Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Вспомогательные сведения

1.1 Теоремы Ферма, Ролля

1.2 Теоремы Коши и Вейерштрасса

2. Бета-функция Эйлера

2.1 Определение бета-функции

2.2 Свойства бета-функции

3. Гамма-функция Эйлера

3.1 Определение гамма-функции

3.2 Свойства гамма-функции

3.2.1 Непрерывность

3.2.2 Основное функциональное уравнение

3.2.3 Ход изменения гамма-функции

3.2.4 Связь межу бета и гамма-функциями Эйлера

3.2.5 Формула дополнения

3.2.6 Формула Эйлера

4. Другое определение гамма-функции

4.1 Определение

4.2 Основные свойства

Заключение

Литература

Приложение



Введение

Функция гамма является одной из наиболее важных трансцендентных функций, распространяющей понятие факториала на дробные и даже комплексные значения аргумента. Через гамма-функцию выражается большое число определённых интегралов, бесконечных произведений и сумм рядов. Она играет значимую роль в теории специальных функций -- цилиндрических, гипергеометрических и других. Гамма-функция и ее свойства используются в аналитической теории чисел.

Гамма-функция тесно связана с бета-функцией. Обе эти функции определяют эйлеровы интегралы первого и второго рода, введённые великим математиком, физиком и астрономом Л. Эйлером (1707-1783 гг.). Ему принадлежат важнейшие работы по математическому анализу.

Цель работы: Изучить бета- и гамма-функции, их свойства, связь между ними и научиться применять их для вычисления интегралов.

Задачи:

1. изучение литературы по теме «Эйлеровы интегралы»;

2. показать, что гамма-функция является продолжением факториала;

3. решение практических задач.

Предмет исследования: Свойства бета- и гамма-функций и их применение.



1. Вспомогательные сведения

1.1 Теоремы Ферма, Ролля

Теорема Ферма: Пусть функция , непрерывная в некотором интервале . Принимает свое наибольшее (или наименьшее) значение во внутренней точке этого интервала:. Если в точке о производная функции существует, то она обязательно равна нулю:

Доказательство: Если функция принимает в точке о свое наибольшее значение, то это значит, что

для всех .

Производная равна

Так как о- внутренняя точка интервала то приращение может принимать и положительные и отрицательные значения.

Рассмотрим отношение

Числитель этого отношения, согласно условию , не может быть положительным: Поэтому при отношение



и предел его - правая производная так же неположителен: Если же , то отношение

и, следовательно,

Так как по условию теоремы в точке о производная функции существует, то левая и правая производные должны быть равны. Это возможно только в случае . Но тогда и что требовалось доказать.

Теорема Ролля: Если функция непрерывна в замкнутом интервале , дифференцируема во всех его внутренних точках и имеет на концах интервала равные значения, то в этом интервале существует хотя бы одно значение , для которого .

Доказательство: Если на концах интервала значения функции равны между собой, , то возможны два случая.

1) Внутри интервала функция вовсе не изменяется и везде ; тогда ее производная равна нулю при всех значениях

2) Если функция изменяется, то, будучи непрерывной в замкнутом интервале, она принимает свое наибольшее и наименьшее значения, причем хотя бы одно из этих значений принимается ею внутри интервала. Действительно, если бы наибольшее и наименьшее значения принимались на концах интервала, то по условию теоремы они были бы равны и функция была бы постоянной.

По условию теоремы производная существует во всех внутренних точках интервала, а значит и в точке, где функция принимает свое наибольшее или наименьшее значение. По теореме Ферма производная в точке равна нулю, а это как раз то, что и требовалось доказать.

1.2 Теоремы Коши и Вейерштрасса

Теорема Коши (критерий сходимости числового ряда): Для того чтобы ряд был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа существовал такой номер , чтобы при и любом целом выполнялось неравенство

или, что то же самое, чтобы все достаточно далеко лежащие отрезки этого ряда были бы по модулю сколь угодно малы.

Теорема Вейерштрасса (призрак равномерной сходимости): Если общий член ряда удовлетворяет условию для всех значений из отрезка сходимости и если знакоположительный числовой ряд

сходится, то функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно на .

Доказательство: Абсолютная сходимость ряда следует из признака сравнения знакоположительных рядов в силу условия для любого .

Докажем равномерную сходимость. Так как ряд
сходится, то по критерию сходимости Коши для любого существует номер , такой, что при и любом целом выполняетс неравенство

При и всех целых

для всех. Следовательно, по критерию Коши для равномерной сходимости функционального ряда ряд равномерно сходится на.



2. Бета-функция Эйлера

2.1 Определение бета-функции Эйлера

Определение 1: Интеграл вида:

где ,

представляет функцию от двух переменных параметров и , или функцию Эйлера (интеграл Эйлера первого рода). Название ей дал французский математик, механик и астроном Жак Бине.

Теорема 1: данный интеграл для положительных значений и (хотя бы и меньших единицы) сходится.

Доказательство. При особая точка , при особая точка . Разложим предложенный интеграл на два:

Так как подинтегральная функция при является бесконечно большой (если a ) порядка , то первый интеграл сходится лишь при условии , т. е. . Аналогично, второй сходится при b. Первый интеграл сходится в том и только в том случае, если одновременно

Рассматриваемый интеграл сходится, следовательно, может быть положен в основуфункции.



2.2 Свойства бета-функции

Получаем при помощи подстановки так как функция является симметричной относительно и .

1) С помощью интегрирования по частям из формулы при , находим:

Используем тождество ,

С помощью преобразований получим:

Эту формулу можно применять с целью уменьшения , пока остается больше ; таким образом, всегда можно достигнуть того, чтобы второй аргумент стал не больше

Этого же результата можно добиться и в отношении первого аргумента, так как бета-функция является симметричной. Имеет место и другая формула приведения

Если равно натуральному числу , то, последовательно применяя формулу , найдем:

Но

Поэтому для и, одновременно, для получается окончательное выражение:

Если равно натуральному числу , то

Эту формулу можно применять при или , если под символом иметь в виду

2) Для функции существует аналитическое представление. Если в интеграле произвести подстановку где - новая переменная, изменяющаяся от до, то получается:

Таким образом

3) Предположим в формуле считая, что найдем:

Полученный интеграл также связан с именем Эйлера. Вычислим его.

Разобьем интеграл на два интеграла:

Для имеем разложение в ряд

этот ряд сходится равномерно лишь, если Но частичная сумма имеет интегрируемую в мажоранту:



следовательно, интеграл от нее сходится равномерно. Интегрируя почленно, получим:

Интеграл подстановкой приводим к виду:

Применяя полученное выше разложение, найдем:

Таким образом:

Полученное выражение есть разложение на простые дроби функции

Окончательно получаем:

Таким образом,

Если взятьто получим:

Функция «Бета» очень просто выражается через функцию «Гамма».

График бета-функции при вещественных аргументах



3. Гамма-функция

3.1 Определение гамма-функции

Определение 2: Гамма функцией или эйлеровым интегралом 2-го рода называется функция, определяемая равенством:

где - любое комплексное число, .

Функция «Гамма», после элементарных, является одной из важнейших функций для анализа и его приложений. Своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру.

Предположим в формуле найдем:

Как известно, причем выражение при возрастании стремится к своему пределу, возрастая. В таком случае, на основании предельного перехода под знаком интеграла, оправдано равенство:

Если сделать подстановку, получим:

Согласно формуле

Таким образом, придем к формуле Эйлера-Гаусса:

3.2 Свойства функции «Гамма»

3.2.1 Непрерывность

Теорема: Функция при всех значениях непрерывна и имеет непрерывные производные всех порядков.

Доказательство: Достаточно доказать лишь существование производных. Дифференцируя интеграл под знаком интеграла, получим:

применение правила Лейбница оправдано тем, что оба интеграла

и сходятся равномерно относительно : первый при для (мажоранта ), а второй сходится при для (мажоранта

Таким же путем можно убедиться и в существовании второй производной

и всех дальнейших.

3.2.2 Основное функциональное уравнение

Из формулы интегрированием по частям получаем:

т.е.

Определение 3: Равенство (9) называется основным функциональным уравнением для гамма-функции.

Применяя его несколько раз, получаем

Таким образом, вычисление для сколь угодно большого значения аргумента может быть приведено к вычислению для аргумента меньше .

Если в формуле взять и принять во внимание, что

то окажется, что

Функция «Гамма» является естественным распространением - на область любых положительных значений аргумента - факториала n!, определенного лишь для натуральных значений n.

3.2.3 Ход изменения функции «Гамма»

Из формул и имеем: так что по теореме Ролля, между и должен лежать корень производной . Первая производная постоянно возрастает, т.к. вторая производная всегда положительна (следует из (. Следовательно, при производная, и функция убывает, так что возрастает;

при налицо минимум, вычисление которого дает:

Из формул (и из свойства непрерывности) следует, что при С другой стороны, ввиду лишь только то есть и при



3.2.4 Связь между функциями «Бета» и «Гамма»

Для того, чтобы установить связь между функциями и Г, подставим в формулу и получим:

Умножим обе части этого равенства на получим:

Заменяем на и t на , получим:

Умножим обе части этого равенства на и проинтегрируем по t от 0 до :

Таким образом, получаем:

откуда,

Эта функция непрерывна и положительна для и ,а интегралы

представляют собой непрерывные функции: первый - от для, второй - от для . Если и , то

Отсюда, используя формулы привидения для функции для функции , можно получить формулу без ограничений.



3.2.5 Формула дополнения

Если в формуле (считая ,то, используя формулы и , получим соотношение:

Определение 4: Данные формулы называются формулами дополнения для бета и гамма-функций. При находим: (т.к.

Если в интеграле

сделать подстановку то получим значение интеграла Эйлера-Пуассона:



3.2.6 Формула Эйлера

Перепишем это произведение в обратном порядке

перемножим оба выражения:

и к каждой паре множителей применим формулу дополнения. Мы получим:

Теперь для вычисления произведения синусов рассмотрим тождество:

,

получим:



или, приравнивая модули:

получим:

Подставляя это выражение для , окончательно получаем:



4. Другое определение гамма-функции

Для изучения глобальных свойств гамма-функции обычно пользуются интегральным представлением. Гамма-функцию можно представить и в виде ряда.

4.1 Определение

Рассмотрим функциональное уравнение

которому для всех целых неотрицательных значений удовлетворяет функция

Найдем аналитическую функцию, удовлетворяющую уравнению для всех комплексных(условие 1).

Заметим, что искомая функция для любых целых положительна и должна удовлетворять уравнению

которое получается повторным применением формулы

Полагая в соотношении получаем, что для всех целых положительное значение совпадает с

Заменим в и перепишем это соотношение в виде



Искомая функция должна иметь полюса во всех целых неположительных точках При числитель выражения стремится к , а знаменатель к . Из следует:

Вычет в полюсе первого порядка определяется по формуле:

В формуле все полюсы - первого порядка, значит вычет в полюсе равен

Предположим не имеет других особенностей, кроме и нигде не обращается в нуль (условие II).Тогда логарифмическая производная функции равна:

и будет мероморфной функцией, имеющей в точках простые полюса с вычетами, равными .

Прологарифмируем формулу .

Продифференцируем полученную функцию:

Подставим здесь и обозначим

вычитая полученное равенство из предыдущего, найдем:

Ряд с общим членом

сходится при любом т.к. отношение его общего члена к члену сходящегося ряда стремится к конечному пределу В любой ограниченной области, начиная с некоторого, имеем где - некоторая постоянная, следовательно, этот ряд сходится равномерно. Таким образом, по теореме Вейерштрасса сумма ряда представляет собой функцию, аналитическую во всех конечных точках, кроме точек где она имеет полюсы первого порядка с вычетом, равным .

Перейдем в формуле к пределу при существует предел следовательно, существует предел который мы обозначим через В пределе будем иметь:

Так как имеет в точках полюсы первого порядка, то главные части ее логарифмической производной в этих полюсах равны Отсюда следует, что функция должна быть целой. И обратно, какова бы ни была целая функция , функция , определяемая по своей логарифмической производная будет удовлетворять условию II. Условие I налагает на функцию дополнительное ограничение. В самом деле, из функционального уравнения (1) логарифмированием и дифференцированием получаем следующее уравнение для функции :

Из равенства следует:

(постоянная и все слагаемые, кроме первого, при вычислении сокращаются), поэтому для того, чтобы удовлетворилось соотношение функция должна быть периодической с периодом , т.е.. Обратно, для любой такой функция будет удовлетворять уравнению и, интегрируя и дифференцируя последнее, найдем:

где - некоторая постоянная.

Если функция удовлетворяет еще условиям то, подставляя в последнее уравнение , найдем, т.е. после потенцирования получим функциональное уравнение

Таким образом, для любой целой периодической с периодом функции соответствующая функция (если для нее) удовлетворяет обоим условиям I и II.

Условиям I и II удовлетворяет целый класс мероморфных функций. Простейшую из этих функций мы получим, если положим в - она и называется гамма-функцией Эйлера и обозначается символом Для логарифмической производной гамма-функции имеем, следовательно, разложение:

где - постоянная. Определим данную постоянную. Проинтегрируем разложение вдоль некоторого пути, соединяющего точку с произвольной точкой и не содержащего точек, получим разложение логарифма гамма-функции:

Постоянная определяется условием которое было наложено на гамма-функцию (второе условие имеет место при любом).

Подставим в получим:

Последнее произведение равно добавляя в сумму, стоящую под знаком предела, стремящейся к нулю член и заменяя еще через , получим:

Эта постоянная носит название постоянной Эйлера, ее приблизительное значение равно

Из формулы потенцированием получаем представление функции в виде бесконечного произведения

Полученное бесконечное произведение сходится для всех конечных z, для это следует из доказанной сходимости ряда и теоремы - «для сходимости бесконечного произведения необходима и достаточна сходимость ряда при надлежащем выборе значений логарифмов». А для непосредственно видно, что она сходится к.

4.2 Основные свойства

Перечислим основные свойства гамма-функции, которые получили при ее определении:

1) аналитична всюду, кроме целочисленных отрицательных точек и точки .

2) Г(z) удовлетворяет функциональному уравнению

или более общему

3) При всех целых положительное значение совпадает с

4) Все полюсы гамма-функции первого порядка, причем вычет в полюсе равен

5) Функция целая, следовательно, гамма-функция не обращается в .

Свойства выясняют общий характер графика функции действительного аргумента.

Максимумы и минимумы для отрицательных приближаются к при , это связано с тем, что по свойству вычет, т.е. коэффициент при главной части разложения в окрестности точки сильно убывает с ростом

Ниже приведен рельеф гамма-функции т.е. поверхность с уравнением

Ярко выраженные пики над точками соответствуют полюсам. Два семейства линий на поверхности представляют собой семейства линий равного модуля и равного аргумента, цифровые отметки на них указывают значения модуля и аргумента (последнее - в градусах).

Наряду с соотношением во многих вопросах полезно еще второе функциональное уравнение для гамма-функции:

6) Для всех комплексных :

(при обе части равенства обращаются в бесконечность).

Подставим в формулу , получим:

затем заменим в формуле на :

Перемножив полученные произведения, найдем:

Воспользуемся разложением в бесконечное произведение, получим искомую формулу

Отметим некоторые следствия полученных формул.

Полагая в формуле, найдем, откуда

Применив теперь формулу (14), в которой положено найдем:

Полагая в будем иметь:

откуда по получим формулу:

7) Для всех из правой полуплоскости

где интегрирование производится по положительной полуоси (Эйлер).

Для доказательства прежде всего заметим, что интеграл сходится для всех , для которых

видим, что при сходимость интеграла (для любого) обеспечивается множителем а при подынтегральная функция имеет порядок так что для интеграл будет сходиться.

Рассмотрим функцию

Введем новое переменное интегрирования и применим формулу интегрирования по частям, находим:

(подынтегральная часть исчезает).

Повторим этот прием до тех пор, пока не исчезнет множитель , получим:

Умножим числитель и знаменатель полученного выражения на

, тогда найдем:

Перейдем к пределу при , на основании формул получим:

так как при, то

и следовательно формула доказана.

Для доказательства последнего соотношения мы воспользуемся неравенством

Оценим разность между предполагаемым пределом и

В силу сходимости интеграла для любого фиксированного найдется такой номер, что при

Фиксируем этот номер и для любого представим в виде:

Для оценки первого слагаемого воспользуемся неравенством , получим:

откуда видно, что при достаточно больших (и фиксированном) это первое слагаемое по модулю не превосходит

Для второго слагаемого имеем:

отбросили вычитаемое и увеличим интервал интегрирования, а затем воспользовались неравенством. Модуль третьего слагаемого при любом не превосходит и, следовательно, Соотношение доказано, а значит, доказана и формула

эйлер функция интеграл гамма

График модуля гамма-функции на комплексной плоскости



Заключение

Гамма функции являются удобным средством для вычисления некоторых интегралов в частности многих из тех интегралов, которые не представимы в элементарных функциях. Очень многие ряды и интегралы, встречающиеся в анализе, могут быть выражены через гамма-функцию Эйлера. В теории аналитических функций фигурирует почти наравне с элементарными функциями.

Благодаря этому бета- и гамма функции широко применяются в математике и ее приложениях, в механике, термодинамике и в других отраслях современной науки.

В данной курсовой работе изучили основные свойства бета- и гамма -функции, а так же установили связь между ними. Были приведены примеры их использования (вычисление эйлерова интеграла первого рода, или бета-функции).

Были приведены важнейшие интегральные представления для гамма-функции.



Литература

Балк М.Б., Виленкин Н.Я., Петров В.А. Математический анализ. Теория аналитических функций. М.: Просвещение, 1985. 159 с.

Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. М.: Наука, 1966. 735 с.

Бронштейн И.Н., Смендяев К.А. Справочник по математике для студентов вузов. М., Наука. 1965. 360 с.

Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения, Ряды. Функции комплексного переменного. Ростов-н/Д. Феникс. 1997. 511 с.

Виленкин Н.Я., Куницкая Е.С, Мордкович А.Г., Математический анализ: интегральное исчисление. М.: Наука, 1979. 435 с.

Дадаян А.А., Дударенко В.А. Математический анализ: Учеб. пособие. Мн.: Выш шк., 1990. 428 с.

Дмидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учеб. пособие. 13-е изд., испр. М.: Изд-во Моск. уи-та, ЧеРо, 1997. 624 с.

Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1980. 507 с.

Лаврентье., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 620 с.

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1, 2. М.: Физматгиз, 1962. 807 с.



Приложение

№1.[7] c 400,№3843.

№2. [7] c 400, №3844.

№3. [7] с 400, 3845.

№4. [7] c401,3846

№5.[7] c401, 3847

№6. [7] c401, 3848

№7.[7] c401, 3849

№8.[7] с 401, №3850.

Размещено на Allbest.ru

...