Теорія ймовірностей та математична статистика

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Кафедра вищої та прикладної математики

КУРСОВА РОБОТА

«Теорія ймовірностей та математична статистика»

Черкаси 2016

Вступ

Теорія ймовірності -- розділ математики, що вивчає закономірності випадкових явищ: випадкові події, випадкові величини, їхні функції, властивості й операції над ними. Математичні моделі в теорії ймовірності описують з деяким ступенем точності випробування (експерименти, спостереження, вимірювання), результати яких неоднозначно визначаються умовами випробування.

Математичним апаратом теорії ймовірності є комбінаторика та теорія міри.

Теорія ймовірностей виникла і спершу розвивалася як прикладна дисципліна (зокрема, для розрахунків в азартних іграх). Пов'язана з іменами Х. Гюйґенса, Б. Паскаля, П.Ферма. Своїм теоретичним обґрунтуванням зобов'язана Я. Бернуллі, П. Лапласу, П.Л. Чебишову, А.М.Ляпунову.[1] Систему аксіом теорії ймовірностей сформулював А.М. Колмогоров. Теорія ймовірностей є підґрунтям математичної статистики. Широко вживається для опису й вивчення різноманітних технологічних процесів зважаючи на їх стохастичність.

Розрахунок ймовірності складніших подій - це складне завдання, потребує визначення чисел всіх можливих комбінацій появи цих подій. Такими розрахунками займається спеціальна наука - комбінаторика. Тому на згадуваній практиці часто використовується статистичне визначення ймовірності.

Перші письмові свідчення (960 р.) про кількісне вимірювання можливості появи випадкової події належать єпископу Віболду з міста Камбре.

Виникнення теорії ймовірностей як науки. У цей період виробляються перші специфічні поняття, такі, як математичне очікування. Установлюються перші теореми-теореми додавання й множення ймовірностей. Початок цього періоду пов'язане з іменами Паскаля, Ферма, Гюйгенса. Цей період триває від середини XVII в. до початку XVIII в. У цей час теорія ймовірностей знаходить свої перші застосування в демографії, страховій справі, в оцінці помилок спостереження.

Наступний період починається з появи роботи Я. Бернуллі «Мистецтво припущення» (1713 р.). Це перша робота, у якій була строго доведена гранична теорема - найпростіший випадок закону більших чисел. Теорема Бернуллі дала можливість широко застосовувати теорію ймовірностей до статистики. До цього періоду ставляться роботи Муавра, Лапласа, Гаусса, Пуассона й ін.; теорія ймовірностей починає застосовуватися в різних областях природознавства. Центральне місце в цьому періоді займають граничні теореми.

Наступний період розвитку теорії ймовірностей зв'язаний, насамперед, з росіянці (Петербурзької) школою. Тут можна назвати такі імена, як Чебишев П.Л., Марков А.А., Ляпунов А.М. У цей період поширення закону більших чисел і центральної граничної теореми на різні класи випадкових величин досягає своїх природних границь. Закони теорії ймовірностей стали застосовуватися до залежних випадкових величин. Все це дало можливість прикласти теорію ймовірностей до багатьом розділам природознавства, у першу чергу - до фізики. Виникає статистична фізика, що розвивається у взаємозв'язку з теорією ймовірностей.

Сучасний період розвитку теорії ймовірностей почався із установлення аксіоматики. Цього в першу чергу вимагала практика, тому що для успішного застосування теорії ймовірностей до фізики, біології й іншим галузям науки, а також до техніки й військової справи необхідно було уточнити й привести в струнку систему її основні поняття. Завдяки аксіоматиці теорія ймовірностей стала абстрактно-дедуктивною математичною дисципліною, тісно пов'язаної з теорією множин, а через неї-з іншими математичними дисциплінами. Це обумовило небувалу широту досліджень по теорії ймовірностей, починаючи від хазяйновито - прикладних питань і закінчуючи самими тонкими питаннями кібернетики. Перші роботи цього періоду пов'язані з іменами Бернштейна, Мизеса, Бореля.

Остаточне встановлення аксіоматики відбулося в 30-е роки XX в., коли була опублікована, і одержала загальне визнання аксіоматика А.Н. Колмогорова.

Функції від одного випадкового аргументу. Композиція законів розподілу

Функцією випадкового аргументу Х називають таку випадкову величину Y, яка набуває значення Y = у = (х) щоразу, коли Х = х, де є невипадковою функцією. Якщо Х є дискретною випадковою величиною, то і функція випадкового аргументу Y = (х) буде дискретною.

Коли Х є неперервною випадковою величиною, то і Y = (х) буде неперервною.

Нехай закон дискретної випадкової величини Х задано таблицею:

Тоді закон розподілу випадкової величини Y = (х) матиме такий вигляд:

де кожне можливе значення Y дістають, виконуючи ті операції, які вказані в невипадковій функції, умовно позначеній б.

При цьому, якщо в законі розподілу випадкової величини Y є повторення значень, то кожне з цих значень записують один раз, додаючи їх імовірності.

Особливості законів розподілу випадкових похибок вимірювань полягають в їх великій кількості.

Дана обставина пояснюється тим, що результуюча похибка засобу вимірювальної техніки є сумою декількох складових.

Якщо ці складові розглядати як випадкові величини, то сумування складових похибок зводиться до сумування випадкових величин.

Але під час сумування випадкових величин закон їх розподілу суттєво змінюють свою форму.

Закон розподілу суми незалежних випадкових величин , що мають відповідні розподілиі, називається композицією і представляється інтегралом згортки

Функцією випадкового аргументу Х називають таку випадкову величину Y, яка набуває значення Y = у =(х) щоразу, коли Х = х, де є невипадковою функцією. Якщо Х є дискретною випадковою величиною, то і функція випадкового аргументу Y = (х) буде дискретною.

Коли Х є неперервною випадковою величиною, то і Y = (х) буде неперервною.

Приклад 1.

Закон розподілу дискретної випадкової величини Х задано таблицею:

Х = хi- 4-2-1124Р(X = хi) = рi0,10,20,10,10,20,3

Побудувати закон розподілу ймовірностей для Y = 3х2.

Розв'язання. Iз функціональної залежності Y = 3х2 маємо:

Y = 3хi216411416Р(у = 3хi2) = рi0,10,20,10,10,20,3Ураховуючи повтори можливих значень Y, дістаємо:

Р (у = 16) = 0,1 + 0,3 = 0,4;

Р (у = 4) = 0,2 + 0,2 = 0,4;

Р (у = 1) = 0,1 + 0,1 = 0,2.

Отже, закон розподілу дискретної випадкової величини Y набирає такого вигляду:

Y = уj1416Р (у = уj) = рj0,20,40,42

Числові характеристики функції дискретного випадкового аргументу

1. Математичне сподівання(190)

2. Дисперсія (191)

3. Середнє квадратичне відхилення (192)

Якщо кожному можливому значенню випадкової величини відповідає одне можливе значення випадкової величини , то називають функцією випадкового аргументу і позначають.

Якщо -- дискретна випадкова величина і функція -- монотонна, то різним значенням відповідають різні значення , причому ймовірності відповідних значень і будуть однакові. Іншими словами, і .

Якщо ж -- не монотонна функція, то різним значенням можуть відповідати однакові значення . В цьому випадку для знаходження ймовірностей можливих значень потрібно скласти ймовірності тих значень , при яких набуває однакових значень.

Якщо -- неперервна випадкова величина і функція -- монотонно зростає, неперервна і диференційовна при , то існує функція -- обернена до функції .

Якщо функція немонотонна, тобто обернена функція неоднозначна, то весь інтервал зміни значень функції розбиваємо на інтервали монотонності і для знаходження підсумовуємо за формулою по всіх інтервалах монотонності. Практичне значення має випадок, коли складові системи незалежні, тобто:

.

Тоді говорять про композицію законів розподілу.

Виведемо формулу для композиції двох законів розподілу. Нехай - незалежні випадкові величини (), тоді щільність розподілу суми , враховуючи (18), знаходиться за формулами

Тут підінтегральні вирази означають згортку функцій і .

ймовірність наука теорія математичний

Виконання практичних задач. Короткі теоретичні відомості

Теорему Муавра-Лапласа. Якщо ймовірність p появи події На кожному випробуванні постійна і відрізняється від нуля і одиниці, то можливість, що подія А з'явиться в n випробуваннях рівно k раз, наближено равна(тем точніше, що більше n) значенням функції.

,

Доведення.

Нехай _ число появи події А в і-тому досліді.

Тоді

, .

Тобто може приймати тільки два значення 0 або 1, то для будь-якого i маємо

Величина прямує до нескінченності при .

Отже, послідовність випадкових величин задовольняє умови теорії Ляпунова. Тому сума цих величин для достатньо великих n має розподіл, близький до нормального, що і потрібно було довести.

Задача 1) Імовірність появи події в кожному з 10000 незалежних випробуваннях дорівнює 0,75. Знайти таке додатне число е, щоб з імовірністю 0,98 абсолютна величина відхилення відносної частоти появи події від її ймовірності 0,75 не перевищила .

Размещено на Allbest.ur