Усовершенствование метода ортогональной прогонки С.К. Годунова для решения краевых задач с жесткими обыкновенными дифференциальными уравнениями
Методика выполнения построчного ортонормирования матричного уравнения краевых условий на левом участке. Характеристика специфических особенностей осуществления замены метода численного интегрирования Рунге-Кутта в алгоритме прогонки С.К. Годунова.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 26.06.2016 |
| Размер файла | 21,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru
Размещено на http://www.allbest.ru
Предположим, что рассматривается оболочка ракеты. Это тонкостенная труба. Тогда система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений будет 8-го порядка, матрица коэффициентов будет иметь размерность 8х8, искомая вектор-функция будет иметь размерность 8х1, а матрицы краевых условий будут прямоугольными горизонтальными размерности 4х8.
Тогда в методе прогонки С.К. Годунова для такой задачи решение ищется в следующем виде:
,
или можно записать в матричном виде:
,
где векторы - это линейно независимые вектора-решения однородной системы дифференциальных уравнений, а вектор - это вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений. Здесь это матрица размерности 8х4, а это соответствующий вектор размерности 4х1 из искомых констант .
Но вообще-то решение для такой краевой задачи с размерностью 8 (вне рамок метода прогонки С.К. Годунова) может состоять не из 4 линейно независимых векторов , а полностью из всех 8 линейно независимых векторов-решений однородной системы дифференциальных уравнений:
И как раз трудность и проблема метода прогонки С.К. Годунова и состоит в том, что решение ищется только с половиной возможных векторов и констант и проблема в том, что такое решение с половиной констант должно удовлетворять условиям на левом крае (стартовом для прогонки) при всех возможных значениях констант, чтобы потом найти эти константы из условий на правом крае.
То есть в методе прогонки С.К. Годунова есть проблема нахождения таких начальных значений векторов , чтобы можно было начать прогонку с левого края =0, то есть чтобы удовлетворялись условия на левом крае при любых значениях констант .
Обычно эта трудность «преодолевается» тем, что дифференциальные уравнения записываются не через функционалы, а через физические параметры и рассматриваются самые простейшие условия на простейшие физические параметры, чтобы начальные значения можно было угадать. То есть задачи со сложными краевыми условиями так решать нельзя: например, задачи с упругими условиями на краях.
Ниже предлагается формула для начала вычислений методом прогонки С.К. Годунова.
Выполним построчное ортонормирование матричного уравнения краевых условий на левом крае:
,
где матрица прямоугольная и горизонтальная размерности 4х8.
В результате получим эквивалентное уравнение краевых условий на левом крае, но уже с прямоугольной горизонтальной матрицей размерности 4х8, у которой будут 4 ортонормированные строки:
,
где в результате ортонормирования матрицы вектор преобразован в вектор .
Дополним прямоугольную горизонтальную матрицу до квадратной невырожденной матрицы :
,
где матрица размерности 4х8 должна достраивать матрицу до невырожденной квадратной матрицы размерности 8х8.
В качестве строк матрицы можно взять те краевые условия, то есть выражения тех физических параметров, которые не входят в параметры левого края или линейно независимы с ними. Это вполне возможно, так как у краевых задач столько независимых физических параметров какова размерность задачи, то есть в данном случае их 8 штук и если 4 заданы на левом крае, то ещё 4 можно взять с правого края.
Завершим ортонормирование построенной матрицы , то есть выполним построчное ортонормирование и получим матрицу размерности 8х8 с ортонормированными строками:
.
Можем записать, что:
.
Тогда, подставив в формулу метода прогонки С.К. Годунова, получим:
Или:
.
Подставим эту последнюю формулу в краевые условия и получим:
.
Отсюда получаем, что на левом крае константы уже не на что не влияют, так как:
и остается только найти вектор из выражения:
.
Но матрица имеет размерность 4х8 и её надо дополнить до квадратной невырожденной, чтобы найти вектор из решения соответствующей системы линейных алгебраических уравнений:
,
где - любой вектор, в том числе вектор из нулей.
Отсюда получаем при помощи обратной матрицы:
.
Тогда итоговая формула для начала вычислений методом прогонки С.К. Годунова имеет вид:
.
Второй алгоритм для начала счета методом прогонки С.К. Годунова.
Этот алгоритм требует дополнения матрицы краевых условий до квадратной невырожденной:
.
Начальные значения находятся из решения следующих систем линейных алгебраических уравнений:
,
где - вектор из нулей размерности 4х1.
Замена метода численного интегрирования Рунге-Кутта в методе прогонки С.К. Годунова.
В методе С.К. Годунова, как показано выше, решение ищется в виде:
численный ортонормирование матричный интегрирование
.
На каждом конкретном участке метода прогонки С.К.Годунова между точками ортогонализации можно вместо метода Рунге-Кутта пользоваться теорией матриц и выполнять расчет через матрицу Коши:
.
Так выполнять вычисления быстрее, особенно для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, так как в случае постоянных коэффициентов достаточно вычислить один раз матрицу Коши на малом участке и в последующем лишь умножать на эту однажды вычисленную матрицу Коши.
И аналогично через теорию матриц можно вычислять и вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений. Или для этого вектора отдельно можно использовать метод Рунге-Кутта, то есть можно комбинировать теорию матриц и метод Рунге-Кутта.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Формула для начала счета методом прогонки С.К. Годунова. Метод дополнительных краевых условий. Второй вариант метода переноса краевых условий в произвольную точку интервала интегрирования. Метод переноса в произвольную точку интервала интегрирования.
методичка [325,0 K], добавлен 13.07.2010Составление диагональной системы способом прогонки, нахождение решения задачи Коши для дифференциального уравнения на сетке методом Эйлера и классическим методом Рунге-Кутта. Построение кубического сплайна интерполирующей функции равномерного разбиения.
практическая работа [46,1 K], добавлен 06.06.2011Градиентные уравнения и уравнения в вариациях, функционалы метода наименьших квадратов. Численное решение градиентных уравнений: полиномиальные системы, метод рядов Тейлора и метод Рунге-Кутта. Числовые модели осциллирующих процессов в живой природе.
реферат [221,4 K], добавлен 10.08.2010Изучение численно-аналитического метода решения краевых задач математической физики на примере неоднородной задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Численная реализация вычислительного метода и вычислительного эксперимента, особенности их оформления.
практическая работа [332,7 K], добавлен 28.01.2014Параллельные методы решения систем линейных уравнений с ленточными матрицами. Метод "встречной прогонки". Реализация метода циклической редукции. Применение метода Гаусса к системам с пятидиагональной матрицей. Результаты численного эксперимента.
курсовая работа [661,7 K], добавлен 21.10.2013Аналитическое и компьютерное исследования уравнения и модели Ван-дер-Поля. Сущность и особенности применения методов Эйлера и Рунге-Кутта 4 порядка. Сравнение точности метода Эйлера и Рунге-Кутта на одном графике, рисуя фазовые траектории из 1 точки.
курсовая работа [341,7 K], добавлен 06.10.2012Последовательность решения линейной краевой задачи. Особенности метода прогонки. Алгоритм метода конечных разностей: построение сетки в заданной области, замена дифференциального оператора. Решение СЛАУ методом Гаусса, конечно-разностные уравнения.
контрольная работа [366,5 K], добавлен 28.07.2013Основные методы Рунге-Кутта: построение класса расчетных формул. Расчетная формула метода Эйлера. Получение различных методов Рунге-Кутта с погрешностью второго порядка малости при произвольном задавании параметров. Особенности повышения порядка точности.
реферат [78,4 K], добавлен 18.04.2015Решение первой задачи, уравнения Пуассона, функция Грина. Краевые задачи для уравнения Лапласа. Постановка краевых задач. Функции Грина для задачи Дирихле: трехмерный и двумерный случай. Решение задачи Неймана с помощью функции Грина, реализация на ЭВМ.
курсовая работа [132,2 K], добавлен 25.11.2011Численное решение уравнения методом Эйлера и Рунге-Кутта в Excel. Программа на языке Turbo Pascal. Блок-схема алгоритма. Метод Рунге-Кутта для дифференциального уравнения второго порядка. Модель типа "хищник-жертва" с учетом внутривидового взаимодействия.
курсовая работа [391,5 K], добавлен 01.03.2012Изучение методов Рунге-Кутты четвертого порядка с автоматическим выбором длины шага интегрирования для решения дифференциальных уравнений. Оценка погрешности и сходимость методов, оптимальный выбор шага. Листинг программы для ЭВМ, результаты, иллюстрации.
курсовая работа [2,9 M], добавлен 14.09.2010Понятия и термины вариационного исчисления. Понятие функционала, его первой вариации. Задачи, приводящие к экстремуму функционала, условия его минимума. Прямые методы вариационного исчисления. Практическое применение метода Ритца для решения задач.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 08.04.2015Использование метода конечных разностей для решения краевой задачи уравнений с частными производными эллиптического типа. Графическое определение распространения тепла методом конечно-разностных аппроксимаций производных с применением пакета Mathlab.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 06.07.2011Постановка начально-краевых задач фильтрации суспензии с нового кинетического уравнения при учете динамических факторов различных режимов течения. Построение алгоритмов решения задач, составление программ расчетов, получение численных результатов на ЭВМ.
диссертация [1,1 M], добавлен 19.06.2015Общая характеристика и особенности двух методов решения обычных дифференциальных уравнений – Эйлера первого порядка точности и Рунге-Кутта четвёртого порядка точности. Листинг программы для решения обычного дифференциального уравнения в Visual Basic.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 04.06.2010Численное решение дифференциальных уравнений с помощью многошагового метода прогноза и коррекции Милна. Суммарная ошибка метода Милна. Применение метода Рунге-Кутта для нахождения первых значений начального отрезка. Абсолютная погрешность значения.
контрольная работа [694,0 K], добавлен 27.02.2013Обзор краевых задач для уравнения смешанного эллептико-гиперболического типа. Доказательство существования единственного решения краевой задачи для одного уравнения гиперболического типа со специальными условиями сопряжения на линии изменения типа.
контрольная работа [253,5 K], добавлен 23.04.2014Метод Гаусса, метод прогонки, нелинейное уравнение. Метод вращения Якоби. Интерполяционный многочлен Лагранжа и Ньютона. Метод наименьших квадратов, интерполяция сплайнами. Дифференцирование многочленами, метод Монте-Карло и Рунге-Кутты, краевая задача.
курсовая работа [4,8 M], добавлен 23.05.2013Сущность методов сведения краевой задачи к задаче Коши и алгоритмы их реализации на ПЭВМ. Применение метода стрельбы (пристрелки) для линейной краевой задачи, определение погрешности вычислений. Решение уравнения сшивания для нелинейной краевой задачи.
методичка [335,0 K], добавлен 02.03.2010Вычисление приближенных величин и погрешностей. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений, интерполяция функций и методы численного интегрирования. Применение метода наименьших квадратов к построению эмпирических функциональных зависимостей.
курсовая работа [378,5 K], добавлен 08.01.2013
