Приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Дипломная работа

Приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Введение

В тех случаях, когда научную и техническую проблему можно сформулировать математически, наиболее вероятно, что задача сведется к одному или нескольким дифференциальным уравнениям.

В классическом анализе разработано немало приемов нахождения решений дифференциальных уравнений через элементарные (или специальные) функции. Между тем весьма часто при решении практических задач эти методы оказываются либо совсем беспомощными, либо их решение связывается с недопустимыми затратами усилий и времени.

По этой причине для решения задач практики созданы методы приближенного решения дифференциальных уравнений. Весьма условно, в зависимости от формы представления решения, эти методы подразделяются на три основные группы.

Аналитические методы, применение которых дает решение дифференциального уравнения в виде аналитического выражения.

Графические методы, дающие приближенное решение в виде графика.

Численные методы, когда искомая функция получается в виде таблицы.

В данном дипломном проекте рассматриваются относящиеся к указанным группам некоторые избранные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Что же касается дифференциальных уравнений n-го порядка, то их можно свести к системе дифференциальных уравнений первого порядка. Методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений основываются на соответствующих методах решения одного уравнения. Некоторые из этих методов реализуем с помощью ЭВМ.

1. Основные понятия и определения

Определение: Уравнение, связывающее функцию , ее аргумент и ее производные, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Обыкновенное дифференциальное уравнение символически можно записать в виде

или . (1)

Определение: Порядком дифференциального уравнения (1) называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

В данной работе рассматриваются дифференциальные уравнения первого порядка, но некоторые понятия и определения мы будем рассматривать в общем виде, для уравнений n-го порядка.

Определение: Решением дифференциального уравнения (1) называется всякая функция , которая, будучи подставлена в уравнение, обращает его в тождество.

Например, пусть дано дифференциальное уравнение . Тогда любая функция вида

,

где - произвольные постоянные, является решением этого уравнения.

Действительно, дифференцируя уравнение

дважды по , получаем

,

.

Подставляя выражения для и в левую часть исходного дифференциального уравнения получаем

.

Процесс решения дифференциального уравнения называют интегрированием. Поэтому само решение называют еще интегралом уравнения.

Как правило, дифференциальному уравнению отвечает множество решений (смотрите вышеприведенный пример), задаваемых семейством функций

в явном виде или в неявном виде. В этих уравнениях - параметр семейства. Таких параметров, вообще говоря, может быть несколько.

В общем случае обыкновенному дифференциальному уравнению n-го порядка отвечает семейство решений, содержащих n параметров.

Определение: Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка (2) называется функция , зависящая от аргумента и n произвольных постоянных , которая, будучи подставлена в уравнение, обращает его в тождество.

Отметим, что эта функция может задаваться и неявным образом, тогда она представляется уравнением . (3)

Общее решение дифференциального уравнения (3) называется также общим интегралом.

Чтобы из общего уравнения выделить некоторое конкретное частное решение дифференциального уравнения, необходимо задать значения для параметров . Обычно значения этих произвольных постоянных определяются заданием начальных условий: , , ,…, . Эти начальные условия дают соответственно n уравнений

,

,

,

,

решая которые относительно находят значения этих постоянных.

Например, для дифференциального уравнения 1-го порядка общее решение имеет вид . Тогда начальное условие выделяет из всего семейства интегральных кривых кривую, проходящую через точку .

2. Геометрическая интерпретация (метод изоклин)

Геометрическое представление решения дифференциального уравнения рассмотрим на примере уравнения 1-го порядка вида . В плоскости введем декартову систему координат с осями и . Каждой точке плоскости поставим в соответствие вектор , отложенный от точки .

Таким образом, дифференциальное уравнение порождает в плоскости XOY поле направлений (естественно, указанное поле существует только в области определения функции ). Тогда решением дифференциального уравнения будет такая кривая, которая в каждой точке касается вектора поля направляющей.

Действительно, пусть уравнение указанной выше кривой. Тогда в каждой точке кривой касательная к ней имеет направление

,

где -угол наклона касательной к оси . Из (условие касания кривой с вектором ) и равенства абсцисс векторов и вытекает тождество

,

выполняющееся в точках кривой . Последнее означает, что является решением уравнения .

И обратно, если решение дифференциального уравнения , то

.

Последнее соотношение означает, что в каждой точке кривой направление ее касательной совпадает с вектором поля направлений, т. е. в каждой точке кривая касается вектора поля направлений.

В качестве иллюстрации возьмем уравнение

.

Для построения поля направлений удобно использовать метод изоклин. Изоклина, это линия, в каждой точке которой вектор поля направлений одинаков. Таким образом, изоклины даются уравнением , и каждой точке изоклины соответствует вектор .

Для рассматриваемого дифференциального уравнения изоклины задаются уравнением или .

Общее решение рассматриваемого дифференциального уравнения (1) имеет вид , т. е. задает семейство гипербол. Параметрам >0 отвечают гиперболы I и III координатных углов, значениям <0 отвечают гиперболы II и IV координатных углов.

В дальнейшем, рассматривая непосредственно сами методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, мы натолкнемся на понятие принципа сжимающих отображений и теоремы о существовании и единственности решения. В связи с этим рассмотрим некоторые понятия и определения теории метрических пространств.

3. Понятие метрического пространства

Определение: Метрическим пространством называется пара , состоящая из некоторого множества (пространства) элементов (точек) и расстояния, т.е. однозначной, неотрицательной, действительной функции , определенной для любых и из и удовлетворяющей трем условиям:

тогда и только тогда, когда ,

(аксиома симметрии): ,

(аксиома треугольника):

.

Само метрическое пространство, т.е. пару , мы будем обозначать одной буквой: .

Пусть и - два метрических пространства и - отображение пространства в . Таким образом, каждому ставится в соответствие некоторый элемент из . Это отображение называется непрерывным в точке , если для каждого существует такое , что для всех таких, что , выполнено неравенство (здесь - расстояние в , а - расстояние в ). Если отображение непрерывно во всех точках пространства , то говорят, что непрерывно на .

Последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной, если она удовлетворяет критерию Коши, т.е. если для любого существует такое число , что для всех , .

Определение: Если в пространстве любая фундаментальная последовательность сходится, то это пространство называется полным.

4. Принцип сжатых отображений

Принцип сжатых отображений представляет собой полезный аппарат для доказательства различных теорем существования и единственности.

Пусть - метрическое пространство. Отображение пространства в себя называется сжатым, если существует такое число , что для любых двух точек выполняется неравенство .

Всякое сжатое отображение непрерывно. Действительно, если , то в силу (1) и .

Теорема (принцип сжатых отображений): Всякое сжатое отображение, определенное в полном метрическом пространстве , имеет одну и только одну неподвижную точку (т.е. уравнение имеет одно и только одно решение).

Доказательство: Пусть - произвольная точка в . Положим , и т.д.; вообще .

Покажем, что последовательность фундаментальная. Действительно, считая для определенности , имеем

Так как , то при достаточно большом n эта величина сколь угодно мала.

В силу полноты последовательность , будучи фундаментальной, имеет предел. Положим

.

Тогда в силу непрерывности отображения

.

Итак, существование неподвижной точки доказано. Докажем ее единственность. Если

, ,

то неравенство (1) принимает вид

;

так как , отсюда следует, что

, т.е. .

5. Существование решения дифференциального уравнения первого порядка

Задача поиска решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию , получила в литературе название задачи Коши.

Теорема Пикара: Пусть задано уравнение

и начальные значения . (2)

А) функция определена и непрерывна по обеим переменным и в некоторой области

;

Б) функция удовлетворяет в области по переменной условию Липшица, т.е.

,

то существует единственное решение указанного уравнения, удовлетворяющее начальному условию и являющееся непрерывно дифференцируемым в интервале , где - положительное число. Здесь - постоянная (константа Липшица), зависящая в общем случае от и . Если имеет ограниченную в производную, то можно принять .

Уравнение (1) вместе с начальными условиями (2) эквивалентно интегральному уравнению

(3)

В силу непрерывности функции имеем в некоторой области , содержащей точку . Подберем теперь так, чтобы выполнялись условия:

1) , если , ;

2) .

Обозначим через пространство непрерывных функций , определенных на сегменте и таких, что , с метрикой

Пространство полно, так как оно является замкнутым подпространством полного пространства всех непрерывных функций на . Рассмотрим отображение , определяемое формулой



где . Это отображение переводит полное пространство в себя и является в нем сжатым. Действительно, пусть , .

и, следовательно, . Кроме того,

Так как , то отображение сжатое.

Отсюда вытекает, что уравнение (т. е. уравнение (3)) имеет одно и только одно решение в пространстве .

При дальнейшем изложении будем предполагать, не оговаривая этого каждый раз, что для рассматриваемых дифференциальных уравнений выполнены обычные условия существования и единственности решений.

6. Методы

В первую очередь рассмотрим функциональные методы решения простейших дифференциальных уравнений, применение которых дает решение в виде функции, представленной аналитически.

Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

Рассмотрим этот метод в общем случае для дифференциального уравнения n-го порядка

при начальных условиях:

, ,…, . (2)

Предположим, что правая часть уравнения (1) является аналитической функцией в начальной точке , т. е. в некоторой окрестности этой точки разлагается в степенной ряд вида:

,

где - целые неотрицательные числа и - некоторые постоянные коэффициенты.

Тогда интеграл уравнения (1), отвечающий начальным условиям (2), является аналитическим в точке и, пользуясь рядом Тейлора, можно положить

(3)

при .

Первые n+1 коэффициентов ряда (3) определяются непосредственно из начальных условий (2) и дифференциального уравнения (1). Для нахождения следующего (n+2)-го коэффициента продифференцируем уравнение (1) по правилу дифференцирования сложной функции. В результате получим

,

где для удобства принято .

Отсюда

,

где значок "0" означает, что значения соответствующих производных берутся в точке (). Повторяя этот прием шаг за шагом, можно найти и дальнейшие производные , ,….

Пример: Написать несколько членов разложения в степенной ряд решения уравнения

, (4)

удовлетворяющего начальным условиям ; .

Решение: Полагаем

,

где и .

Из уравнения (4) получаем

. (5)

Отсюда . Дифференцируя последовательно уравнение (5), будем иметь

;

;

;

Из этих равенств вытекает, что

;

;

.

Следовательно,

Написать общий член ряда не представляет больших затруднений.

Метод разложения решения дифференциального уравнения в степенные ряды часто используется как элемент более практичных методов приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. В частности, для некоторых численных методов интегрирования дифференциальных уравнений требуется определить значение искомых функций в нескольких точках. Эти значения при соблюдении известных условий гладкости данного уравнения могут быть с любой степенью точности подсчитаны с помощью степенных рядов.

Метод Пикара (последовательных приближений).

Этот метод позволяет получить приближенное решение дифференциального уравнения в виде функции, представленной аналитически. Метод Пикара возник в связи с доказательством теоремы существования и единственности решения уравнения и является, по сути, одним из применений принципа сжимающих отображений.

Пусть в условиях теоремы существования требуется найти решение уравнения с начальным условием . Проинтегрируем обе части уравнения от до :

, или

. (1)

Очевидно, решение этого интегрального уравнения будет удовлетворять дифференциальному уравнению и начальному условию . Действительно, при получим:

.

Вместе с тем интегральное уравнение (1) позволяет применить метод последовательных приближений. Положим и получим из (1) первое приближение:

.

Интеграл в правой части содержит только переменную ; после нахождения этого интеграла будет получено аналитическое выражения приближения как функции переменной . Заменим теперь в уравнении (1) у найденным значением и получим второе приближение:

и т.д. В общем случае итерационная формула имеет вид:

(n=1, 2,…). (2)

Циклическое применение этой формулы дает последовательность функций , ,…, ,….

Так как функция непрерывна в области , то она ограничена в некоторой области , содержащей точку , т.е. .

Применяя к уравнению (2) в условиях теоремы существования принцип сжимающих отображений, нетрудно показать, что последовательность (3) сходится (имеется в виду сходимость по метрике

в пространстве непрерывных функций , определенных на сегменте , таких, что ). Ее предел является решением интегрального уравнения (2), а следовательно, и дифференциального уравнения с начальными условиями . Это означает, что k-й член последовательности (3) является приближением к точному решению уравнения с определенной степенью точности.

Оценка погрешности k-го приближения дается формулой:

, (5)

где - константа Липшица, - верхняя грань модуля функции из неравенства (4), а величина для определения окрестности вычисляется по формуле

. (6)

Геометрически последовательные приближения представляют собой кривые (n=1, 2, …), проходящие через общую точку .

Пример: Методом последовательных приближений найти приближенное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Запишем для данного случая формулу вида (2):

(n=1, 2,…).

Начальным приближением будем считать . Имеем:

.

Далее получаем:

.

Аналогично:

и т.д.

Оценим погрешность третьего приближения. Для определения области , заданной как

,

примем, например, , . В прямоугольнике функция определена и непрерывна, причем:

,

.

По формуле (6) находим . Используя оценочную формулу (5), получаем:

.

Далее мы рассмотрим некоторые численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, дающие приближенное решение в виде таблицы.

Метод Эйлера.

В основе метода ломаных Эйлера лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения, однако этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в численной (табличной) форме.

Пусть дано уравнение с начальным условием . Выбрав достаточно малый шаг , построим, начиная с точки , систему равностоящих точек (i=0, 1, 2,…). Вместо искомой интегральной кривой на отрезке рассмотрим отрезок касательной к ней в точке (обозначим ее ) с уравнением

.

При из уравнения касательной получаем: , откуда видно, что приращение значения функции на первом шаге имеет вид: .

Аналогично, проводя касательную к некоторой интегральной кривой семейства в точке , получим:

,

что при дает

,

т.е. получается из добавлением приращения

.

Таким образом, получение таблицы значений искомой функции по методу Эйлера заключается в циклическом применении пары формул:

,

, k=0, 1, 2,….

Метод Эйлера обладает малой точностью, к тому же погрешность каждого нового шага, вообще говоря, систематически возрастает. Наиболее приемлемым для практики методом оценки точности является в данном случае способ двойного счета - с шагом h и с шагом h/2. Совпадение десятичных знаков в полученных двумя способами результатах дает естественные основания считать их верными.

Если правая часть уравнения непрерывна, то последовательность ломаных Эйлера при на достаточно малом отрезке равномерно стремиться к искомой интегральной кривой .

Пример: Применяя метод Эйлера, составить на отрезке [0, 1] таблицу значений интеграла дифференциального уравнения

,

удовлетворяющего начальному условию , выбрав шаг h=0,1.

Результаты вычислений приведены в таблице. Для сравнения в последнем столбце помещены значения точного решения

.

					Точное значение
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0	1 1 1,005 1,0151 1,0303 1,0509 1,0772 1,1095 1,1483 1,1942 1,2479	0 0,05 0,1005 0,1523 0,2067 0,2627 0,3232 0,3883 0,4593 0,5374	0 0,005 0,0101 0,0152 0,0206 0,0263 0,0323 0,0388 0,0459 0,0537	1 1,0025 1,0100 1,0227 1,0408 1,0645 1,0942 1,1303 1,1735 1,2244 1,2840

Из приведенной таблицы видно, что абсолютная погрешность значения составляет . Отсюда относительная погрешность примерно равна 3%.

Модификации метода Эйлера (метод Эйлера - Коши).

Существуют различные уточнения метода Эйлера, повышающие его точность. Модификации метода обычно направлены на то, чтобы более точно определить направление перехода из точки в точку .

Рассмотрим снова дифференциальное уравнение с начальным условием .

Выбрав шаг h, положим

(i=0, 1, 2,…).

Согласно методу Эйлера последовательные значения искомого решения вычисляются по приближенной формуле

,

где . Более точным является усовершенствованный метод ломаных, при котором сначала вычисляют промежуточные значения

;

и находят значение направления поля интегральных кривых в средней точке , т.е.

,

а затем полагают

.

Другой модификацией метода Эйлера является усовершенствованный метод Эйлера - Коши, при котором сначала определяется "грубое приближение" решения

,

исходя из которого находится направление поля интегральных кривых

.

Затем приближенно полагают

.

Геометрически это означает, что мы определяем направление интегральной кривой в исходной точке (xi, yi) и во вспомогательной точке (xi+1, y*i+1), а в качестве окончательного берем среднее этих направлений.

Пример: Первым и вторым усовершенствованными методами Эйлера проинтегрировать уравнение

,

на отрезке [0,1].

Примем шаг h=0,2 и .

Приближенные значения искомого решения , определенные с помощью усовершенствованного метода ломаных, помещены в таблице 1.

В таблице 2 приведены результаты вычислений интеграла усовершенствованным методом Эйлера - Коши, причем шаг сохранен прежний h=0,2.

Таблица 1

0 1 2 3 4 5	0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0	1 1,1836 1,3426 1,4850 1,6152 1,7362	0,1 0,0846 0,0747 0,0677 0,0625	0,1 0,3 0,5 0,7 0,9	1,1 1,2682 1,4173 1,5527 1,6777	0,1836 0,1590 0,1424 0,1302 0,1210

Для сравнения приводим точное решение , откуда …

Таблица 2

0 1 2 3 4 5	0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0	1 1,1867 1,3484 1,4938 1,6279 1,7542	0,1 0,0850 0,0755 0,0690 0,0645	0,2 0,4 0,6 0,8 1,0	1,2 1,3566 1,4993 1,618 1,7569	0,0867 0,0767 0,0699 0,0651 0,0618	0,1867 0,1617 0,1454 0,1341 0,1263

Метод Эйлера и его модификации являются простейшими представителями конечно-разностных методов (шаговых методов) для приближенного решения обыкновенных дифференциальных уравнений вида (k=1, 2,…, n) при заданных начальных условиях (k=1, 2,…, n).

При применении конечно-разностного метода искомое решение yk=yk(x) (k=1, 2,…, n) последовательно строится на системе точек (узлов) xi=x0+ih (I=0, 1, 2,…), где h - выбранный шаг. Процесс вычислений расчленяется на однообразно повторяющиеся циклы, каждый из которых обеспечивает переход от значения yk(xi) к значению yk(xi+1), начиная с начального y(0)k. Поэтому схема вычислений, вообще говоря, легко программируется и удобна для реализации на ЭВМ.

Метод Рунге-Кутта

Метод Эйлера и метод Эйлера-Коши относятся к семейству методов Рунге-Кутта, имеющих следующий вид. Фиксируем некоторые числа:

последовательно вычисляем:

k1(h)=hf(x,y),

k2(h)=hf(x+2h,y+21k1(h)),

kq(h)=hf(x+qh,y+q1k1(h)+…+qq-1kq-1(h))

и полагаем:

. (1)

Рассмотрим вопрос о выборе параметров i, pi, ij. Обозначим

(h)=y(x+h)-z(h).

Будем предполагать, что

(0)='(0)=…=(s)(0)=0

при любых функциях f(x,y), а (s+1)(0)0 для некоторой функции f(x,y). По формуле Тейлора справедливо равенство

, (2)

где 01. Величина (h) называется погрешностью метода на шаге, а s - порядком погрешности метода.

При q=1 будем иметь:

(h)=y(x+h)-y(x)-p1hf(x,y),

(0)=0,

'(0)=(y'(x+h)-p1f(x,y))h=0=f(x,y)(1-p1),

”(h)=y”(x+h).

Ясно, что равенство '(0)=0 выполняется для любых функций f(x,y) лишь при условии, что р1=1. Легко видеть, что при этом значении р1 из формулы (1) получается формула

yk=hf(xk, yk),

yk+1=yk+yk, k=0, 1, 2,…,

т.е. в этом случае мы получаем метод Эйлера. Для погрешности этого метода на шаге согласно (2) будем иметь:

.

Рассмотрим случай q=2, тогда

(h)=y(x+h)-y(x)-p1hf(x,y)-p2hf(x*,y*),

где

x*=x+2h, y*=y+21hf(x,y).

Согласно исходному дифференциальному уравнению

y=f, y”=fx+fyf, y'''=fxx+2fxyf+fyyf2+fyy”. (3)

(Здесь для краткости через y и f обозначены y(x) и f(x,y) соответственно.)

Вычисляя производные функции (h) и подставляя в выражения для (h), '(h) и ”(h) значение h=0, получим (с учетом соотношений (3)):

(0)=0,

'(0)=(1-p1-p2)f,

”(0)=(1-2p22)fx+(1-2p221)fyf.

Хорошо видно, что требование

(0)='(0)=”(0)=0

будет выполняться для всех f(x,y) лишь в том случае, если одновременно будут справедливы следующие три равенства относительно четырех параметров:

1-p1-p2=0,

1-2p22=0, (4)

1-2p221=0.

Произвольно задавая значение одного из параметров, и определяя значения остальных из системы (4), мы будем получать различные методы Рунге-Кутта с порядком погрешности s=2. Например, при р1= из (4) получаем: р2=, 2=1, 21=1. Для этих значений параметров формула (1) принимает вид:

.

(Здесь yi+1 записано вместо y(x+h), yi - вместо y(x), а через y*i+1 обозначено выражение yi+hf(xi,yi).) Таким образом, в рассматриваемом случае мы приходим к расчетным формулам

y*i+1=yi+hfi, f*i+1=f(xi+1, y*i+1,

,

соответствующим методу Эйлера-Коши. Из (2) следует, что при этом главная часть погрешности на шаге есть , т.е. пропорциональна третьей степени шага h.

В вычислительной практике наиболее часто используется метод Рунге-Кутта с q=4 и s=4.

Приведем без вывода один из вариантов соответствующих расчетных формул:

k1=hf(x,y),

k2=hf(x+h/2, y+k1/2),

k3=hf(x+h/2, y+k2/2), (5)

k4=hf(x+h, y+k3),

y=z(h)-y(x)=(k1+2k2+2k3+k4).

Отметим, что в этом случае погрешность на шаге пропорциональна пятой степени шага (h5). Отсюда, в частности, следует, что при достаточно малом h и малых погрешностях вычислений решение уравнения y'=f(x,y), полученное методом Рунге-Кутта по формулам (5), будет близким к точному.

Эффективная оценка погрешности метода Рунге-Кутта затруднительна. Поэтому для определения правильности выбора шага h на практике обычно на каждом этапе из двух шагов применяют двойной пересчет. А именно, исходя из текущего верного значения y(xi), вычисляют величину y(xi+2h) двумя способами: один раз с шагом h, а другой раз с двойным шагом H=2h. Если расхождение полученных значений не превышает допустимой погрешности, то шаг h для данного этапа выбран правильно и полученное с его помощью значение можно принять за y(xi+2h). В противном случае шаг уменьшают в два раза.

Такого рода вычислительную схему легко запрограммировать для работы на ЭВМ.

Геометрический смысл использования метода Рунге-Кутта с расчетными формулами (5) состоит в следующем. Из точки (xi, yi) сдвигаются в направлении, определяемом углом 1, для которого tg1=f(xi,yi). На этом направлении выбирается точка с координатами (xi+, yi+). Затем из точки (xi, yi) сдвигаются в направлении, определяемом углом 2, для которого

tg2=f(xi+, yi+),

и на этом направлении выбирается точка с координатами (xi+, yi+). Наконец, из точки (xi, yi) сдвигаются в направлении, определяемом углом 3, для которого

tg3=f(xi+, yi+)

и на этом направлении выбирается точка с координатами (xi+h, yi+k3). Этим задается еще одно направление, определяемое углом 4, для которого tg4=f(xi+h,yi+k3). Четыре полученные направления усредняются в соответствии с последней из формул (5). На этом окончательном направлении и выбирается очередная точка (xi+1, yi+1)= (xi+h, yi+y).

Для вычисления по формулам (5) удобно пользоваться схемой, приведенной в таблице 1.

Таблица 1.

i	x	y	k=hf(x,y)	y
0	x0 x0+h/2 x0+h/2 x0+h	y0 y0+k1/2 y0+k2/2 y0+k3	k1 k2 k3 k4	k1 2k2 2k3 k4
-	-	-	-
1	x1	y1	…	…

Метод Рунге-Кутта обладает значительной точностью и, несмотря на свою трудоемкость, широко используется при численном решении дифференциальных уравнений с помощью ЭВМ. Кроме того, важным преимуществом этого метода является возможность применения "переменного шага".

Пример: Методом Рунге-Кутта вычислить на отрезке [0; 0,5] интеграл дифференциального уравнения y'=x+y, y(0)=1, приняв шаг h=0,1.

Покажем начало процесса. Вычисление у1. Последовательно имеем:

k1=(0+1)0,1=0,1;

k2=0,05+(1+0,05)0,1=0,11;

k3=0,05+(1+0,055)0,1=0,1105;

k4=0,1+(1+0,1105)0,1=0,12105.

Отсюда у0=(0,1+20,11+20,1105+0,12105)=0,1103 и, следовательно,

дифференциальный уравнение пикар эйлер

у1=у0+у0=1+0,1103=1,1103.

Аналогично вычисляются дальнейшие приближения. Результаты вычислений приведены в таблице 2.

Таким образом, у(0,5)=1,7974.

Для сравнения приводим точное решение:

у=2ех-х-1,

откуда у(0,5)=2е1/2-1,5=1,79744…

Таблица 2

i	x	y	k=0,1(x+y)	y
0	0 0,05 0,05 0,1	1 1,05 1,055 1,1105	0,1 0,11 0,1105 0,1210	0,1000 0,2200 0,2210 0,1210
				0,6620=0,1103
1	0,1 0,15 0,15 0,2	1,1103 1,1708 1,1763 1,2429	0,1210 0,1321 0,1326 0,1443	0,1210 0,2642 0,2652 0,1443
				0,7947=0,1324
2	0,2 0,25 0,25 0,3	1,2427 1,3149 1,3209 1,3998	0,1443 0,1565 0,1571 0,1700	0,1443 0,3130 0,3142 0,1700
				0,9415=0,1569
3	0,3 0,35 0,35 0,4	1,3996 1,4846 1,4904 1,5836	0,1700 0,1835 0,1840 0,1984	0,1700 0,3670 0,3680 0,1984
				1,1034=0,1840
4	0,4 0,45 0,45 0,5	1,5836 1,6828 1,6902 1,7976	0,1984 0,2133 0,2140 0,2298	0,1984 0,4266 0,4280 0,2298
				1,2828=0,2138
5	0,5	1,7974

Размещено на Allbest.ru

...