О подпрямых суммах делимых рациональных групп и их бесконечных циклических подгрупп

Размещено на http://www.allbest.ru/

Арзамасский филиал ННГУ им. Н.И. Лобачевского

О подпрямых суммах делимых рациональных групп и их бесконечных циклических подгрупп

Трухманов Вячеслав Борисович

кандидат физико-математических наук, доцент



Аннотация

В данной статье рассматриваются абелевы группы, являющиеся подпрямой суммой двух делимых рациональных групп, порождающая группа которой либо группа рациональных чисел, либо ее факторгруппа по некоторой подгруппе, а также подгруппы таких групп, являющиеся подпрямой суммой бесконечных циклических групп.

Ключевые слова: абелева группа без кручения, делимая абелева группа, подпрямая сумма абелевых групп, рациональная группа



Абелевы группы без кручения ранга 2, представимые в виде подпрямой суммы абелевых групп без кручения ранга 1 образуют важный для изучения подкласс класса абелевых групп без кручения конечного ранга, а описание таких групп достаточно актуально в теории абелевых групп. В работах автора [1] - [4] ранее изучались группы из данного подкласса.

Определение. Подгруппа G прямого произведения абелевых групп называется подпрямой суммой групп Аi, если для каждого i отображение является эпиморфизмом, где - проекция прямого произведения А на прямой сомножитель Аi [5].

Всюду в статье, если не сказано иначе, все группы абелевы.

Известно [5], что группа G является подпрямой суммой групп А и В тогда и только тогда, когда существует группа F и такие эпиморфизмы и , что

рациональный число бесконечный циклический

,

для любых элементов и . Группу F назовем порождающей группой, а эпиморфизмы и - определяющими эпиморфизмами для группы G - подпрямой суммы групп А и В.

Необходимые термины и обозначения приведены в работах [1-10].

В данной статье продолжено изучение строения одного подкласса класса абелевых групп - так называемых специальных или s-групп (определение дается ниже), а также их подгрупп, являющихся esn-группами.

Далее, всюду в статье, если не сказано иначе, все группы абелевы, группы А и В - рациональные делимые, G - подпрямая сумма групп А и В, порождающую группу которой обозначаем через F, а также обозначим



и

Символом обозначаем циклическую абелеву группу, порожденную элементом , через Д- множество всех подпрямых сумм групп А и B с порождающей группой Q/Z.

Определение 1. Абелева группа называется рациональной если она изоморфна группе Q рациональных чисел или ее подгруппе [5].

Определение 2. Абелева группа А называется делимой, если для любого натурального числа п: пА = А [5].

Пусть Т - некоторое числовое множество, х - некоторый элемент произвольной группы, тогда будем обозначать множество .

Определение 3. Пусть группа , , . Будем говорить, что группа G обладает основным элементом , если , . Такую группу мы будем называть специальной или s-группой.

Определение 4. Если для некоторого данного числа п ? 1, группа H является подпрямой суммой групп и , порожденной конечной циклической группой Zп - аддитивной группой кольца вычетов по модулю п - то группу H будем называть элементарной специальной п-группой (esп-группой) [4]. Пусть G - специальная группа с основным элементом . Для любого натурального числа введем следующее обозначение:

.

Также будем использовать стандартные обозначения: НОД(х, у) - наибольший общий делитель чисел х и у, НОК(х, у) - соответственно, наименьшее общее кратное.



,

для любого целого числа k.

Доказательство. Пусть

.

Предложение очевидно для взаимно простых чисел k и d, так как

и, следовательно, по определению, принадлежит . Пусть

, и пусть , .

Поскольку, очевидно, , а также, как известно, числа и взаимно просты, то получаем:

ЛЕММА. Множество с операцией сложения является группой.

Доказательство. Рассмотрим два произвольных элемента



из множества и покажем, что их сумма также принадлежит . Пусть , причем , . Тогда

.

Поскольку, как нетрудно видеть,

,

то, следовательно, . Откуда вытекает, что есть группа.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Пусть G - s-группа с основным элементом . Тогда является esп-группой для любого натурального числа .

Доказательство. Из определения группы , очевидно, следует, что , для любого натурального числа .

Пусть m и n - натуральные числа, причем . Рассмотрим два возможных случая для чисел m и n.

1) , причем , . Тогда, по теореме из [1] и определению esn-группы, для некоторого числа , взаимно простого с числом , элемент



,

а поскольку , то .

Пусть , покажем, что элемент

.

Действительно,

.

2) . Тогда, по теореме из [1], для некоторого числа , взаимно простого с числом n, элемент

и, аналогично первому случаю, . Следовательно, аналогично доказывается,.

Таким образом, как в первом, так и во втором случае, доказано, что проекция есть эпиморфизм.

Аналогично доказывается, что проекция также есть эпиморфизм. Далее покажем, что группа является esn-группой. Действительно, пусть элемент



,

тогда, по теореме из [1] и следствию из нее, имеем: элементы

и ,

но элементы

и ,

для каждого натурального числа , такого что . Из чего, по определению, следует, что если элемент, то элементы

и ,

но элементы

и

для каждого натурального числа , такого что . Откуда, а также из теоремы III [4], непосредственно получаем, что группа является esn-группой.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3. Пусть n - натуральное число, причем , Н - esn-группа. Тогда существует s-группа G такая, что .

Доказательство. Пусть G - некоторая s-группа с основным элементом . Поскольку, , , то, по определению групп A и B,

для любых целых чисел m и m', взаимно простых с числом n, и . А тогда элемент

.

Таким образом, каждая s-группа G, для заданного числа n, содержит подгруппу . Далее, пусть Н - esn-группа с парой определяющих эпиморфизмов и . Введем обозначение: , также пусть и - склеивания [3], соответственно, групп и .

Пусть G - s-группа с парой определяющих эпиморфизмов и , - s-группа с парой определяющих эпиморфизмов и , причем для любых элементов и :

, .

Далее докажем, что . Действительно, пусть

,



следовательно, по определению,

.

А тогда, из равенств (1.1) и (1.2) получаем

,

откуда, на основе равенства (1.3), следует, что элемент

,

а элемент

.

Следовательно, по предложению 3 [3], получаем:

.

Но так как , то , и, значит, элемент

.



Таким образом, мы доказали, что

.

Проведя выше изложенные рассуждения в обратном порядке, мы докажем обратное включение:

.

Итак, установлено, что

,

что и требовалось доказать.

СЛЕДСТВИЕ 1. Пусть G - s-группа с основным элементом . Тогда для любых целых положительных чисел n и k, таких что , .

Доказательство. Нетрудно видеть, что если элемент

,

то элемент

.



С другой стороны, если , для некоторого целого числа t, то элемент

и, следовательно, элемент

.

Таким образом, доказано, что .

СЛЕДСТВИЕ 2. Пусть G - s-группа с основным элементом . Тогда для любых целых положительных чисел n и k, тогда и только тогда, когда .

Доказательство. Пусть . Поскольку, - esk-группа и -- esn-группа, то по теореме II [4], . Следовательно, по определению, получаем, что . Проведя данные рассуждения в обратном порядке, мы получим, что .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4. Пусть и - s-группы, с одним и тем же основным элементом . Тогда тогда и только тогда, когда для любого целого числа n, такого что , .

Доказательство. Поскольку необходимость очевидна, установим только достаточность.

Пусть для любого целого числа n, такого что , , но . Следовательно, для некоторых целых чисел k и т, взаимно простых с числом n, найдется пара , которая принадлежит одной из групп и и не принадлежит другой. Но тогда пара также принадлежит одной из групп и и не принадлежит другой, что противоречит равенству групп и . Откуда и следует требуемое утверждение.



Библиографический список

1. Трухманов В.Б. О подпрямой сумме делимых рациональных абелевых групп и ее основных элементах // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 4 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2015/04/48077 (дата обращения: 03.05.2015).

2. Трухманов В.Б. О подпрямых суммах бесконечных циклических абелевых групп // Альманах современной науки и образования. 2014. № 9 (87). С. 131-134.

3. Трухманов В.Б. О некоторых свойствах подпрямой суммы бесконечных циклических абелевых групп // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 10-1 (42). С.15-19.

4. Трухманов В.Б. О подгруппах прямой суммы бесконечных циклических абелевых групп // Исследования в области естественных наук. 2014. № 7 (31). С.45-50.

5. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т.1. М.: Мир, 1974. 335 с.

6. Широков Л.В. О AE(n)-бикомпактах // Известия Российской академии наук. Серия математическая. 1992. Т. 56. № 6. С. 1316-1327.

7. Широков Л.В. Внешняя характеристика пространств Дугунджи и -метризуемых бикомпактов // Доклады Академии наук СССР. 1982. Т. 263. № 5. С.1073-1077.

8. Широков Л.В. О -бикомпактах и -мягких отображениях // Сибирский математический журнал. 1992. Т. 33. № 2. С. 151-156.

9. Широков Л.В. Накрытия и их свойства // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 9-1 (41). С. 5-11.

10. Shirokov L.V. On some forms of embeddings of topological spaces // Russian Mathematical Surveys. 1987. Vol. 42. № 2. С. 297-298.

11. Размещено на Allbest.ru

...