Канонічна форма Фробеніуса лінійного оператора

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ М.П.ДРАГОМАНОВА

Кафедра вищої математики

КУРСОВА РОБОТА

з алгебри

на тему:

Канонічна форма Фробеніуса лінійного оператора

Студентки 2 курсу 21-МЕІ групи

напряму підготовки «Математика»

спеціальності «Математика,

економіка та інформатика»

Іванової Тетяни Віталіївни

Керівник: кандидат фізико-математичних наук, доцент Божонок К. В.

м. Київ - 2015 р.



Зміст

Вступ

Розділ І. Поняття лінійного оператора і його властивості

1.1 Означення лінійного оператора і його найпростіші властивості

1.2 Лінійні перетворення (оператори) із простору V в V'

1.3 Матриця лінійного оператора

1.4 Перетворення матриці оператора при заміні базису

1.5 Власні значення і власні вектори оператора

Розділ ІI. Канонічна форма Жордана матриці лінійного оператора

2.1 Канонічна форма Жордана матриці лінійного оператора

Розділ ІII. Фердинанд Георг Фробеніус - німецький математик

3.1 Біографія. Основні роботи

Розділ ІV. Канонічна форма Фробеніуса лінійного оператора

4.1 Фробеніусова нормальна форма

4.2 Зв'язок між жордановою і фробеніусовою канонічною формами

Висновок

Список використаної літератури



Вступ

Лінійна алгебра - це один із найбільш важливих підрозділів вищої алгебри, яка займається вивченням довільних систем першого порядку. Вивчення таких систем привело до введення понять визначника та матриці. Відомості про перші етапи розвитку алгебри мізерні та суперечливі. В різні часи під алгеброю розуміли різні вчення: про рівняння, про буквені обчислення, про алгебраїчні структури. Найдавнішими джерелами, які свідчать про зародження алгебри в давні часи, є Вавилонські глиняні дощечки, на них міститься багато задач, які розв'язуються за допомогою повних квадратних рівнянь і систем лінійних і квадратних рівнянь з двома змінними.

У XVIII ст. в алгебрі основні зусилля математиків були спрямовані на розв'язання трьох проблем:

1. доведення основної теореми алгебри;

2. розв'язання в радикалах алгебраїчних рівнянь ступеня вищого за 4-й;

3. розв'язання систем алгебраїчних рівнянь з кількома невідомими.

Третя проблема алгебри, розвивалась паралельно з двома першими. Дослідження систем лінійних рівнянь спричинило виникнення таких понять, як визначник і матриця, з часом відбулося відокремлення цих понять. Остаточно це відокремлення відбулося в роботах А. Келі та Д.Сільвестра, які розвивали ідеї матричної теорії з 1843 року. Розробка теорій матриць і визначників сприяла розвитку теорії квадратичних форм і теорії інваріантів рівнянь. Всі ці теорії пізніше лягли в основу формування нової галузі алгебри - лінійної алгебри.

Вивченню лінійних просторів і лінійних перетворень присвячено розділ - лінійна алгебра, частиною якої є сформульована ще в XIX ст. теорія лінійних рівнянь і теорія матриць.

Сучасна точка зору на алгебру, як на загальну теорію алгебраїчних операцій сформувалось на початку XX ст. під впливом робіт Д.Гільберта, Е. Штейнца, Е. Артіні, Е. Нетер і остаточно ствердилась з виходом у 1930 році монографії Б. Ван дер Вардена «Сучасна алгебра».

Дуже важливими в лінійній алгебрі є лінійні оператори, про які і йде мова у курсовій роботі. Вони відрізняються від звичайних операторів тим, що: по-перше, областю визначення лінійного оператора завжди є деякий лінійний простір або підпростір; по-друге, властивості лінійного оператора тісно пов'язані з операціями над векторами лінійного простору.

Ми розглянемо, як видно із назви курсової роботи, канонічну форму Фробеніуса лінійного оператора. Та перед цим введемо поняття лінійного оператора, матриці, власних значень та власних векторів оператора. Проаналізуємо доречність вивчення цієї теми студентами у курсі лінійної алгебри(адже вона не вивчається наразі студентами вищого навчального закладу). Зробимо певні висновок. Порівняємо канонічну форму Фробеніуса лінійного оператора з Жордановою.

Актуальністю цієї роботи є те, що при деяких задачах не можливо або не доцільно використовувати жорданову форму, а краще скористатись ще одним способом представлення лінійного оператора ,де оператор виглядає «набором» т. з. циклічних клітин. Тобто форма Фробеніуса теж вважається, що подана у «найпростішому вигляді». Власне це й обрано основною проблемою даного дослідження, що визначає його актуальність .

Метою курсової роботи окрім того, щоб показати безпосередньо тісний зв'язок між алгеброю лінійних операторів і алгеброю матриць, є те, що потрібно дослідити канонічне представлення Фробеніусової форми лінійного оператора, з'ясувати існування і єдність цієї форми, вказати алгоритм приведення матриці оператора до фробеніусової форми. Завданням цієї роботи є ще й порівняння Жорданової форми з Фробеніусовою.

матриця оператор фробеніус лінійний



Розділ І. Поняття лінійного оператора і його властивості

1.1 Означення лінійного оператора і його найпростіші властивості

В теорії лінійних просторів та її застосуванні важливу роль відіграють лінійні оператори, які ще називають лінійними перетвореннями.

Означення. Нехай V і W два різних лінійних простору над полем комплексних чисел. Відображення A:V>W, яке ставляє у відповідність кожному вектору простору V деякий вектор простору W, будемо називати оператором A, діючий із V в W. Якщо ?W є образом вектора ?V, то пишуть =.

Означення. Оператор A називається лінійним, якщо виконуються умови:

1. A( 1+ 2)=A1+A2 (властивість адитивності);

2. A(л* )= л*A (властивість однорідності);

Тут 1, 2, - довільно взяті вектори простору W, л - довільне комплексне число.

Позначимо через L(V,W) множина всіх лінійних операторів, діючих із V в W. Два лінійних оператора A і B будемо вважати рівними, якщо для будь-якого вектору простору VA=B.

Означення. Під сумою двох лінійних операторів A і B розуміють оператор A + B такий, що для будь - якого вектора простору V

(A+B)=A+B.

Означення. Під добутком лінійного оператора A на комплексне число л розуміють оператор лA такий, що для будь - якого вектора простору V

(лA)=лA

Неважко переконатися в тому, що оператори A+B і лA лінійні.

Означення. Оператор и називається нульовим, якщо для будь - якого вектору простору V и=?W.

Щоб переконатися, що оператор и лінійний і, як наслідок, належності множині L(V,W), потрібно показати, що для довільно взятих векторів 1, 2, 3 простору V мають місце рівності и(1+2)=и1+и2 і и(л)=ли. Так як будь-якому вектору простору V оператор и ставить у відповідність вектор ?W, то и(1+2)==+=и1+и2, и(л)==л=ли. Як наслідок, и - лінійний оператор.

Означення. Введемо поняття оператора, протилежному лінійному оператору A?L?V,W?. Оператор -A називається протилежним оператором A, якщо A+(-A)=и. Неважко перевірити, що для довільно взятого оператору A із L(V,W)-A=(-1)A і що A лінійний оператор.

Введені на множині L(V,W) лінійні операції над її елементами (операторами) мають такі властивості:

1. A+B=B+A,

2. (A+B)+C=A+(B+C),

3. існує один лінійний оператор B?L(V,W) такий, що для будь - якого лінійного оператора A із L(V,W) A+B=A

4. для кожного оператора A?L(V,W) існує єдиний оператор - A такий, що A+(-A)=и.

Із перелічених властивостей лінійних операцій над елементами множини L(V,W) випливає, що множина L(V,W) по відношенню до операції суми операторів є адитивною абелевою групою. Операція множення на число має такі властивост:і л(мA)= (лм)A=м(лA), 1•A=A.

Всі перелічені властивості лінійних операцій над елементами множини L(V,W) дозволяє стверджувати, що множина L(V,W) є лінійним простором над полем комплексних чисел. Звідси випливає, що можна ставити питання про розмірність цього простору, про його базиси, підпросторів.

1.2 Лінійні перетворення (оператори) із простору V в V`

В подальшому будемо розглядати лінійні оператори, діючі із лінійного простору V в той самий простір. Ці оператори називають також перетвореннями із V в V'.

Означення. Назвемо тотожнім (одиничним) оператор I такий, що для будь - якого вектора простору VI=. Очевидно, I(1+2)=1+2=I1+I2, I(л•)=л•=л•I, для будь-яких 1,2,?V. З цього випливає, оператор I - лінійний і, тому, I?L(V,V?. Неважко упевнитися в тому, що оператор I - єдиний. Дійсно, якщо припустити що, крім тотожного оператора I з L(V,V), існує ще один тотожний оператор I1?L(V,V), тоді для будь-якого ?V будемо мати I=, I1=, очевидно, I=I1, тобто I=I1.

Введемо операцію множення операторів. Нехай A та B - два будь-яких лінійних оператора з L(V,V), а - довільний вектор простору V. Очевидно вектор A?V, тому цей вектор можна привести за допомогою оператора B. В результаті вектор буде перетворений до вектору =B(A).

Означення. Оператор, який приводить довільний вектор простору V у вектор =B(A), називається добутком операторів B та A і позначається так: B•A. За означенням добутку операторів B і A (B•A)=B(A) для будь-якого вектору ?V. Легко перевірити, що (B•A)(1+2)=(B•A)1+(B•A)2, (B•A)(л•)=л•(B•A), де л - довільно вибране комплексне число. З цього слідує, що добуток лінійних операторів є лінійним оператором, тобто B•A?L(V,V). Зауважимо, що B•A?A•B.

Операції додавання та множення лінійних операторів мають наступні властивості:

1) л(A•B)=(лA)•B=A•( лB),

2) (A+B)•C=A•C+B•C,

3) A•(B+C)=A•B+A•C,

4) (A•B)•C=A•(B•C).

Для ілюстрації способу доведення цих властивостей доведемо властивість A•(B+C)=A•B+A•C. Нехай - довільний вектор простору V. Для довільного вектору простору V за означенням добутку і суми операторів має

(A•(B+C))=A•((B+C))=A•(B+C)=A(Bx)+A(Cx)=(A•B)+(A•C)=(A•B+A•C)

Таким чином, (A•(B+C))=(A•B+A•C), тобто A•(B+C)=A•B+A•C.

Означення. Якщо для оператору A?L(V,V) можна вказати такий лінійний оператор A-1, що A-1•A=A•A-1=I, то оператор A-1 називають оберненим для оператору A. Можна показати, що оператор A-1 - єдиний.

Сформулюємо наступне твердження.

Теорема 1.2.1 Для того, щоб лінійний оператор A?L(V,V) мав обернений необхідно і достатньо, щоб він був взаємно-однозначним.

Введемо поняття ядра й образу оператора.

Означення. Ядром лінійного оператора A?L(V,V) називають таку множину kerA векторів простору V, що для любого ?kerA A=. Відомо, що будь-який лінійний оператор приводить вектор в , тобто A()=, тому ядро довільного лінійного оператора не є пустою множиною, так як воно завжди містить оператор .

Теорема 1.2.2. Якщо kerA містить єдиний вектор , то оператор A є взаємно-однозначним.

Теорема 1.2.3. Для того, щоб оператор A мав обернений, необхідно і достатньо, щоб kerA={}.

Теорема 1.2.4. Для будь-якого лінійного оператора A із L(V,V) сума розмінностей його ядра і образу дорівнює розмірності простору V, тобто dim(kerA)+dim(ImA)=dimV або deA+rangA=dimV.

Теорема 1.2.5. Нехай V1 і V2 - два яких-небудь підпростори n - мірного простору V, причому dimV1+dimV2=dim n. Тоді існує такий лінійний оператор A, що ImA=V1, а kerA=V2.

Теорема 1.2.6. Нехай A і B - два яких-небудь лінійних оператора із множини L(V,V), тоді rang(A•B)?rang(A), rang(A•B)?rang(B).

Теорема 1.2.7. Нехай n - розмірність простору V, A і B - лінійні оператори із L(V,V), тоді rang(AB)?rang(A)+rang(B)-n.

1.3 Матриця лінійного оператора

Означення. Матрицею розміру mxn (m-на-n,або mn-матрицею) називається множина з mn елементів ai,j , розміщених у вигляді прямокутної таблиці з m рядків і n стовпців, а m і n -- її розмірністю:

A=.

де ai,j - елемент матриці; i - номер рядка; j - номер стовпця.

При альтернативному позначенні використовуються великі круглі дужки:

Нехай 1,2,…,n - деякий базис лінійного простору V, а A - який-небудь лінійний оператор, діючий із V в V'. Вектор =x11+x22+…+xnn оператор A перетворює в вектор A=x1A1+x2A2+…+xnAn. Вектори A1,A2,…,An простору V розкладемо по векторах базису 1,2,…,n цього простору. Побудуємо матрицю порядку n, стовпці якої складені із координат векторів A1,A2,…,An ,

A=, a1k1+a2k2+…+ankn= Ak, k=1,2,…,n.



Означення. Матриця називається матрицею оператора A в базисі 1,2,…,n.

Приклад. Записати матрицю тотожного і нульового операторів у базисі 1,2,…,n простору V.

Тотожний оператор I будь-який вектор простору V приводить в той же самий оператор. Тому I1=1,I2=2,…,In. А це означає, що матриця тотожного оператора буде одиничною в будь-якому базисі простору V. Нульовий оператор и будь-який вектор простору V перетворює в нульовий вектор, тому матриця цього оператора - нульова в будь-якому базисі.

Із сказаного вище випливає, що в обраному базисі n-мірного простору V з кожним лінійним оператором A?L(V,V) можна зв'язати квадратну матрицю порядку n. Виникає питання: чи можна кожній квадратній матриці порядку n поставити у відповідність такий лінійний оператор A, матриця якого в заданому базисі 1,2,…,n простору V співпадає з матрицею ? Стверджувальну відповідь на це питання дає

Теорема 1.3.1. Нехай =(aik) - деяка квадратна матриця порядку n. Нехай 1,2,…,n - довільний обраний базис n-мірного лінійного простору V. Тоді існує єдиний лінійний оператор A?L(V,V), який у вказаному базисі має матрицю .

Наслідок. Для будь-якого ?V A=A'. Звідси витікає, що A=A'. Теорему доведено.

Теорема 1.3.2. Нехай - матриця лінійного оператора A в базисі 1,2,…,n простору V. Ранг оператора A дорівнює рангу його матриці: rangA=rangA'

Із доведеного твердження і теорем 1.2.6, 1.2.7 про ранг оператора A•B слідує справедливість таких нерівностей для двох добутків квадратних матриць і одного порядку n.

rang()?rang, rang()?rang, rang()?rang+ rang-n

Відомо, що необхідною і достатньою умовою існування оберненого оператора для оператора A, є умова rangA=n, де N - розмірність простору V. Із теореми 1.3.2 витікає, що остання умова еквівалентна вимозі: матриця оператора A повинна бути не виродженою.

Іншими словами, щоб оператор A мав обернений необхідно і достатньо, щоб його матриця в якому-небудь базисі лінійного простору V виявилась не виродженою.

1.4 Перетворення матриці оператора при заміні базису

Нехай у просторі V обрані два базиси 1,2,…,n і 1',2',…,n' . Перший базис для зручності назвемо старим, а другий - новим.

T=

Побудована матриця називається матрицею переходу від старого базису до нового. Вектори 1',2',…,n' лінійно незалежні, тому rangT=n і, звісно, матриця T не вироджена.

Згідно сказаному

1'=11•1+21•2+…+n1•n,

2'=12*1+22*2+…+n2•n,

n'=1n•1+2n•2+…+nn•n. (1.4.1)

Ці формули зв'язку між векторами старого і нового базисів у матричному записі мають вигляд



=T', де T' - транспонована матриця T.

Теорема 1.4.1. Матриці і ' оператора A?L(V,V) в базисах 1,2,…,n і 1',2',…,n' зв'язані співвідношеннями '=T-1••T, =T•'•T-1, де T - матриця переходу від старого базису 1,2,…,n до нового 1',2',…,n'.

Означення. Матриці A і B одного й того ж порядку називаються подібними, якщо можна знайти таку не вироджену матрицю Q того ж порядку, що B=Q-1•A•Q. Із цього означення і теореми 1.4.1 витікає, що матриці оператора A у різних базисах виявляються побідними. Покажемо, що визначники подібних матриць A і B рівні. Дійсно, згадавши, що визначник добутку квадратних матриць дорівнює добутку визначників співмножників, можемо записати

|B|=|Q-1AQ|=|Q-1|•|A|•|Q|=|Q-1Q|•|A|=|E|•|A|=|A|.

Із доведеного твердження виходить, що визначник матриці оператора не змінюється при заміні базису. У зв'язку з цим доречно ввести поняття визначника оператора.

Означення. Визначником оператора A?L(V,V) називають число detA, рівне визначнику матриці оператора A в якому-небудь базисі простору.

Приклад. Лінійний оператор A діє на вектори базису 1,2,…,n наступним чином: A1=1,A2=1+2,…,An=1+2+…+n. Знайти визначник оператора A.

Розв'язок. Матриця оператора A у базисі 1,2,…,n має вигляд

=,

тобто є верхньою трикутною. Визначник цієї матриці дорівнює одиниці, тому і detA=1.

1.5 Власні значення і власні вектори оператора

Означення. Число л називається власним числом лінійного оператора A?L(V,V), якщо у просторі V можна знайти такий ненульовий вектор , що A=л (1.5.1)

Означення. Будь-який ненульовий вектор, задовольняючий рівності (1.5.1), називають власним вектором оператора A, що відповідає власному значенню л.

Рівність (1.5.1) можна записати по іншому (A-лI)=, де I - тотожний оператор. Оскільки - ненульовий вектор, то зрозуміло, що розмірність ядра оператора A-лI не менше одиниці. Нехай n - розмірність простору V, в якому діє оператор A. Відомо, що dimker(A-лI)+dimIm(A-лI)=n. Звісно,

dimIm(A-лI)=rang(A-лI)?n-1.

Але тоді det(A-лI)=0.

Таким чином, якщо число л є власним значенням оператора A, то л є коренем рівняння det(A-лI)=0 (характеристичне рівняння або вікове рівняння оператора A).

Вияснимо, чи всі корені характеристичного рівняння det(A-лI)=0 будуть власними значеннями оператора A. Нехай л* - який-небудь корінь рівняння, тоді для цього значення л det(A-л*I)=0. Це означає, що матриця оператора A-л*I буде виродженою у будь-якому базисі простору V. Як наслідок, rang(A-л*I)?n-1. Так як dimker(A-л*I)+rang(A-л*I)=n, то dimker(A-л*I)?1. А це означає, що існую по меншій мірі один ненульовий вектор ?V, такий, що (A-л*I)= чи A=л*. Таким чином, будь-який корінь характеристичного рівняння det(A-лI)=0 буде власним значенням оператора A, тобто вірне твердження.

Теорема 1.5.1. Для того, щоб комплексне число л було власним значенням лінійного оператора A, необхідно і достатньо, щоб це число було коренем характеристичного рівняння det(A-лI)=0.

Нехай 1,2,…,n - базис простору V і нехай

=,

матриця лінійного оператора A у цьому базисі. Відомо, що матриця тотожного оператора I в будь-якому базисі буде одиничною, тому в розглянутому базисі простору V оператор A-лI характеризується такою матрицею

.

Означення. Визначник цієї матриці, тобто det(-лI), називається характеристичним або віковим визначником оператора A. Легко побачити, що добуток елементів ()()…() головної діагоналі вікового визначника буде многочленом степені n, решта членів визначника будуть многочленами степені не вище n-2. З цього видно, що віковий визначник оператора A є многочленом степені n. За наслідком з основної теореми алгебри такий многочлен має n коренів, якщо кожний корінь рахувати стільки разів, яка його кратність. Тому число власних значень оператора A, діючого в n-мірному просторі, дорівнює n, якщо кожне власне значення рахувати стільки разів, яка його кратність.

Відомо, що в різних базисах простору V матриці оператора A, взагалі-то, різні. У зв'язку з цим виникає питання про пошук такого базису простору V, в якому матриця оператора має найпростіший вигляд (найбільше число нульових елементів). Припустімо, що у просторі V існує базис 1,2,…,n всі вектори якого є власними векторами оператора A, тобто

A1=л1•1,A2=л1•2,…,An=лn•n .

У цьому базисі матриця оператора буде мати діагональний вигляд

.

Навпаки, якщо в якому-небудь базисі простору V матриця лінійного оператора A має діагональний вид, то всі вектори базису є власними векторами оператора A. Таким чином, доведено наступне твердження.

Теорема 1.5.2. Для того, щоб матриця лінійного оператора A у базисі 1,2,…,n простору V була діагональною, необхідно і достатньо, щоб вектори 1,2,…,n були власними векторами оператора A.

Теорема 1.5.3. Якщо власні значення л1,л2,…,лг лінійного оператора A, діючого в n-мірному просторі v, різні, тоді відповідні їм власні вектори 1,2,…,г лінійно незалежні.

Наслідок. Якщо характеристичне рівняння det(A-лI)=0 має n різних коренів, то у n-мірному векторному просторі існує базис, в якому матриця оператора A має діагональний вид.

Якщо оператор A має кратні власні значення, то може виявитися, що максимальна лінійно незалежна сукупність власних векторів оператора A не буде утворювати базис лінійного простору, в якому діє оператор A. У зв'язку з цим виникає питання, якими векторами доповнити до базису простору максимальну лінійно незалежну сукупність власних векторів, щоб у цьому базисі матриця мала найпростіший вигляд. Відповідь на це питання дав французький математик Жордан.

Означення. Вектор називається приєднаним вектором оператора A, що відповідає кратному власному значенню л цього оператора, якщо можна вказати таке натуральне число m?1, що (A- лI)m+1=0,(A- лI)m?0.

Означення. Число m називається порядком приєднаного вектора . Нехай - приєднаний вектор порядку m, що відповідає власному значенню л. Позначимо через вектор (A- лI)m. Тоді за означенням приєднаного вектора ,(A- лI)= або A=л. Вектор виявляється власним вектором оператора A. Цю властивість приєднаного вектора можна використовувати при побудові приєднаних векторів за заданим власним вектором .

Приклад . Знайти власні значення і власні вектори лінійного перетворення, заданому в деякому базисі матрицею:

А =.

Розв'язання: Складаємо характеристичне рівняння і розв'язавши його знаходимо власні числа:

|Aц-лE|==(л2-4л+4)( л2-4л+4)=( л-2)4=0

Розв'язуємо її методом Гауса, для цього приводимо матрицю до східчастого вигляду:

(A-2E)=

л=2

Складаємо однорідну систему рівнянь для визначення власних векторів:

(A-2E)

=c1+ c2

Оскільки максимальна кількість лінійно незалежних власних векторів менша за вимірність простору, то власні вектори не утворюють базис простору і таким чином матриця не діагоналізуєма.

Приклад . З'ясувати, яку з матриць лінійних перетворень можна привести до діагонального виду шляхом переходу до нового базису. Знайти цей базис і відповідну йому матрицю:

А =

Розв'язання: Складаємо характеристичне рівняння і розв'язавши його знаходимо власні числа:

|A- лE|==( л-1)(- л2+4 л-4)=0

л1=1

Розв'язуємо її методом Гауса, для цього приводимо матрицю до східчастого вигляду:

A=

Власні вектори мають вигляд: =c(1,1,1). л2=2

|A- лE|==(1,0,-3), =(0,1,3)

Формула зв'язку між векторами старого і нового базисів у матричному записі має вигляд: A`=C-1AC

A'==Матриця діагоналізована.



Розділ ІI. Канонічна форма Жордана матриці лінійного оператора

2.1 Канонічна форма Жордана матриці лінійного оператора

Теорема 2.1. (теорема Жордана). У n-мірному векторному просторі V існує базис 1-1,1-2,…,1-n1,2-1,…,2-n2,…,s-1,s-2,…,s-ns, побудований із s власних векторів 1-1,2-1,…s-1 і відповідних їм приєднаних векторів, такий, що

Ak-1=лk-1, k=1,2,…,s; Ak-m=лkk-m +k-m-1, m=2,3,…,nk .

У цьому базисі матриця оператора A має наступний вид

,

де k - квадратна матриця порядку nk (клітка Жордана):

k=.

Означення. Вказана в теоремі 1.5.4 форма матриці оператора A називається жордановою або канонічною формою матриці цього оператора.

Лема. Матриці А, B?Cn x n подібні <=> Iл - A і Iл - В мають однакові елементарні дільники.

Теорема 2.2 (друга нормальна форма). Якщо e1 (л), … , ep (л) позначають елементарні дільники для Iл - A, A ? Cn x n , то А подібна квазидіагональній матриці L1 = diag { L (e1 ), L (e2 ), … , L (ep ) }.

Тепер ми можемо легко отримати жорданову нормальну форму. Залишається лише задати відповідний вид діагональним блокам в другій нормальній формі. Припустимо, що

Визначимо жорданову клітину, відповідну цьому елементарному дільнику, як матрицю Jj ? Cpj x pj задану у вигляді

Іноді зручно записувати жорданову клітину в іншому вигляді. Ми визначаємо спочатку Нn як n x n-матрицю з одиницями у верхній «наддіагоналі» і нулями у всіх інших місцях. Таким чином, елементи матриці Нn задаються hjh = дj+1,k для j, k = 1, 2, ..., n. Маємо тоді

Ji = Iл1 + Hpj .

де передбачається, що порядок I дорівнює pj. Слід також зауважити, що при pj = 1 ми беремо Ji = лj У цьому випадку елементарний дільник лінійний.

Теорема 2.3 (жорданова нормальна форма). Якщо A ? Cn x n і Iл - А має p елементарних дільників з відповідними жорданову клітинами J1 , J2 , … , Jp та J = diag { J1 , … , Jp } то А і J подібні.

Наслідок. Матриця A ? Cn x n проста <= > всі елементарні дільники л-матриці Iл - А лінійні.

Наслідок . Матриця з Cn x n проста <=> її мінімальний многочлен має лише прості корені.

Приклад 2.31 . Знайти жорданову нормальну форму матриці

А=

Розв'язання 2.3.1. Обчислимо систему найбільших спільних дільників мінорів характеристичної матриці

хЕ-А=

Очевидно, що d1(x) = d2 (x) = 1. Обчислимо d3 (x):

d3 (x)== х3 - 5х2 + 9х - 5.

Далі, f1(x) = d1{x)= 1,

f2(x) = d2(x)/d1(x)=1,

f3(x) = d3{x)/d2(x) = х3 - 5х2 + 9х - 5 = (x- 1)(x2 - 4x + 5).

У полі R многочлен x2 - 4x + 5 коренів не має. Отже, над R не існує жорданової нормальної форми матриці А. Якщо ж основним полем служить поле С комплексних чисел, то жорданова нормальна форма існує. В цьому випадку

f3(x) = (х - 1) (х - 2 - і) (х - 2 + і).

Отже, хЕ - А має три елементарних дільника: х- 1, х -(2+і), х -(2-і).

Отже, diag- жорданова нормальна форма матриці А

Приклад 2.3 2. Для матриці побудувати жорданову форму А.

Розв'язання 2.3.2. Обчислимо систему найбільших спільних дільників мінорів характеристичної матриці

хЕ-А=

Очевидно, що d1(x) = d2 (x) = 1. Обчислимо d3 (x):

d3 (x)==х(х-2)(х-4)=х3-6х2+8х

Далі, f1(x) = d1{x)= 1,

f2(x) = d2(x)/d1(x)=1,

f3(x) = d3{x)/d2(x) = х3-6х2+8х=х(х2-6х+8)= х(х-2)(х-4)

Отже, хЕ - А має три елементарних дільника: х, х-2,х-4.

Отже,

А =

жорданова нормальна форма матриці А



Розділ ІII. Фердинанд Георг Фробеніус - німецький математик

3.1 Біографія. Основні роботи

В 1867 один семестр відвідував заняття в Геттінгенському університеті, потім продовжив навчання в університеті Гумбольдта в Берліні. Деякий час викладав в берлінській гімназії, в 1874 був прийнятий на посаду професора в Берлінський університет. Член Прусської академії наук ( 1893). Разом з Кронекера, Лазарус Іммануель Фуксом і Германом Амандусом Шварцем належав до вузького кола найвідоміших берлінських математиків свого часу.

Основні роботи Фробеніуса відносяться до теорії груп, зокрема, до теорії зображень.

Він першим довів, що алгебри з поділом над R існують тільки в просторах розмірності один ( речові числа), два ( комплексні числа) і чотири ( кватерніони). (Теорема Фробеніуса)

На ім'я Фробеніуса названі такі математичні поняття:

Гомоморфізм Фробеніуса з комутативної алгебри.

Критерій Фробеніуса інтегрованості розподілу

Матриця Фробеніуса

Норма Фробеніуса

Група Фробеніуса

Нерівність Фробеніуса

Теорема Фробеніуса

Поліном Фробеніуса

Оператор Перрона-Фробеніуса

Теорема Фробеніуса-Перрона

Теорема взаємності Фробеніуса



Розділ ІV. Канонічна форма Фробеніуса лінійного оператора

4.1 Фробеніусова нормальна форма

Жордановою нормальною формою дуже зручно користуватися, однак вона не завжди існує. Тут ми визначимо ще одну нормальну форму матриці, що існує при будь-якому основному полі.

Означення. Нехай Р - довільне поле, а g(x)=a0+a1x+…+an-1xn-1+xn - многочлен ненульового ступеня n над полем Р, старший коефіцієнт якого рівний 1. Матриця

F =

називається клітиною Фробеніуса, що супроводжує многочлен g(x).

В останньому стовпці клітини Фробеніуса розташовані коефіцієнти многочлена g(x), взяті з протилежним знаком. Нижче головної діагоналі паралельно їй йде лінія 1, …, 1. Всі інші елементи рівні 0. Наприклад, матриці

1, ,

є клітинами Фробеніуса, супроводжуючими відповідно многочлени x-1, x2-1, x3.

Означення. Нехайg1(x), g2(x), …, gm(x) (4.1.1)

є система многочленів ненульових степенів над полем P, така, що для

і = 1, 2,…, m-1 многочлен gi(x) є дільником наступного многочлена gi+1(x) і старший коефіцієнт кожного з них рівний 1. Нехай, далі, для ? = 1, 2, …, m F? - клітинка Фробеніуса, супроводжуюча многочлен g?(x).

Означення. Клітинно-діагональна матриця

F=diag[F1, F2, …, F?] (4.1.2) називається матрицею Фробеніуса, супроводжуючу систему многочленів(4.1.1).

Означення. Якщо A - довільна матриця, F - подібна їй матриця Фробеніуса, то F називається фробеніусовою нормальною формою матриці A.

Теорема 4.1. Для будь-якої квадратної матриці над довільним полем існує єдина фробеніусова нормальна форма.

Доведення теореми спирається на наступну лему.

Лема. Якщо (4.1.2) - матриця Фробеніуса порядку n, супроводжуюча систему многочленів (4.1.1), то

1, …, 1, g1(x), g2(x), …, gm(x), (4.1.3)

де число одиниць рівне n - m, - система інваріантних множників характеристичної матриці xE - F.

Нехай m = 1. Розглянемо систему

d1(x), d2(x), …, dn(x)

найбільших спільних дільників мінорів характеристичної матриці

xE - F = ,

де a0+a1x+a2x2+…+an-2xn-2+an-1xn-1+xn=g1(x); dn(x)=|xE-F|. Розклавши цей визначник за елементами останнього стовпця, одержимо

dn(x)=(-1)n+1a0(-1)n-1+(-1)n+2a1x(-1)n-2+…+(-1)2n-1an-2(-1)+(x+an-1)xn-1= =a0+a1x+…+an-2xn-2+an-1xn-1+xn=g1(x).

Мінор порядку n-1, який залишається після викреслювання першого рядка і останнього стовпця матриці xE-F, рівний (-1)n-1, тому dn-1(x)=1. Отже, di(x)=1, i=1, …, n-1. Тепер по формулах

1(x)=d1(x), i(x)=di(x)/di-1(x), i=2, …, n,

Отримуємо інваріантні множники матриці xE-F:

1(x)=…= n-1(x)=1, n(x)=g1(x).

Отже, для випадку m=1 лема доведена.

Нехай тепер m>1. Розглянемо характеристичну матрицю

xE - F=diag[xEn1 - F1, xEn2 - F2, …, xEnm- Fm],

де ni - степінь многочлена gi(x). За допомогою елементарних перетворень рядків і стовпців зведемо кожну з клітин xEni - Fi до канонічної форми Ki. З доведеного вище виходить, що Ki=diag[1, …, gi(x)]. Але елементарні перетворення кожної клітинки xEni - Fi можна розглядати як елементарні перетворення матриці xE - F, які не зачіпають рядочків та стовпців, не приходящих через цю клітинку. Тому матриця xE - F еквівалентна матриці

diag[K1, K2, …, Km]=diag[1, …, 1, g1(x), 1, …, 1, g2(x), …, 1, …, 1, gm(x)]=L.

Змінивши порядок рядків та стовпців матриці L, приведемо її до виду

K=diag[1, …, 1, g1(x), …, gm(x)].

Отже, K - канонічна форма матриці xE - F з многочленами (4.1.3) на діагоналі.

Перейдемо безпосередньо до доведення теореми 4.1.

Доведемо спочатку існування фробеніусової нормальної форми. Нехай A - квадратна матриця порядку n над полем P, система інваріантних множників її характеристичної матриці

1, …, 1, 1(x), …, n(x), (4.1.4)

де 1(x)?1. Так як визначник характеристичної матриці відмінний від нуля, то n(x)?0, i(x) - дільник многочлена i+1(x). Отже, існує матриця Фробеніуса F, супроводжуюча систему многочленів

i(x), …, n(x). (4.1.5)

Порядок матриці F рівний сумі степенів многочленів (5), тобто степеня їх добутку, який, в свою чергу, рівний добутку всіх многочленів (4). Останній представляє собою |xE-A|, тобто характеристичний многочлен матриці A, та має степінь n. Отже, F - матриця порядку n. Відповідно попередній лемі, (4) - система інваріантних множників матриці xE-F. Таким чином, xE-A~xE-F, матриці A і F подібні, F - фробеніусова нормальна форма матриці A.

Тепер доведемо єдиність фробеніусової нормальної форми. Нехай F1 та F2 - подібні матриці Фробеніуса. Тоді характеристичні матриці xE-F1 і xE-F2 еквівалентні і, відповідно, мають співпадаючі системи інваріантних множників. Але тоді F1 і F2 супроводжують одну і ту ж систему многочленів і тому співпадають.

Приклад4.1.1. Знайти фробеніусову нормальну форму матриці

A=

Розв'язок 4.1.1. В розв'язанні 2.3.1 обчислені інваріантні множники матриці xE-A:1(x)= 2(x)=1, 3(x)=-5+9x-5x2+x3.

Клітинка Фробеніуса, супроводжуюча многочлен -5+9x-5x2+x3, тобто матриця

,

є фробеніусовою нормальною формою матриці A.

Приклад4.1.2. Знайти фробеніусову нормальну форму матриці

Розв'язок 4.1.2. В розв'язанні 2.3.2 обчислені інваріантні множники матриці xE-A:1(x)= 2(x)=1, 3(x)= х3-6х2+8х=х(х2-6х+8)

Клітинка Фробеніуса, супроводжуюча многочлен х3-6х2+8х тобто матриця

,

є фробеніусовою нормальною формою матриці A.

4.2 Зв'язок між жордановою і фробеніусовою канонічною формами

Зв'язок між двома канонічними формами, ймовірно, найкраще проілюструвати на прикладі. Нехай матриця А десятого порядку має наступні елементарні дільники:



Її жорданову канонічну форму можна записати у вигляді

де ми згрупували жорданову підматрицю вищого порядку, відповідні кажному власному значенню, в наступного вищого порядку - в G2 і т. д.

Отже кожна матриця G? має тільки одну жорданову підматрицю, відповідну кожному л?, і тому може бути приведена перетворенням подібності H? до єдиної матриці Фробеніуса відповідного порядку. У нашому прикладі

Отже,

Характеристичний поліном дорівнює B6дорівнює(л1-л)3 (л2-л)2 (л3-л),B3 дорівнює (л1-л) (л2-л)2 і В1дорівнює (л1-л). Кожен з цих поліномів є дільником попереднього, що випливає з визначення G? і що залишається справедливим в загальному випадку. Очевидно, що елементарні дільники матриці є множниками в характеристичних поліномах підматриць в канонічній формі Фробеніуса. Зауважимо, що якщо матриця А суттєва, то кожне комплексне власне значення зустрічається як сполучена пара.

Отже, кожна В? буде речова. Цього можна було очікувати, так як ми стверджували, що канонічна форма Фробеніуса може бути отримана перетвореннями, раціональними в поле А.



Висновок

У курсовій роботі було розглянуто поняття та найпростіші властивості лінійного оператора. Розглянуто коротку характеристику матриць та проведено паралель між алгеброю лінійного оператора та алгеброю матриць. Так, як алгебра матриць ізоморфна алгебрі лінійних операторів, то все, що стосується матриць можна перенести на мову лінійних операторів. Були підібрані задачі, що показують практичне застосування різних теорем та лем.

Ми розглянули канонічну форму Фробеніуса лінійного оператора. Можна сказати, що матеріал курсової роботи може використовуватись студентами під час вивчення даної теми, що допоможе їм краще оволодіти новою темою, поглибити свої знання у галузі алгебри. Ця тема дуже цікава і актуальна в сучасній алгебрі, тому я б радила студентам фізико-математичних факультетів звернути на це увагу.

Порівнявши канонічну форму Фробеніуса лінійного оператора з Жордановою бачимо, що інколи доцільно використовувати теорему Фробеніуса, ніж Жорданову. Дослідили канонічне представлення Фробеніусової форми лінійного оператора, з'ясували існування і єдність цієї форми, вказали алгоритм приведення матриці оператора до фробеніусової форми.



Список використаних джерел

1. Алгебра и аналитическая геометрия.: В 2 ч. Ч. 2: Для вузов. Для студентов мат. спец. ун-тов и пед. ин-тов/М. В. Милованов, М. М. Толкачев, Р. И. Тышкевич, А. С. Феденко.-- Мн.: Выш. шк., 1987.--269 с:

2. В. В. Прасолов,Задачи и теоремы линейнойалгебры.-- 2-е изд. -- М., 2008.-536с.

3. Вивальнюк Л.М. Алгебра і теорія чисел. Матриці і детермінанти. Групи. Векторні простори. Лінійні оператори. Методичні вказівки до лекцій для студентів-заочників, фізико-математичного факультету пед. інститутів. К., «Вища школа», 1974.

4. Воеводин В.В. Линейная алгебра: [Учебное пособие для вузов по спец. «прикл. математика»] - 2-е изд., переработано и дополнено. - М., «Наука», 1980. - 400 с.

5. Завало С.Т. Алгебра і теорія чисел: Практикум. - К. Вища школа, 1983. - 331 с.

6. Завало С.Т. Курс алгебри. - К.: Вища школа, 1985. - 496 с.

7. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. - М.: Наука, 1978. - 302 с.

8. Калужнін Л.А., Вишенський В.А., Шуб Ц.О. Лінійні простори. - К.: Вища школа, 1971. - 343 с.

9. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979. - 559 с.

10. http://info.alnam.ru

11. http://mineralka.usp.net.ua

Размещено на Allbest.ru

...