Методы численного интегрирования

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

При решении ряда актуальных физических и технических задач встречаются определенные интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Кроме того, в приложениях приходится иметь дело с определенными интегралами, сами подынтегральные функции которых не являются элементарными. Это приводит к необходимости разработки приближенных методов вычисления определенных интегралов.

В данной работе мы познакомимся с приближенными методами вычисления определенных интегралов: методом прямоугольников, методом трапеций и методом парабол.

Основная идея этих методов заключается в замене подынтегральной функции f(x) функцией более простой природы - многочленом, совпадающим с f(x) в некоторых точках. Для уяснения этой идеи рассмотрим при малых c интеграл ?сf(x) dx, представляющий собой площадь узкой криволинейной трапеции, лежащей под графиком функции y = f(x) на сегменте [-c, c] (рис. 1).

Заменим функцию f(x) многочленом нулевого порядка, а именно константой f(0). При этом интеграл ?сf(x) dx, приближенно заменится площадью прямоугольника, заштрихованного на рис. 2.



многочлен интеграл трапеция

Заменим, далее, функцию f(x) многочленом нулевого порядка, а именно линейной функцией y=kx+b, совпадающей с f(x) в точках - c и с. При этом интеграл ?ссf(x) dx приближенно заменится площадью прямоугольной трапеции, заштрихованной на рис. 3.

Если потребуется вычислить интеграл по любому сегменту [a, b], естественно разбить этот сегмент на достаточно большое число малых сегментов и к каждому из этих сегментов применить изложенные выше рассуждения. При этом мы и придем к методам прямоугольников, трапеций и парабол в их общем виде. В связи с тем, что эти методы - это методы приближенного вычисления, то появляется некая погрешность, и для её оценки мы подойдем к изложению этих методов с другой точки зрения.

Прежде всего нам понадобится понятие усреднения n чисел.

Путь a1,…., an - какие угодно положительные числа. Любое число c вида

С= - назовем усреднением n чисел f(x1), f(x2),… f(xn).

Очевидно, что если все числа f(x1), f(x2),…, f(xn) заключены между числами m и M (m<=M), то и любое усреднение с этих чисел удовлетворяет неравенствам m<=c<=M.

Предположим далее, что функция f(x) непрерывна на сегменте [a, b] и все значения x1, x2,…, xn лежат на этом сегменте. Тогда, какое бы усреднение n чисел f(x1), f(x2),…, f(xn) мы ни взяли, на сегменте [a, b] найдется точка ? такая, что усреднение равно значению f(?) в точке ?. В самом деле, так как функция f(x) непрерывна на сегменте [a, b], то все значения этой функции на указанном сегменте заключены между ее наибольшим значением M и наименьшим значением m. Значит, и любое усреднение с чисел f(x1),…, f(xn) заключено между m и M.

Таким образом, для непрерывной на сегменте [a, b] функции формулу С= можно переписать в виде = f(?) (*) или в виде *(b-a) = f(?)*(b-a).



1. Метод прямоугольников

Будем считать, что функция f(x), интеграл от которой нам требуется приближенно вычислить, имеет на рассматриваемом сегменте непрерывную вторую производную.

Начнем с рассмотрения интеграла в симметричных пределах. Для вычисления этого интеграла будем исходить из *(b-a) = f(?)*(b-a), где положим n=1, a=-c, b=c, x1=0, a1=1. Тогда, очевидно, ?=0 и правая часть *(b-a) = f(?)*(b-a) равна f(0)*2*c, таким образом, ?сf(x) dx = f(0)*2*c+R, где R - остаточный член (отклонение от точного значения интеграла). Для того, чтобы оценить величину остаточного члена R, обозначим через F(x) первообразную функции f(x). Поскольку в силу формулы Ньютона - Лейбница ?cf(x) dx=F(c) - F(-c), то R=F(c) - F(-c) - f(0)*2*c.

Разложим по формуле Маклорена функцию ?(x) = F(x) - F(-x). Беря остаточный член в форме Лагранжа и обозначая через ?` возникающее при этом промежуточное значение аргумента из интервала (0, с), будем иметь:

Ґ(с) = F(c) - F(-c) = Ґ(0) + *c + * c^2 + * c^3. (**)

Подсчитаем входящие в эту формулу значения Ґ(0), Ґ`(0), Ґ``(0),Ґ```(?`). Имеем:

Ґ(x) = F(x) - F(-x); Ґ(0) = F(0) - F(0) = 0;

Ґ`(x) = F`(x) + F`(-x) = f(x) + f(-x); Ґ`(0) = f(0) + f(0) = 2*f(0);

Ґ``(x) = f`(x) - f`(-x); Ґ``(0) = f`(0) - f`(0) = 0;

Ґ```(x) = f``(x) + f``(-x); Ґ```(?`) = =2*f``(?). Из (*).



Вставляя вычисленные значения в формулу (**), будем иметь

Ґ(с) = F(c) - F(-c) = 2*f(0) + 2* * c^3, => окончательно получим

R = 2* * c^3 = 2* * (2*c)^3, - c<?<c.

Из полученной оценки остаточного члена видно, что формула ?сf(x) dx = f(0)*2*c+R тем точнее, чем меньше величина 2*с. Поэтому для вычисления интеграла удобно разбить сегмент [a, b] на достаточно большое

число n частей и к каждой из этих частей применить формулу приближенного интегрирования ?сf(x) dx = f(0)*2*c+R. Считая, что функция f(x) имеет на сегменте [a, b] непрерывную вторую производную, разобьем этот сегмент на 2*n равных частей при помощи точек a=x0<x2<…<x2n=b. Обозначим чрез x2k+1 среднюю точку сегмента [x2k, x2k+2]. Тогда * [f(x1) + f(x2) + … + f (x2n-1)] + R, где R = R1+R2+ … +Rn = *[f``()+f``()+ … +f``() = *f``(?), a < ? < b, из формулы усреднения.

Формула * [f(x1) + f(x2) + … + f (x2n-1)] + R называется формулой прямоугольников. Ее геометрический смысл ясен из приведенных ниже рисунков: площадь криволинейной трапеции, лежащей под графиком f(x) на сегменте [a, b], приближенно заменяется суммой площадей, указанных на этом чертеже прямоугольников.



В нашем примере a = 4, b = 9, n = 10, f(x) =.

Внимательно посмотрим на формулу прямоугольников * [f(x1) + f(x2) + … + f (x2n-1)] =.

Чтобы ее применить, нам нужно вычислить шаг h и значения функции f(x) = в точках (.

Вычислим шаг: h = (b-a)/n = (9-4)/10 = 0.5.

Так как = a +(i-1)*h, то (+h/2) = a + (i - 1)*h + h/2 = a + (i-0.5)*h, i = 1., 10.

Для i = 1 имеем + h/2 = + h/2 = a + (i-0.5)*h = 4 + (1-0.5) = 4.25.

Находим соответствующее значение функции f (+h/2) = f (+ h/2) = f (4.25) = (4.25*4.25*sin (4.25))/10 = -1.62.

Для i = 2 имеем + h/2 = + h/2 = a + (i-0.5)*h = 4 + (1-0.5) = 4.75. Находим соответствующее значение функции f (+h/2) = f (+ h/2) = f (4.75) = (4.75*sin (4.75))/10 = -2.26.

И так продолжаем вычисления до i = 10.

Подставляем полученные значения в формулу прямоугольников:

= h* = 0.5*(-1.6165 - 2.2546 - 2.3674 - 1.6804 - 0.1296 + 2.0505 + 4.3263 + 5.9738 + 6.2794 + 4.7830) = 7.6821

Первообразная -0.1*+0.2*x*sin(x)+0.2*cos(x) подынтегральной функции f(x) = была найдена интегрированием по частям.

2. Метод трапеций

Величина определенного интеграла численно равна площади фигуры, образованной графиком функции и осью абсцисс (геометрический смысл определенного интеграла). Следовательно, найти - это значит оценить площадь фигуры, ограниченной перпендикулярами, восстановленными к графику подынтегральной функции f(x) из точек a и b, расположенных на оси аргумента x.

Для решения задачи разобьем интервал [a, b] на n одинаковых участков. Длина каждого участка будет равна h=(b-a)/n (см. рис.).

Восстановим перпендикуляры из каждой точки до пересечения с графиком функции f(x). Если заменить полученные криволинейные фрагменты графика функции отрезками прямых, то тогда приближенно площадь фигуры, а следовательно и величина определенного интеграла оценивается как площадь всех полученных трапеций. Обозначим последовательно значения подынтегральных функций на концах отрезков f₀, f₁, f₂,…, f_n и подсчитаем площадь трапеций

В общем случае формула трапеций принимает вид

где f_i - значение подынтегральной функции в точках разбиения интервала (a, b) на равные участки с шагом h; f₀, f_n - значения подынтегральной функции соответственно в точках a и b.

Остаточный член пропорционален длине интервала [a, b] и квадрату шага h

R = - (((b-a)*h^2)/12) * f``(?), a <= ? <= b

Согласно рис. и формуле остаточного члена, точность вычисления определенного интеграла повышается с уменьшением шага h (увеличением числа отрезков n).

Пример метода трапеций в численных задачах:

Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле трапеций. Результаты округлить до трёх знаков после запятой.

а) Разбив отрезок интегрирования на 3 части.

б) Разбив отрезок интегрирования на 5 частей.

Решение:

а) Для начала посмотрим на чертеж с разбиением графика на 3 части:

По условию отрезок интегрирования нужно разделить на 3 части, то есть n=3.

Вычислим длину каждого отрезка разбиения: h = (b-a)/n = (5-2)/3 = 1.

Точек xi будет на одну больше, чем количество отрезков:

Таким образом, общая формула трапеций сокращается до приятных размеров:



Для расчетов можно использовать обычный микрокалькулятор:

Обратим внимание, что, в соответствии с условием задачи, все вычисления следует округлять до 3-его знака после запятой.

Окончательно:

Полученное значение - это приближенное значение площади (см. рисунок выше).

б) Разобьём отрезок интегрирования на 5 равных частей, то есть n = 5. Увеличивая количество отрезков, мы увеличиваем точность вычислений.

Если n=5, то формула трапеций принимает следующий вид:

Найдем шаг разбиения: h = (b-a)/n = (5-2)/5 = 0.6, то есть, длина каждого промежуточного отрезка равна 0,6.

При чистовом оформлении задачи все вычисления удобно оформлять расчетной таблицей:



В первой строке записываем «счётчик»

Формируем вторую строку: сначала записываем нижний предел интегрирования a==2, остальные значения получаем, последовательно приплюсовывая шаг h=0.6.

Далее заполняю нижнюю строку: Например, если x3=3.8, то f (3,8) = 1/ ln (3,8) = 0.749.

В результате:

Уточнение, действительно, есть, и, я бы сказал, достаточно большое:

Если для 3-х отрезков разбиения = 2,664, то для 5-ти отрезков = 2,617. Таким образом, с большой долей уверенности можно утверждать, что, по крайне мере .

многочлен интеграл трапеция

3. Метод парабол (Симпсона)

Суть метода, формула, оценка погрешности.

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и нам требуется вычислить определенный интеграл .

Разобьем отрезок [a, b] на n элементарных

отрезков [;], i = 1., n длины 2*h = (b-a)/ n точками

a = < < < < = b. Пусть точки , i = 1., n являются серединами отрезков [;], i = 1., n соответственно. В этом случае все «узлы» определяются из равенства = a + i*h, i = 0,1., 2*n.

На каждом интервале [;], i = 1,2., n подынтегральная функция

приближается квадратичной параболой y = a* + b*x + c, проходящей через точки (; f ()), (; f ()), (; f ()). Отсюда и название метода - метод парабол.

Это делается для того, чтобы в качестве приближенного значения определенного интеграла взять , который мы можем вычислить по формуле Ньютона-Лейбница. В этом и заключается суть метода парабол.

Вывод Формулы Симпсона.

?

Для получения формулы метода парабол (Симпсона) нам осталось вычислить

Пусть .

Покажем, что через точки (; f ()), (; f ()), (; f ()) проходит только одна квадратичная парабола y = a* + b*x + c. Другими словами, докажем, что коэффициенты , , определяются единственным образом.

Так как (; f ()), (; f ()), (; f ()) - точки параболы, то справедливо каждое из уравнений системы

Записанная система уравнений есть система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных переменных , , . Определителем основной матрицы этой системы уравнений является определитель Вандермонда , а он отличен от нуля для несовпадающих точек ,,. Это указывает на то, что система уравнений имеет единственное решение (об этом говорится в статье решение систем линейных алгебраических уравнений), то есть, коэффициенты , , определяются единственным образом, и через точки (; f ()), (; f ()), (; f ()) проходит единственная квадратичная парабола.

Перейдем к нахождению интеграла .

Очевидно:

f () = f(0) = + + =

f () = f(h) = + +

f () = f (2*h) = + +

Используем эти равенства, чтобы осуществить последний переход в следующей цепочке равенств:

= = (++) = h/3*(f ()+4*f ()+f ())

Таким образом, можно получить формулу метода парабол:

.

Пример метода Симпсона.

Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле Симпсона с точностью до 0,001. Разбиение начать с двух отрезков

Интеграл, кстати, не берущийся.

Решение: Сразу обращаю внимание на тип задания - необходимо вычислить определенный интеграл с определенной точностью. Как и для метода трапеций, существует формула, которая сразу позволит определить нужное количество отрезков, чтобы гарантированно достичь требуемой точности. Правда, придётся находить четвертую производную и решать экстремальную задачу. На практике практически всегда используется упрощенный метод оценки погрешности.

Начинаю решать. Если у нас два отрезка разбиения , то узлов будет на один больше: , , . И формула Симпсона принимает весьма компактный вид:

Вычислим шаг разбиения:

Заполним расчетную таблицу:



В верхнюю строку записываем «счётчик» индексов

Во второй строке сначала пишем нижний предел интегрирования a = = 1.2, а затем последовательно приплюсовываем шаг h = 0.4.

В третью строку заносим значения подынтегральной функции. Например, если = 1.6, то . Сколько оставлять знаков после запятой? Действительно, в условии опять об этом ничего не сказано. Принцип тот же, что и в методе трапеций, смотрим на требуемую точность: 0,001. И прибавляем дополнительно 2-3 разряда. То есть, округлять нужно до 5-6 знаков после запятой.

В результате:

Первичный результат получен. Теперь удваиваем количество отрезков до четырёх: . Формула Симпсона для данного разбиения принимает следующий вид:

Вычислим шаг разбиения:

Заполним расчетную таблицу:



Таким образом:

Оцениваем погрешность:

Погрешность больше требуемой точности: 0,002165 > 0,001, поэтому необходимо еще раз удвоить количество отрезков: .

Формула Симпсона становится больше:

Вычислим шаг:

И снова заполним расчетную таблицу:

Таким образом:

Заметим, что здесь вычисления желательно уже расписать более подробно, поскольку формула Симпсона достаточно громоздка:

Оцениваем погрешность:

Погрешность меньше требуемой точности: 0,000247 < 0,001. Осталось взять наиболее точное приближение , округлить его до трёх знаков после запятой и записать:

Ответ:

с точностью до 0,001.



Заключение

По моему мнению, исходя из выше изложенного, метод прямоугольников самый лёгкий и быстрый для решения задач, метод Симпсона - самый сложный к пониманию и решению, но в то же время самый точный для вычисления. Как мы увидели, в методе прямоугольников, в отличии от остальных, получается большая погрешность, что не совсем корректно для решения определённого типа задач. Также, данные методы используются для вычисления определенных интегралов на компьютерах (написании программ по этим методам). При написании программ на компьютере для вычисления определенного интеграла, также, самым быстрым и удобным - является метод прямоугольников, а самым трудоёмким - метод Симпсона. Самый оптимальный метод - метод трапеций, т.к. в отличии от метода прямоугольников - погрешность меньше, а в отличии от метода Симпсона - проще в понимании и применении к определённым интегралам.



Список литературы

1. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. - «Математический анализ. Начальный Курс»;

2. Демидович Б.П. - «Сборник задач по математическому анализу»;

3. Ильин В.А., Ким Г.Д. - «Линейная Алгебра».

Размещено на Allbest.ru

...