Парадокс близнецов

Размещено на http://www.allbest.ru/

План

Введение

1. История

2. Классификация объяснений парадокса

3 Кинематические эффекты СТО

3.1 Замедление времени

3.2 Относительность одновременности

4. Простейшие объяснения

5. Физическая причина парадокса

6. Обмен сигналами

6.1 Расчёт путешественника

6.2 Расчёт домоседа

7. Неинерциальные системы отсчёта

7.1 Расчёт домоседа

7.2 Расчёт путешественника

Выводы

Источники

Введение

Парадомкс близнецомв -- мысленный эксперимент, при помощи которого пытаются «доказать» противоречивость специальной теории относительности. Согласно СТО, с точки зрения «неподвижных» наблюдателей все процессы у двигающихся объектов замедляются. С другой стороны, принцип относительности декларирует равноправие инерциальных систем отсчёта. На основании этого строится рассуждение, приводящее к кажущемуся противоречию. Для наглядности рассматривается история двух братьев-близнецов. Один из них (далее путешественник) отправляется в космический полёт, второй (далее домосед) -- остаётся на Земле. Чаще всего «парадокс» формулируется следующим образом:

Формулировка I. С точки зрения домоседа часы движущегося путешественника имеют замедленный ход времени, поэтому при возвращении они должны отстать от часов домоседа. С другой стороны, относительно путешественника двигалась Земля, поэтому отстать должны часы домоседа. На самом деле братья равноправны, следовательно, после возвращения их часы должны показывать одно время.

Тем не менее, согласно СТО отставшими окажутся часы путешественника. В таком нарушении видимой симметричности братьев и усматривается противоречие.

1. История

Эффект релятивистского замедления времени был сформулирован Альбертом Эйнштейном в его работе 1905 года в виде следующей теоремы:

Если в точке А находятся двое синхронно идущих часов и мы перемещаем одни из них по замкнутой кривой с постоянной скоростью до тех пор, пока они не вернутся в А (на что потребуется, скажем, t сек), то эти часы по прибытии в А будут отставать по сравнению с часами, остававшимися неподвижными…^[1]

В форме парадокса этот эффект сформулировал в 1911 году Поль Ланжевен^[2]. Придание парадоксу наглядной истории космического путешествия сделало его популярным, в том числе и в ненаучных кругах. Сам Ланжевен считал, что объяснение парадокса связано с ускоренным движением путешественника, которое необходимо для его возвращения на Землю.

Следующим анализ парадокса предпринял Макс фон Лауэ в 1913 году^[3]. С его точки зрения важны не этапы ускорения путешественника, а сам факт смены им инерциальной системы отсчёта при возвращении на Землю.

После создания Общей теории относительности Альберт Эйнштейн в 1918 году объяснил парадокс при помощи факта влияния гравитационного поля на ход времени^[4].

Затем, в 1921 году простое объяснение, основанное на инвариантности собственного времени, предложил Вольфганг Паули^[5].

Некоторое время «парадокс близнецов» почти не привлекал к себе внимания. В 1956--1959 годах Герберт Дингл выступил с рядом статей^[6][7], в которых утверждалось, что известные объяснения «парадокса» неверны. Несмотря на ошибочность аргументации Дингла^[8][9], его работы вызвали многочисленные дискуссии в научных и научно-популярных журналах^{[10][11][12][13][14][15][16][17]}. В результате появился ряд книг, посвящённых этой теме. Из русскоязычных источников стоит отметить книги^{[18][19][20][21]}, а также статью^[22].

Большинство исследователей не считают «парадокс близнецов» демонстрацией противоречия теории относительности, хотя история появления тех или иных объяснений «парадокса» и придания ему новых форм не прекращается до настоящего времени^{[23][24][25][26][27]}.

2. Классификация объяснений парадокса

Объяснить парадокс, подобный «парадоксу близнецов», можно при помощи двух подходов:

1) Выявить происхождение логической ошибки в рассуждениях, которые привели к противоречию;

2) Провести детальные вычисления величины эффекта замедления времени с позиции каждого из братьев.

Первый подход зависит от деталей формулировки парадокса. В разделах «Простейшие объяснения» и «Физическая причина парадокса» будут приведены различные версии «парадокса» и даны объяснения того, почему противоречия на самом деле не возникает.

В рамках второго подхода расчёты показаний часов каждого из братьев проводятся как с точки зрения домоседа (что обычно не представляет труда), так и с точки зрения путешественника. Так как последний менял свою систему отсчёта, возможны различные варианты учёта этого факта. Их условно можно разделить на две большие группы.

К первой группе относятся вычисления на основе специальной теории относительности в рамках инерциальных систем отсчёта. В этом случае этапы ускоренного движения считаются пренебрежимо малыми по сравнению с общим временем полёта. Иногда вводится третья инерциальная система отсчёта, движущаяся навстречу путешественнику, при помощи которой показания его часов «передаются» брату-домоседу. В разделе «Обмен сигналами» будет приведен простейший расчёт, основанный на эффекте Доплера.

Ко второй группе относятся вычисления, учитывающие детали ускоренного движения. В свою очередь, они делятся по признаку использования или неиспользования в них теории гравитации Эйнштейна (ОТО). Расчёты с использованием ОТО основаны на введении эффективного гравитационного поля, эквивалентного ускорению системы, и учёте изменения в нём темпа хода времени. Во втором способе неинерциальные системы отсчёта описываются в плоском пространстве-времени и понятие гравитационного поля не привлекается. Основные идеи этой группы расчётов будут представлены в разделе «Неинерциальные системы отсчёта».

3. Кинематические эффекты СТО

В основе СТО лежат преобразования Лоренца. Для понимания сути парадокса близнецов необходим аккуратный анализ основных кинематических эффектов, которые из них следуют. Рассмотрим две системы отсчёта и , пространственные оси которых параллельны друг другу. Пусть система движется относительно вдоль оси со скоростью , тогда:

где -- координата и время события, измеренные в «неподвижной» системе отсчёта , а -- координата и время того жесобытия для наблюдателя, связанного с «движущейся» системой .

3.1 Замедление времени

Если часы неподвижны в системе , то для двух последовательных событий имеет место . Такие часы перемещаются относительно системы по закону , поэтому интервалы времени связаны следующим образом:

Важно понимать, что в этой формуле интервал времени измеряется одними движущимися часами . Он сравнивается с показаниями нескольких различных, синхронно идущих часов, расположенных в системе , мимо которых пролетают часы . В результате такого сравнения оказывается, что движущиеся часы идут медленнее неподвижных часов.

Важный аспект эффекта замедления времени связан с эквивалентностью инерциальных систем отсчёта (принцип относительности). Часы, неподвижные в системе : , движутся относительно синхронизированных часов в системе : . В результате, часы будут идти медленнее по сравнению с часами в системе :

Несмотря на совпадения обозначений в двух последних формулах, они не противоречат друг другу. Каждая их них описывает различные измерительные процедуры. В первом случае одни часы движутся мимо нескольких часов в , а во втором случае ситуация обратная, и одни часы движутся мимо нескольких часов в .

3.2 Относительность одновременности

Относительность одновременности событий является ключевым эффектом СТО, необходимым для понимания «парадокса близнецов». Рассмотрим несколько синхронизированных часов, расположенных вдоль оси в каждой из систем отсчёта. В преобразованиях Лоренца предполагается, что в момент времени начала систем отсчёта совпадают: . Ниже изображена такая синхронизация отсчёта времени (на «центральных» часах) с точки зрения системы отсчёта (левый рисунок) и с точки зрения наблюдателей в (правый рисунок):



Предположим, что рядом с каждыми часами в обеих системах отсчёта находятся наблюдатели. Положив в преобразованиях Лоренца , получаем . Это означает, что наблюдатели в системе , одновременно с совпадением времени на центральных часах, регистрируют различные показания на часах в системе . Для наблюдателей, расположенных справа от точки , с координатами , в момент времени часы неподвижной системы отсчёта показывают «будущее» время: . Наблюдатели , находящиеся слева от , наоборот, фиксируют «прошлое» время часов : . На рисунках выше положение стрелок символизирует подобную разницу показаний часов двух систем отсчёта.

Единое «настоящее», то есть часы, синхронно идущие в различных точках пространства, можно ввести только в рамках конкретной инерциальной системы отсчёта. Однако, этого нельзя сделать одновременно для двух различных систем отсчёта.

Движущаяся относительно неподвижных наблюдателей система с их точки зрения содержит рассинхронизированные в направлении движения часы, своеобразное непрерывное объединение «прошлого», «настоящего» и «будущего».

Эффекты замедления времени и относительности одновременности тесно связаны друг с другом и одинаково необходимы для расчёта ситуации, описанной в «парадоксе» близнецов.

4. Простейшие объяснения

Благодаря своей продолжительной истории парадокс близнецов существует в разнообразных формулировках. Чаще всего тем или иным методом демонстрируется симметричность братьев, из которой должно было бы следовать противоречие с выводом СТО о том, что отстанут часы путешественника. Исходная версия парадокса (Формулировка I) не уточняет характера движения путешественника. Поэтому для неё справедливо следующее простое объяснение (на качественном уровне):

Объяснение I. Братья не являются равноправными, так как один из них (путешественник) испытывал этапы ускоренного движения, необходимые для его возвращения на Землю^[2].

После такого объяснения парадокс часто уточняется и приводится в следующей формулировке^[]:

Формулировка II. Этапы разгона и торможения путешественника можно сделать сколь угодно короткими по сравнению с длительным этапом равномерного движения. Поэтому оба брата основное время находятся в инерциальных системах отсчёта, полностью равноправны, и показания их часов должны быть одинаковыми.

Тем не менее, чем короче момент ускорения, тем оно больше, и как следствие больше разница в скорости часов на Земле и КК, если он удалён от Земли в момент изменения скорости. Если всё же пренебречь этапами ускорения, симметрии между братьями всё равно нет:

Объяснение II. При возвращении путешественник движется в обратную сторону и, следовательно, в процессе полёта находится в двух различных инерциальных системах отсчёта, тогда как домосед всё время в одной^[3].

На такое объяснение возможен следующий «контраргумент»^{[источник?]}:

Формулировка III. Возвращаться путешественнику необязательно. Совершив полёт в одну сторону, он может остановиться и при помощи стандартной процедуры обмена сигналами синхронизовать свои часы с домоседом, тем самым сравнив их показания. В таком случае всё время полёта путешественник находится в единственной инерциальной системе отсчёта и должен быть симметричным брату на Земле.

Даже в такой формулировке полной симметрии между братьями нет. Путешественник «переходил» из одной системы отсчёта, в которой находился в процессе путешествия, в «неподвижную» систему, связанную с Землёй, тогда как домосед этого не делал.

Конечно, сама по себе констатация несимметричности братьев не объясняет, почему замедлиться должны часы именно у путешественника, а не у домоседа. Кроме этого, часто возникает непонимание:

«Почему нарушение равноправия братьев в течение столь короткого времени (остановка путешественника) приводит к такому разительному нарушению симметрии?»

Чтобы глубже понять причины несимметричности и следствия, к которым они приводят, необходимо ещё раз выделить ключевые посылки, явно или неявно присутствующие в любой формулировке парадокса. Для этого будем считать, что вдоль траектории движения путешественника в «неподвижной» системе отсчёта, связанной с домоседом, расположены синхронно идущие (в этой системе) часы. Тогда возможна следующая цепочка рассуждений, как бы «доказывающих» противоречивость выводов СТО:

1. Путешественник, пролетая мимо любых часов, неподвижных в системе домоседа, наблюдает их замедленный ход.

2. Более медленный темп хода часов означает, что их накопленные показания отстанут от показаний часов путешественника, и при длительном полёте -- сколь угодно сильно.

3. Быстро остановившись, путешественник по-прежнему должен наблюдать отставание часов, расположенных в «точке остановки».

4. Все часы в «неподвижной» системе идут синхронно, поэтому отстанут и часы брата на Земле, что противоречит выводу СТО.

Итак, почему путешественник на самом деле будет наблюдать отставание своих часов от часов «неподвижной» системы, несмотря на то, что все такие часы с его точки зрения идут медленнее? Наиболее простым объяснением^[28] в рамках СТО является то, что синхронизовать все часы в двух инерциальных системах отсчёта невозможно. Рассмотрим это объяснение подробнее.

5. Физическая причина парадокса

Во время полёта путешественник и домосед находятся в различных точках пространства и не могут сравнивать свои часы непосредственно. Поэтому, как и выше, будем считать, что вдоль траектории движения путешественника в «неподвижной» системе, связанной с домоседом, расставлены одинаковые, синхронно идущие часы, которые может наблюдать путешественник во время полёта. Благодаря процедуре синхронизации в «неподвижной» системе отсчёта введено единое время, определяющее в данный момент «настоящее» этой системы.

После старта путешественник «переходит» в инерциальную систему отсчёта , движущуюся относительно «неподвижной» со скоростью . Этот момент времени принимается братьями за начальный . Каждый из них будет наблюдать замедленный ход часов другого брата.

Однако, единое «настоящее» системы для путешественника перестаёт существовать. В системе отсчёта есть своё «настоящее» (множество синхронизированных часов). Для системы , чем дальше по ходу движения путешественника находятся части системы , тем в более отдалённом «будущем» (с точки зрения «настоящего» системы ) они находятся.

Непосредственно это будущее наблюдать путешественник не может. Это могли бы сделать другие наблюдатели системы , расположенные впереди по движению и имеющие синхронизированное с путешественником время.

Поэтому, хотя все часы в неподвижной системе отсчёта, мимо которых пролетает путешественник, идут с его точки зрения медленнее, из этого не следует, что они отстанут от его часов.

В момент времени , чем дальше впереди по курсу находятся «неподвижные» часы, тем больше их показания с точки зрения путешественника. Когда он достигает этих часов, они не успеют отстать настолько, чтобы скомпенсировать начальное расхождение времени.

Действительно, положим координату путешественника в преобразованиях Лоренца равной . Закон его движения относительно системы имеет вид . Время, прошедшее после начала полёта, по часам в системе меньше, чем в :

Другими словами, время на часах путешественника t' отстаёт от показаний часов t системы S. В то же время часы, мимо которых пролетает путешественник, неподвижны в : . Поэтому их темп хода для путешественника выглядит замедленным:

Таким образом: парадокс замедление время относительность

несмотря на то, что все конкретные часы в системе идут медленнее с точки зрения наблюдателя в , разные часы вдоль его траектории будут показывать время, ушедшее вперед.

Разность темпа хода часов Дt и Дt' -- эффект относительный, тогда как значения текущих показаний t и t' в одной пространственной точке -- носят абсолютный характер. Наблюдатели, находящиеся в различных инерциальных системах отсчёта, но «в одной» пространственной точке, всегда могут сравнить текущие показания своих часов. Путешественник, пролетая мимо часов системы видит, что они ушли вперёд . Поэтому, если путешественник решит остановиться (быстро затормозив), ничего не изменится, и он попадёт в «будущее» системы . Естественно, после остановки темп хода его часов и часов в станет одинаковым. Однако, часы путешественника будут показывать меньшее время чем часы системы , находящиеся в точке остановки. В силу единого времени в системе часы путешественника отстанут от всех часов , в том числе и от часов его брата. После остановки путешественник может вернуться домой. В этом случае весь анализ повторяется. В результате, как в точке остановки и разворота, так и в исходной точке при возвращении путешественник оказывается моложе своего брата-домоседа.

Если же вместо остановки путешественника до его скорости ускорится домосед, то последний «попадёт» в «будущее» системы путешественника. В результате «домосед» окажется моложе «путешественника». Таким образом: кто изменяет свою систему отсчёта, тот и оказывается моложе.

6. Обмен сигналами

Вычисление замедления времени с позиции каждого брата можно провести при помощи анализа обмена сигналами между ними. Хотя братья, находясь в различных точках пространства, не могут непосредственно сравнивать показания своих часов, они могут передавать сигналы «точного времени» при помощи световых импульсов или видеотрансляции^{[rmr 1]} изображения часов. Понятно, что при этом они наблюдают не «текущее» время на часах брата, а «прошлое», так как сигналу требуется время для распространения от источника к приёмнику.

При обмене сигналами необходимо учитывать эффект Доплера. Если источник удаляется от приёмника, то частота сигнала уменьшается, а когда он приближается -- увеличивается:

где -- собственная частота излучения, а -- частота принимаемого наблюдателем сигнала. Эффект Доплера имеет классическую составляющую и составляющую релятивистскую, непосредственно связанную с замедлением времени. Скорость , входящая в соотношения изменения частоты, является относительной скоростью источника и приёмника.

Рассмотрим ситуацию, в которой братья передают друг другу каждую секунду (по своим часам) сигналы точного времени. Проведём сначала расчёт с позиции путешественника.



6.1 Расчёт путешественника

Пока путешественник удаляется от Земли, он, в силу эффекта Доплера, регистрирует уменьшение частоты принимаемых сигналов. Видеотрансляция с Земли выглядит более медленной. После быстрого торможения и остановки путешественник перестаёт удаляться от земных сигналов, и их период сразу^{[rmr 2]} оказывается равным его секунде. Темп видеотрансляции становится «естественным», хотя, в силу конечности скорости света, путешественник по-прежнему наблюдает «прошлое» своего брата. Развернувшись и разогнавшись, путешественник начинает «набегать»^{[rmr 3]} на идущие ему навстречу сигналы и их частота увеличивается. «Движения брата» на видеотрансляции с этого момента начинают выглядеть для путешественника ускоренными^{[rmr 4]}.

Время полёта по часам путешественника в одну сторону равно , и такое же в обратную. Количество принятых «земных секунд» в течение путешествия равно их частоте , умноженной на время. Поэтому при удалении от Земли путешественник получит существенно меньше «секунд»:

а при приближении, наоборот, больше:

Суммарное количество «секунд», полученных с Земли за время , больше, чем переданных на неё:



в точном соответствии с формулой замедления времени.

6.2 Расчёт домоседа

Несколько иная арифметика у домоседа. Пока его брат удаляется, он также регистрирует увеличенный период точного времени, передаваемый путешественником. Однако, в отличие от брата, домосед наблюдает такое замедление дольше. Время полёта на расстояние в одну сторону составляет по земным часам . Торможение и разворот путешественника домосед увидит спустя дополнительное время , требуемое свету для прохождения расстояния от точки разворота. Поэтому, только через время от начала путешествия домосед зарегистрирует ускоренную работу часов^{[rmr 5]} приближающегося брата:

Время движения света от точки разворота выражается через время полёта к ней путешественника следующим образом (см. рисунок):

Поэтому количество «секунд», полученных от путешественника, до момента его разворота (по наблюдениям домоседа) равно:

Сигналы с повышенной частотой домосед принимает в течение времени (см. рисунок выше), и получает «секунд» путешественника:

Суммарное число полученных «секунд» за время равно:

Таким образом, соотношение для показания часов в момент встречи путешественника () и брата-домоседа () не зависит от того, с чьей точки зрения оно рассчитывается.

7. Неинерциальные системы отсчёта

В произвольных системах отсчёта свойства пространства и времени определяются метрическим тензором , задающим интервал между двумя бесконечно близкими событиями:

где по повторяющимся индексам подразумевается суммирование (по греческим буквам от 0 до 3, а по латинским от 1 до 3), -- временная координата, -- пространственные. Собственное время часов вдоль их траектории определяется следующим образом:

Его величина является инвариантом, следовательно, вычисления проведенные в различных системах отсчёта, должны давать один и тот же результат.

7.1 Расчёт домоседа

Близнец, оставшийся на Земле, находится в инерциальной системе отсчёта, поэтому для него метрика может быть выбрана таким образом, что

ds² = (cdt)² ? (dx)² ? (dy)² ? (dz)².

В этом случае собственное время любых часов принимает простой вид:



где -- скорость этих часов. Земные часы неподвижны (), и их собственное время равно координатному . Часы путешественника имеют переменную скорость . Так как корень под интегралом остаётся всё время меньше единицы, время этих часов, независимо от явного вида функции , всегда оказываются меньше . В результате .

Если разгон и торможение проходят релятивистски равноускоренно (с параметром собственного ускорения ) в течение ф₁, а равномерное движение -- ф₂, то по часам корабля пройдёт время^[29]:

Рассмотрим гипотетический полёт к звёздной системе Альфа Центавра, удалённой от Земли на расстояние в 4.3 световых года. Если время измеряется в годах, а расстояния в световых годах, то скорость света равна единице, а единичное ускорение св.год/годІ близко к ускорению свободного падения и примерно равно 9,5 м/cІ.

Пусть половину пути космический корабль двигается с единичным ускорением, а вторую половину -- с таким же ускорением тормозит (). Затем корабль разворачивается и повторяет этапы разгона и торможения. В этой ситуации время полёта в земной системе отсчёта составит примерно 12 лет, тогда как по часам на корабле пройдёт 7,3 года. Максимальная скорость корабля достигнет 0,95 от скорости света.

За 64 года собственного времени космический корабль с единичным ускорением потенциально может совершить путешествие (вернувшись на Землю) к галактике Андромеды, удалённой на 2,5 млн св. лет. На Земле за время такого полёта пройдёт около 5 млн лет.

7.2 Расчёт путешественника

Для проведения того же расчёта с позиции путешественника, необходимо задать метрический тензор, соответствующий его неинерциальной системе отсчёта. Относительно этой системы скорость путешественника нулевая, поэтому время на его часах равно

Заметим, что является координатным временем и в системе путешественника отличается от времени системы отсчёта домоседа.

Земные часы свободны, поэтому они движутся вдоль геодезической, определяемой уравнением^[30]:

где -- символы Кристоффеля, выражающиеся через метрический тензор . При заданном метрическом тензоре неинерциальной системы отсчёта эти уравнения позволяют найти траекторию часов домоседа в системе отсчёта путешественника. Её подстановка в формулу для собственного времени даёт интервал времени, прошедший по «неподвижным» часам:

где -- координатная скорость земных часов.

Подобное описание неинерциальных систем отсчёта возможно либо при помощи теории гравитации Эйнштейна, либо без ссылки на последнюю. Детали расчёта в рамках первого способа можно найти, например, в книге Фока^[31]или Мёллера^[32]. Второй способ рассмотрен в книге Логунова^[33].

Результат всех этих вычислений показывает, что и с точки зрения путешественника его часы отстанут от часов неподвижного наблюдателя. В итоге разница времени путешествия с обеих точек зрения будет одинаковая, и путешественник окажется моложе домоседа. Если длительность этапов ускоренного движения много меньше длительности равномерного полёта, то результат более общих вычислений совпадает с формулой, полученной в рамках инерциальных систем отсчёта.

Выводы

Рассуждения, проводимые в истории с близнецами, приводят только к кажущемуся логическому противоречию. При любой формулировке «парадокса» полной симметричности между братьями нет. Кроме этого, важную роль для понимания того, почему время замедляется именно у путешественника, менявшего свою систему отсчёта, играет относительность одновременности событий.

Расчёт величины замедления времени с позиции каждого брата может быть выполнен как в рамках элементарных вычислений в СТО, так и при помощи анализа неинерциальных систем отсчёта. Все эти вычисления согласуются друг с другом и показывают, что путешественник окажется моложе своего брата-домоседа.

Парадоксом близнецов часто также называют сам вывод теории относительности о том, что один из близнецов состарится сильнее другого. Хотя такая ситуация и необычна, в ней нет внутреннего противоречия. Многочисленные эксперименты по удлинению времени жизни элементарных частиц и замедлению хода макроскопических часов при их движении подтверждают теорию относительности. Это даёт основание утверждать, что замедление времени, описанное в истории с близнецами, произойдёт и при реальном осуществлении этого мысленного эксперимента.

1. имеется ввиду аналоговая видеотрансляция

2. Тут свет рассматривается в ИСО, то есть в системе домоседа, а не путешественника

3. «Набегать» с точки зрения домоседа. Относительно путешественника источник излучения (домосед) летит навстречу.

4. Имеется ввиду ускоренный приём сигнала, тем не менее, с точки зрения путешественника, весь мир домоседа замедлен в соответствии с релятивистским замедлением времени.

5. Имеется ввиду увеличенная скорость приёма импульсов путешественника из-за его движения навстречу.

Источники

1. Эйнштейн А. «К электродинамике движущихся тел», Ann. d. Phys.,1905 b. 17, s. 89, русский перевод в «Эйнштейн А. Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1. Работы по теории относительности 1905--1920.» М.: Наука, 1965.

2. ^ ^{1 2} Langevin P. «L'evolution de l'espace et du temps». Scientia 10: 31-54. (1911)

3. ^ ^{1 2} Laue M. (1913) "Das Relativit\"atsprinzip". Wissenschaft (No. 38) (2 ed.). (1913)

4. Эйнштейн А. «Диалог по поводу возражений против теории относительности», Naturwiss., 6, с.697--702. (1918). русский перевод «А. Эйнштейн, Собрание научных трудов», т. I, М., «Наука» (1965)

5. Паули В. -- «Теория Относительности» М.: Наука, 1991.

6. Dingle Н. «Relativity and Space travel», Nature 177, 4513 (1956).

7. Dingle H. «A possible experimental test of Einstein's Second postulate», Nature 183, 4677 (1959).

8. Coawford F. «Experimental verification of the clock-paradox in relativity», Nature 179, 4549 (1957).

9. Darvin S. , «The clock paradox in relativity», Nature 180, 4593 (1957).

10. Бойер Р. , «Парадокс часов и общая теория относительности», Эйнштейновский сборник, «Наука», (1968).

11. Campbell W. , «The clock paradox», Canad. Aeronaut. J.4, 9, (1958)

12. Frey R., Brigham V., «Paradox of the twins», Amer. J. Phys. 25, 8 (1957)

13. Leffert С., Donahue T., «Clock paradox and the physics of discontinuous gravitational fields», Amer. J. Phys. 26, 8 (1958)

14. McMillan E., «The „clock-paradox“ and Space travel», Science, 126, 3270 (1957)

15. Romer R. , «Twin paradox in special relativity». Amer. J. Phys. 27, 3 (1957)

16. Schild, A. «The clock paradox in relativity theory», Amer. Math. Mouthly 66, 1, 1-8 (1959).

17. Singer S., «Relativity and space travel», Nature 179,4567 (1957)

18. Скобельцын Д.В., «Парадокс близнецов в теории относительности», «Наука», (1966).

19. Гольденблат И.И., «Парадоксы времени в релятивистской механике», М. «Наука», (1972).

20. Терлецкий Я.П. «Парадоксы теории относительности», М.: Наука (1965)

21. Угаров В.А. -- «Специальная теория относительности» М.: «Наука», (1977)

22. Борн М., «Космические путешествия и парадокс часов», УФН, 69, вып. 1 (1959)

23. Dray T., «The twin paradox revisited» Amer. J. of Phys. V.58, I.9, pp.822-825 (1990)

24. Debs T.A.. Redhead, M.L.G. «Paradox of the twins» Amer. J. of Phys. V.64; N.4, pp.384-391, (1996)

25. Cranor M.B., Heider E.M., Price R.H. «A circular twin paradox» Amer. J. of Phys. V.68; P.11, pp.1016-1020 (2000)

26. Muller T., King A., Adis D., «A trip to the end of the universe and the twin paradox» Amer. J. of Phys. V.76; N.4/5, pp.360-373 (2008)

27. Grandou T., Rubin J.L., «On the Ingredients of the Twin Paradox» Int.J. of Theor. Phys., V. 48, N.1, pp.101-114 (2009)

28. Парадокс близнецов - synset.com/ru/Парадокс_близнецов

29. Ускоренное движение - synset.com/ru/Ускоренное_движение в специальной теории относительности

30. Ландау, Л.Д., Лифшиц, Е.М. Теория поля. -- Издание 8-е, стереотипное. -- М.: Физматлит, 2006. -- 534 с. -- («Теоретическая физика», том II). -- ISBN 5-9221-0056-4

31. Фок В.А. -- «Теория Пространства, Времени и Тяготения» М.: Гос.изд.тех.-теор.лит., (1955)

32. Мёллер К. -- «Теория относительности» М.: «Атомиздат», 1975.

33. Логунов А.А., «Лекции по теории относительности и гравитации. Современный анализ проблемы», М.:" Наука" (1987)

Размещено на Allbest.ru

...