Розв’язність двоточкових крайових задач у критичному випадку

Размещено на http://www.allbest.ru/

Державний вищий навчальний заклад

Ужгородський національний університет

Кафедра диференціальних рівнянь та математичної фізики

Розв'язність двоточкових крайових задач у критичному випадку

Ужгород, 2016 року



Зміст

Вступ

1. Псевдообернена матриця та ортопроектори

2. Побудова розв'язків крайових задач для лінійних неоднорідних систем диференціальних рівнянь

Висновки

Перелік посилань



Вступ

Крайові задачі для звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР) описують задачі руху системи взаємодіючих матеріальних точок, опору матеріалів (наприклад, статичний прогин пружного стержня), теорії оболонок, біофізики тощо. У зв'язку з цим, в роботі розглянуто питання існування та побудови розв'язків двоточкових крайових задач для лінійних систем диференціальних рівнянь у некритичному та критичному випадках.



1. Псевдообернена матриця та ортопроектори

Важливість псевдооберненої матриці визначається тим, що вона існує єдина для будь-якої матриці, в тому числі і для прямокутної. Цей факт дозволяє розробляти конструктивні методи для знаходження умов існування та побудови розв'язків лінійних неоднорідних алгебраїчних систем рівнянь, коли число невідомих не співпадає з числом рівнянь.

Означення 1. Матриця G(+) розмірності (nm), яка задовольняє умови:

(GG) + G = G

G + (GG) = G

(GG) + T = (GG)

(G + G) T = G + G

- називається псевдооберненою за Муром-Пенроузом для (mn) - вимірної матриці G.

Означення 2. Множина всіх розв'язків однорідного рівняння Gx = 0 утворює підпростір Ker(G), Rn і називається ядром (mn) - вимірної матриці:

Через GT будемо позначати транспоновану до G матрицю.

Означення 3. Ядро Ker (GT) матриці GT називається коядром матриці G - i позначається Coker (G).

Ядро Ker (G) та коядро Coker (G) матриці G зв'язані наступним співвідношенням:

Ker (G) = Coker ? (GT)

Означення 4. Ортопроектором PG до (mn) - вимірної матриці G називається (mm) - вимірна матриця, яка проектує простір Rn на ядро Ker (G) матриці G:



PG ? Rn - Ker (G), Ker (G) = P - GRn

Означення 5. Ортопроектором до (nm) - вимірної матриці GT називається (mm) - вимірна матриця PG, яка проектує (GT) матриці GT:

(P) - (G + T) ? Rm - Ker (GT)

Ker (GT) = (P) - (G + T) R + m

Означення 6. Через:

(P) - (G + T)

Дe:

k = n - rank (G)

Будемо позначати (rk) - вимірну матрицю, яка складається з k лінійно незалежних стовпців ортопроектора PG,тобто її стовпці утворюють повний базис ядра Ker (G).

Означення 7. Через:

(P) - (G - r + T)

Де:

r = m - rank (G)

Будемо позначати (rm) - вимірну матрицю, рядки якої є лінійно незалежними рядками ортопроектора:



(P) - (G + T)

Тобто утворюють повний базис ядра Ker (GT).

Для побудови псевдооберненої матриці G(+) та ортопроекторів PG і (P) - (G + T) можна скористатися наступним алгоритмом (3).

Нехай f1,..., fk - n-вимірні вектор-стовпці, ац1, ц, rm - вимірні вектор-стовпці, які утворюють базис ядра Кеr (G) та базис ядра Кer (GT) відповідно. З допомогою цих векторів утворимо неособливі симетричні відповідно (k ? k), та (r ? r) - вимірні матриці Грама:

Де через fi, fj позначено скалярний добуток у відповідних евклідових просторах.

Тоді ортопроектори:

PG ? (P) - (G + T)

- обчислюються згідно формули:

Псевдообернена за Муром-Пенроузом (пm) - вимірна матриця G(+) визначається наступним чином:

При цьому, матриця G(+) зв'язана з ортопроекторами:



PG (P) - (G + T)

З співвідношеннями:

Де:

Еn - одинична матриця розмірності п.

Розглянемо задачу знаходження умов існування та побудови розв'язків лінійних неоднорідних алгебраїчних систем рівнянь вигляду:

G ? x = b (1)

Де:

G - стала (mn) - вимірна матриця;

b - заданий вектор-стовпець.

Теорема. Алгебраїчна система (1) є розв'язною тоді і тільки тоді, коли виконується умова:

(P) - (G - r + T) b = 0 (2)

І при цьому має k параметричну:

k = п - rапk (G) 1 ? k ? n

- сім'ю розв'язків вигляду:

Х = (о?R) + k (3)



Наслідок 1. Якщо:

rапk (G) = m P - (G - r + T) = 0

Тоді система (1) є розв'язною тоді і тільки тоді, коли виконується умова (2) і при цьому має єдиний розв'язок вигляду:

х = G + b

Наслідок 2. Якщо:

rапk (G) = m P - (G - r + T) = 0

І умова (2) завжди виконується. Тоді система (1) є розв'язною при довільних значеннях вектора Rm і при цьому має розв'язок вигляду (3).

2. Побудова розв'язків крайових задач для лінійних неоднорідних систем диференціальних рівнянь

Розглянемо лінійну неоднорідну систему диференціальних рівнянь:

Яка задовольняє крайові умови:

lх ? (х) = б (5)

Де:

l - лінійний вектор-функціонал визначений на просторі;

n - виміри, неперервних на (а, b) вектор-функцій.

Теорема 1. Згідно теореми Ф. Рісса, для будь-якого лінійного функціонала l, заданого на просторі неперервних на (аb) функцій, існує неперервна зліва матрично-значна функція С (t) обмеженої варіації така, що лінійний функціонал можемо записати за допомогою інтеграла Рімана-Стілтьєса:

Тоді, крайові умови (4) можемо записати у вигляді:

Загальний розв'язок лінійної неоднорідної системи рівнянь (4) має вигляд:

x (t) = X (t) c + X (t) ? - 0 + tX + (-1) (s) f (s) ds (6)

Де:

X(t) - фундаментальна матриця відповідної (4) лінійної однорідної системи рівнянь, сn - вимірний вектор-стовпець довільних сталих.

Підставляючи загальний розв'язок лінійної неоднорідної системи диференціальних рівнянь (4) вигляду (6) в крайові умови (5), одержимо наступну алгебраїчну відносно с систему рівнянь:



Де:

G - (n ? n)

- вимірна матриця, яка одержується при підстановці фундаментальної матриці X (t) в крайові умови (5):

Змінюючи в системі (7) порядок інтегрування та позначаючи:

Q (s) = ? - s + b ((а (dC (t)) X (t) X + (-1) (s)))

Можемо записати алгебраїчну суму (7) у вигляді:

G - c = б - ? - a + b (Q (s) f (s) ds.) (8)

Некритичний випадок. Нехай лінійна однорідна крайова задача:

dx ? dt = A (t) x (t) lx (х) = 0 (9)

Має тільки тривіальний розв'язок, тобто detG0. Тоді алгебраїчна система матиме єдиний розв'язок вигляду:

с = G + (-1) (б - ? - a + bQ (s) f (s) ds)

Підставляючи його в (6) одержимо загальний розв'язок лінійної неоднорідної задачі (4), (5):



x (t) = X (t) G + (-1) (б - ? - a + b (Q (s) f (s) ds) + X (t) ? - a + t (X + (-1) (s) f (s) ds)) (10)

Справедливою є наступна теорема.

Теорема 2. Нехай лінійна однорідна крайова задача (9) має тільки тривіальний розв'язок. Тоді лінійна неоднорідна крайова задача (4), (5) має єдиний розв'язок вигляду (10).

Критичний випадок. Нехай лінійна однорідна крайова задача (9) має k лінійно незалежних розв'язків, тобто:

rank G = n - k 1 ? k ? n

Тоді алгебраїчна система буде розв'язною тоді і тільки тоді, коли виконується умова:

P - (G - k + T) (б - ? - a + b (Q (s) f (s) ds) = 0 (11)

Де:

P - (G - k + T) - (k ? n)

- вимірна матриця, складається з k лінійно незалежних рядків матриці-ортопроектора:

P - (G + T)

І при цьому матиме k-параметричну сім'ю розв'язків вигляду:

с = P - (G - k) о + G + + (б - ? - a + bQ (s) f (s) ds) = 0 (12)



Де:

G - єдина псевдообернена за Муром -Пенроузом до G матриця;

(n ? k) - вимірна матриця яка складається з k-лінійно незалежних стовпців матриці ортопроектора PG.

Підставляючи в (6) значення c вигляду (12) одержимо загальний розв'язок лінійної неоднорідної крайової задачі (4), (5):

x (t,о) = X (t) P - (G - k) + X (t) G + + (б - ? - a + bQ (s) f (s) ds) + X (t) ? - a + t (X + (-1) (s) f (s) ds)) (13)

Одержані результати можна сформулювати у вигляді наступної теореми.

Теорема 3. Нехай лінійна однорідна крайова задача (9) має k лінійно незалежних розв'язків, тобто:

rank G = n - k 1 ? k ? n

Тоді лінійна неоднорідна крайова задача (4), (5) є розв'язною тоді і тільки тоді, коли виконується умова (11).

Розглянемо задачу керування: знайдемо таке значення б?R, n при якому лінійна неоднорідна крайова задача (4), (5) буде розв'язною при довільних неоднорідностях f(t).

Теорема 4. Нехай лінійна однорідна крайова задача (9) має k лінійно незалежних розв'язків, тобто:

rank G = n - k 1 ? k ? n

Тоді при довільних неоднорідностях f(t) завжди можна вказати таке значення:



б? ? R + n

При якому лінійна неоднорідна крайова задача (4), (5) буде розв'язною. При цьому б має вигляд:

P - (N - k) о ? + N + T N (? - a + bQ (s) f (s) ds) (14)

Де:

диференціальний рівняння алгебраїчний

N = P - (G - k + T) N

- єдина псевдообернена за Муром-Пенроузом до N матриця.

P - (N - k)

- вимірна матриця, яка складається з kлінійно незалежних стовпців ортопроектора PN матриці:

N k = n - k о ??R + k

- вектор довільних сталих.

Доведення. Лінійна неоднорідна крайова задача (4), (5) є розв'язною тоді і тільки тоді, коли виконується умова (11). розглянемо цю умову як алгебраїчну відносно б систему з (kn) - вимірною матрицею N:

Nб = N (? - a + bQ (s) f (s) ds) (15)

Теорему доведено.



Висновки

Таким чином, розв'язок крайових задач займає важливе місце серед прикладних задач математики, фізики, хімії і техніки. Знайти точний розв'язок крайової задачі для нелінійних систем диференціальних рівнянь в елементарних функціях вдається рідко: для цього треба знайти загальний розв'язок системи нелінійних диференціальних рівнянь і явно визначити з крайових умов значення сталих, які в нього входять. В більшості випадків знайти розв'язок крайової задачі можна за допомогою чисельних методів, зокрема за допомогою методу скінченних різниць.



Перелік посилань

1. Турбин А.Ф. Формы для вычисления полуобратной и псевдообратной матрицы // Жури, вычислит. матем. и мат. физики. - 1974. - Т. 14. №3. - 772-776 С.

2. Маринець В.В., Рего В.Л. Теорія крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. - Ужгород: Вид-во УжНУ, 2006. - 144 с.

Размещено на Allbest.ru

...