Приводимые и неприводимые многочлены

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Понятие многочлена

2. Разложение на неприводимые многочлены

3. Признаки неприводимости многочлена

3.1 Признак Эйзенштейна

3.2 Диаграмма Ньютона

3.3 Признак Дюма

4. Неприводимость трёхчленов и четырёхчленов

4.1 Неприводимость многочленов

4.2 Неприводимость триномов

5. Примеры задач на тему приводимые и неприводимые многочлены

6. Применение неприводимых многочленов в экономике

6.1 Временной ряд и его составляющие

6.2 Понятие тренда

6.3 Полиномиальный тренд

6.4 Пример решения экономической задачи при помощи полиномиального тренда

Заключение

Список использованных источников



Реферат

Объектом исследования данной курсовой работы являются приводимые и неприводимые многочлены. В качестве предмета исследования выступают свойства и признаки многочленов, методы их преобразования. Цель курсовой работы: изучение состава и содержания приводимых и неприводимых многочленов, изучение направленности их использования в решении проблем экономического анализа и прогнозирования.

В первом разделе раскрывается понятие многочлена, описываются элементарные преобразования над многочленом.

Во втором разделе рассказывается о понятии неприводимых и приводимых многочленах.

В третьем разделе исследуются такие признаки неприводимости, как признак Эйзенштейна и признак Дюма, а так же знакомимся с диаграммой Ньютона.

В четвёртый разделе рассматривается неприводимость многочленов третьей и четвёртой степеней.

В пятом разделе приведены примеры решения задач по теме приводимые и неприводимые многочлены.

В шестом разделе рассмотрено понятие временного ряда и изучены его составляющие. Рассмотрен полиномиальный тренд. На основе изученного материала приведён пример решения экономической задачи, решаемых с помощью неприводимости многочлена.



Введение

Подходя к изучению данной темы, важно отметить, что Актуальность рассматриваемой курсовой работы заключается в её универсальности при экономических задач.

Целью данной курсовой работы является изучение состава и содержания приводимых и неприводимых многочленов, изучение направленности их использования в решении проблем экономического анализа и прогнозирования.

В соответствии с этим можно обозначить основные задачи, стоящие перед нами в процессе выполнения работы:

- определение понятия приводимости и неприводимости многочленов

- выделение признаков неприводимости

- установление свойств неприводимости трёхчленов и четырёхчленов

- использование полиномов третьей и четвёртой степени при моделировании временных рядов экономических показателей.

В процессе выполнения курсовой работы мы использовали такие методы исследования, как анализ, синтез и математические вычисления.



1. Понятие многочлена

Многочленом (или полиномом) степени n (n - неотрицательное целое число) от переменного над числовым полем K называется выражение вида

Где - числа из K, причём . Многочлены нулевой степени - это просто отличные от нуля числа. Число нуль также считается многочленом; его степень не определена.

Обычные обозначения для многочленов: f(x), g(x), и т.д. Два многочлена считаются равными, если у них равны коэффициенты при одинаковых степенях переменного.

Многочлены можно складывать, вычитать, умножать друг на друга. Суммой (разностью) двух многочленов f(x) и g(x) называется многочлен, у которого коэффициент при каждой степени переменного равен сумме (разности) коэффициентов при той же степени в многочленах и .

Пример 1.

, ;

Чтобы умножить многочлен на многочлен , нужно каждый член многочлена умножить на каждый член , сложить полученные произведения и привести подобные члены.

Степень произведения двух многочленов всегда равна сумме степеней сомножителей.



, ;

Деление (нацело) одного многочлена на другой не всегда возможно.

Одночлены и многочлены, а также их сумма, разность, произведение и степень называются целыми алгебраическими выражениями.

Основная задача тождественных преобразований целых выражений состоит в приведении их к стандартному виду многочлена (или одночлена). Такое преобразование всегда выполнимо.



2. Понятие приводимых и неприводимых многочленов

Многочлен = + + … + = 0 степени по называется неприводимым, если он не может быть представлен в виде произведения

Многочленов и с целыми коэффициентами, но степеней меньших, чем . Если же подобно возможно, то называется приводимым.

Например, многочлен приводим (он равен ), а многочлен неприводим.

Линейный двучлен даёт простейший пример неприводимого многочлена. Его единственный корень есть число рациональное. Но среди корней неприводимого многочлена степени не может быть рациональных.

Это свойство вытекает из более общего факта:

Теорема. Если число является корнем одновременно двух многочленов и и один из них, скажем , неприводим, то многочлен при некотором целом делится на :

Эта теорема связана с именем прославленного немецкого математика К. Ф. Гаусса (1777-1855).

Она будет доказана далее , а указанное выше свойство вытекает из неё, поскольку линейный двучлен не может делиться на многочлен степени .



3. Признаки неприводимости многочленов

3.1 Признак Эйзенштейна

Если для многочлена можно указать такое простое число , что старший коэффициент не делится на , а все остальные коэффициенты делятся на , но свободный член , делясь на , не делится на , то такой многочлен неприводим. Ф.Г.М.Эйзенштейн (1823 - 1852) - тоже немецкий математик - испытал немилость судьбы и равнодушие сверстников. Его идеи были воприняты лишь много лет спустя.

Доказательство. Пусть, в противоречие с утверждением, многочлен с указанными свойствами коэффициентов приводим и потому рзлагается в произведение многочленов

Также с целыми коэффициентами. Их старшие коэффициенты и отличны от нуля, и будем считать для определённости, что .

Собирая коэффициенты при одинаковых степенях в произведении , и сравнивая их с коэффициентами многочлена , получаем

,

,

,

,

,

.



В первом из написанных равенств свободный член делятся на ; значит, или , или делится на ; они не могут делиться на одновременно, ибо не делится на .

Пусть делится на , а не делится. Тогда переходим ко второму равенству: делится на и делится на и делится на …

И так идём до ого равенсва (при ): делится на , все делится на ; тогда делится на и, значит, делится на

А теперь переносимся в последнее равенство: значит, старший коэффициент делится на , что невозможно по условию признака.

Если же в первом равенстве делится на , а не делится на , то, начав всё сначала, идём до (m+1)-ого равенства (при ) а затем опять переносимся в последнее.

Значит, разложение невозможно, и многочлен неприводим.

3.2 Диаграмма Ньютона

Для построения диаграммы Ньютона многочлена по заданному простому необходимы:

1) Координатная плоскость ( - горизонтальная, а - вертикальная оси);

2) Линейка, гвозди, молоток;

3) Немного терпения.

Потому что сначала наносится основа - каждому одночлену из становится в соответствие точка с координатами ; - это наибольшая степень числа , при которой делится на . Набор всех таких точек и есть основа диаграммы. На рисунке 1 - основа многочлена

При . Свободный член делится на , но уже не делится на - имеем точку (0;2), делится на - точка (1;1), даёт точку (2;2).

Внимание! Если , то точку основы вообще не наносим.

В нашем случае , не даёт точку основы.

Если не делится на , то и точка попадает на ось OK.

В нашем случае и не делятся на, делится на , делится на (см. рис. 1).

Рисунок 1

Будем считать, что вместе со старшим коэффициентом у многочлена не равен нулю и свободный член . Иначе всегда приводим и поэтому нам не интересен. На плоскости OKM, таким образом, будут нанесены по крайней мере две точки: начальная точка основы - у нас (0;2) - и её конечная точка -(7;2).

А теперь диаграмма (рис.2). Берём молоток и вбиваем гвозди во все точки основы, затем приставляем линейку вертикально к гвоздю, вбитому в начальную точку. Вращаем её против часовой стрелки, пока она не упрётся в другой гвоздь основы (у нас (1;1)). Соединяя эти точки отрезком, получаем первое звено диаграммы. Для получения следующего звена нужно вращать линейку вокруг второго гвоздя (1;1) до встречи с новой ночкой основы.

Вращаем линейку дальше и наносим остальные звенья, пока, наконец, не доберёмся до конечной точки основы и не получим последнее звено.

Диаграмма Ньютона готова и изображена на рисунке 2. Она представляет собой вогнутую вверх ломаную и всегда имеет хотя бы одно звено.

Лишние точки (у нас - (2;2)) не должны смущать читателя - во всяком стоящем производстве не обойтись без отходов.

О звеньях. Они бывают трёх сортов: составные, простые, примитивные.

Звено диаграммы Ньютона назовём простым, если кроме концов на нём нет других точек с целочисленными координатами. В противном случае, если таковые имеются внутри звена, будем называть его составным. Далее, простое звено назовём примитивным, если длина его проекции на горизонтальную ось OK равна единице.

Рисунок 2

3.3 Признак Дюма

Пусть p- фиксированное простое число, - многочлен с целыми коэффициентами, причем A₀A_n ? 0. Запишем ненулевые коэффициенты многочлена f в виде , где a_i- целое число, не делящееся на p. Каждому ненулевому коэффициенту сопоставим точку на плоскости с координатами (i,a_i). По этим точкам можно построить диаграмму Ньютона многочлена f (соответствующую простому числу p). Делается это следующим образом. Пусть P₀ = (0,a₀) и P₁ = (i₁,), где i₁- наибольшее целое число, для которого ниже прямой P₀P₁ нет данных точек. Пусть, далее, P₂ = (i₂,), где i₂- наибольшее целое число, для которого ниже прямой P₁P₂ нет данных точек. Самый последний отрезок имеет вид P_r-1P_r, где P_r = (n,a_n). Если звенья ломаной P₀ … P_r проходят через точки с целочисленными координатами, то все эти точки мы тоже считаем вершинами ломаной. Полученную в результате ломаную Q₀ … Q_r+s называют диаграммой Ньютона (здесь Q₀ = P₀ и Q_r+s = P_r). Отрезки P_lP_l+1 и Q_iQ_i+1 будем называть, соответственно, сторонами и звеньями диаграммы Ньютона, а векторы будем называть векторами звеньев диаграммы Ньютона.

Рассмотрим систему векторов звеньев диаграммы Ньютона, взяв каждый вектор с учетом его кратности, т.е. столько раз, сколько он входит в число векторов звеньев.

Теорема (Дюма).

Пусть

f = gh

где f, g и h- многочлены с целыми коэффициентами. Тогда система векторов звеньев для многочлена f представляет собой объединение систем векторов звеньев для g и h. (Простое число p для всех многочленов берется одно и то же.)

Доказательство.

Пусть

(числа a_i, b_j, c_k не делятся на p)

Возьмем некоторую сторону P_lP_l+1 диаграммы Ньютона многочлена f (сторона P_lP_l+1 может состоять из нескольких звеньев диаграммы Ньютона). Пусть точки P_l и P_l+1 имеют соответственно координаты (i_{_}, a_{i_}) и (i₊, a_i+). Наклоны P_lP_l+1 равен

.

Пусть

и

где t > 0- наибольший общий делитель чисел и . Тогда M= A/I, причем (A,I) = 1.

Рассматриваемая сторона P_lP_l+1 диаграммы Ньютона лежит на прямой , где . По условию все точки (i,a_i), i = = 0,1, … , n, лежат не ниже этой прямой, т.е. , причем это неравенство строгое при i < i_ и при i > i₊. Будем называть число Ia_i - Ai весом монома ap^axⁱ, где (a, p) = 1. Числа i_ и i₊ однозначно определяются как наименьший и наибольший показатели степени x мономов многочлена f с минимальным весом.

Для многочлена g рассмотрим величину

И определим j_ и j₊ как наименьший и наибольший индексы, для которых .

Аналогично для многочлена h рассмотрим величину

И определим k_ и k₊ как наименьший и наибольший индексы, для которых .

Ясно, что

Вес произведения двух членов равен сумме их весов, поэтому вес слагаемого с j = j_ и k = k_ равен G + H. Веса всех остальных слагаемых строго больше G + H, так как для них j < j_ или k < k_. В самом деле, пусть, например, j < j_. Тогда вес члена строго больше G, а вес члена не меньше H.

Вес члена ()() при j + k = const монотонно возрастает с возрастанием , поскольку I > 0. В рассматриваемом случае j + k = j_ + + k_, поэтому сумма строго минимальна при j = j_ и k = k_. Следовательно, вес члена равен G + H. Ясно также, что при i < j_ + k_ вес члена строго больше G + H, а при i ? j_ + k_ вес члена не меньше G + H. Следовательно, G + H = F и j_ + k_ = i_.

Таким образом, . (1)

В частности, одно из чисел и отлично от нуля.

Если оба числа и отличны от нуля, то отрезок с концами и является стороной диаграммы Ньютона многочлена g, а отрезок с концами () и () является стороной диаграммы Ньютона многочлена h. Наклон сторон в обоих случаях равен M = =A/I, так как

Соотношение (1) показывает, что сумма длин сторон с наклоном M диаграмм Ньютона многочленов g и h равна длине стороны (с тем же самым наклоном M) диаграммы Ньютона многочлена f.

Если же одно из чисел и равно нулю, то у диаграммы Ньютона одного из многочленов g и h есть сторона с наклоном M, причем ее длина равна длине стороны диаграммы Ньютона многочлена f, а у диаграммы Ньютона другого многочлена сторон с наклоном M нет.

Итак, вектор стороны с наклоном M диаграммы Ньютона многочлена f равен сумме векторов сторон с тем же наклоном M диаграмм Ньютона многочленов g и h. Соотношение (1) показывает, что если у одной из диаграмм Ньютона многочленов g и h есть сторона с некоторым наклоном M, то у диаграммы Ньютона многочлена f тоже должна быть сторона с таким наклоном. многочлен неприводимый временной экономический



4. Неприводимость трёхчленов и четырехчленов

4.1 Неприводимость многочленов

Пусть

где и . Выясним, в каком случае многочлен неприводим. Ясно, что многочлен неприводим тогда и только тогда, когда неприводим многочлен ,

Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда . В самом деле, если , то . Из дальнейшего рассмотрения можно также исключить тривиальный случай , т.е. и .

Будем называть многочлен степени возвратным, если .

Лемма. Пусть , где и - многочлены положительной степени с целыми коэффициентами и со старшими коэффициентами 1. Тогда по крайней мере один из многочленов и возвратен.

Доказательство.

Пусть

Рассмотрим многочлены , .

Ясно, что .

Сравнение коэффициентов при показывает, что , поэтому и . Сравнение коэффициентов при показывает, что , т.е. . Итак, , , и для некоторых

; все остальные коэффиценты равны нулю. Поэтому можно записать в двух видах:

Чтобы сравнить (1) и (2), упорядочим мономы в порядке возрастания степеней, учитывая лишь три старших монома. Для (1) получаем четыре варианта:

: ,

, : ,

, : ,

, : .

Для (2) получим два варианта:



Сравнивая три старших монома в (1) и (2), для пары (,) получаем четыре возможных варианта:

, , или .

Если , то сравнение (1) и (2) показывает, что , ,

Поэтому .

Следовательно, .

Если , то в (1) встречаются мономы степеней , а в (2) встречаются мономы степеней .

Поэтому число 2n-m-p равно одному из трех чисел n+m, n+p, n+m-p Равенства 2n-m-p = n+m и 2n-m-p = n+p противоречат предположению о том, что п ? m+p. Поэтому 2n-m-p = n+m-p, т.е. n = 2m.

Следовательно,

Если то аналогично получаем n = 2m,т.е. .

Лемма. Пусть л и л^-1 --корни многочлена f(х). Тогда выполняется одна из трех пар условии:

(I) и ,

(II) и ,

(III) и .

Доказательство. Условия и можно записать в виде

, .

Вычитая одно равенство из другого, получим ,

Т.е. .

Поэтому либо , либо ,.

Подставив эти значения в соотношение , получим, соответственно, либо , либо .

С помощью лемм 8.1 и 8.2 легко доказать следующие две теоремы, которые, в свою очередь, приводят к полному описаниюо неприводимых многочленов вида . П обеих теоремах (как и в леммах 8.1 и 8.2) предполагается, что и .

Теорема 4.1. а) Если у многочлена нет корней, являющихся корнями из единицы, то многочлен неприводим.

б) Если у многочлена есть ровно q корней, являющихся корнями из единицы, то многочлен можно представить в виде произведения двух многочленов с целыми коэффициентами, один из которых имеет степень q и все данные q корней из единицы являются его корнями, а другой многочлен неприводим.

Доказательство. Пусть , где . Согласно лемме 8.1 можно считать, что если корень многочлена , то тоже корень многочлена . В таком случае, как следует из леммы 8.2, корень из единицы. Если не все корни многочлена являются корнями из единицы, то либо многочлен неприводим над Z, либо , где и все корни многочлена являются корнями из единицы, а у многочлена есть корень, не являющийся корнем из единицы. В таком случае все корни многочлена являются корнями из единицы. Продолжая аналогичные рассуждения для многочлена , получим требуемое разложение многочлена .

Остается выяснить, в каких случаях у многочлена есть корни, являющиеся корнями из единицы. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема 4.2. Пусть d -- наибольший общим делитель чисел n, m, p. Положим

, , ,

, , .

Тогда любой корепь из единицы, являющийся одновременно корнем многочлена , удовлетворяет одному из уравнений

, , ,

причем он является некратным корнем многочлена .

Доказательство. Пусть корень ид единицы, являющийся корнем многочлена . Тогда тоже корень многочлена . Лемма 8.2 дает три варианта условии на . Рассмотрим, например, вариант (I): и . Ясно, что , поэтому существуют такие целые числа , что . Следовательно, , так как и . Варианты (II) и (III) рассматриваются аналогично.

Остается доказать. что некратный корень многочлена , т.е. . Подставляя соотношения (I), (II) и (III) в равенство , получим, соответственно, , , . Равенство в первом случае выполняться не может, а во втором и в третьем случае это равенство означает, что n = m+p. При условии n = m+p соотношения (II) принимают вид и , а соотношения (III) принимают вид и . В обоих случаях , что соответствует многочлену , исключенному из рассмотрения.



4.2 Неприводимость некоторых триномов

Воспользовавшись результатами, полученными в предыдущем параграфе, несложно выяснить, какие из триномов вида неприводимы.

Теорема 4.3. Пусть и . Тогда многчлен , где и , неприводим, за исключением трех случаев, в которых (mod 3):

а) n₁ и m₁ нечетны и ;

б) п₁ четно и ;

в )m₁ четно и .

Во всех этих случаях g(x) является произведением некоторого неприводимого многочлена на .

Доказательство. Случай, когда n= 2m и , очевиден. Поэтому будем считать, что либо n= 2m и , либо п > 2m. В таком случае к многочлену

можно применить теоремы 8.1 и 8.2. поскольку 2n> п + m > m и если , т.е. n = 2m, то . В обозначениях теоремы 8.2 имеем:

и .Таким образом, d₂ = 1, если (mod 3) и d₂ = 3, если (mod 3).

Согласно теореме 8.2 корни из единицы, являющиеся одновременно корнями многочлена g, удовлетворяют одному из уравнений , , . Первое уравнение имеет вид . а третье . Если , то а если , то . Остается рассмотреть случай, когда d₂ = 3. В лемме 8.2 случай (I) приводит к соотношениям и , а случай (III) приводит к соотношениям и . В обоих случаях получаем , поэтому . Случай (II) приводит к соотношениям , , т.е. . Таким образом, и , где (n₁, m₁) = 1 и (mod 3). Из условия (n₁, m₁) = 1 следует, что для некоторых целых чисел и и v. Поэтому .

Если числа n₁ и m₁ нечетны, то , поэтому .

Если число n₁ четно, то .

Если число m₁ четно, то .

Согласно признаку Перрона (теорема 7.2 на с. 68) трином , где целое число, неприводим. При а = 2 этот трином неприводим, если у него пот корней, равных . Все эти утверждения верны и для тринома .

Неприводимость триномов исследована в [Sc1].

Теорема 4.4. Пусть многочлен , где n > т и р- простое число, приводим. Тогда .

Теорема 4. 5. а) Многочлен раскладывается в произведение неприводимых квадратного и кубического многочленов тогда и только тогда, когда или .

б) Многочлен раскладывается в произведение неприводимых квадратного и кубического многочленов тогда и только тогда, когда .



5. Примеры задач на тему приводимые и неприводимые многочлены

Задача 1. Над каким из полей Q, R или C приводимы многочлены:

а) ;б);

в);в)?

Решение. Многочлен степени n > 0 называется приведенным над полем P, если он разлагается над этим полем в произведение двух многочленов меньшей степени, и неприводимым (простым) над полем P в противном случае.

Многочлен первой степени неприводим над любым полем. Многочлен 2-й или 3-й степени приводим над P тогда и только тогда, когда он имеет хотя бы один корень в P. Если приводим над P, то он приводим над любым решением поля P, поэтому при исследовании на приводимость мы начинаем с возможно более узкого поля, над которым определен. Если многочлен неприводим над некоторым полем, то он неприводим над любым его подпольем.

а) приводим над R;

б) ,

приводим над Q;

в)

Приводим над C.

Ответ. а) приводим над полем R; б) приводим над полем Q; в) приводим над полем C; г) неприводим над полем C(R, Q).

Задача 2. В кольце найти нормированные D(x) (НОД) и m(x) (НОК) многочленов , используя их канонические разложения:

.

Решение. Многочлены и уже разложены на множители, неприводимые над полем Q. Наибольший общий делитель D(x)многочленов и равен произведению общих различных между собой неприводимых множителей (делителей) многочленов; при этом множитель берется в степени, равной наименьшей из двух степеней, в которых он входит в разложение и . В данном случае .

Наименьшее общее кратное m(x) многочленов , должно в каноническом виде содержать все множители, которые входит в или в , в наибольшей степени:

.

Оба найденных многочлена являются нормированными.

Ответ. .

Напомним следующее определение.

Если

- некоторый многочлен над полем P, то многочлен



называется производной многочлена и обозначается . Если поле P нулевой характеристики (в частности, если P- числовое поле) и ст. , то ст. ; если , то .

В дальнейшем мы будем рассматривать многочлены только над числовыми полями.

Задача 6. Разложить по степеням x многочлен

где .

Решение. Задачу можно решить двумя способами.

Способ I. Поставим вместо x в многочлен .

Используем формулу бинома Ньютона:

.

После раскрытия скобок и приведения подобных членов получим ответ: .

Способ II. Разложим многочлен по степеням по формуле Тейлора, используя 6 раз схему Горнера:



Подставив вместо x, получим тот же ответ: .

Способ II быстрее приводит к результату.

1. Над каким из полей Q, R или C приводимы многочлены:

а)

в)

б)

г)

2. Приводимы ли над полем Q данные многочлены? В случае приводимости разложить их на множители, неприводимые над Q:

а)

б)

в)

г)

3. Разложить многочлен по степеням :

а)

б)



в)

г)

4. Пользуясь схемой Горнера, найти значение многочлена и его производных при :

а)

б)

в)

г)

5. Вычислить значение многочлена:

При

6. Разложить на простейшие дроби:

а)

б)



6 Применение неприводимых многочленов в решении экономических задач

6.1 Временной ряд и его составляющие

В общем случае временной ряд содержит как детерминированную, так и случайную составляющие; для простоты далее будем считать их аддитивным:

,

где

- значения временного ряда;

- детерминированная составляющая;

- значения детерминированных факторов, влияющих на детерминированную составляющую в момент t;

-случайная составляющая;

-длина ряда.

Математическая статистика занимается анализом и прогнозом временных рядов, содержащих случайную составляющую.

В экономике роль детерминированной составляющей играет, например, объём производства, обусловленный общей тенденцией экономического роста, научно-техническим прогрессов и затратами экономических ресурсов. На результат кроме экономических факторов могут оказывать долговременное влияние, поддающееся предсказанию, и некоторые природные факторы. Например, солнечная активность влияет на урожайность сельскохозяйственных культур с периодичность 11,2 года. Случайная составляющая аккумулирует влияние множества не включенных в детерминированную составляющую факторов, каждый из которых оказывает незначительное воздействие на результат.

Основная задача анализа временных рядов состоит в выделении на основе знания отрезка временного ряда детерминированной и случайной составляющих, а также в оценке их характеристик. Получив оценки детерминированной и случайной составляющих, можно прогнозировать значения как самого временного ряда, так и его составляющих. При анализе временных рядов в основном применяются те же методы, что и при работе с моделью множественной регрессии. Главный из них - метод наименьших квадратов (МНК).

6.2 Понятие тренда

Под трендом понимается детерминированная составляющая, зависящая только от времени. Тогда временной ряд представляется следующей теоретико-вероятной схемой:

,

где - тренд;

- случайная составляющая, , .

Если тренд линеен относительно своих параметров, а случайная составляющая имеет известную ковариационную матрицу, то задача сводится к задаче множественной регрессии. В самом деле соотношение в таком случае принимает следующую форму:

, ,

где - полностью известные функции времени.

Например, в случае полиномиального тренда соотношение имеет вид , , или в матричной форме ,



где , , ,

, .

6.3 Полиномиальный тренд

Схема расчётов представляющего собой линейную комбинацию некоторого набора функций , в случае полиномиального тренда выглядит следующим образом. Роль функций играют степени времени, т. е. , , поэтому

,

можно записать в матричной форме:

, где в качестве используется матрица, столбцами которой служат значения времени в различной степени,

.

Матрица коэффициентов нормальных уравнений имеет вид

,

т. е. её элементы являются суммами натуральных чисел в целой степени, которые могут быть заранее рассчитаны, протабулированы и использованы для любого исходного ряда. Правые части нормальных уравнений необходимо подсчитывать для каждого ряда

,

Причём для оценки свободного члена используется формула

,

в которой коэффициенты при оценках

Также могут быть заранее протабулированы.

Прогноз на глубину осуществляется по формуле

.

Доверительный интервал для детерминированной составляющей записывается в следующей форме:

,

где , ,

.



6.4 Пример решения экономической задачи при помощи полиномиального тренда

Анализ временных рядов удойности коров и урожайности зерновых.

Исследуем динамический ряд среднегодовых удоев молока (кг) от одной коровы на сельскохозяйственных предприятиях за 1961-1985 гг. (длина ряда - 25 лет)

Таблица 6.1 - Фактические и выравненные значения удоев молока от одной коровы (кг) по хозяйствам Эстонии в 1961-1985 гг.

Порядковый номер	Год	Фактические удои		Выравненные удои	Отклонения	Квадрат отклонений
1	1961	2532	2532	2565	-33	1089
2	1962	2317	4634	2621	-304	92416
3	1963	2341	7023	2676	335	112225
4	1964	2513	10052	2731	-218	47524
5	1965	2968	14840	2787	181	32761
6	1966	2956	17736	2842	114	12996
7	1967	3041	21287	2898	143	20449
8	1968	3182	25456	2953	229	52441
9	1969	3177	28593	3008	169	28561
10	1970	3181	31810	3064	117	13689
11	1971	3201	35211	3119	2	4
12	1972	3192	38304	3174	18	324
13	1973	3156	41028	3230	-74	5476
14	1974	3364	47096	3285	79	6241
15	1975	3489	52335	3341	148	21904
16	1976	3587	57392	3396	191	36481
17	1977	3648	62016	3451	197	38809
18	1978	3475	62550	3507	-32	1024
19	1979	3475	66025	3562	-87	7569
20	1980	3579	71580	3617	-38	1444
21	1981	3473	72993	3673	-200	40000
22	1982	3385	74470	3728	-343	117649
23	1983	3701	81523	3784	-83	6889
24	1984	3854	92496	3839	15	225
25	1985	3966	99150	3894	72	5184
	80753	1121733			643793

Для расчётов используем формулы полиномиального тренда при k=1, т.е. примем гипотезу линейного тренда, состоящую в примерном постоянстве по годам среднегодовых приростов удоев молока от одной коровы.

Прежде всего находим оценки коэффициентов линейного тренда, используя исходные данные:

, ;

;

;

.

Найденный коэффициент показывает, что в среднем за год удои возрастают на 55,4 кг.

Теперь рассчитаем выравненные значения (с точностью до 1 кг) и заполним столбцы .

По найденной сумме квадратов отклонений теперь можно получить оценку дисперсии случайной составляющей:

, откуда .



Найдём расчётную значимость коэффициента линейного тренда:

,

она существенно превышает табличную значимость при 5%-ном уровне значимости (5%-ном риске), т.е. коэффициент линейного тренда существенно отличается от нуля, и, следовательно, тренд действительно имеет место.

Теперь можно найти прогностические значения тренда среднегодовых удоев молока от одной коровы на 1986-1990 гг.:

(1986 г.);

(1987 г.);

(1988 г.);

(1989 г.);

(1990 г.);

Построим доверительный интервал для теоретического тренда удойности за 1987 г., т.е. при прогнозе на два года вперёд:

.

Так как , а

,



то окончательно получаем доверительный интервал размах которого равен 302, т.е. достаточно велик и составляет 7,5% по отношению к значению середины интервала.

,

Вместе с тем размах вполне приемлем для практических прогнозов значений удойности на несколько лет вперед.

Более углубленный анализ динамического ряда удойности совместно динамическими рядами экономических факторов, оказывающих на удойность решающее влияние, показывает, что колеблемость удойности вокруг тренда главным образом обусловлена колеблемостью удойности урожайности зерновых культур. Это полностью соответствует действительности, поскольку именно обеспеченность кормами (главным образом комбикормом, основу которого составляет зерно) оказывает решающее воздействие на продуктивность животных. Практически синхронная колеблемость вокруг своих трендов рядов динамики удойности и урожайности зерновых хорошо видна на рис. 3.1, на котором точки отсчёта и масштаб выбраны таким образом, чтобы тренды исходили из одной точки, а размах рядов был примерно одинаков.

Синхронное изменение двух рядов, обусловленное решающей зависимостью продуктивности коров от обеспеченности кормами приводит к мысли о том, что можно прогнозировать отклонения удойности от тренда по отклонениям урожайности от своего тренда. Это имело бы большое практическое значение для более достоверного предвидения производства животноводческой продукции, если бы существовали надёжные методы прогнозирования отклонений значений урожайности от тренда в зависимости от вариации погодных условий. Однако к настоящее время таких методой ещё нет. Существующие методы дают недостаточно достоверные прогнозы урожайности. Пока самый доступный метод для прогноза удойности - это метод выделения тренда. В будущем можно будет осуществить и прогноз остатков.

Рисунок 6.1 - Фактические и выравненные значения удойности коров (штриховые лини) и урожайности зерновых (сплошные линии)

Таблица 6.2 - Фактические и выравненные значения урожайности зерновых (ц/га) в Эстонии в 1960-1985 гг.

Год	Значение урожайности	Отклонение		Год	Значение урожайности	Отклонение
	фактическое	выравненное				фактическое	выравненное
1960	13,3	11,67	1,63		1973	19,5	22,52	-3,02
1961	12,2	13,36	-1,16		1974	30,1	23,08	7,02
1962	12,4	14,6	-2,2		1975	26,7	23,63	3,07
1963	12,4	15,62	-3,22		1976	31,0	24,17	6,83
1964	16,4	16,53	-0,13		1977	28,4	24,71	3,69
1965	22,0	17,34	4,66		1978	20,0	25,24	-5,24
1966	17,2	18,1	-0,9		1979	24,7	25,76	-1,06
1967	21,8	18,81	2,99		1980	26,9	26,27	0,63
1968	22,4	19,49	2,91		1981	21,3	26,79	-5,49
1969	24,8	20,13	4,67		1982	28,6	27,3	1,3
1970	21,3	20,76	0,54		1983	27,7	27,8	-0,1
1971	26,7	21,36	5,34		1984	30,0	28,3	1,7
1972	17,9	21,95	-5,05		1985	22,9	28,8	-5,9



Что касается выявления тренда урожайности зерновых, то результаты соответствующих расчётов приводятся ниже и в табл. 5.2 и 5.3:

;

.

Таблица 6.3 - Прогноз урожайности зерновых (ц/га) по тренду

Год	Прогноз	Стандартная ошибка прогноза
1986	29,8	1,69
1987	30,4	1,32
1988	31,0	1,9
1989	31,5	2,02
1990	32,1	2,11

Итак, стандартные ошибки достаточно высоки, поэтому размахи доверительного интервала прогноза по тренду , что весьма значительно. Тем не менее эти прогнозы можно использовать на практике, если предположить, что для данного показателя сохранится сложившаяся долговременная тенденция изменения его значений. Если тенденция изменится под влиянием определенного фактора, то отклонение от прогноза по тенденции можно будет рассматривать как суперпозицию результата влияния нового фактора и случайного составляющей.

В табл. 3.4 приведены результаты расчётов по различным трендам, линейным относительно двух параметров. Как видим, наименьшая из рассмотренных сумм квадратов отклонений у логарифмического тренда, который характеризуется постепенным падением абсолютных приростов, что отвечает сформулированной ранее гипотезе:

.



Этот тренд даёт более осторожной прогноз по сравнению с прогнозом по линейному тренду, что видно из табл. 5.5.

Таблица 6.4 - Результаты применения различных видов тренда для прогноза урожайности зерновых (ц/га)

Формула тренда	Значение коэффициента	Остаточная сумма квадратов отклонений
	А	В
	14,6	0,59	392
	14,5	0,029	448
	24,9	-18,3	512
	0,0069	-0,0015	581
	9,27	5,5	328
	3,2	-0,97	463
Экспоненциальное сглаживание	29,68	0,6427	439

Таблица 6.5 - Прогноз урожайности зерновых (ц/га) по линейному и логарифмическому трендам и с помощью экспоненциального сглаживания

Год	Прогноз по тренду	Экспоненциальное сглаживание
	Линейному	Логарифмическому
1986	29,8	27,4	30,3
1987	30,4	27,6	31,0
1988	31,0	27,8	31,6
1989	31,5	28,0	32,3
1990	32,1	28,1	32,9

В табл. 6.4 и 6.5 приводятся коэффициенты прогнозирующей функции и прогноз тенденции этого ряда на те же годы, полученные методом экспоненциального сглаживания.



Заключение

В результате изучения свойств неприводимости многочленов получим ряд выводов:

1. Многочлен = + + … + = 0 степени по называется неприводимым, если он не может быть представлен в виде произведения многочленов и с целыми коэффициентами, но степеней меньших, чем . Если же подобно возможно, то называется приводимым.

2. Изучены и сформулированы такие признаки неприводимости, как признак Эйзенштейна и признак Дюма.

3. Сформулированы условия, при которых достигается неприводимость трёхчленов и четырёхчленов



Список использованной литературы

1. Солодовников А.С, Родина М. А. Задачник-практикум по алгебре. Ч. IV. Учеб. пособие для студентов-заочников физ.-мат. фак. пед. ин-тов. --М.: Просвещение, 1985. -- 127с.

2. Винберг Э.Б. Курс алгебры. 2-е издание, испр. и допол. -- Факториал Пресс, 2001. -544 с.

3. Числа и многочлены/Сост. А.А. Егоров. -- М., Бюро Квантум, 2000. -- 128 с.

4. Прасолов В. В. Многочлены. -- 3-е изд, исправленное. -- М.: МЦНМО, 2003. --336 с: ил.

5. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие. - М.: Высш. шк., 1984. - 351с.

6. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. -- М.: Гос.изд-во физ.-мат. лит, 1963. -- 425с.

7. Колемаев В. А. Эконометрика: Учебник. - М.: ИНФРА-М, 2005. - 160 с.

8. Мишина А. П., Проскуряков И. В. Высшая алгебра, 2 изд. -- М., 1965 - 299 с.

Размещено на Allbest.ru

...