Среднеквадратичные приближения с помощью тригонометрических полиномов
Исследование периодической функции, ее разложение в ряд Фурье. Вычисление значений тригонометрических полиномов в заданных точках. Построение графика многочлена третьей и восьмой степени. Определение погрешностей и расчет среднеквадратичных коэффициентов.
| Рубрика | Математика |
| Вид | задача |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 23.11.2016 |
| Размер файла | 34,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://allbest.ru
Среднеквадратичные приближения с помощью тригонометрических полиномов
Условие: Считая функцию периодической с периодом 2 , получить ее приближение при помощи тригонометрических полиномов 3 и 8 степени, если:
где N - натуральное число.
С помощью полученных тригонометрических полиномов найти значение функции в точках и сравнить полученные значения тригонометрических полиномов для одинаковых значений координаты .
Решение: Для решения этой задачи воспользуемся разложением функции в тригонометрический ряд Фурье.
Доопределим функцию на концах отрезка значением .
В общем случае тригонометрический ряд Фурье имеет вид:
Тригонометрические полиномы 3 и 8 степени получим из ряда Фурье, взяв соответственно первые 3 и 8 членов этого ряда.
Тригонометрический ряд Фурье для нашей функции имеет вид:
Полином 3 степени имеет вид:
Полином 8 степени имеет вид:
Вычисляем значения полиномов P1(x), P2(x) в точках . Затем сравниваем полученные значения тригонометрических полиномов в одинаковых точках и оцениваем разность значений. Результаты заносим в соответствующие таблицы.
Таблица коэффициентов аn и bn
|
№ |
P1(x) |
P2(x) |
|||
|
аn |
bn |
аn |
bn |
||
|
1 |
0.197682268274 |
0.381458101245 |
0.197682268274 |
0.381458101245 |
|
|
2 |
0.004838563845 |
0.160182369127 |
0.004838563845 |
0.160182369127 |
|
|
3 |
0.017874512341 |
0.125820501635 |
0.017874512341 |
0.125820501635 |
|
|
4 |
0.004386036001 |
0.081513176125 |
|||
|
5 |
0.004052941544 |
0.074080403164 |
|||
|
6 |
0.003683735651 |
0.055680667787 |
|||
|
7 |
0.000853152182 |
0.051692140251 |
|||
|
8 |
0.002862913626 |
0.042844467069 |
Таблица результатов:
|
№ |
x |
f(x) |
P1(x) |
P2(x) |
|
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 |
-1.9 -1.8 -1.7 -1.6 -1.5 -1.4 -1.3 -1.2 -1.1 -1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 |
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 |
0.818749233441561 0.954620899772411 0.900029672464961 0.728198102268568 0.553299610443562 0.446639641501881 0.39695459957021 0.341126354984074 0.233416796654542 0.09178235790907 -0.017613454826679 -0.041944381595446 0.006666051886054 0.05727975483027 0.042024411223431 -0.03777312140259 -0.099628819033003 -0.037819780620917 0.191107644960792 0.522895919138109 |
1.087711308374 0.869934737272 0.803157922538 0.71237073643 0.579253087333 0.523589864348 0.378246074887 0.316200436942 0.192056921861 0.097808949462 0.02055111444 -0.019673090307 0.024384816776 -0.026040820267 0.023201362287 -0.014865200095 -0.000501245131 0.026945434858 -0.08305561658 0.538734698143 |
Таблица погрешностей:
|
№ |
|P1(x) -f(x)| |
|P2(x) -f(x)| |
|P1(x) -P2(x)| |
|
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 |
0.181250766558439 0.054620899772411 0.100029672464961 0.028198102268568 0.046700389556438 0.053360358498119 0.00304540042979 0.041126354984074 0.033416796654542 0.00821764209093 0.017613454826679 0.041944381595446 0.006666051886054 0.05727975483027 0.042024411223431 0.03777312140259 0.099628819033003 0.037819780620917 0.191107644960792 0.522895919138109 |
0.087711308374 0.030065262728 0.003157922538 0.01237073643 0.020746912667 0.023589864348 0.021753925113 0.016200436942 0.007943078139 0.002191050538 0.02055111444 0.019673090307 0.024384816776 0.026040820267 0.023201362287 0.014865200095 0.000501245131 0.026945434858 0.08305561658 0.538734698143 |
0.268962074932 0.0846861625 0.096871749927 0.015827365839 0.025953476889 0.076950222846 0.018708524683 0.024925918042 0.041359874793 0.006026591553 0.038164569267 0.022271291289 0.01771876489 0.083320575097 0.018823048936 0.022907921308 0.099127573902 0.064765215479 0.27416326154 0.015838779005 |
Построим графики функции f(x) - и многочленов
P1(x) - график тригонометрического многочлена степени 3
P2(x) - график тригонометрического многочлена степени 8.
тригонометрический полином фурье многочлен
Вывод: Метод дает приемлемую точность и удобен для программирования в MathCAD. Погрешность увеличивается только в особых точках.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Условия разложения функций для тригонометрического ряда. Определение коэффициентов разложения с помощью ортогональности систем тригонометрических функций. Понятие периодического продолжения функции, заданной на отрезке. Ряд Фурье функции у=f(x).
презентация [30,4 K], добавлен 18.09.2013Характеристика тригонометрических понятий. Свойства тригонометрических функций, особенности их практического применения в электротехнике. Исследование электрических сигналов путем визуального наблюдения графика сигнала на экране с помощью осциллографа.
презентация [287,9 K], добавлен 28.05.2016Разложение в ряд Фурье. Определение функции и нахождение коэффициентов разложения. Проведение замены в интеграле. Условия теоремы о разложении функции в ряд Фурье. Примеры взятия интеграла по частям. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.
презентация [73,1 K], добавлен 18.09.2013Углы и их измерение, тригонометрические функции острого угла. Свойства и знаки тригонометрических функций. Четные и нечетные функции. Обратные тригонометрические функции. Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств с помощью формул.
учебное пособие [876,9 K], добавлен 30.12.2009Аппроксимация функции y = f(x) линейной функцией y = a1 + a2x. Логарифмирование заданных значений. Расчет коэффициентов корреляции и детерминированности. Построение графика зависимости и линии тренда. Числовые характеристики коэффициентов уравнения.
курсовая работа [954,7 K], добавлен 10.01.2015Понятие и назначение интегралов, их классификация и разновидности. Вычисление интегралов от тригонометрических функций: методика, основные этапы, используемые инструменты. Интегралы, зависящие от параметра, их отличительные особенности и вычисление.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 19.09.2011Нахождение корней уравнений (Equation Section 1) методом: Ньютона, Риддера, Брента, Лобачевского и Лагерра. Вычисление корней многочленов по схеме Горнера. Функции произвольного вида (при использовании пакета Mathcad). Нахождение корней полиномов.
контрольная работа [62,7 K], добавлен 14.08.2010Сущность и стадии развития тригонометрии. Свойства функции синус, косинус, тангенс, котангенс. Решение простых тригонометрических уравнений. Формула Эйлера как связь между математическим анализом и тригонометрией. Применение тригонометрических вычислений.
реферат [648,7 K], добавлен 15.06.2014Исследование методами математического анализа поведения функций при заданных значениях аргумента. Этапы решения уравнения функции и определения значения аргумента и параметра. Построение графиков. Сочетание тригонометрических, гиперболических функций.
контрольная работа [272,3 K], добавлен 20.08.2010Элементарные тригонометрические уравнения и методы их решения. Введение вспомогательного аргумента. Схема решения тригонометрических уравнений. Преобразование и объединение групп общих решений тригонометрических уравнений. Разложение на множители.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 21.12.2009Содержание текстов Единого государственного экзамена. Решение уравнений высших степеней. Разложение многочлена третьей степени на множители. Определение корней квадратного уравнения и рациональных корней многочлена. Старший коэффициент делимого.
реферат [42,1 K], добавлен 20.10.2013Сущность метода деления многочлена на линейный двучлен. Особенности вычисления значений аналитической, логарифмической и показательной функций. Сущность теоремы Безу. Расположение вычислений по схеме Горнера. Вычисление значений синуса и косинуса.
презентация [142,0 K], добавлен 18.04.2013Вычисление производной функции и ее критических точек. Определение знака производной на каждом из интервалов методом частных значений. Нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции. Разложение подынтегральной функции на простейшие дроби.
контрольная работа [134,7 K], добавлен 09.04.2015Общая теоретическая часть. Графический метод. Функциональный метод. Метод функциональной подстановки. для построения графика некоторых функций составляют таблицу значений функции для некоторых значений аргумента, затем наносят соответствующие точки на пло
контрольная работа [54,3 K], добавлен 26.11.2004Определение числа гармоник разложения функций в ряд Фурье, содержащих в сумме не менее 90% энергии. Построение амплитудного и фазового спектров функции, графика суммы ряда. Расчет среднеквадратичной ошибки между исходной функцией и частичной суммой Фурье.
контрольная работа [348,5 K], добавлен 13.12.2011Углы и их измерение. Соответствие между углами и числовым рядом. Геометрический смысл тригонометрических функций. Свойства тригонометрических функций. Основное тригонометрическое тождество и следствия из него. Универсальная тригонометрическая подстановка.
учебное пособие [1,4 M], добавлен 18.04.2012Разложение функции в ряд Фурье, поиск коэффициентов. Изменение порядка интегрирования, его предел. Расчет площади фигуры, ограниченной графиками функций, с помощью двойного интеграла, объема тела, ограниченного поверхностями, с помощью тройного интеграла.
контрольная работа [111,8 K], добавлен 28.03.2014Частные случаи производной логарифмической функции. Производная показательной функции, экспоненты, степенной, тригонометрических функций. Производная синуса, косинуса, тангенса, котангенса, арксинуса. Производные обратных тригонометрических функций.
презентация [332,2 K], добавлен 21.09.2013Задача о малых колебаниях. Вычисление коэффициентов с помощью быстрого преобразования Фурье. Дискретный подход к вычислению коэффициентов. Вычисление методом Лежандра-Гаусса. Расчет узлов и весовых коэффициентов. Массивно-параллельный расчёт амплитуд.
курсовая работа [2,1 M], добавлен 20.07.2015Построение массива конечных разностей. Выполнение экстраполяции. Вычисление приближенной функции с помощью многочлена Лагранжа. Определение значения функции с помощью формул Ньютона. Квадратичная сплайн-интерполяция. Среднеквадратичная аппроксимация.
контрольная работа [1004,9 K], добавлен 01.12.2009
