанная на дискретных аналогах теорем Крамера-Вольда и Скитовича-Дармуа, была получена в работе (McKenzie, 1991).

В статье (Diaconis and Zabell, 1991) указано, что пуассоновское распределение может быть охарактеризовано равенством

для каждой ограниченной функции f(*) от целых чисел. Об истории этого равенства можно прочитать в монографии (Stein 1986, Ch. 9).

Значительные усилия, вложенные в характеризацию пуассоновскою распределения, в основном были сконцентрированы на ограниченном количестве характеризаций. В работе (Haight, 1972) была предпринята попытка унифицировать некоторые разрозненные результаты с помощью теоремы Свенсона (см. работу (Svensson, 1969)). Она утверждает, что если случайная величина X имеет распределение, сосредоточенное на неотрицательных целых числах, то двумерная случайная величина (X, Y), обладающая тем свойством, что производящая функция имеет вид

,

существует в том и только том случае, когда

где - производящая функция Y. Оказывается, что эта теорема позволяет характеризовать некоторые распределения сумм двух случайных величин, опуская в общем случае условие независимости. Например, характеризационная теорема является прямым следствием теоремы Свенсона.

В длинном и подробном отчете о характеризациях пуассоновского процесса (Galambos and Kotz, 1978) дан ряд новых результатов; по возможности они связаны с работами предыдущих авторов. Проведенные исследования главным образом относились к характеризациям, основанным на возрасте и остаточном времени жизни, прореживаниях процессов восстановления, на геометрических суммах и на моделях повреждения, и были мотивированы характеризациями показательного распределения. Характеризация пуассоновского процесса с помощью свойств условных моментов была дана в работе (Вгус, 1987) и расширена в статье (Wesolowski, 1988).

О пуассоновском распределении было сказано, что «оно играет ту же роль по отношению к дискретным распределениям, как нормальное для абсолютно непрерывных», (см. монографию (Douglas, 1980)).

Во многих элементарных учебниках оно вводится как предел, а значит, и приближение для биномиального распределения, когда событие редкое, а число испытаний велико. На этом подходе основано использование пуассоновского распределения, при контроле качества, для числа дефектных изделий в партии; см., например, (Walsh, 1955), (van der Waerden, 1960) и (Chatfield, 1983). Пуассоновское распределение является также предельным для гипергеометрического распределения, следовательно, оно дает приближение для вероятностей случайных событий в модели выбора без возвращения. Феллер (см. монографию (Feller, 1968, р.59)) указал на важность пуассоновского распределения в квантовой статистике как предельного для статистики Максвелла-Больцмана и в теории фотографических пластинок.

Первые исследователи выборочных данных по событиям, относящимся к единице площади или объема, например, (Greig-Smith, 1964), оправдывали использование пуассоновского распределения для таких данных связью распределения Пуассона с биномиальным распределением, см. также работу (Seber, 1982b, p. 24). Сбор таких «данных по квадратам или кубам» широко распространен в экологии, геологии, географии и социологии города. Более фундаментальное объяснение широкой применимости пуассоновского распределения для числа «событий» на единицу площади или объема дает пуассоновский процесс, см., например, работу (Cliff and Ord, 1981).

Пуассоновский процесс также очень важен при подсчете числа событий в единицу времени, особенно в теории массового обслуживания. Здесь интервалы между последовательными событиями имеют независимые одинаковые показательные распределения, а следовательно, число событий за определенный промежуток времени имеет распределение Пуассона. Рассмотрим, например, проблему нахождения числа используемых телефонных линий (или клиентов, ждущих в очереди, и т.д.) в какой-то момент времени. Предположим, что имеется "бесконечное число" каналов (на самом деле достаточно большое число), время занятости (продолжительность разговора) Т для каждого клиента имеет показательное распределение с плотностью

, > 0, t > 0.

а входящие вызовы поступают в соответствии с пуассоновским процессом, причем среднее число вызовов в единицу времени равно . Тогда функции , представляющие собой вероятность того, что в точности N каналов используются через время после того, как все они были свободны, удовлетворяют дифференциальным уравнениям

,

Стационарные вероятности удовлетворяют уравнениям

Решив эти уравнения, находим, что

, N = 0, l, ...,

что соответствует распределению изначального вида с , замененным на (см. например книгу (Gnedenko and Kovalenko, 1989). Имеется много превосходных книг но случайным процессам, где значительное внимание уделяется пуассоновскому процессу. В монографии (Doob, 1953) упоминается его использование для исследования распределения молекул и звезд, в то время как в книге (Parzen, 1962) даются приложения к счетчикам частиц, процессам рождения, процессам восстановления и дробового шума. Книга (Taylor and Karlin. 1984) во многом ориентирована на приложения, среди прочих, в инженерии, биологии, медицине, теории риска, коммерции и демографии. Пуассоновский процесс для описания пространственных явлений был глубоко изучен в работах (Ripley, 1981), и (Stoyan, Kendall and Mecke, 1987).

Пуассоновская регрессия, т.е. анализ соотношений между наблюденными числами и множеством объясняющих переменных, очень ясно описан во вводной статье (Koch, Atkinson and Stokes, 1986). Его использование в анализе бинарных данных обсуждалось Коксом и Снеллом в книге (Сох and Snell, 1989). Эта связь изучалась в статьях (Sandland and Cormack, 1989), (Cormack, 1989) и (Cormack and Jupp, 1991) в связи с работой по логлинейному анализу данных об отлове и повторном отлове особей. Его роль в анализе частот при объединении множеств данных, очень хорошо описана в работе (Bishop, Fienberg, and Holland, 1975). В статье (Fienberg, 1982) даны полезные указания по литературе, касающейся обращения с перекрестно классифицированными категорийными данными в общем случае. Известно использование пуассоновской регрессии для анализа биопроб, числа колоний бактерий и вирусов для меняющихся растворов и/или условий экспериментов, частоты выхода из строя оборудования при меняющихся операционных условиях, частоты заболеваемости раком, статистики смертности и заболеваемости. Приложения к экономике описаны в работе (Hausman et al., 1984). Ли в статье (Lее, 1986) приводит ряд других ссылок; его особенно интересовала проверка гипотезы о пуассоновости модели при альтернативе других дискретных моделей, включая отрицательно биномиальную.

При эмпирическом анализе частотных данных пуассоновское распределение часто используется в качестве эталона для установления степени и характера неслучайности. Смешанные пуассоновские и кластерно-пуассоновские распределения были широко развиты как средство для обращения с неоднородными и сгруппированными данными.

В гл.7 справочника (Haight, 1967) дано множество ссылок, касающихся использования пуассоновского распределения и классифицированных по разделам: промышленность, сельское хозяйство и экология, биология, медицина, телефония, происшествия, торговля, массовое обслуживание, социология и демография, теория транспортных потоков, военное дело, подсчет частиц и многое другое.

Недавние приложения пуассоновского распределения включают, например, использование его свойств для описания сестринского обмена хроматид при исследовании разрывов и восстановлений ДНК, см. статью (Margolin et al., 1986). Гольдстейн (см. работу (Goldstein, 1990)) применил пуассоновскую модель в проблеме сопоставления цепочек ДНК. Ежегодные тома «Текущего указателя в статистике» и ежеквартальные выпуски «Рефератов статистической теории и методов» указывают на другие возможности использования, как теоретические, так и прикладные.

9. Распределение пуассоновски остановленных сумм

Производящая функция для сумм, остановленных в пуассоновский момент, имеет вид

,

т.е. они возникают как сумма пуассоновского числа независимых одинаково распределенных слагаемых с производящей функцией g(z). Термин «сумма, остановленная в пуассоновский момент» (Poisson-stopped sum) был введен в работе (Godamb and Patil, 1975) и использовался в книге (Douglas. 1980) о распределениях, зависящих от случайных параметров.

Из-за своей безграничной делимости эти распределения очень важны в теории дискретных распределений. Они известны также под другими именами. Феллер в работе (Feller, 1943) использовал термин «обобщенные пуассоновские» распределения (generalized Poisson); это название часто используется, хотя и обладает некоторой неоднозначностью. В работах (Gallher ei al., 1959) и (Kemp, 1967a) они названы «запинающимися пуассоновскими» (stuttering Poisson); в статье (Thyrion, 1960) «сгруппированными пуассоновскими» (Poisson par grappes). Название «составные пуассоновские» (compound Poisson) использовалось в работах (Feller, 1950, 1957, 1968) и (Lloyd, 1980), Термин «составные» может особенно вводить в заблуждение, так как он широко используется для смешанных пуассоновских распределений, как это было в первом издании данной книги.

Хотя некоторые широко распространенные распределения, такие как отрицательно биномиальное , одновременно являются остановленными в пуассоновский момент суммами и смешанными пуассоновскими распределениями, существуют и другие распределения, которые принадлежат лишь одному из указанных семейств распределений.

Термин «кластерное пуассоновское распределение» также используется. Предположим, что число яиц, отложенных насекомым, имеет распределение Пуассона, число личинок, появившихся из яйца, имеет производящую функцию g(z), и что различные яйца развиваются независимо. Тогда общее число личинок имеет распределение суммы, остановленной в пуассоновский момент.

Эти распределения также назывались сложными пуассоновскими или композицией пуассоновских распределений. Пусть

, i = 0, 1, 2,…

Тогда распределение суммы, остановленной в пуассоновский момент, имеет производящую функцию

таким образом, данное распределение можно рассматривать как свертку обычного пуассоновского распределения с двойным, с тройным и т.д. шагом; иными словами, это распределение ..., где имеет обычное пуассоновское распределение, а , r = 2, 3, …,имеет пуассоновское распределение, сосредоточенное на х = 0, r, 2r. В Европе вместо термина «свертка» используется «композиция».

Очевидно, если g(z) - производящая функция, то , для всех i, и G(z) безгранично делима. Наоборот, если функция G(z) безгранично делима, то g(z) - настоящая производящая функция; см., например, монографию (Feller, 1968, р. 290).

Если g(z) - производящая функция случайной величины с ограниченным носителем, то сумма, остановленная в пуассоновский момент, в этом случае называется «расширенной пуассоновской порядка k», (см. работу (Hirano and Aki, 1987)); если g(z) соответствует дискретному равномерному распределению с носителем 1, 2…k. то результирующее распределение называется «пуассоновским порядка k», (см. статью (Filippou, 1983)).

Наиболее известное распределение сумм, остановленных в пуассоновский момент,-- это отрицательно биномиальное распределение; здесь g(z) соответствует арифметическому распределению (имеющему неограниченный носитель).

Много внимания уделялось также распределению Лагранжа - Пуассона, это остановленная в пуассоновский момент сумма случайных величин с распределением Борля-Таннера. В книге (Consul, 1989) оно называется «обобщенным распределением Пуассона»; там имеется много ссылок на более ранние работы.

Заключение

Результатом выполнения дипломной работы является создание справочного руководства по пуассоновской модели и ее статистическим применениям.

Литература

1. Зубков А.М., Серов А.А. (2012). Полное доказательство универсальных неравенств для функции распределения биномиального закона. - Теория вероятн. и ее примен., т. 57, в. 3, с. 597-602.

2. Ивченко Г.И. (1974). О сравнении биномиального и пуассоновского законов. - Теория вероятн. и ее примен., т. 19, в. 3, с. 612-615.

3. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. (2010). Введение в математическую статистику. - М.: Издательство ЛКИ.

4. Колчин В.Ф. (1969). О предельном поведении крайних членов вариационного ряда в полиномиальной схеме. - Теория вероятн. и ее примен., т. 14, в. 3, с. 476-487.

5. Прохоров Ю.В., Висков О.В., Хохлов В.И. (2005)). Аналоги неравенства Чернова для отрицательного биномиального распределения. - Теория вероятн. и ее примен., т. 50, в. 2, с. 379-382.

6. Тимашев А.Н. (2011). Большие уклонения в вероятностной комбинаторике. - М.: Издательский дом "Академия".

7. Ahmed, A. N. (1991). Characterization of beta, binomial and Poisson distributions,IEEE Transactions on Reliability, R-40, 290-295.

8. Arratia, R., Goldstein, L., and Gordon, L. (1989). Two moments suffice for Poisson approximations: The Chen-Stein method,Annals of Probability, 17, 9-25.

9. Bateman, H. (1910). On the probability distribution of particles,Philosophical Magazine, Series 6, 20, 704-707.

10. Chen, L. H. Y. (1975). Poisson approximation for dependent trials,Annals of Probability, 3, 534-545.

11. Crow, E. L. (1958). The mean deviation of the Poisson distribution,Biometrika, 45, 556-559.

12. Doob, J. L. (1953).Stochastic Processes, New York: Wiley.

13. Douglas, J. B. (1980).Analysis with Standard Contagious Distributions, Burtonsville, MD: International Co-operative Publishing House.

14. Dubey, S. D. (1966b). Graphical tests for discrete distributions,American Statistician,20, 23-24

15. Feller, W. (1968).An Introduction to Probability Theory and Its Applications(third edi-tion), Vol. 1, New York: Wiley.

16. Glasser, G. J. (1962). Minimum variance unbiased estimators for Poisson probabilities, Technometrics, 4, 409-418.

17. Good, I. J. (1953). The population frequencies of species and the estimation of population parameters,Biometrika, 40, 237-264.

18. Haight, F. A. (1967).Handbook of the Poisson Distribution, New York: Wiley.

19. Hoaglin, D. C., Mosteller, F., and Tukey, J. W. (editors) (1985).Exploring Data Tables, Trends, and Shapes, New York: Wiley.

20. Hurwitz, H., and Kac, M. (1944). Statistical analysis of certain types of random functions, Annals of Mathematical Statistics, 15, 173-181.

21. Hwang, J. T. (1982). Improving upon standard estimators in discrete exponential families with applications to Poisson and negative binomial cases,Annals of Statistics, 10,857-867.

22. Irony, T. Z. (1992). Bayesian estimation for discrete distributions, Journal of Applied Statistics, 19, 533-549.

23. Kendall, M. G. (1943).The Advanced Theory of Statistics, Vol. 1, London: Griffin.

24. Kreweras, G. (1979). Some finite distributions tending towards Poisson distributions,Bul-letin of the International Statistical Institute, 49, 296-299.

25. Maritz, J. S. (1969). Empirical Bayes estimation for the Poisson distribution,Biometrika, 56, 349-359.

26. Maruyama, G. (1955). On the Poisson distribution derived from independent random walks,Ochanomizu University Natural Science Reports, 6, 1-6.

27. Molenaar, W. (1970b). Normal approximations to the Poisson distribution,Random Counts in Scientific Work,Vol.2:Random Counts in Biomedical and Social Sci-ences, G. P. Patil (editor), 237-254. University Park: Pennsylvania State University Press.

28. Ord, J. K. (1967a). Graphical methods for a class of discrete distributions,Journal of the Royal Statistical Society, Series A, 130, 232-238.

29. Peizer, D. B., and Pratt, J. W. (1968). A normal approximation for binomial, F, beta and other common related tail probabilities, I,Journal of the American Statistical Associa-tion, 63, 1416-1456.

30. Peng, J. C. M. (1975).Simultaneous Estimation of the Parameters of Independent Poisson Distributions, Technical Report No. 78, Stanford, CA: Stanford University Department of Statistics.

31. Quine, M. P., and Seneta, E. (1987). Bortkiewicz's data and the law of small numbers, International Statistical Review, 55, 173-181.

32. Raikov, D. (1938). On the decomposition of Gauss' and Poisson's laws,Izvestia Akademie Nauk SSSR, Series A, 2, 91-124.

33. Rao, C. R. (1965). On discrete distributions arising out of methods of ascertainment, Classical and Contagious Discrete Distributions, G. P Patil (editor), 320-332. Calcutta: Statistical Publishing Society; Oxford: Pergamon. (RepublishedSankhyЇa, A27, 1965, 311-324.).

34. Riordan, J. (1937). Moment recurrence relations for binomial, Poisson, and hypergeomet-ric frequency distributions,Annals of Mathematical Statistics, 8, 103-111.

35. S. Kotz, N. L. Johnson, and C. B. Read (editors), 451-460. New York: Wiley.

36. S. Kotz, N. L. Johnson, and C. B. Read (editors), 773-776. New York: Wiley.

37. Sadooghi-Alvandi, S. M. (1990). Estimation of the parameter of a Poisson distribution using a LINEX loss function,Australian Journal of Statistics, 32, 393-398.

38. Student (1907). On the error of counting with a haemocytometer,Biometrika,5, 351-360.

39. Tallis, G. M. (1983). Goodness of fit, Encyclopedia of Statistical Sciences,Vol.3.

40. Uhlmann, W. (1966). Vergleich der Hypergeometrischen mit der Binomial-Verteilung, Metrika, 10, 145-158.

41. Varian, H. R. (1975). A Bayesian approach to real estate assessment,Studies in Bayesian Econometrics and Statistics in Honor of Leonard J. Savage, S. E. Fienberg and A.Zellner (editors), 195-208. Amsterdam: North-Holland.

42. Watanabe, H. (1956). On the Poisson distribution,Journal of the Mathematical Society of Japan, 8, 127-134.

43. Whittaker, L. (1914). On the Poisson law of small numbers,Biometrika, 10,36-71.

44. Widdra, W. (1972). Eine Verallgemeinerung des “Gestzes seltener Ereignisse,Metrika,19, 68-71.

45. Yip, P. (1988). Inference about the mean of a Poisson distribution in the presence of a nuisance parameter, Australian Journal of Statistics, 30, 299-306.

Размещено на Allbest.ru