Приближенные вычисления в математическом анализе

Размещено на http://www.allbest.ru/

Кафедра математики

Математический анализ

Курсовая работа

на тему

Приближенные вычисления в математическом анализе

Санкт-Петербург - 2016

Задание 1

Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них методом хорд с точностью до 0,001

Основные теоретические сведения:

Метод Ньютона (хорд и касательных)

Пусть на промежутке [a;b] определен единственный корень уравненияf(x)=0, т.е. f(a)f(b)<0, а f'(x) и f''(x) сохраняют постоянные знаки на всем промежутке.

При этом возможны следующие случаи:

1. f'(x)>0 и f''(x)>0.

2. f'(x)<0 и f''(x)<0.

3. f'(x)>0 и f''(x)<0.

1. В случае f'(x)>0 и f''(x)>0 положим x₀=aи x?₀=b.

Через точки A(x₀,f(x₀)) и B(x?_0,f(x?₀))проведем прямую (хорду), а через точку B(x?_0,f(x?₀)) -- касательную к кривой y=f(x) (рис. 1).

Получим промежуток [x₁,x?₁], гдеx₁,x?₁ -- точки пересечения хорды AB и касательной, проведенной в точке B с осью Ox (рис. 1). Следовательно, x₁ и x?₁ определяются как корни уравнений

Из рис. 1 ясно, что x₁ <<x?₁

Продолжая этот процесс, строим последовательности приближений концов промежутка [x_n,x?_n] для корня:

(1)

(2)

Построение последовательности промежутков прекращается при |x_n-x?_n|<?

Где ? - заданная оценка абсолютной погрешности.

Тогда за корень уравнения принимается число:

2. В случае f'(x)>0 и f''(x)<0 полагают x?₀ = a и x₀ = b, и касательные к кривой проводятся через точкуA(x?₀,f(x₀)) (рис. 2).

В этом случае также используются уравнения (1) и (2), с той разницей, что уравнение (1) дает последовательность приближений для правого конца, а (2) -- последовательность приближений для левого конца промежутка [x?_n,x_n], накотором определен корень уравнения.

Для остальных случаев существует правило, по которому за x?₀ в уравнениях (1) и (2) принимается тот, конец промежутка, на котором знак функции f(x) и знак второй производной f''(x) совпадают. Следовательно, получается последовательности промежутков вида: [x_n,x?_n] или [x?_n,x_n].

Замечание 1

Метод Ньютона очень чувствителен к выбору начальной точки. К тому же проверка условия f(a)f(b)<0затруднительна, если длина промежутка [a,b] велика.

Замечание 2

Метод Ньютона часто используется совместно с методом половинного деления, т.е. методом половинного промежуток, на котором определен корень, сужается до промежутка длины |b-a|?0.1, а затем используется метод Ньютона.

Решение:

графически и уточнить один из них методом хорд с точностью до 0,001

Отделим корень графически. Построим график функций и , составив таблицу значений этих функций:

x	1.4	1.6	1.8	2
	-1.456	-0.704	0.432	2
	0.493	0.404	0.331	0.271

Таким образом, положительный корень уравнения заключен в промежутке [1.7; 1.9].

Чтобы уточнить корень методом хорд, определим знаки функции на концах промежутка [1.7;1.9] и знак второй производной в этом промежутке:

f(1.7)=-0.552f(1.9)=0.86

> 0 при x ? [1.7;1.9]

Тогда для вычислений применяем формулу:

,

где b = 1.7; .

Точность вычисления можно оценить из соотношения

,

где - точное значение корня, а

Вычисления удобно располагать в таблице:

n
0	1.9	0.86	-1.412	0.122
1	1.778	-0.05	-0.503	-0.008
2	1.786	0.003	-0.556	5.228•10^-4
3	1.785	-2.277*10^-4	-0.552	-3.523•10^-5
4	1.7855	1.535*10^-5	-0.552	2.375•10^-6

Ответ: о = 1.7855

Задание 2

Отделить корни уравнения (2-x)e^x = 0.5 графически и уточнить один из них методом простых итераций с точностью до 0.001 .

Основные теоретические сведения:

Метод простых итераций

При использовании метода итераций уравнение f(x) = 0 преобразуют к виду x = ц(x).

Предположим, что на интервале (a,b) определен единственный корень этого уравнения .

Алгоритм метода итераций состоит в следующем:

На первом шаге возьмём произвольное значение x₀ ? (a,b) и вычислим x₁ = ц(x₀). На втором шаге вычислим x₂ = ц(x₁) и т.д.

В результате получится рекуррентная последовательность: x_n = ц(x_n-1), n = 1,2,3…

Если эта последовательность сходящаяся, т.е. существует, то переходя к пределу в равенстве x_n = ц(x_n-1), и предполагая функцию ц(x) непрерывной, найдем

или = ц(), т.е. является корнем уравнения.

Геометрически метод итерации иллюстрируется на рис. 1 (возрастающая функция) и на рис. 2 (убывающая функция).

Теорема

Пусть функция ц(x) определена и дифференцируема на отрезке [a, b], причем все ее значения ц(x) ? [a, b]. Тогда, если существует q? (0.1) такое, что |ц'(x)| ? q<1, при всех x?(a,b), то:

Процесс итерации x_n = ц(x_n-1), n = 1,2…, n, … сходится независимо от начального значения x₀?[a, b].

Предельное значение является единственным корнем уравнения x= ц(x).

Замечание

Скорость стремления x_n> это скорость геометрической прогрессии.

Отделить корни уравнения (2-x)e^x = 0.5 графически и уточнить один из них методом простых итераций с точностью до 0.001 .

Решение:

(2-x)e^x = 0.5 графически и уточнить один из них методом простых итераций с точностью до 0.001 .

Найдем приближенное значение корней графически. Построим графики функций y₁ = и y₂ = составив таблицу значений этих функций.

Из графика видно, что уравнение имеет два корня, лежащих в промежутках [-2.2;-2] и [1.8;2].

Чтобы уточнить корень методом простых итераций, приведем уравнение к виду . Функцию ?(х) будем искать из соотношения , считая, что |k|?, где; ; число k имеет тот же знак, что и f'(x) в промежутках [-2.2;-2] и [1.8;2].

Находим:

f'(-2.2) = 0.355 f'(-2) = 0.406f'(1.8)=-4.84 f'(2) = -7.389

при

при

Примем ,тогда

За начальное приближение возьмем , все остальные приближения будем определять из равенства

Точность вычисления можно оценить из соотношения

где- точное значение корня, а

,

- 2.041 ,

Вычисления удобно располагать в таблице:

Для 1-го корня

n	Xn	Xn+1		(xn-2)
0	-2	-2.0413	0.1353	-4
…	…	…	…	…
11	-2.1049	-2.1051	0.1219	-4.1049
12	-2.1051	-2.1053	0.1218	-4.1051
13	-2.1053	-2.1053	0.1218	-4.1053
14	-2.1053	-2.1054	0.1218	-4.1054
15	-2.1054	-2.1054	0.1218	-4.1054
16	-2.1054	-2.1054	0.1218	-4.1054
17	-2.1054	-2.1054	0.1218	-4.1054
18	-2.1054	-2.1055	0.1218	-4.1054
19	-2.1055	-2.1055	0.1218	-4.1055
20	-2.1055	-2.1055	0.1218	-4.1055

Для 2-го корня

n					-0.125
0	1.8	1.9775	6.0496	-0.05	-0.4275
…	…	…	…	…	…
11	1.9275	1.9271	6.8724	-0.0181	-0.2495
12	1.9271	1.9273	6.8692	-0.0182	-0.2503
13	1.9273	1.9272	6.8711	-0.0182	-0.2498
14	1.9272	1.9273	6.87	-0.0182	-0.2501
15	1.9273	1.9272	6.8707	-0.0182	-0.2499
16	1.9272	1.9272	6.8703	-0.0182	-0.25
17	1.9272	1.9272	6.8705	-0.0182	-0.25
18	1.9272	1.9272	6.8704	-0.0182	-0.25
19	1.9272	1.9272	6.8704	-0.0182	-0.25
20	1.9272	1.9272	6.8704	-0.0182	-0.25

Ответ: ,.

дифференциальный уравнение ньютон эйлер рунге

Задание 3

Используя метод Эйлера-Коши, составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения удовлетворяющего начальному условию у(0.2) = 0.25 на отрезке [0.2; 1.2] с шагом h = 0.1. Все вычисления вести с четырьмя десятичными знаками.

Основные теоретические сведения:

Метод Эйлера-Коши также относится к методам второго порядка и тоже требует двукратного вычисления функции f (x, y):

y⁰_i+1 = y_i + hf (x_i, y_i);

y_i+1 = y_i+ (f (x_i, y_i) + f (x_i+1, y⁰_i+1)) h/2.

Методы Эйлера относятся к группе с общим названием метода Рунге-Кутта, к этой же группе принадлежит и метод, называемый методом Рунге-Кутта четвертого порядка. Согласно этому методу для вычисления одного значения функции y(x) необходимо вычислить функцию f(x, y) в четырех точках:

K1_i = f (x_i, y_i);

K2_i = f (x_i + h/2, y_i + K1_i/2);

K3_i= f (x_i + h/2, y_i + K2_i/2);

K4_i= f (x_i + h, y_i + K3_i);

y_i+1 = y_i + h (K1_i + 2K2_i + 2K3_i + K4_i)/6.

Погрешность этого метода пропорциональна h⁴, т.е. |y_i-y_i*| < O(h⁴).

Методы Рунге-Кутта относятся к так называемым одношаговым методам, поскольку для вычисления значения функции y(x) в точке x_i+1 требуется знать только значение функции y(x) в одной предыдущей точке x_i.

Многошаговые методы, называемые также методами Адамса, построены путем интерполирования по нескольким соседним точкам, для их использования необходимо знать значение функции y(x) в нескольких предыдущих точках. Достоинство многошаговых методов состоит в том, что независимо от порядка метода для вычисления значения функции y(x) в одной точке требуется один раз вычислить функцию f(x, y).

Решение:

Используя метод Эйлера-Коши, составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения удовлетворяющего начальному условию у(0.2) = 0.25 на отрезке [0.2; 1.2] с шагом h = 0.1. Все вычисления вести с четырьмя десятичными знаками. Используем формулу

,

,

Вычисления удобно располагать в таблице:

n
0	0.2	0.25	0.1756	0.1756	0.2271	0.0227	0.0201
1	0.3	0.2701	0.2280	0.0228	0.2823	0.0282	0.0255
2	0.4	0.2956	0.2833	0.0283	0.3393	0.0339	0.0311
3	0.5	0.3267	0.3403	0.0340	0.3973	0.0397	0.0369
4	0.6	0.3636	0.3983	0.0398	0.4556	0.0456	0.0427
5	0.7	0.4063	0.4567	0.0457	0.5138	0.0514	0.0485
6	0.8	0.4548	0.5149	0.0515	0.5716	0.0571	0.0543
7	0.9	0.5091	0.5726	0.0573	0.6288	0.0629	0.0601
8	1.0	0.5691	0.6298	0.0630	0.6857	0.0686	0.0658
9	1.1	0.6349	0.6868	0.0687	0.7427	0.0743	0.0715
10	1.2	0.7064	0.7437	0.0744	0.8003	0.0800	0.0772

Сравним результаты, решив уравнение методом Рунге-Кутте:

Основные теоретические сведения:

Метод Рунге-Кутта 4-го порядка

Метод Рунге-Кутта 4-го порядка состоит в том, что ?y_k состоит из четырёх слагаемых: Каждое из них находится по своей формуле:

Теперь находим

y_k+1 = y_k+?y_k.

Отметим, что метод Рунге-Кутта 4-го порядка является одним из самых распространённых методом интегрирования ОДУ в космонавтике. Его точность вполне удовлетворяет запросы практики.

Значения

i = 0,1,2,… определятся по формулам:

X	y(x)	K1	K2	K3	K4
0.2	0.25	0.0176	0.0201	0.0202	0.0228	0.0202
0.3	0.2702	0.0228	0.0255	0.0256	0.0283	0.0256
0.4	0.2958	0.0283	0.0311	0.034	0.0312	0.0312
0.5	0.3269	0.0340	0.0369	0.0369	0.0398	0.0369
0.6	0.3638	0.0398	0.0427	0.0428	0.0457	0.0428
0.7	0.4066	0.0457	0.0487	0.0486	0.0515	0.0486
0.8	0.4552	0.0515	0.0544	0.0544	0.0573	0.0544
0.9	0.5096	0.0573	0.0601	0.0602	0.063	0.0601
1.0	0.5697	0.063	0.0658	0.0659	0.0687	0.0659
1.1	0.6356	0.0687	0.0715	0.0716	0.0744	0.0716
1.2	0.7071	0.0744	0.0772	0.0773	0.0802	0.0773

Ответ удобней расположить в таблице:

		y(x)
0.2	0.25	0.25
0.3	0.2701	0.2702
0.4	0.2956	0.2958
0.5	0.3267	0.3269
0.6	0.3636	0.3638
0.7	0.4063	0.4066
0.8	0.4548	0.4552
0.9	0.5091	0.5096
1.0	0.5691	0.5697
1.1	0.6349	0.6356
1.2	0.7064	0.7071



Задание 4

Используя метод Рунге-Кутта, составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию на отрезке [0;1] с шагом h=0.1. Все вычисления вести с четырьмя десятичными знаками.

Основные теоретические сведения:

Метод Рунге-Кутта 4-го порядка

Метод Рунге-Кутта 4-го порядка состоит в том, что ?y_k состоит из четырёх слагаемых:

Каждое из них находится по своей формуле:

Теперь находим

y_k+1 = y_k+?y_k.

Отметим, что метод Рунге-Кутта 4-го порядка является одним из самых распространённых методом интегрирования ОДУ в космонавтике. Его точность вполне удовлетворяет запросы практики.

Решение:

Используя метод Рунге-Кутта, составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию на отрезке [0;1] с шагом h=0.1 . Все вычисления вести с четырьмя десятичными знаками.

Значения i=0,1,2,… определятся по формулам:

x	y(x)	K1	K2	K3	K4
0	0	0	0.0645	0.0645	0.0624	0.0645
0.1	0.0645	0.1	0.0604	0.0604	0.0585	0.0604
0.2	0.1249	0.0585	0.0567	0.0567	0.0550	0.0567
0.3	0.1816	0.0550	0.0533	0.0533	0.0517	0.0533
0.4	0.2349	0.0517	0.0502	0.0502	0.0488	0.0502
0.5	0.2851	0.0488	0.0474	0.0474	0.0461	0.0474
0.6	0.3325	0.0461	0.0449	0.0449	0.0437	0.0449
0.7	0.3774	0.0437	0.0425	0.0425	0.0415	0.0425
0.8	0.4199	0.0415	0.0404	0.0404	0.0394	0.0404
0.9	0.4603	0.0394	0.0385	0.0385	0.0376	0.0385
1.0	0.4988	0.0376	0.0367	0.0368	0.0359	0.5356

Сравним результаты, решив уравнение методом Адамса:

Метод Адамса

Пусть требуется проинтегрировать уравнение . Одним из разностных методов приближенного решения этой задачи является метод Адамса.

Задавшись некоторым шагом изменения аргумента h, находят каким-либо способом, исходя из начальных данных , следующие три значения искомой функции :

(эти три значения можно получить любым методом, обеспечивающим нужную точность: с помощью разложения решения в степенной ряд, методом Рунге--Кутта и т.д., но не методом Эйлера ввиду его недостаточной точности).

С помощью чисел x₀, x₁, x₂, x₃, и y₀, y₁, y₂, y₃ вычисляют величины

Далее, составляют таблицу конечных разностей величин у и q:

X	y	y	q	q	2q	3q
x0	y0		q0
		y0		q0
x1	y1		q1		2q0
		y1		q1		3q0
x2	y2		q2		2q1
		y2		q2
x3	y3		q3
…	…	…	…	…	…	…

Зная числа в нижней косой строке, по формуле Адамса находят

а затем и величину . Зная теперь y₄, вычисляют , после чего можно написать следующую косую строку:

Новая косая строка позволяет вычислить по формуле Адамса значение

а следовательно, и т.д.

x	y	y	q	q	2q	3q
0	0		0,0667
		0.0645		-0.0043
0.1	0.0645		0.0624		0.0004
		0.0604		-0.0039		0
0.2	0.1249		0.0585		0.0003
		0.0567		-0.0035		0
0.3	0.1816		0.0550		0.0003
		0.0533		-0.0032		0
0.4	0.2349		0.0517		0.0003
		0.0533		-0.0029		0
0.5	0.2852		0.0488		0.0003
		0.0502		-0.0027		0
0.6	0.3326		0.0461		0.0002
		0.0474		-0.0024		0
0.7	0.3775		0.0437		0.0002
		0.0449		-0.0022		0
0.8	0.4200		0.0415		0.0002
		0.0426		-0.0020
0.9	0.4605		0.0394
		0.0404
1	0.4990

Ответ удобней расположить в таблице:

x	y1(x)	y2(x)
0	0	0
0.1	0.0645	0.0645
0.2	0.1249	0.1249
0.3	0.1816	0.1817
0.4	0.2349	0.235
0.5	0.2851	0.2852
0.6	0.3325	0.3327
0.7	0.3774	0.3775
0.8	0.4199	0.4201
0.9	0.4603	0.4605
1.0	0.4988	0.4991



Размещено на Allbest.ru

...