Интеграл Лебега. Свойства интеграла
Понятие и сущность интеграла Лебега как обобщение интеграла Римана на широкий класс функций. Определение и свойства интеграла Лебега: линейность, возможность безотказного перехода к пределу. Сходимость интегралов Лебега от последовательностей функций.
| Рубрика | Математика |
| Вид | эссе |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 30.06.2016 |
| Размер файла | 107,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство образования и науки Российской Федерации
ФГБОУ ВПО
Российский государственный геологоразведочный университет имени Серго Орджоникидзе
МГРИ-РГГРУ
Геофизический факультет
Кафедра математики
Эссе
по теме:
Интеграл Лебега. Свойства интеграла
Москва 2015
Понятие интеграла Лебега
Рассмотрим, как связаны между собою мера множеств и интеграл Лебега. Пусть -- какое-либо измеримое множество, расположенное та некотором отрезке . Построим функцию равную 1 для , принадлежащих , и равную 0 для , не принадлежащих . Иными словами, зададим функцию
Функцию принято называть характеристической функцией множества . Рассмотрим интеграл:
Мы уже привыкли считать, что интеграл равен площади фигуры , ограниченной осью абсцисс, прямыми и кривой . Так как в данном случае "высота" фигуры отлична от нуля и равна 1 для точек и только для этих точек, то (согласно формуле, площадь равна длине, умноженной на ширину) её площадь должна быть численно равна длине (мере) множества . Итак, должно быть равно мере множества
Именно так и определяет интеграл Лебега от функции .
Мы должны твердо уяснить себе, что равенство (1) является определением интеграла как интеграла Лебега. Может случиться, что интеграл не будет существовать в том смысле, как это понималось для интеграла Римана, т.е. как предел интегральных сумм. Даже если это последнее имеет место, интеграл как интеграл Лебега существует и равен .
В качестве примера подсчитаем интеграл от функции Дирихле , равной 0 в рациональных точках отрезка [0, 1] и равной 1 в иррациональных точках этого отрезка. Так как, согласно (5), мера множества иррациональных точек отрезка [0, 1] равна 1, то интеграл Лебега равен 1. Нетрудно проверить, что интеграл Римана от этой функции не существует.
Пусть теперь -- произвольная ограниченная измеримая функция, заданная на отрезке . Покажем, что всякую такую функцию можно сколь угодно точно представить в виде линейной комбинации характеристических функций множеств. Чтобы убедиться в этом, разобьем отрезок оси ординат между нижней и верхней гранями значений функции и точками , на отрезки длины меньшей , где -- произвольное фиксированное положительное число. Далее, если в точке
то положим в этой точке
а если в точке то положим
В любой точке отрезка
Кроме того, так как функция принимает лишь конечное число значений , то её можно записать в виде
интеграл лебег функция предел
(2)
где -- характеристическая функция того множества, где , т. е. (в каждой точке лишь одно слагаемое в правой части формулы (2) отлично от нуля!).
Определение интеграла Лебега
Переходим к определению интеграла Лебега от произвольной ограниченной измеримой функции. Так как функция мало отличается от функции , то в качестве приближенного значения интеграла от функции можно принять интеграл от функции . Но, замечая, что функции являются характеристическими функциями множеств, и пользуясь формально обычными правилами вычисления интеграла, получаем
где есть мера множества тех , для которых выполняется неравенство .
Итак, приближенным значением интеграла Лебега от функции является интегральная сумма Лебега
В соответствии с этим интеграл Лебега определяется как предел интегральных сумм Лебега , когда
что соответствует равномерной сходимости функций к функции .
Можно показать, что интегральные суммы Лебега имеют предел для любой ограниченной измеримой функции, т.е. любая ограниченная измеримая функция интегрируема по Лебегу. Интеграл Лебега можно также распространить на некоторые классы неограниченных измеримых функций, но мы не будем этим заниматься.
Свойства интеграла Лебега
Интеграл Лебега обладает всеми хорошими свойствами обычного интеграла, именно, интеграл от суммы равен сумме интегралов, постоянный множитель можно выносить за знак интеграла и т.д. Однако интеграл Лебега обладает еще одним замечательным свойством, которым обычный интеграл не обладает: если измеримые функции ограничены в совокупности:
для любого и любого из отрезка и последовательность сходится почти всюду к функции , то
Иными словами, интеграл Лебега допускает безотказный переход к пределу. Именно это свойство интеграла Лебега делает его весьма удобным, а часто и неизбежным инструментом во многих исследованиях. В частности, интеграл Лебега совершенно необходим в теории тригонометрических рядов, в теории функциональных пространств и других разделах математики.
Приведем пример. Пусть -- периодическая функция с периодом и
-- ее ряд Фурье.
Если, например, функция непрерывна, то, как нетрудно показать,
Это тождество носит название равенства Парсеваля.
Рассмотрим такой вопрос: для какого класса периодических функций справедливо равенство Парсеваля (3)? Ответ на этот вопрос гласит: равенство Парсеваля (3) выполняется в том и только в том случае, если функция измерима на отрезке и функция интегрируема по Лебегу на этом отрезке.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Понятие интеграла Стилтьеса. Общие условия существования интеграла Стилтьеса, классы случаев его существования и предельный переход под его знаком. Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана. Применение в теории вероятностей и квантовой механике.
дипломная работа [848,9 K], добавлен 20.07.2009Необходимое и достаточное условие существования определенного интеграла. Равенство определенного интеграла от алгебраической суммы (разности) двух функций. Теорема о среднем – следствие и доказательство. Геометрический смысл определенного интеграла.
презентация [174,5 K], добавлен 18.09.2013Понятие интеграла Римана, анализ его определений. Интеграл как предела интегральных сумм Римана, единственное число, разделяющее верхние и нижние суммы Дарбу. Интеграл от непрерывной функции как приращение первообразной (формула Ньютона-Лейбница).
курсовая работа [2,2 M], добавлен 30.10.2015История интегрального исчисления. Определение и свойства двойного интеграла. Его геометрическая интерпретация, вычисление в декартовых и полярных координатах, сведение его к повторному. Применение в экономике и геометрии для вычисления объемов и площадей.
курсовая работа [2,7 M], добавлен 16.10.2013Определение криволинейного интеграла по координатам, его основные свойства и вычисление. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Вычисление площадей фигур с помощью двойного интеграла. Использование формулы Грина.
контрольная работа [257,4 K], добавлен 23.02.2011Понятие нормированного пространства. Пространства суммируемых функций. Интеграл Лебега-Стилтьеса. Интерполяция в пространствах суммируемых функций. Теорема Марцинкевича и ее применение. Пространства суммируемых последовательностей.
дипломная работа [354,0 K], добавлен 08.08.2007Вычисление интеграла, выполнение интегрирования по частям. Применение метода неопределенных коэффициентов, приведение уравнения к системе. Введение вспомогательных функций в процессе поиска решения уравнения и вычисления интеграла, разделение переменных.
контрольная работа [617,2 K], добавлен 08.07.2011Задача численного интегрирования функций. Вычисление приближенного значения определенного интеграла. Нахождение определенного интеграла методами прямоугольников, средних прямоугольников, трапеций. Погрешность формул и сравнение методов по точности.
методичка [327,4 K], добавлен 01.07.2009Определение определенного интеграла, его свойства. Длина дуги кривой. Площадь криволинейной трапеции. Площадь поверхности вращения. Площади фигур, ограниченных графиками функций, ограниченных линиями, заданными уравнениями. Вычисление объемов тел.
контрольная работа [842,6 K], добавлен 10.02.2017Понятие первообразной функции, теорема о первообразных. Неопределенный интеграл, его свойства и таблица. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл и основные свойства. Производная определенного интеграла и формула Ньютона-Лейбница.
курсовая работа [232,5 K], добавлен 21.10.2011Способы вычисления интегралов. Формулы и проверка неопределенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции. Неопределенный, определенный и сложный интеграл. Основные применения интегралов. Геометрический смысл определенного и неопределенного интегралов.
презентация [1,2 M], добавлен 15.01.2014Алгоритм вычисления интегральной суммы для функции нескольких переменных по кривой АВ. Определение понятия криволинейного интеграла второго рода. Представление суммы интегралов двух функций вдоль кривой АВ как криволинейного интеграла общего вида.
презентация [69,4 K], добавлен 17.09.2013Вычисление двойного интеграла в прямоугольных координатах. Замена переменных в двойном интеграле. Аналог формул прямоугольников и формулы трапеции. Теорема существования двойного интеграла, его геометрический и физический смысл и основные свойства.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 13.02.2013Понятие двойного интеграла, условия его существования, свойства и методы вычисления: сведение двойного интеграла к повторному для прямоугольной и криволинейной областей; двойной интеграл в полярных координатах; замена переменных; вычисление объемов тел.
контрольная работа [321,9 K], добавлен 21.07.2013Определение двойного интеграла, его геометрический смысл, свойства, область интегрирования. Условия существования двойного интеграла, его сведения к повторному; формула преобразования при замене переменных, геометрические и физические приложения.
презентация [1,5 M], добавлен 18.03.2014Понятие интеграла. Приложения двойных интегралов к задачам механики: масса плоской пластинки переменной плотности; статические моменты и центр тяжести пластинки; моменты инерции пластинки. Вычисление площадей и объёмов с помощью двойных интегралов.
реферат [508,3 K], добавлен 16.06.2014Математическое обоснование алгоритма вычисления интеграла. Принцип работы метода Монте–Карло. Применение данного метода для вычисления n–мерного интеграла. Алгоритм расчета интеграла. Генератор псевдослучайных чисел применительно к методу Монте–Карло.
курсовая работа [100,4 K], добавлен 12.05.2009Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, как предел интегральной суммы. Связь между определенным и неопределенным интегралами. Формула Ньютона-Лейбница. Геометрический и механический смысл определенного интеграла.
реферат [576,4 K], добавлен 30.10.2010Специфика декартовых координат и способ их использования при вычислении двойного интеграла, сведенного к повторному интегрированию. Примеры решения задач и особенности определения тройного интеграла в системе цилиндрических и сферических координат.
презентация [69,7 K], добавлен 17.09.2013Способы определения точного значения интеграла по формуле Ньютона-Лейбница и приближенного значения интеграла по формуле трапеций. Порядок нахождения координаты центра тяжести однородной плоской фигуры ограниченной кривой, особенности интегрирования.
контрольная работа [459,6 K], добавлен 16.04.2010
