Замечательные неравенства

Размещено на http://www.allbest.ru/

Тема "Замечательные неравенства"



Содержание

Глава 1. Теоретическая часть

1.1 Средние величины. Классические неравенства. Неравенство Коши

1.2 Доказательство неравенств методом «от противного»

1.3 Доказательство неравенств методом математической индукции

Глава 2. Практическая часть

2.1 Неравенство Коши-Буняковского

2.2 Решение уравнений с помощью замечательных неравенств

2.3 Использование неравенства Коши-Буняковского при решении тригонометрических уравнений

2.4 Использование классических неравенств при решении задач с параметрами

Заключение

Список использованной литературы



Введение

неравенство замечательный математический индукция

«…Основные результаты математики

чаще выражаются неравенствами,

а не равенствами»

Р. Беллман

«Введение в неравенства»

В современной математике неравенства играют огромную роль. Неравенствам отводится центральное место в линейном и нелинейном программирование, теории игр, исследовании операций, теории информации и кодирования, при нахождении максимального или минимального значения функции, при оценке любой величины сверху или снизу, имеют целью также доказательства неравенства. Роль и актуальность этой темы трудно переоценить.

Изучая неравенства, преследуется цель развития у детей мыслительных навыков, умения обобщать и конкретизировать, иметь представление об аксиоматической основе любой теории как системе знаний.

Наиболее широко подойти к раскрытию теории неравенств можно с помощью разработки элективных курсов и курсов по выбору для школьников старших классов. На подобных занятиях укладываются как теоретические вопросы тематики неравенств, так и их приложения. В зависимости от индивидуальных особенностей учащихся педагог должен производить отбор материала для изучения, продумывать формы и методы работы на занятиях, а также тематику самостоятельных заданий. Элективный курс, посвященный вопросам классических неравенств, может идти в нескольких направлениях.

При доказательстве неравенств классическими методами отсутствует аналитическая составляющая и необходимо изобретать нестандартные преобразования, которые не имеют полной классификации. То есть не исследуются функции, участвующие в неравенстве, появляются все новые дополнительные преобразования, без которых применение классических неравенств невозможно. Это касается классических неравенств, таких как неравенство Коши, неравенство Коши-Буняковского (Коши-Шварца), транснеравенство, неравенство Чебышева, неравенство Мюрхеда, неравенство Караматы, неравенство Гельдера, неравенство Йенсена, неравенство Шура.

В современной литературе можно найти множество специальных подборок задач из различных олимпиад, показывающих применения этих неравенств. Существуют специальные методики, которые должны помочь учащимся догадаться до необходимой комбинации классических неравенств. Есть метод баланса коэффициентов, который используется для применения неравенства Коши, неравенства Коши-Шварца, неравенства Гельдера.

Изучение неравенств в школе предваряет изучение функций, поскольку исторически понятие функции возникло позднее. Пропедевтика понятия неравенства начинается еще в начальной школе, изучение основного содержания темы происходит на основной ступени, а углубление, обобщение и систематизация изученного - в старших классах.

С первыми примерами функциональных зависимостей учащиеся сталкиваются в основной школе. Более глубокое изучение функциональной линии реализуется в курсе начал анализа. Именно тематика неравенств в средней школе представляет благоприятные условия для развития учащихся и формирования их интеллектуальных качеств, т. е. обладает своего рода сензитивностью.

Тесную историческую связь понятий неравенства и функции отмечает А. Н. Земляков. Задачи на максимум и минимум. Теорема Ферма и теория чисел элективного курса «Мир, математика, математики (историческая реконструкция элементарной алгебры и математического анализа)», отмечает, что такая характеристика функции посредством неравенства, как ее наибольшее / наименьшее значение, относится по своей сути не к алгебре или геометрии, а к математическому анализу. «Сначала понятие наибольшего / наименьшего значения не отделяется от алгебры. Шажок в сторону анализа делает И. Кеплер со своей знаменитой наилучшей австрийской бочкой … А дальше «вступает в игру» Пьер Ферма, придумавший «метод отыскания наибольших и наименьших значений», от которого всего два шага до методов собственно математического анализа».

Неравенства, представляя аппарат элементарной математики, упрощают изучение математического анализа, позволяя осуществить переход ко многим его понятиям (свойства функции, предел и др.). Далее неравенства продолжают активно взаимодействовать с функциональной линией курса математики, допуская с ней множество интеграций. Тематика неравенств не теряет свойства сензитивности, поскольку позволяет обнаруживать и воплощать разнообразные идеи исследований. Такой подход к изучению неравенств дает возможность «выйти» на изучение современных разделов математики еще в школе, предваряя изменения содержания общего математического образования.

Научно-образовательный потенциал неравенств проявляется в общем развивающем воздействии данной тематики на личность школьника. Освоение неравенств требует от учащихся совершения аналитических и синтетических рассуждений, умений сравнивать, классифицировать, обобщать, конкретизировать, действовать по аналогии, производить индуктивные и дедуктивные умозаключения. Проблемы реализации математических исследований школьников могут продуктивно решаться обращением к неравенствам.

Во-первых, тематика неравенств позволяет вписать в решение отдельной математической задачи (или совокупности задач), что повлечет обращение к необходимым математическим методам.

Во-вторых, проблема исследования может оказаться полезной при подготовке учащегося к предметной олимпиаде или итоговой аттестации за курс общеобразовательной школы (проекты, посвященные истории математики, симметрии, золотому сечению, фракталам и т. п. далеко не всегда могут этим «похвастаться»).

В-третьих, работа по тематике неравенств сопряжена с изучением не только популярных, но и научных источников литературы. Это позволит стимулировать формирование общих приемов мыслительной деятельности учащегося. Цель исследовательской деятельности школьников - не столько добиться собственно научных результатов, сколько получить основные представления о методах исследования, научиться системной, целенаправленной работе над темой, логике построения материала и получению аргументированных выводов. Организация процесса исследования приобретет для учащихся огромную ценность.

Существует немало любопытных фактов из теории неравенств, которые могут заинтересовать учащихся и послужить идеей исследовательского проекта. В частности, неравенство Коши, связывающее среднее арифметическое и среднее геометрическое положительных чисел, является примером задачи, решенной почти два века назад, но до сих пор занимающей умы многих ученых. Известно более ста различных доказательств упомянутого неравенства. Это не является препятствием для публикации все новых способов обоснования знаменитого соотношения. Изучению и применению классических неравенств посвящена данная работа.



Глава 1. Теоретическая часть

1.1 Средние величины. Классические неравенства. Неравенство Коши.

Главным неравенством в области действительных чисел является неравенство х² 0. Из него следуют другие, известные и употребительные неравенства, первым из которых является неравенство Коши или, как его называют, неравенство о средних: Доказывается просто: , поскольку a+b0, значит неравенство можно возводить в квадрат:

(a + b)² 4ab,

a² + 2ab + b² 4ab,

a² + 2ab + b² -4ab 0,

a² - 2ab + b² 0

(a - b)² 0.

Полученное неравенство верно для любых a, b, и в том числе при положительных. Итак, исходное неравенство верно для любых a, b 0.

Пусть даны положительные числа произведение которых равно 1. Тогда справедливо неравенство причем равенство выполняется при .

Пусть даны положительные числа . Тогда справедливо неравенство



Это неравенство французского математика О.Л. Коши, установленное в 1821г., причём равенство имеет место лишь в случае, когда .

Частный случай этого неравенства известен как неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим.

Для > 0 среднее геометрическое двух чисел не превосходит их среднего арифметического ? .

Пример 1. Доказать, что если ab, то

Доказательство: Имеем

Так как ab, то , причем знак равенства имеет место при a=b. Таким образом, разность неотрицательна и неравенство доказано.

Пример 2. Доказать, что для любых чисел a, b и c имеет место неравенство

Доказательство: выберем неравенства

, ,

Сложим эти неравенства, а затем разделим обе части полученного неравенства на два, получим нужное неравенство.

Пример 3. Доказать, что для любых неотрицательных чисел a, b, c, d имеет место неравенство



Доказательство: Воспользуемся неравенствами Коши

и

Тогда получим:

1.2 Доказательство неравенств методом «от противного»

Метод доказательства «от противного» высказывания «из А следует В» применяют в следующей форме: считают истинным высказывание «не выполняется В» и пытаются вывести отсюда справедливость высказывания «не выполняется А». Если это удается, то получается противоречие, из которого следует, что предположение о неверности А - ошибочно. Покажем, как этот метод применяется при доказательстве неравенств.

Пример 4. Доказать, что для любого числа а выполняется неравенство

Доказательство: Предположим противное, что для некоторого числа а рассматриваемое неравенство неверно, то есть имеет место неравенство:



Умножим обе части неравенства на положительное число , при этом знак неравенства не изменится:

.

Из обеих частей неравенства можно вычесть выражение 2+.

После преобразований правой части получим:

Последнее неравенство не выполняется ни при каком значении а, правая часть неравенства не может принимать отрицательные значения. Полученное противоречие доказывает верность исходного неравенства.

1.3 Доказательство неравенств методом математической индукции

Доказательство неравенств методом математической индукции проводится по следующей схеме:

1. Проверяется неравенство для некоторого начального значения n, например, для n=1.

2. Предполагается, что неравенство выполняется для n=k.

3. Доказывается, что тогда неравенство выполняется для n=k+1.

Пример 5. Доказать, что если n = 2, 3, 4,…, то

Доказательство:

1. При n = 2 неравенство верно

2. Предположим, что неравенство выполняется для n=k, то есть

3. Докажем, что тогда неравенство выполняется для n=k+1, то есть

для всех значений k>1.

Согласно принципу математической индукции, можно сделать вывод о том, что неравенство выполняется при всех значениях n = 2, 3, 4,….

Неравенство для среднего арифметического и среднего геометрического n неотрицательных чисел

Если - любые неотрицательные числа, то

Равенство имеет место при .

Задача 1. Доказать, что для любых двух положительных чисел a и b выполнено неравенство .

Доказательство:

І способ

;

ІІ способ:

+1>0.

Среднее гармоническое двух положительных чисел a и b равно отношению удвоенного произведения этих чисел к их сумме.

Если среднее гармоническое положительных чисел a и b обозначить буквой h, то можно записать:

Величина, обратная среднему гармоническому a и b, есть среднее арифметическое величин, обратных a и b.

Докажем, что

Данное неравенство верно для положительных чисел a и b.

Заметим, что

Следовательно имеет место неравенство:

.

В математике используется понятие среднего квадратичного:

для двух положительных чисел a и b среднее квадратичное равно

Покажем, что

Для любых положительных и всегда будет выполняться неравенство:

Все приведённые средние значения связаны неравенствами:

для любых a, b > 0.

При этом знак равенства достигается лишь в том случае, когда a=b.



Глава 2.Практическая часть

2.1 Неравенство Коши - Буняковского

Пусть даны числа такие, что. Тогда справедливо неравенство

-

неравенство Коши - Буняковского, причем равенство

имеет место тогда, когда существует число л такое, что л при k=1,2,…n.

Существуют различные способы доказательства данного неравенства.

Рассмотрим формулу для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости:

.

Правая часть равенства является косинусом некоторого угла по модулю не превосходящего 1, это и есть неравенство Коши-Буняковского для двух переменных:

,



Равенство возможно только тогда, когда угол между векторами 0 или 180, т.е. когда векторы коллинеарны.

Неравенства Коши и Коши - Буняковского используются для доказательства неравенств.

Задача 2. Пусть . Докажите неравенство

Доказательство: Согласно неравенству

справедливо , k=0, 1, …, 49.

Отсюда, .

Задача 3. Доказать, что n <ⁿ для n , n - натуральное число,

больше 1.

Доказательство: Согласно неравенству ? , имеем < .

Представим 1+2+ 3+…+ n как сумму n членов арифметической прогрессии: a₁ = 1, a_n = n, d = 1. Тогда S_n = , = . Следовательно, < . Возведем обе части в n-ную степень, получим: n < ⁿ, что и требовалось доказать.

2.2 Решение уравнений с помощью замечательных неравенств

Рассмотрим метод решения уравнений с помощью неравенств. Благодаря замечательным неравенствам многие нерешаемые уравнения оказываются простыми.

Задача 4. Решить уравнение .

Решение: областью допустимых значений исходного уравнения является интервал . Согласно неравенству для каждого справедливы неравенства , , .

Тогда = 8.

Равенство возможно в случае, когда ,

т.е. при x = 1.

Ответ:.

Задача 5. Найти все действительные корни уравнения:

.

Решение: ОДЗ уравнения является отрезок . Согласно неравенству

,

для каждого справедливо следующее неравенство:

.

Равенство возможно только, если

, т.е. при .

Ответ:.



2.3 Использование неравенства Коши-Буняковского при решении тригонометрических уравнений

Задача 6. Решить уравнение ение: Запишем исходное уравнение в следующем виде

.

Равенство возможно при выполнении следующих условий:

sin3x=cos3x, получим , kZ.

Тогда реди чисел вида , kZ оставим те, для которых верно равенство , т.е. , n. После проверки имеем , .

Ответ: , .

2.4 Использование классических неравенств при решении задач с параметрами

Задача 7. При каких значениях параметра найдутся такие значения , что числа составят арифметическую прогрессию?

Решение: Пусть = = 5 ( + ) = 5 (+ ,

тогда ? 52 = 10

= = + ,

тогда ? 2;

= = ,

тогда = +_.

Складывая неравенства (1) и (2), получаем, что ? 12.

Ответ: [12; +

Задача 8. При каких значениях существуют положительные числа, удовлетворяющие системе уравнений

Решение: Сложим данные уравнения:

Так как по условию числа положительны, то, согласно неравенству Коши получаем неравенство, справедливое для всех :

Следовательно,

Ответ:



Задача 9. (ЕГЭ-2008) Найти все значения параметра a, при каждом из которых неравенство ? 0 не имеет решений.

Решение: Представим данное неравенство в виде ? 0. ОДЗ: x - 32 ? 0; x ? 32.

Оценим значения выражений в круглых скобках:

1) По определению степени с дробным показателем существует лишь при x > 0. Следовательно, > 0. Тогда используя неравенство , имеем + ? 2 = 2, равенство достигается при = = . Вычислим это значение приближенно:

2,21; а 2 4,42.

Тогда A = ? 2

Для любого в :

? 1;

;

? ,

т. е. B = 2

2) Пусть = t, t > 0. Тогда данное неравенство примет вид ? 0, или ? 0

3) Для решения неравенства ? 0, т.е. для отыскания значений параметра , при которых неравенство не имеет решений, применим графический метод, изобразив график A(t) и B(t) схематически.

Промежуток;2

является областью значений a, удовлетворяющий условию задачи.

Ответ: ; 2



Размещено на http://www.allbest.ru/



Заключение

Рассмотренные неравенства и задачи, связанные с ними, показывают разнообразие методов и интересных способов их применения как в алгебре, так и в геометрии. Некоторые задания носят олимпиадный характер. Изучение замечательных неравенств полезно для успешной сдачи итоговых и вступительных экзаменов.

Замечательные неравенства - один из немногих разделов школьного курса математики, дающий учащимся представления о математическом моделировании. Направлением исследовательской работы могут служить задачи, требующие составления и анализа соответствующей модели. Термин «неравенство» зачастую используется в науке не только как математическое понятие, означающее отсутствие равенства между двумя выражениями. Качество «неравный» подразумевает отсутствие одинаковых свойств у предметов, явлений, подвергаемых сравнению; определенную неравноценность, неравномерность, неравноправие. В таком ключе неравенство используется в русском языке, истории, литературе, обществознании и т. д., а также в бытовой речи, следовательно, теряет «привязку» к математике и приобретает соответствующую надпредметность.

Многие научные области используют собственные неравенства, т. е. неравенства, не применимые (или ограниченно применимые) в других науках. Таковыми являются неравенство экваториального и полярного радиусов Земли вследствие ее осевого вращения, применяемое в физической географии и в астрономии, неравенство Макмиллана в теории кодирования , неравенства математической химии.

В математике неравенство является одним из фундаментальных понятий и составляющей аппарата математического моделирования, поэтому в процессе изучения неравенств школьники убеждаются в важности и действенности методов математики. Обозначенный аспект замечательных неравенств предполагает решение задач прикладного характера, задач, содержание которых требует обращения к знаниям из других школьных дисциплин. Неравенства могут служить также способом проверки пригодности численных методов. Это элементарные неравенства Юнга, Гельдера и Минковского, неравенство Иенсена .



Список использованой литературы

1. Коровкин П.П. Неравенства - М.: Наука (серия «Популярные лекции по математике»), 1966.

2. Седракян Н.М., Авоян А.М. Неравенства. Методы доказательства - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

3. Ткачук В.В. Математика-абитуриенту - М.: МЦНМО, 2008.

4. Федоров Р.М., Канель-Белов А.Я., Ковальджи А.К., Ященко И.В. Московские математические олимпиады 1993-2005 г. - М.: МЦНМО, 2006.

5. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. - М:АСТ:Астрель 2008.-509с.

6. Болтянский В.Г., Шабунин М.И. Лекции и задачи по элементарной математике. 2-е изд. -М.: «Наука», 1974г. -576с.

7. Гомонов, С.А. Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения. 10-11 классы.- М.: Дрофа, 2009.

8. Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Пособие по математике для поступающих в вузы (избранные вопросы элементарной математики), издание третье, переработанное / М.: «Наука», 1972г. - 528с.

9. Зайцев В.В., Рыжов В.В., Сканави М.И. Элементарная математика, повторительный курс, издание третье, стереотипное. / М.: «Наука», 1976г. - 592с.

10. Калнин Р.А. Алгебра и элементарные функции, издание восьмое, стереотипное. / М.: «Наука», 1975г. - 478с.

Размещено на Allbest.ru

...