Аффинные преобразования пространства
Определение аффинных преобразований пространства, их основные свойства. Основные доказательства теорем про аффинные преобразования. Характеристика родства пространства: его определение, свойства (корректность определения направления родства и пр.).
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 23.11.2016 |
| Размер файла | 156,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Аффинные преобразования пространства
1. Определение и основные свойства
Познакомимся с определением - аффинные преобразования пространства. Аффинным преобразованием пространства называется преобразование пространства, переводящее каждую плоскость в плоскость.
Свойства:
1. При аффинном преобразовании прямые переходят в прямые.
2. Аффинное преобразование пространства индуцирует аффинное отображение каждой плоскости на её образ.
3. При аффинном преобразовании параллельные плоскости (прямые) переходят в параллельные плоскости (прямые).
Доказательства свойств:
1. Следует из того, что прямая есть пересечение двух плоскостей, и из определения аффинного преобразования.
2. Следует из определения аффинного преобразования и свойства 1.
3. Для плоскостей доказывается от противного, для прямых - через свойство 2 и свойство аффинного преобразования плоскости
Теорема 1.1. (о задании аффинного преобразования пространства) Для любых данных тетраэдров АВСD и АґВґСґDґ существует единственное аффинное преобразование, переводящее А в Аґ, В в Вґ, С в Сґ, D в Dґ.(Возьмем без доказательства).
4. Преобразование, обратное аффинному, является аффинным.
5. Аффинные преобразования сохраняют отношения длин параллельных отрезков.
Теперь пусть в пространстве задана система координат (О, , , ) и аффинное преобразование f переводит О в Оґ, а базисные вектора в вектора , , соответственно. Найдём координаты xґ, yґ, zґ образа Mґ(xґ,yґ,zґ) точки M(x,y,z) при преобразовании f.
Будем исходить из того, что точка М в системе координат (О, , , ) имеет такие же координаты, что и точка Мґ в системе координат (Оґ, , , ). Отсюда
.
Поэтому имеем равенства (*):
Стоит ещё заметить, что
,
аффинный преобразование пространство родство
т.к. векторы , , линейно независимы.
Этот определитель называется определителем аффинного преобразования.
Теорема 1.2. Преобразование, заданное равенствами (*), при является аффинным.
Доказательство: Достаточно проверить, что преобразование, обратное преобразованию(*), является аффинным (свойство 4). Возьмём произвольную плоскость Аxґ+Вyґ+Сzґ+D=0, где А, В, С не равны одновременно нулю. Выполняя подстановки (*), получим уравнение её прообраза:
.
Остаётся лишь проверить, что в полученном уравнении коэффициенты при x, y, z одновременно не равны нулю. Это действительно так, т.к. иначе система
с неравным нулю определителем имела бы лишь нулевое решение: А=В=С=0, что неверно.
Теорема 1.3. Для объёмов V и Vґ соответственных при аффинном преобразовании тел имеет место зависимость .
Доказательство: Пусть некомпланарные векторы , , образуют векторный базис пространства, и пусть в пространстве заданы векторы , и . Вычислив смешанное произведение этих векторов, получим:
.
Воспользуемся тем, что объём ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах как на рёбрах, равен смешанному произведению этих векторов:
,
где V0 - объём параллелепипеда, построенного на базисных векторах.
Аффинное преобразование не изменяет координаты соответственных векторов в соответственных базисах. Поэтому для объёма Vґ образа параллелепипеда объёма V имеем:
,
где - объём параллелепипеда, построенного на векторах , как на рёбрах. Отсюда получаем: . Далее
,
поэтому для неориентированных объёмов имеем . На все тела это равенство можно распространить аналогично доказательству свойства 4 подобий
2. Родство пространства
Определение. Аффинное преобразование пространства, имеющее плоскость неподвижных точек, называется родственным преобразованием с (родством), а плоскость его неподвижных точек называется плоскостью родства. Соответственные при родстве элементы называются родственными.
Определение. Направление прямых, соединяющих родственные точки, называется направлением родства.
Свойства родства:
1. Родственные прямые (плоскости) пересекаются на плоскости родства или ей параллельны.
2. (Корректность определения направления родства) Прямые, каждая из которых соединяет две родственные точки, параллельны.
3. Если направление родства непараллельно плоскости этого родства, то каждый отрезок, соединяющий две родственные точки, делится плоскостью родства в одном и том же отношении.
4. Всякая плоскость, параллельная направлению родства, неподвижна при этом родстве. В ней индуцируется родство плоскости (аффинное преобразование, имеющее прямую неподвижных точек, называющуюся осью родства), осью которого является прямая её пересечения с плоскостью данного родства пространства.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Основные композиции движений пространства. Композиции центральных симметрий пространства. Композиция зеркальной и центральной симметрий пространства. Композиции подобий и аффинных преобразований пространства.
дипломная работа [132,4 K], добавлен 08.08.2007Понятие о геометрическом преобразовании. Роль движений в геометрии. Применение аффинных преобразований при решении задач. Свойства аффинного преобразования. Транзитивность, рефлексивность и симметричность. Свойство перспективно-аффинного соответствия.
курсовая работа [547,9 K], добавлен 08.05.2011Определение и формула аффинного преобразования в сопряжённых комплексных координатах. Уравнение образа прямой при аффинном преобразовании. Частные виды аффинных преобразований в сопряжённых комплексных координатах.
дипломная работа [222,8 K], добавлен 08.08.2007Понятие и основные характеристики пространства Соболева, их главные свойства, сущность простейшей теоремы вложения. Порядок применения пространства Соболева для доказательства существования и единственности обобщённого решения уравнения Лапласа.
курсовая работа [232,5 K], добавлен 12.10.2009Понятие и характеристика линейного пространства, его главные свойства и особенности. Исследование аксиом векторного пространства. Анализ отличий и признаков векторного подпространства. Базис и формулы линейного пространств, определение его размерности.
реферат [249,4 K], добавлен 21.01.2011Наделение множества метрикой, основные аксиомы метрического пространства. Равномерная метрика, нормы элементов и линейное пространство. Фундаментальная последовательность элементов линейного нормированного пространства. Понятие банахова пространства.
реферат [375,9 K], добавлен 04.12.2011Исследование геометрии поверхностей четырехмерного псевдоевклидова пространства индекса один (пространства Минковского). Определение пространства Минковского, его основные особенности, типы прямых и плоскостей. Развертывающиеся и линейчатые поверхности.
дипломная работа [1,7 M], добавлен 17.05.2010Понятие и характерные свойства обобщенных функций и обобщенных производных, их отличительные признаки и направления анализа. Решение и определение данных величин на основе специальных теорем. Сущность и структура, элементы пространства Соболева.
презентация [179,4 K], добавлен 30.10.2013Понятие нормированного пространства. Пространства суммируемых функций. Интеграл Лебега-Стилтьеса. Интерполяция в пространствах суммируемых функций. Теорема Марцинкевича и ее применение. Пространства суммируемых последовательностей.
дипломная работа [354,0 K], добавлен 08.08.2007Общее понятие и характеристика простейшего пространства элементарных исходов. Способы вычисления вероятности события. Классическая вероятностная модель, ее главные свойства и доказательства. Основные аксиомы теории вероятности, примеры решения задач.
реферат [42,6 K], добавлен 24.04.2009Этапы развития теории описания пространства, сущность принципа относительности, сформулированного Галилеем. Геометрия Минковского как описание пространства – времени, основные понятия ее описания. Разработка практических занятий по данным темам.
дипломная работа [354,6 K], добавлен 24.02.2010Введение в алгебраическую геометрию. Определения аффинных многообразий: фиксированное алгебраически замкнутое поле; аффинное пространство, топология Зорисского на аффинной прямой; нётерово топологическое пространство. Понятия проективных многообразий.
контрольная работа [204,1 K], добавлен 15.05.2012Понятие и признаки метрического пространства. Свойства топологических пространств. Замкнутые множества: внутренние, внешние и граничные точки. Топологические преобразования топологических пространств. Понятие и содержание двумерного многообразия.
курсовая работа [481,4 K], добавлен 28.04.2011Особенности неподвижного геометрического трехмерного пространства, его отличительные признаки от подвижного пространства. Отличия физической сущности скорости от математической. Понятие производной вектора по времени, методика и этапы ее определения.
статья [174,3 K], добавлен 25.12.2010Решение систем уравнений методом Гаусса, с помощью формул Крамера. Построение пространства решений однородной системы трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными с указанием базиса. Определение размерности пространства решений неоднородной системы.
контрольная работа [193,5 K], добавлен 28.03.2014Векторные пространства, скалярное произведение и норма функций, ортогональные системы функций, равенства и тригонометрический ряд Фурье. Сходимость интеграла Фурье, основные сведения теории преобразования. Операционное исчисление, преобразование Лапласа.
учебное пособие [1,2 M], добавлен 23.12.2009Отношения зависимости. Произвольные пространства зависимости. Транзитивные и конечномерные пространства зависимости. Существование базиса в транзитивном пространстве зависимости. Связь транзитивных отношений зависимости с операторами замыкания. Матроиды.
дипломная работа [263,2 K], добавлен 27.05.2008Изучение конструкции и простейших свойств конечных полей, степень расширения поля разложения. Определение и свойства фундаментальной группы топологического пространства. Способ построения клеточного комплекса путем последовательного приклеивания клеток.
контрольная работа [926,4 K], добавлен 26.12.2010Системы линейных уравнений и интерпретация их решений как пересечение гиперплоскостей в n-мерном координатном пространстве. Размерность и подпространства линейного пространства. Оптимизационные задачи линейного программирования. Суть симплекс-метода.
курсовая работа [132,2 K], добавлен 10.01.2014Понятие числовых функций с областью определения, аргумент и области их значений, свойства и графическое выражение. Определение четных и нечетных функций, периодичность тригонометрических функций. Свойства, используемые при построении их графиков.
презентация [22,9 K], добавлен 13.12.2011
