История развития прикладной математики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Прикладная математика -- область математики, рассматривающая применение математических методов, алгоритмов в других областях науки и практики. Примерами такого применения являются: численные методы, математическая физика, линейное программирование, оптимизация и исследование операций, механика сплошных сред …

В вопросе о том, что является прикладной математикой, нельзя составить чёткую логическую классификацию. Математические методы обычно применяются к специфическому классу прикладных задач путём составления математической модели системы. (Википедия)

Возможность применения математики для решения прикладных задач является ее сущностью. Ведь само возникновение математики (алгебра, геометрия) несколько тысяч лет назад было обусловлено хозяйственным потребностями того времени. Например, по мнению историков, соотношение между сторонами прямоугольного треугольника было известно еще в Междуречье примерно за 1800 лет до нашей эры. Все последующее время развитие математики было тесно связано с решением технических проблем.

Существенный прогресс в развитии математики начался в эпоху Возрождения (XVII век и последующие годы) [1]. Работы математиков этого периода охватывали много областей - новых и старых. Они обогатили оригинальными результатами классические разделы, пролили новый свет на прежние области и создавали даже совершенно новые области математических исследований. Примером первого рода могут служить труды Ферма. Новым творением была математическая теория вероятностей. Движущей силой в этом расцвете творческой науки, не имевшем себе равного со времен величия Греции, было не только то, что новой техникой можно было легко пользоваться. Многие крупные мыслители искали большего - «общего метода», который иной раз понимали в ограниченном смысле, как метод математики, иной раз понимали шире - как метод познания природы и создания новых изобретений. Это было причиной того, что в рассматриваемую эпоху все выдающиеся философы были математиками и все выдающиеся математики были философами. В поисках новых изобретений иногда непосредственно приходили к математическим открытиям. Трудно перечислить всех выдающихся математиков того времени. Некоторые их них: Галилей, Декарт, Кеплер, Паскаль, Гюйгенс, Ньютон, Лейбниц, Братья Бернулли, Эйлер, Лагранж, Лаплас, Гаусс.

Последующие успехи естествознания в конце 19 -- начале 20 веков сыграли решающую роль в подготовке научно научно-технической революции 20 века (40-е годы). Революционный сдвиг произошёл в технике, в первую очередь под влиянием применения электричества в промышленности и на транспорте. Было изобретено радио, родилась авиация. Открытие электрона, радия, превращения химических элементов, создание теории относительности и квантовой теории ознаменовали прорыв науки в область микромира и больших скоростей. Человечество убедилось в колоссальных преобразующих возможностях науки и её практического применения. В начале 20 века появились специальные курсы высшей математики для инженеров. Именно в эти годы началось формирование вычислительной и прикладной математики в качестве самостоятельных разделов математики.

В начале XX в. (в 1906 г.), выдающийся русский математик, механик и инженер-кораблестроитель академик А. Н. Крылов, озабоченный тем, что в современных курсах математического анализа доказывается существование решения какой-либо проблемы и теоретическая возможность получения его с любой степенью точности, но при этом не уделяется внимания получению такого решения с точностью, необходимой для практических целей, решил исправить это положение. Им был составлен курс о приближенных вычислениях, приемах и способах: вычисление корней численных уравнений, и определенных интегралов, пользование тригонометрическими рядами и приближенное решение дифференциальных уравнений.

Книга А.Н. Крылова «Лекции о приближенных вычислениях» была первым в мировой литературе курсом такого направления и послужила образцом для последующих, вышедших после нее курсов других авторов. Этот классический курс выдержал пять изданий (три из них при жизни автора). В главе IV описывается также общая теория и конструкция механических приборов для вычисления определенных интегралов. Это механические приборы, в которых исходные данные и результаты представляются не в цифровой форме, а в виде линейных или угловых перемещений частей этих приборов.

Ниже приведены выдержки из доклада А.Н. Крылова «Прикладная математика и техника», который был сделан им на чрезвычайной сессии АН СССР 21 июня 1931 г. (тогда же выпущен отдельной брошюрой Гос. научно-техническим изд-вом под названием “Прикладная математика и ее значение для техники”).

«Инженер должен владеть общими математическими методами, приложенными к решению множества задач, тогда только он сможет решать действительно новые вопросы по своей специальности…

В настоящее время математика настолько проникла в технику всех отраслей строительного дела, всех отраслей машиностроения, кораблестроения, построения летательных аппаратов, артиллерийского дела, электротехники, оптики и пр., что нельзя себе и вообразить ни одного сооружения, которое не было бы предварительно рассчитано…

Во всяком техническом деле важен не тот логический процесс, который привел к какому-либо заключению или результату, а важно самое заключение или самый результат и притом выраженный "числом и мерою". Поэтому все, что математика дает в смысле составления уравнений, их решения, и притом доведенного до конца, упрощения вычислений, применения приближенных методов решения математических вопросов, - все это техника рано или поздно использует и применит часто в вопросе, казалось бы, ничего общего не имеющем с тем, для решения которого тот или иной метод был первоначально развит…

Главная задача Академии наук и состоит не только в использовании сокровищ, уже имеющихся, но и в накоплении новых; не только в использовании процентов, но и в капитальных вложениях»

Другим примером, подтверждающим полезность освоения инженерами математики, является публикация в 1940 г монографии «Математические методы в инженерном деле», Т. Карман и М. Био (Титульный лист русского издания и первая страница оглавления приведены ниже). Основная задача книги - способствовать развитию умения самостоятельно формулировать математическое содержание заданной физической или технической задачи.

Перечень разделов:

I. Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений

II. Основные сведения о бесселевых функциях

III. Основные положения динамики

IV. Элементарные задачи динамики

V. Малые колебания консервативных систем

VI. Малые колебания неконсервативных систем

VII. Дифференциальные уравнения теории упругих тел

VIII. Ряды Фурье и их приложения к теории упругих тел

IX. Комплексное представление периодических явлений

X. Переходные явления. Операторное исчисление

XI. Уравнения в конечных разностях и их приложения к техническим проблемам.

Характерной особенностью этой монографии является то, что она основана на опыте решения инженерных задач без применения современных вычислительных машин - ориентирована на построение аналитических решений.

Таким образом, к началу 40-х годов были разработаны математические методы решения ряда актуальных технических задач. Однако на этом пути имелись серьезные препятствия. Основная проблема - это примитивность вычислительной техники, которая не позволяла быстро и точно выполнять арифметические операции. В то время основными инструментами инженера для вычислений были: логарифмическая линейка и (в лучшем случае) механический арифмометр.

«Феликс» -- самый распространённый в СССР арифмометр. Выпускался, с учётом многочисленных модификаций, с 1929 по 1978 год на заводах счётных машин в Курске, в Пензе и в Москве.

Эта счётная машина относится к рычажным арифмометрам Однера. Она позволяет работать с операндами длиной до 9 знаков и получать ответ длиной до 13 знаков (до 8 для частного от деления).

Особенно остро проблема автоматизации вычислений проявилась в военном деле. Началась 2-я мировая война. Чрезвычайно актуальной задачей стало повышение точности стрельбы по кораблям и воздушным целям. Данное обстоятельство послужило толчком к концентрации усилий ученых по созданию электронных вычислительных машин.

Комментарий. Именно в это время математик Н. Винер разработал известные уравнения Винера-Хопфа, которые предназначались для прогнозирования движения воздушных целей.

Существенные успехи в автоматизации вычислений были достигнуты создателями прибора для управления артиллерийским зенитным огнем (ПУАЗО). Первые приборы для управления артиллерийским огнём были разработаны для дальнобойной морской артиллерии в конце XIX века. С появлением авиации те же принципы были применены для управления зенитным огнём по высоколетящим целям. Приборы такого типа были разработаны в конце 1930-х годов компаниями Vickers-Armstrongs (Великобритания), Sperry (США), Siemens (Германия) и другими.

Дальнейшее развитие управления зенитным огнём связано с использованием радара. Первый радарный ПУАЗО, -- Director T-10, -- был разработан компанией Bell Labs. Он получал входные данные цели от радара и, кроме сигналов управления по углам наведения орудия, выдавал время полёта снаряда до расчётной точки встречи. Последний параметр позволял перейти от контактных взрывателей к дистанционным, что значительно повысило вероятность поражения целей. Дальнейшее повышение эффективности зенитного огня было связано с применением неконтактных радио-взрывателей.

Радарный ПУАЗО был впервые применён в 1944 году во время высадки союзников в Италии. Применялся также при отражении налётов люфтваффе на район высадки в Нормандии. Первый же опыт применения новой системы показал её высокую эффективность: все попытки люфтваффе помешать десантам были успешно отражены, при этом зенитным огнём было сбито большое число самолётов.

Таким образом, ПУАЗО - вычислительное устройство, предназначенное для автоматического наведения на цель зенитных орудий. В СССР работали над автоматизацией процесса решения задачи встречи снаряда и цели, а также сокращением времени расчета. В 1945 году был принят на вооружение электромеханический ПУАЗО-5 со встроенным в центральный прибор стерео-дальномером. Интересен он тем, что его решающая схема впервые была собрана не на механических, а на электрических элементах. Ниже на рисунке представлено фото ПУАЗ-5 и соответствующий фрагмент учебника сержанта зенитной артиллерии.

В 1942 году профессор электротехническй школы Мура Пенсильванского университета Джон Маучли представил проект (меморандум) "Использование быстродействующих электронных устройств для вычислений", который положил начало созданию первой электронной вычислительной машины ENIAC (Electronic Numerical Integrator and Computer). Около года проект пролежал без движения, пока им не заинтересовалась Баллистическая исследовательская лаборатория армии США, В 1943 году под руководством Маучли и Эккерта были начаты работы по созданию ENIAC. Демонстрация работы машины состоялась 15 февраля 1946 года.

В Росси компьютеры появились с опозданием. К ним можно отнести МЭСМ (Малая Электронная Счетная Машина) разработанную в институте электротехники АН УССР под руководством С.А. Лебедева в 1950 г. К первому поколению относятся и такие машины как БЭСМ, Урал, М-2, Стрела.

Отечественный компьютер первого поколения БЭСМ-2. В нем было около 4 000 электронных ламп. Он был собран на трех стойках; одна из них состояла из магнитного оперативного запоминающего устройства и пульта управления.

Не случайно, что именно в 40-е годы прошлого века во время 2-й мировой войны были получены выдающиеся научно технические результаты: созданы баллистические ракеты, ядерная бомба и электронная цифровая вычислительная машина (ЭЦВМ). Все эти результаты были обусловлены неотложными потребностями военной техники. Последний из результатов оказал решающее влияние на развитие науки и техники в последующие десятилетия. К этому времени относят начало современной научно технической революции. Именно тогда зародились и получили развитие её главные направления: автоматизация производства, контроль и управление им на базе электроники; создание и применение новых конструкционных материалов и др. С появлением ракетнокосмической техники началось освоение людьми околоземного космического пространства.

Важным этапом развития прикладной математики в России явилась организация Института прикладной математики (ИПМ РАН) [2]. Он был создан для решения расчётных задач, связанных с государственными программами атомной и термоядерной энергетики, исследования космического пространства и ракетной техники. Институт входит в состав Отделения математических наук Российской академии наук. Основное направление деятельности института состоит в использовании вычислительной техники для решения сложных научно-технических проблем, имеющих важное практическое значение.

Организатор института М. В. Келдыш оказал большое влияние на научный стиль института и характер решаемых задач. М. В. Келдыш, президент Академии наук и активный участник космической и ядерной программ, вовлекал свой институт в работы по важнейшим практическим проблемам, в которых научная новизна сочеталась с необходимостью сложных расчётов. Так как подобные задачи часто оказывались на стыке научных дисциплин, коллектив института включал математиков, физиков, механиков, а также специалистов по вычислительной технике. Институт был награждён Орденом Ленина.

После смерти М. В. Келдыша в 1978 году ИПМ РАН стал носить его имя.

История ИПМ РАН началась во второй половине 1940-х годов, когда в Математическом институте им. В. А. Стеклова АН СССР возникла группа математиков-вычислителей под руководством М. В. Келдыша. В 1953 году было организовано Отделение прикладной математики (секретное), формально являвшееся подразделением Математического института. В 1966 году институт получил современное название Институт прикладной математики.

Много сведений о работе института можно найти в сборнике «Будущее прикладной математики: Лекции для молодых исследователей. Поиски и открытия» под редакцией Г.Г. Малинецкого (2009. 640 с. ISBN 978-5-397-00638-5). Ниже приведены некоторые выдержки из этого сборника.

«В нашем Институте за его полувековую историю работало много талантливых людей, воплотивших дерзновенные мечты в реальность. У Института славное прошлое. В нем были решены задачи, которые не только вошли в монографии и учебники, стали классическим. В Институте решались задачи стратегического масштаба. От их решения, без преувеличения, зависела история второй половины XX века. В прошлом Института - работы по совершенствованию атомной и водородной бомб, потребовавшие сложнейших компьютерных расчетов. В нем - работы по расчетам и баллистическому сопровождению космических аппаратов, проложивших человечеству путь в космос. В его стенах закладывались основы прикладной математики компьютерной эры и системного программирования…

У Института большие успехи в настоящем. Это - актуальные задачи, связанные с космической навигацией и межпланетными полетами, с физикой плазмы и новыми поколениями вычислительных и коммуникационных систем, с управлением рисками и энергетикой, с дистанционным зондированием и математической геофизикой, с компьютерной графикой и математической медициной. Многие работы, выполненные в нем, получили мировое признание».

В 1950-60х годах компьютеры были доступны только крупным компаниям из-за своих размеров и цены. Пользователями такого компьютера были научные сотрудники и инженеры компании, которые решали на нем различные вычислительные задачи. Компьютеры работали круглые сутки. Машинное время на них расписывалось среди пользователей поминутно.

В конкурентной борьбе за увеличение продаж фирмы, производящие компьютеры, стремились к удешевлению и миниатюризации своей продукции. Для этого использовались все современные достижения науки: память на магнитных сердечниках, транзисторы, и микросхемы. К 1965 году мини-компьютер PDP-8 занимал объём сопоставимый с бытовым холодильником, стоимость составляла примерно 20 тыс. долларов, кроме того, наблюдалась тенденция к дальнейшей миниатюризации.

Здесь представлены данные об изменении характеристик ЭВМ за прошедшие годы. По сравнению с первыми машинами быстродействие увеличилось почти в миллион раз. Настолько же увеличилась память. Многократно уменьшились стоимость и размеры.

Существенный прорыв в миниатюризации был совершен в 1976--1977 годах, когда несколькими фирмами были выпущены первые персональные компьютеры (ПК). В августе 1981 года IBM выпустила компьютерную систему IBM PC (фирменный номер модели IBM 5150). Полугодичный план его продаж был выполнен за месяц. Его популярность была обусловлена открытой архитектурой, что позволяло сторонним фирмам осуществлять его ремонт, обслуживание, а также производство периферийных устройств. К 1988 году было произведено 25 миллионов IBM-совместимых ПК. В январе 1983 года журнал Time назвал персональный компьютер «Машиной года». По прогнозам журнала, к концу XX века во всём мире должно было быть 80 миллионов ПК. Но, как оказалось, авторы прогноза ошиблись почти вдвое: к 2000 году в мире было 140 миллионов персональных компьютеров. В России в настоящее время находится ? 20 миллионов ПК.

Изначально компьютер был создан как вычислительная машина, но ПК также используется в других целях -- как средство доступа в информационные сети и как платформа для мультимедиа и компьютерных игр. Применение в ПК многочисленных текстовых и графических редакторов не только вытеснило печатные машинки, но изменило и всю технологию выпуска печатной продукции.

Очевидно, что в связи с широким применением ПК роль прикладной математики изменилась. Это связано со следующими обстоятельствами:

- большую часть пользователей, которые применяют ПК для других целей, вычислительные задачи не интересуют;

- развитые языки программирования и доступные стандартные вычислительные процедуры превратили создание многих компьютерных программ в рутинную работу;

- на основе известных методов разработано множество пакетов прикладных программ различного назначения, которые удовлетворяют большинство пользователей;

- увеличение быстродействия и памяти компьютеров сделало возможным решение тех вычислительных задач, которые ранее не подвались решению, расширился круг решаемых задач.

- наличие мощных компьютеров создало у многих специалистов иллюзию, что с использованием известных математических методов они обеспечивают возможность решения любой задачи;

- встречаются сложные вычислительные задачи, для решения которых необходимо привлекать современные суперкомпьютеры, но и в этом случае не всегда удается получить решение.

Пример вычислительных трудностей. Внимание многих специалистов привлекает проблема космического мусора. Уровень техногенного засорения ОКП стал опасным. Число объектов размером более 1 см приближается к миллиону. Зафиксировано несколько случаев столкновений спутников. Возникает вопрос - что будет через 100-200 лет? Общественность интересует решение этой задачи. В статье [3] изложены результаты прогноза обстановки на 200 лет с учетом взаимных столкновений объектов при нескольких вариантах исходных данных. Рассмотрены объекты размером более 10 см. Задача решалась на современном суперкомпьютере со следующими характеристиками: число ядер - 360, объем памяти - 24 Go, суммарное быстродействие - 4 Tflops/second. Для решения задачи потребовалось более 24 часов машинного времени. В связи с увеличением количества объектов по мере уменьшения их размеров решение задачи с учетом столкновений более мелких объектов в настоящее время получить не удалось.

Таким образом, актуальным направлением развития прикладной математики является разработка методов решения тех задач, которые в настоящее время не поддаются решению.

В связи с увеличением числа компьютеров и расширением круга решаемых задач возникла потребность в существенном увеличении числа специалистов, владеющих прикладной математикой. Более чем в 100 российских ВУЗах организованы кафедры по специальности «Прикладная математика» (№ 01.04.04). Кроме того, имеется много кафедр по родственным специальностям: прикладной математика компьютер задача

«Прикладная математика и информатика» (01.04.02)

«Механика и математическое моделирование» (01.04.03).

Рассмотрим кратко требования к студентам, которые оканчивают магистратуру по специальности «Прикладная математика». Эти требования изложены в приведенном ниже документе Министерства образования и науки РФ.

Выдержки из документа:

4.4. Выпускник, освоивший программу магистратуры, в соответствии с видом (видами) профессиональной деятельности, на который (которые) ориентирована программа магистратуры, готов решать следующие профессиональные задачи: ….

научно-исследовательская деятельность:

· анализ и синтез технических систем управления;

· проведение научно-технических экспериментов и исследований, сбор и анализ экспериментальных данных; построение математической модели объекта;

· поиск и обоснование оптимальных решений с учетом различных требований;

· разработка и применение математических методов и наукоемкого программного обеспечения для анализа, синтеза, оптимизации и прогнозирования.

Здесь выделены те направления, которые связаны с развитием прикладной математики. Из них видно, что эти необходимые компетенции магистра занимают видное место. Все они связаны не только со знанием предмета, но, в большей степени, - с умением применять полученные знания.

Именно о ключевой роли «Умения» говорил академик А.Н. Крылов в докладе на сессии АН СССР в 1931г. (см. выше): «Во всяком техническом деле важен не тот логический процесс, который привел к какому-либо заключению или результату, а важно самое заключение или самый результат и притом выраженный "числом и мерою"». В связи с развитием и широким применением компьютеров положение о необходимости воспитания «умения» стало еще более актуальным. Действительно, те учебные курсы, которые изучают студенты, основаны большей частью на предшествующем опыте, который не учитывает колоссальный рост производительности современных компьютеров. Эти учебные курсы «не успевают» за последними достижениями.

Анализу особенностей применения математических методов для решения прикладных задач посвящена статья «Методологические особенности прикладной математики на современном этапе» известного математика автора знаменитого учебника по теории вероятностей писательницы Елены Сергеевны Вентцель [4]. Ниже приведены выдержки из этой статьи.

«Дело в том, что техника и технология сейчас меняются настолько быстро, что не успевают сформироваться опытные люди, умеющие разумно управлять этой техникой, приводить её в действие …

Приступая к решению конкретных задач практики, специалист-математик, воспитанный в «классической» традиции, должен волей-неволей перестраивать свои приёмы, методологические подходы, способы рассуждений и умозаключений …

То и дело раздаются голоса, утверждающие, будто главная задача обучения математике в школе и вузе -- это научить людей логически мыслить. Отсюда чрезмерная формализация математических дисциплин, изложение их в отрыве от задач практики. Слов нет, привычка к логическому мышлению -- хорошее дело, но у математики есть и другие задачи: активного вмешательства в практику, разумной организации производственных и иных процессов. Жизнь непрерывно требует от математика ответа на вопрос, как поступать в том, или другом случае, при тех или других сложившихся обстоятельствах. И дело его чести -- не уходить от этих требований в пучину абстракций, а по мере сил удовлетворять их….

Многие задачи просто «не решаются» на уровне должной строгости, а решать их нужно -- жизнь не ждёт. Волей-неволей приходится пользоваться всеми доступными на сегодняшний день средствами, в том числе и такими, от которых наши предки-математики, как говорится, перевернулись бы в гробах…

Прикладная математика, вступая в новые для себя области, должна соответственно перестроиться, выработать новую, более гибкую тактику, сформировать новую идеологию. И это уже происходит на наших глазах, только не всегда и не везде и не для всех очевидно. Наряду с образцами подлинной творческой деятельности в области прикладной математики нередко приходится встречаться с «псевдоприкладными» работами, где традиционный, иной раз весьма замысловатый и тонкий математический аппарат работает вхолостую. В таких работах прикладная задача служит только поводом для затейливого математизирования…

Современный прикладной математик (или группа таковых), занятый решением практической проблемы, непременно должен участвовать не только в решении, но и в постановке задач. Не только в построении модели, но и в выборе целевой функции, в организации расчётов, осмыслении результатов, выдаче рекомендаций. Словом, прикладная математика не должна быть «белоручкой», в таком качестве она попросту никому не нужна…

Вообще, злоупотребление формальной стороной теории вероятностей в ущерб здравому смыслу -- беда многих прикладных работ, где математический аппарат -- не средство, а цель. На теорию вероятностей нередко смотрят как на своего рода волшебную палочку, позволяющую получать информацию из полного незнания. Нельзя забывать, что это невозможно -- теория вероятностей только средство преобразования одной информации в другую…

При нынешней моде на математику в условиях густого потока информации, записанной на языке формул, очень трудно отличить подлинное от кажущегося, настоящую науку -- от наукообразия. Слишком часто применение математических методов понимают как чистое и абсолютное благо; считается, что любая математизация -- шаг вперёд, а если он сопровождается автоматизацией -- тем паче…

Надо прямо смотреть в глаза фактам и признать, что применение математических методов не полезно, а вредно до тех пор, пока явление не освоено на доматематическом, гуманитарном уровне. Вредно тем, что отвлекает внимание от главного к второстепенному, что создаёт почву для очковтирательства. Жадное внимание, уделяемое первой букве в блоке «АСУ», -- плод неразумия и поспешности; ведь само по себе «А» никому не нужно; если оно нужно, то только для «У». А многие думают, что главное в проблеме управления -- сбор и обработка информации. А так как информации много, то копить и обрабатывать её должна машина. Часто эта подсобная, в сущности, процедура выдвигается на первый план, абсолютизируется. За бортом остаётся главный вопрос: какую именно информацию следует собирать и обрабатывать? Какая нужна, а какая нет? И на каком уровне нужна? Заранее исходят из допущения, что всякая информация -- благо, и возможность в любой момент вывести её из машины и представить на обозрение и есть главная задача АСУ. Исключения редки…

Современная прикладная математика -- наука особого рода, стоящая на грани между точными, гуманитарными и опытными науками, смело применяющая приёмы, выработанные в каждой из этих групп наук, если они оказываются эффективными. Только такой она и может быть, если её задача -- не созерцание отвлеченностей, а активное вмешательство в жизнь.»

К этим словам мудрого человека трудно что-то добавить. Автор на своем многолетнем опыте неоднократно убеждался в справедливости положения о необходимости участия математика не только в решении, но и в постановке задачи. Это позволяет во многих случаях увидеть задачу по-новому и предложить решение, которое оказывается более эффективным по сравнению с традиционным подходом.

В предлагаемой монографии изложены примеры того, как автор преодолевал вычислительные трудности решения ряда прикладных задач. Они относятся к 60-летнему периоду времени. Во всех случаях он сталкивался с дефицитом вычислительной мощности компьютеров. Трудности преодолевались на основе модификации постановки задачи и обоснования новых формул, облегчающих ее решение.

Литература

[1]. Истрия развития математики. Сайт http://imcs.dvfu.ru/lib/eastprog/math_history.html.

[2]. К. И. Бабенко, О работах М.В. Келдыша по механике, 1981. Сайт келдыш.рф/babenko.htm.

[3]. Dolado-Perez J.C., Di-Costanzo R., Revelin B., Introducing MEDEE - A New orbital debris evolutionary model, Proceedings of the Sixth European Conference on Space Debris, Darmstadt, Germany, 22-25 April, 2013, European Space Agency Publication SP-7237, 2013.

[4]. Е. С. Вентцель Методологические особенности прикладной математики на современном этапе // Математики о математике: сборник статей / сост. Н. Я. Виленкин. М.: Знание, 1984. С. 37-55.

Размещено на Allbest.ru