Оптимизация дележа риска в моделях, использующих принцип дисперсии при начислении премии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оптимизация дележа риска в моделях, использующих принцип дисперсии при начислении премии

Коточигов Н.В.



Содержание

Аннотация

Abstract

Введение

Глава 1. Теоретическая часть

1.1 Теоретическая основа

1.2 Описание исследуемой модели

Глава 2. Аналитическая часть

2.1 Постановка задачи оптимизации дележа риска в страховании. Решение задачи

2.2 Пример расчета оптимального дележа риска

Заключение

Список использованных источников



Аннотация

Объектом исследования в данной работе является статистическая модель страхования или, иначе говоря, модель индивидуального риска. Целью работы является поиск оптимального дележа страхования между участниками сделки, который был бы выгоден обоим сторонам. В теоретической части данной работы были описана исследуемая модель, а также были показаны критерии оптимальности сделки. В аналитической части же был описан алгоритм поиска оптимального дележа страхования и рассмотрен числовой пример. Было выяснено, что оптимальным видом страхования для данного случая является страхование с верхним пределом (иначе stop-loss страхование). Результаты могут быть полезны при работе в области страхования

Optimal risk sharing in models with a premium defined by variance principle



Abstract

The object of research in this work is the statistical model of insurance or, in the other words, model of individual risk. The purpose of this work is to find the optimum risk sharing between participants of the deal, which would be favorable to both sides. In theoretical part of this work was considered model of risk sharing, also criteria of an optimum risk sharing have been shown. In analytical part the algorithm of finding the optimum risk sharing has been described and a numerical example is reviewed. It has been found out that an optimum type of insurance for this case is insurance with the upper limit (differently stop-loss insurance). Results can be useful during the work in the insurance area.



Введение

Страхование в самом общем определении это механизм перераспределения риска между двумя сторонами при заключении сделки: Стороной, берущей на себя риск, или иначе говоря возможный ущерб, является страховая компания (страховщик), которая обязывается оплатить потенциальный ущерб своим клиентам (страхователям). Страхователь же, учитывая свою систему предпочтений, оценивает угрозу последующей реализации своего индивидуального риска. Суть сделки состоит в том, что клиент, желая избавить себя от риска и получить компенсацию в случае возможного ущерба, платит компании определенную сумму, и таким образом чувствует себя спокойно весь период действия сделки. Условие совершения сделки в том, что она должна быть выгодна обоим ее участникам, причем решение об этом принимается каждой стороной в соответствии со своим собственным критерием.

Говоря о риске, мы будем понимать под ним ущерб в денежном эквиваленте, который является случайной величиной в определении этого термина в рамках теории вероятности. И поскольку страхование само по себе имеет дело с вероятностью, то использование методов и понятий и теории вероятности и математической статистики является следствием количественного анализа страховых задач, а также теории случайных процессов в случае динамических моделей. Но в данной дипломной работе будет рассмотрена так называемая статичная модель (иначе модель индивидуального риска), которая является базовой, и играет роль основополагающей при построении более сложных моделей.

Инструментами управления риском в математической теории служат: размер страховой премии; функция дележа риска между страховщиком и страхователем; функция дележа риска в случае перестрахования. Задачи разделяются по типам критерия оптимальности на максимизацию функционала ожидаемой полезности итогового капитала и на минимизацию затрат страховщика. Но в реальной жизни при решении подобной задачи приходится принимать во внимание некоторые критерии, которые трудно представимы в математической форме, и ряд прочих ограничений.

Впервые проблема поиска оптимального дележа изучалась в [5], где было показано, что с точки зрения страховщика оптимальным является страхование с верхним пределом (иначе stop-loss страхование). Его суть в том, что страховщик оплачивает страхователю ущерб полностью, если размер ущерба не превышает уровень, если же ущерб превысил эту сумму, то страховщик и выплачивает клиенту эту сумму . Данный вид страхования используется в случаях, когда размер ущерба может быть невероятно велик.

Предметом изучения данной задачи будет являться поиск оптимального дележа риска между страховщиком и страхователем с точки зрения страховщика. Предпочтения страховщика выражаются функционалом полезности типа Марковица.



Глава 1. Теоретическая часть

1.1 Теоретическая основа

Страхование в наше время является неотъемлемой частью нашей жизни, поскольку с человеком происходят события, наносящие материальный ущерб, поэтому и возникает задача как-либо противодействовать этому. Для этого и было придумано страхование, клиент платит фирме взнос, и если он получает какой-нибудь ущерб, фирма ему его возмещает.

Ущерб клиента мы будем обозначать через случайную величину c функцией распределения . Характерной особенностью этой функции распределения является скачок в нуле, который равен вероятности того, что у клиента не произойдет страхового случая (для примера, при страховании машины наш принимает значение если ничего с машиной не произошло, если случилась небольшая авария и если произошла серьезная авария). Заплатив взнос клиент получает обязательство от страховой компании возместить ущерб полученный им. Страховщик же имеет начальный капитал , полученный взнос от клиента и также принятый им риск , и его финальный капитал будет явзяться случайной величиной

В теории математического страхования обычно разделяют взнос на две части: , где . Число называют рисковой премией, а -нагрузкой. Довольно часто измеряется в процентах от , и тогда задается коэффициентом (коэффициентом нагрузки). Вообще говоря и сама разделяется на 2 величины, первая из которых рисковая надбавка, а вторая операционные издержки (затраты страховой компании и ее приемлимая прибыль). Но в данной модели мы пренебрегаем операционными издержками, поэтому нагрузка будет совпадать с рисковой надбавкой в нашем случае.

Очень важный показатель, характеризующий финансовую устойчивость компании - вероятность неразорения компании (или надежность компании) . Но на практике событие разорения не имеет фатальных последствий- при исчерпании средств страховщик может перевести часть средств из своих других проектов, или же взять в кредит. Если во время страхового периода случается несколько разорений, следует изменить стратегию компании, что в частности может означать изменение тарифов (взноса , либо смена контингента своих клиентов, чтобы получить другую функцию распределения . На развитых же страховых рынках сложился довольно высокий уровень надежности компаний, от и выше.

Рисковая ситуация определяет финансовое положение компании и характеризуется тройкой , где - страховое покрытие страховщика, а - распределение суммарного риска. Отдельно хотелось бы отметить величину объема собственных средств, ведь этот капитал занимает особое место в активе страховой компании. С одной стороны эта величина контролируется специальным надзорным органом, а с другой во время страхового периода не может быть использована в инвестиционных проектах и находится в форме резерва.

В данной работе мы рассматриваем случай, когда в договоре имеется пункт о возмещении лишь части ущерба, благодаря которому клиент берет часть ответственности на себя, получая скидку на взнос, это и называется дележом риска.

Долю риска страховщика будем записывать как где функция дележа. Собственно поиск оптимальной функцию дележа для максимизации дохода и будет являться нашей целью.

Есть несколько способов поиска , и зависеть они будут от того, что именно мы хотим максимизировать, что будет являться критерием оптимальности, а так же от того, какой мы назначим взнос.

Есть несколько критериев оптимальности, например:

Так же есть много способов выбрать взнос:

1) Принцип математического ожидания

2) Принцип дисперсии

3) Принцип среднеквадратичного отклонения

4) Принцип нулевой полезности

:

5) Обобщенный принцип нулевой полезности:

1.2 Описание исследуемой модели

Мы имеем страховую компанию (страховщика) и клиента, который хотел бы заключить сделку с компанией (страхователь). Потенциальный ущерб клиента - независимая случайная величина . Страховщик выбирает функцию дележа из множества Борелевских функций, удовлетворяющих неравенству . - случайная величина, возмещающая клиенту часть его ущерба. Взнос определяется по формуле , где -заданный коэффициент нагрузки.

В данной работе в качестве предпочтений страховщика будем использовать функционал типа Марковица, который зависит только от среднего значения и стандартного отклонения

,

где заданная скалярная функция со свойствами:

Предметом изучения является задача выбора страховщиком такого дележа, который бы оптимизировал данный функционал

- финальный капитал страховщика

- начальный капитал страховщика

-

суммарный взнос

- ущерб клиента



Глава 2. Аналитическая часть

2.1 Постановка задачи оптимизации дележа риска в страховании. Решение задачи

Критерием оптимальности для страховщика в данном случае является функционал типа Марковитца, имеющий вид

И задача будет иметь вид

Теорема 1

И единственным решением данной задачибудет функция

=

Где решение уравнения

Функция графика дележа для stop-loss страхования

Необходимое и достаточное условие оптимальности имеет вид:

После того как мы продифференцируем данное условие, мы получим интеграл вида:

Тогда и есть решение задачи максимизации интеграла

В силу леммы Неймана-Пирсона: Пусть на заданы две функции

и функция , измеримые по Борелю, а так же вероятностная мера с функцие распределения . Функция доставляет максимум интегралу

На множестве Борелевских функций

тогда и только тогда, когда

С точностью то множества нулевой меры F.

Найдем оптимальную для нашего случая, где необходимое условие оптимальности имеет вид

Где напомним

и

Обозначим через

и продифференцируем наше выражение

Откуда следует, что

После упрощения интеграл приводится к виду

,где б

Получаем что есть решение задачи максимизации интеграла

На множестве Борелевских функций

Решение этой задачи находится с помощью леммы Неймана-Пирсона: будет оптимальной тогда и только тогда, когда

Рассмотрим 2 случая: 1), 2)

1) Наш функционал , и соответственно

2). В этом случае в точке x=0 на функционал , и при возрастании x его значение монотонно убывает, и . После касания оси абсцисс в точке больше не сможет убывать, в силу того, что = так как получаем противоречие с тем, что

График функции при

Далее для 2 случая найдем уравнение для поиска для этого в наш функционал подставим вместо выражение :

Из этого получаем, что

Так получается, что это уравнение не имеет корней кроме вырожденного =0 что вполне объяснимо, размер нашей премии зависит от дисперсии, чем она больше, тем лучше, одновременно с этим мы питаемся минимизировать дисперсию для максимизации нашего функционала. В этой ситуации, чтобы все-таки найти решение для модели, использующей принцип дисперсии при начислении премии у нас имеется 2 варианта:

1. Заменить исходный функционал типа Марковица на какой-нибудь другой (рассмотрим, например

и попытаться максимизировать его на множестве функций отвечающих stop-loss страхованию

2. Все-таки заменить принцип начисления премии и ввести ограничение на средний риск:

1)Рассмотрим первый случай, и теперь найдем оптимальную для случая

Где напомним

Функционал вогнут в силу вогнутости , и условием оптимальности является

Получаем интеграл вида

Где

=

Для данного функционала

очень тяжело показать, что страхование типа stop-loss является оптимальным для данного случая, поэтому попробeем найти наилучшую вида для нашего функционала

Для этого подставим в наш функционал вместо выражение

И попробуем найти для этого случая , отвечающее наилучшему варианту страхования с верхним пределом.

Возьмем в качестве функцию

,

а функцию распределения выплаты положим

,

где зафиксируем . Тогда функция распределения ущерба будет иметь вид

.

Для нахождения подставим вместо в наш функционал и попробуем его максимизировать

=

Получаем что функционал, который нужно максимизировать имеет вид

2) Рассмотрим теперь второй вариант со вводом дополнительных ограничения на средний риск

,

где

Для начала просто решим задачу без ограничений:

,

Где

Необходимое условие оптимальности имеет вид

Теперь продифференцируем наше выражение

]

Теперь найдем дисперсию

Получаем что

После упрощения принимает вид

Где

Получаем что есть решение задачи максимизации интеграла

На множестве Борелевских функций

Решение этой задачи находится с помощью леммы Неймана-Пирсона: будет оптимальной тогда и только тогда, когда

Доказывается аналогично доказанному ранее.

Теперь будем уравнение для поиска для этого в наш функционал подставим вместо выражение :

Далее собственно введем ограничение на средний риск

, где

и будем рассматривать задачу

Введем обозначение

,

где определялось ранее.

Теорема 2

Дележ является решением задачи максимизации функционала с ограничением тогда и только тогда

1) При =

2) При =

Введем функцию Лагранжа, и получаем, что при некотором дележ максимизирует

на множестве борелевских функций

.

И по лемме Неймана-Пирсона

При возрастании x от 0 монотонно убывает, при этом . В какой-то момент коснется оси абсцисс, обозначим эту точку касания . Пусть , тогда при выражение остается положительным, из чего следует что , и соответственно

,

а , из чего следует что и , что противоречит нашему ограничению . После того как попадет в 0, она больше не сможет принимать других значений, ведь если

, то

и мы получаем противоречие

Получаем что

,

причем , и учитывая что ноль функции имеем .Таким образом получаем точка определяется уравнением

,

что значит

2.2 Пример расчета оптимального дележа риска

Размером ущерба будем называть страховой выплатой и будем обозначать ее случайной величиной c функцией распределения

График функции распределения риска страховщика при stop-loss страховании

Возьмем за функцию распределения выплаты экспоненциальную функцию

,

тогда функция распределения ущерба будет иметь вид

,

где - вероятность страхового случая. Выпишем наше выражение для

И найдем

Итого наше уравнение имеет вид

Для его решения будем использовать приложение Wolfram Mathematica и зафиксируем значения Далее будем менять значения каждого из параметров, чтобы понять как от них зависит искомое

0,1	0,1	0,1	0,1
0,15	0,1	0,1	0,1
0,2	0,1	0,1	0,1

0,1	0,1	0,1	0,1
0,1	0,15	0,1	0,1
0,1	0,2	0,1	0,1

0,1	0,1	0,1	0,1
0,1	0,1	0,15	0,1
0,1	0,1	0,2	0,1

0,1	0,1	0,1	0,1
0,1	0,1	0,1	0,15
0,1	0,1	0,1	0,2

Из вышеприведенных таблиц видны прямая линейная зависимость от

и соответственно обратная линейная зависимость от , что логично, ведь увеличивая коэффициент неприятия риска страховщик делает свои условия более выгодными, и значение верхнего предела понижается.

Нахождение максимального значения функционала

Теперь решим исходную задачу максимизации функционала, для этого подставим значение в исходную функцию. Как было показано является решением задачи максимизации функционала

Теперь вычислим математическое ожидание

Далее вычислим дисперсию

Итого получаем

Опять же с помощью программы Wolfram Mathematica будем искать значение функционала в точке

Зафиксируем как и в прошлый раз параметры

И подставим = в наше уравнение, и получаем значение функционала

Проверим, является ли найденное значение функционала максимальным, для этого найдем предел при стремящемся к бесконечности, для этого опять же будем использовать программу Wolfram Mathematica

Получили что , а это значит, что наш доставляет максимальное значение функционала

Далее найдем значения функционала при изменении исходных параметров

0,1	0,1	0,1	0,1	10
0,15	0,1	0,1	0,1	10
0,2	0,1	0,1	0,1	10

0,1	0,1	0,1	0,1	10
0,1	0,15	0,1	0,1	10
0,1	0,2	0,1	0,1	10

0,1	0,1	0,1	0,1	10
0,1	0,1	0,15	0,1	10
0,1	0,1	0,2	0,1	10

0,1	0,1	0,1	0,1	10
0,1	0,1	0,1	0,15	10
0,1	0,1	0,1	0,2	10



Заключение

В первой главе данной работы были сформулированы основные теоретические обоснования модели индивидуального риска, также была описана исследуемая модель и рассмотрены ее составляющие. Во второй главе была поставлена задача выбора оптимального дележа, далее мы показали что эта задача не имеет решения кроме вырожденного, и было рассмотрена 2 пути решения этой проблемы. В конце был рассмотрен численный пример который иллюстрирует полученные ранее результаты и позволяет проследить зависимость оптимальной стратегии от входных данных. статистический страхование риск loss

На практике данные результаты могут быть полезны при оптимизации схем выбора дележа между страхователем и страховщиком.



Список использованных источников

1. Бенинг В.Е., Ротарь В.И. Введение в математическую теорию страхования // Обозр. прикл. и промышл. математики. 1994. Т. 1. Вып. 5

2. Голубин А.Ю. Математические вопросы управления риском в базовых моделях страхования. М.: АНКИЛ, 2013

3. Голубин А.Ю. Математические модели в теории страхования: построение и оптимизация. М.: АНКИЛ, 2003.

4. Bogdan Grechuk, Michael Zabarankin Optimal Risk Sharing with General Deviation Measures

5. Arrow K.J. Essays in the Theory of Risk Bearing. Chicago: Wyley and Sons, 1971

6. Golubin A.Y. Optimal Insurance and Reinsurance Policies in thr Risk Process // ASTN Bulletin. 2008. 38(2)

Размещено на Allbest.ru

...