Комплексные числа

Размещено на http://www.allbest.ru/

МКОУ Ордынская средняя общеобразовательная школа №1 им. Героя СССР А.Д. Гаранина

IX открытая региональная научно-практическая конференция школьников «Эврика»

Секция математика

Комплексные числа

Авторы: Бузин Владислав, Кремер Юлия.

МКОУ-ОСОШ№1,11 класс.

Ордынский район, Новосибирская область.

Научный руководитель: Сидоркина Елена Владимировна

Учитель математики первой квалификационной категории.

Ордынское 2016



Введение

Цель работы: Изучить комплексные числа как раздел математики и их роль во многих разделах математики.

Задачи исследования:

1. Проанализировать литературу по данному вопросу;

2. Систематизировать сведения о числах;

3. Расширить числовые множества от натуральных до комплексных, как способ построения нового математического аппарата.

4. Совершенствовать технику алгебраических преобразований.

5. Оценить значение и роль комплексных чисел в математике.

Проблема: отсутствие в программах по курсу алгебры и начал анализа для общеобразовательных учреждений раздела, изучающего комплексные числа.

Гипотеза: ознакомление и изучение комплексных чисел учащимися позволит им углубить познания во многих разделах математики.

Предмет исследования: комплексные числа.

Методы исследования:

1. Изучение и анализ литературных источников.

2. Решение практических задач

3. Анализ проделанной работы.

Актуальность темы

Мы считаем, что наша тема актуальна, так как в наше время довольно много научной и учебной литературы, но не во всех изданиях материал изложен понятно и доступно.



1. История открытия комплексных чисел

В XIII веке стали извлекать квадратные корни из положительных чисел и установили, что с числами отрицательными эта операция невозможна. Но в XVI веке математики столкнулись проблемой: в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел.

В 1777 году один из крупнейших алгебраистов XVIII века - Л. Эйлер - предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа i = .

Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу. Термин “комплексные числа” также был введен Гауссом в 1831 году. В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.

Постепенно развивалась техника операций над комплексными числами. На рубеже XVII - XVIII веков была построена общая теория корней n-й степени сначала из отрицательных, а впоследствии и из любых комплексных чисел.

В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью комплексных чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянным коэффициентом.

Французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, получаемые с помощью мнимых чисел, - только наведение, приобретающие характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами. В конце XVIII - начале XIX веков было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин Г. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изображать комплексное число z = a + bi точкой М (a, b) на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой М, а вектором ОМ, идущим в эту точку из начала координат. При таком истолковании сложению и вычитанию комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами.

Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости, в теоретической электротехнике.

Большой вклад в развитие теории функций комплексной переменной внесли русские и советские ученые: Р.И. Мусхелишвили занимался ее приложениями к теории упругости, М.В. Келдыш и М.А. Лаврентьев - к аэродинамике и гидродинамике, Н. Н. Боголюбов и В.С. Владимиров - к проблемам квантовой теории поля.

Определение комплексных чисел и алгебраическая форма комплексного числа.

Комплексным числом z называется выражение z = a + b·i , где a и b - действительные числа, i²= -1,

a = Re z -действительная часть z (вещественная) (Re, от фр. rйele - «реальный», «действительный»);

b = Im z мнимая часть z (Im, от фр. imaginaire - «мнимый»).

b - коэффициентом мнимой части комплексного числа.

Запись комплексного числа z = a + ib называется алгебраической формой комплексного числа.

Если a 0, в0, то число z - мнимое (z = 37 - 6·i).

Если а =0, в0, то число z -чисто мнимое число (z = 22· i).

Если a 0, в =0, z - действительное число (z = -5).

Степени числа i:

I ¹ = i i ⁴ⁿ⁺¹= i;

i ² = - 1 i ⁴ⁿ⁺²= - 1;

i ³ = i ² · i i ⁴ⁿ⁺³= - i

i ⁴ = (i ²)² = 1 i ⁴ⁿ= 1.

Из формул вытекает, что сложение и умножение можно выполнять по правилам действий с многочленами, считая i ²= -1. Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами действительных чисел.

Основные свойства:

Переместительное свойство:

Z₁ +Z₂=Z₂+Z₁, Z₁·Z₂=Z₂·Z₁

Сочетательное свойство:

(Z₁+Z₂)+Z₃=Z₁+(Z₂+Z₃), (Z₁·Z₂)·Z₃=Z₁·(Z₂·Z₃)

Распределительное свойство:

Z₁·(Z₂+Z₃)=Z₁·Z₂+Z₁·Z₃

1. Числа z = a + b·i и z₂ = a - b·i называются комплексно - сопряженными; сумма и произведение двух сопряженных чисел являются действительными числами.

2. z = a + bi и - z = - a - bi - противоположные;

сумма двух противоположных чисел равна нулю (z + ( - z) = 0

3. Два комплексных числа z₁ = a₁ + b₁·i и z₂ = a₂ - b₂·i называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части: z ₁= z₂, если

Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.

2. Действия над комплексными числами

Над комплексными числами, записанными в алгебраической форме, можно осуществлять все арифметические операции как над обычными двучленами, учитывая лишь, что i ²= -1.

Сумма комплексных чисел z₁ = a₁ + b₁·i и z₂ = a₂ + b₂·i равна:

z₁ + z ₂ = ( а₁ + а₂) +(b₁+ b₂) · i

Сложить два комплексных числа z₁ = 1 + 3i, z₂ = 4 - 5i

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:

z₁ +z₂ =1 +3i +4 -5i =5 -2i

Разность комплексных z₁ = a₁ + b₁·i и z₂ = a₂ + b₂·i чисел равна:

z₁ - z ₂ = ( а₁ - а₂) +(b₁ - b₂) · i

Найти разность комплексных чисел z₁= -2 +i, z₂ = 4i -2

Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем - стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:

z₁ - z₂ = ( -2 + i) - (4i - 2) = -2 +I - 4i +2 = - 3i

Произведение комплексных чисел z₁ = a₁ + b₁·i и z₂ = a₂ - b₂·i равно:

z₁ · z ₂ = ( а₁ · а₂ - b₁ · b₂) +( а₂ ·b₁ +b₂ ·а₁) · i

Найти произведение комплексных чисел

z₁ =1 - i, z₂ =3 +6i

z₁·z₂ =( 1 -i )(3 +6i )=1·3 -i ·3 + 1·6i - i·6i= 3- 3i + 6i +6 = 9 + 3i

Частное комплексных чисел z₁ = a₁ + b₁·i и z₂ = a₂ + b₂·i равно:

Пусть z₁ =13 + i , z₂ = 7 - 6 i

Для нахождения частного сначала числитель и знаменатель дроби умножают на сопряженное знаменателю, а затем производят остальные действия.

Извлечение корней из комплексных чисел

Нельзя извлечь корень? Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя. В комплексных числах извлечь корень - можно! А точнее, два корня:

Действительно ли найденные корни являются решением уравнения ? Выполним проверку:

Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями.

При извлечении квадратных корней из отрицательных чисел получаются два сопряженных комплексных корня.

Например, , , , ,

3. Решение уравнений с комплексной переменной

Сначала мы рассмотрели простейшее квадратное уравнение z² = a, где a - заданное число, z - неизвестное. На множестве действительных чисел это уравнение:

1) имеет один корень z = 0, если a = 0;

2) имеет два действительных корня z_1,2 = ±, если a > 0;

3) не имеет действительных корней, если a < 0;

4) Вообще уравнение z² = a, где a < 0 имеет два комплексных корня: z_1,2 =±i.

Используя равенство i² = -1, квадратные корни из отрицательных чисел принято записывать так: = ± i, = ±i,= ±2i, = ±i.

Итак, определен для любого действительного числа a (положительного, отрицательного и нуля). Поэтому любое квадратное уравнение

az² + bz + c = 0, где a, b, с - действительные числа, a ? 0, имеет корни. Эти корни находятся по известной формуле:

z_{1, 2} =.

Также справедливо утверждение, что любое уравнение степени n имеет ровно n корней, при этом среди них могут быть одинаковые и комплексные.

Невозможно не рассмотреть одну из красивейших формул математики - формулу Кардано для вычисления корней кубического уравнения вида x³ + px + q = 0:

.

Решить квадратное уравнение

Дискриминант:

Д <0, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах!

Получаются два корня:

- сопряженные комплексные корни

Таким образом, уравнение имеет два сопряженных комплексных корня: ,

И вообще, любое уравнение с многочленом «энной» степени имеет ровно корней, часть из которых может быть комплексными.

Разложить многочлен на множители:

z² + 4z + 5 = 0

a = 1 b = 4 c = 5, D = -1,

z_1,2 = 2, z² + 4z + 5 = (z - 2 - i)(z - 2 +i)

Зная корни уравнения, оставьте квадратное его обычным способом и при помощи теории Виета:

z₁ = 1 + 2i и z₂ = 7 - 2i

Первый способ:

(z - z₁)(z - z₂) = (z - 1 - 2i)(z - 7 + 2i) = z² - 7z + 2iz + 8 - z - 2i - 2iz +14i +4 = z² - 8 z + 12i + 12 = 0

Второй способ (теорема Виета):

,

,

z² - 8 z + 12i + 12 = 0

4. Понятие о комплексной плоскости

Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа Буквой R принято обозначать множество действительных чисел. Множество комплексных чисел принято обозначать буквой С. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью. математический число уравнение

Таким образом, на оси ОХ располагаются действительные числа, а на оси ОY - чисто мнимые:

Построить на комплексной плоскости следующие комплексные числа:

Множество действительных чисел является подмножеством множества комплексных чисел.



5. Геометрическая форма комплексного числа

Слово «комплексный» в переводе с латинского означает «составной», «сложный». Чтобы поставить теорию комплексных чисел на прочный фундамент, необходима была явная её конструкция, лучше всего - геометрическая.

Комплексное число z = a + b·i изображается на плоскости с декартовыми прямоугольными координатами точкой, имеющей координаты (а; Ь). Эта точка обозначается той же буквой z. Действительные числа изображаются точками оси абсцисс, а чисто - мнимые - точками оси ординат.

Комплексное число изображается также вектором на комплексной плоскости с началом в точке О и концом в точке М.

Сумма комплексных чисел строится по обычному правилу сложения векторов, то есть по правилу параллелограмма, разность - по правилу вычитания векторов:



Сопряжение комплексных чисел

6. Тригонометрическая форма комплексного числа

Произвольное комплексное число z = a + bi изображается в виде радиус-вектора на комплексной плоскости. Пусть N - проекция точки M на действительную ось. В прямоугольном треугольнике OMN длины катетов ON и OM равны соответственно a и b, а длина гипотенузы OM равна. Отношение длины катета к длине гипотенузы равняется косинусу прилежащего угла и синусу противолежащего. Следовательно,

a = Re z = | z | • cos ц,

b = Im z = | z | • sin ц,

где ц - - главный аргумент (фаза, амплитуда) комплексного числа -< ц ? (угол ц между положительной полуосью действительной оси Re z и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке). Тогда комплексное число можно представить в виде:



,

Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Решение:

Представим в тригонометрической форме число .

Найдем его модуль и аргумент. . Поскольку (случай 1), то . Таким образом: - число в тригонометрической форме.

Все алгебраические действия с комплексными числами, заданными в тригонометрической форме, совершаются по тем же правилам, что и с комплексными числами, заданными в алгебраической форме. Складывать и вычитать комплексные числа проще и удобнее, когда они заданы в алгебраической форме, а умножать и делить - в тригонометрической форме. Существуют три теоремы.

Теорема1. При умножении любого конечного количества комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Теорема 2. При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.



Теорема 3. Пусть z - комплексное, и n - натуральное число. Во множестве комплексных чисел выражение при z =0 имеет единственное значение равное нулю, а при z0 - n различных значений. Если z = r(cos + i sin), то эти значения находятся по формуле

=(cos + i sin), =0,1,…, n-1.

7. Возведение комплексных чисел в степень

Возвести в квадрат комплексное число

:

Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:

. Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба сумма и куба разности. Что делать, если комплексное число нужно возвестив 5-ую, 10-ую или 100-ую степень? Ясно, что а в алгебраической форме проделать такое действие практически невозможно, действительно, как решить пример вроде z = (2 + 3i)¹⁰?

И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра.

Из операции умножения комплексных чисел следует, что



В общем случае получим:

,

где n - целое положительное число.

Дано комплексное число , найти .

Сначала нужно представить данной число в тригонометрической форме.

Тогда, по формуле Муавра:

8. Показательная форма комплексного числа

Формула Эйлера

^,

Для комплексных чисел , справедливы равенства

;

Для n-ой степени числа z справедливо равенство:

Корень n-ой степени из числа z равен:

k = 0, 1, 2, 3… n

z =8 + 6·i

9. Где применяются комплексные числа

В течение последних двухсот лет комплексные числа находят многочисленные, а иногда и совершенно неожиданные применения. Так, например, с помощью комплексных чисел Гаусс нашел ответ на чисто геометрический вопрос: при каких натуральных n циркулем и линейкой можно построить правильный n-угольник? Из школьного курса геометрии известно, как циркулем и линейкой построить некоторые правильные многоугольники: правильный треугольник, квадрат, правильный 6-угольник (его сторона равна радиусу описанной около него окружности). Более сложным является построение правильных 5-угольника и 15-угольника. В 1796 г. Карл Фридрих Гаусс, 19-летний студент-математик Геттингенского университета, впервые доказал возможность построения правильного 17-угольника с помощью циркуля и линейки.. В течение нескольких последующих лет Гаусс полностью решил проблему построения правильных n-угольников. Гаусс доказал, что правильный N-угольник с нечетным числом сторон (вершин) может быть построен с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда число N является простым числом Ферма или произведением нескольких различных простых чисел Ферма. (Числами Ферма называют числа вида F_n = + 1 · При n = 0, 1, 2, 3, 4 эти числа являются простыми, при n = 5 число F₅ будет составным. Из этого результата следовало, что построение правильного многоугольника невозможно при N = 7, 9, 11, 13. Легко заметить, что задача о построении правильного n-угольника равносильна задаче о делении окружности радиуса R = 1 на n равных частей. При доказательстве возможности построения правильного 17-угольника Гаусс пользовался свойствами корней 17-й степени из единицы.

Теория функций комплексной переменной находит широкое применение при решении важных практических задач картографии, электротехники, теплопроводности и др. Во многих вопросах, где речь идет, например, об электрическом потенциале в точках пространства, окружающего заряженный конденсатор, или о температуре внутри нагретого тела, о скоростях частиц жидкости или газа в потоке, движущемся в некотором канале и обтекающем при этом некоторые препятствия, и т. п., нужно уметь находить потенциал, температуру, скорости и т. п. Задачи такого рода могут быть решены без особых затруднений в случае, когда встречающиеся в них тела имеют простую форму (например, в виде плоских пластин или круговых цилиндров).

Русский и советский ученый H. E. Жуковский (1847-1921) успешно применял теорию функций комплексной переменной к решению важных прикладных задач.

Так, методами этой теории он доказал основную теорему о подъемной силе крыла самолета. В. И. Ленин назвал H. E. Жуковского «отцом русской авиации». В одном из своих выступлений H. E. Жуковский говорил: «...человек не имеет крыльев и по отношению веса своего тела к весу мускулов он в 72 раза слабее птицы; ...он почти и 800 раз тяжелее воздуха, тогда как птица тяжелее воздуха в 200 раз. Но, я думаю, что он полетит, опираясь не на силу своих мускулов, а на силу своего разума. С помощью теории функций комплексной переменной H.E. Жуковский решал задачи, относящиеся к вопросам просачивания воды через плотины.

Комплексные числа нужны для выполнения заданий других разделов высшей математики, кроме того, они используются во вполне материальных инженерных расчетах на практике.



Заключение

Мы считаем, что цель и задачи нашей работы выполнены. Мы изучили много литературы, в ходе чего мы отметили наиболее интересные, простые и красивые факты по этой теме, подобрали примеры для доказательства теории, выяснили роль и значение комплексных чисел

К достоинствам моей работы можно отнести краткость и простоту изложения, объединение знаний о комплексных числах воедино, доступность.

Мы считаем, что наша работа станет полезным и актуальным материалом для тех учеников, которые хотят узнать больше школьной программы.

Наши выводы:

1.Изучены различные литературные источники, подобран материал, дающий наиболее полное представление о комплексных числах, истории их открытия, их роли и значении в различных разделах математики. Определены и рассмотрены арифметические операции, производимые над этими числами, подобраны и решены примеры с использованием комплексных чисел.

2.Оценено значение и роль комплексных чисел при решении ряда математических задач.

Список литературы

1. А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа (учебник и задачник). 10 кл. М.: Мнемозина, 2007.

2. М. Я. Выгодский; Справочник по элементарной математике. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960.

3. А.Г. Мордкович. Алгебра и математический анализ. 11 кл. М.: Мнемозина, 2010.

4 . История математики в школе под редакцией Г. И. Глейзер. - Москва-1983.

5.. Избранные вопросы математики под редакцией И. Н. Антипова. - Москва-1979.

6. За страницами учебника математики под редакцией Н. Я. Виленкина. - Москва-1996.

7. Н.Б. Алфутова. Алгебра и теория чисел. М.: МЦНМО, 2005

8.Д.Письменный. Конспекты лекций по высшей математики.



Приложения

Приложение 1

Сложить два комплексных числа:

,

Решение::

z₁=1 + i и z₂ = 2 - 3i

Решение: z₁ + z₂ = (1 + i ) + (2 - 3i ) = 1 + i + 2 -3i = 3 - 2i ;



Приложение 2

Найти разность чисел:

z₁=1 + 2i и z₂= 2 - 5i

Решение: = (1 + 2i ) - (2 - 5i ) = 1 + 2i - 2 + 5i = -1 + 7i .

z₁=17 + 55i и z₂=69 - 27i

Решение: z₁ - z₂ = (17 + 55i ) - (69 - 27i ) = 17 + 55i - 69 + 27i = -52 + 82i.



Приложение 3

Найти частное чисел:

,

Решение:

Найти произведение чисел:

z₁ = 2 - 3i, z₂ = -5 + 4i

z₁*z₂ = (2 - 3i)(-5 + 4i) = -10 + 8i + 15i - 12i² = -10 + 23i +12 = 2 + 23i



Приложение 4



Приложение 5

Возведите в степень:

а)Дано комплексное число , найти .

Тогда, по формуле Муавра:

Таким образом, окончательный ответ запишется так:

б) z²=i, найти z⁷

в) Возвести число в пятую степень.

.

,

.

г) по формуле Муавра



Приложение 6

Перевести в тригонометрическую форму:



Приложение 7

Решить квадратные уравнения:

1) Выделяем полный квадрат.

Итак, уравнение примет вид:

Ответ:

2) Решим это же уравнение с помощью формул для корней.

Ответ:

.

; .

Ответ: .



Приложение 8

k = 4 - количество корней данного уравнения. k = {0, 1, 2, 3}.

Ответ:



Приложение 9

Вычисление кубического корня

Размещено на Allbest.ru

...