Теорія ймовірності

Київ 2016

Запровадження

Теорія ймовірностей виникла середині XVII в. у зв'язку з завданнями розрахунку шансів виграшу гравців в азартних іграх. Пристрасний гравець у кістки француз де Мере, намагаючись розбагатіти, придумував нові правил гри. Він пропонував кидати кістку в чотири рази поспіль і тримав парі, що заодно хоча колись випаде шістка (6 очок). Для більшої впевненості у виграші де Мере звернувся безпосередньо до свого знайомого, французькому математику Паскалю, з проханням розрахувати ймовірність виграшу у цій грі. Наведемо міркування Паскаля. Ігральну кістку є правильний кубик, на шести гранях якого завдані цифри 1, 2, 3, 4, 5 і шість (число очок). При киданні кістки "на удачу" випадання будь-якого числа очок є випадковим подією; воно залежить багатьох невраховуваних впливів: початкові стану та початкові швидкості різних ділянок кістки, рух повітря їхньому шляху, ті чи інші шорсткості на місці падіння, які під час ударі про поверхню пружні сили та т. буд. Оскільки ці впливу мають хаотичний характер, то силу міркувань симетрії немає підстав віддавати перевагу випаданню одного числа очок перед іншим (якщо, звісно, немає неправильностей у самій кістки чи якоїсь виняткової спритності кидає).

Тому, за киданні кістки є шість що виключатимуть одне одного рівноможливих випадків, і можливість випадання даного числа очок варто прийняти рівної 1/6 (или100/6 %). При дворазовому киданні кістки результат першого кидання - випадання певної кількості очок - не надають ніякого впливу результат другого кидання, отже, всіх рівноможливих випадків буде 6 · 6 = 36. З положень цих 36 рівноможливих випадків 11 випадках шістка з'явиться хоча колись й у 5 · 5 = 25 випадках шістка не випаде ніколи.

Шанси на поява шістки хоча колись дорівнюватимуть 11 з 36, інакше кажучи, ймовірність події А, який перебуває у цьому, що з дворазовому киданні кістки з'явиться хоча колись шістка, равна11/100, т. е. дорівнює відношенню числа випадків благоприятствующих події А до всіх рівноможливих випадків. Можливість те, що шістка не з'явиться ніколи, т. е. ймовірність події, званого протилежним події A, равна25/36. При трехкратном киданні кістки кількість усіх рівноможливих випадків буде 36 · 6 = 63, при чотириразовому 63 · 6 = 64. При трехкратном киданні кістки число випадків, у яких шістка не з'явиться ніколи, одно 25 · 5 = 53, при чотириразовому 53 · 5 = 54. Тому події, який перебуває у цьому, що з чотириразовому киданні жодного разу випаде шістка, дорівнює, а ймовірність протилежного події, т. е. можливість появи шістки хоча колись, чи ймовірність виграшу де Мере, дорівнює.

Отже, у де Мере було більше шансів виграти, ніж програти.

Розмірковування Паскаля і всі його обчислення засновані на класичному визначенні поняття ймовірності як стосунки числа сприятливих випадків до всіх рівноможливих випадків.

Важливо, що виготовлені вище розрахунки і саме поняття ймовірності як числової характеристики випадкового події ставилися явищ масового характеру. Твердження, що ймовірність випадання шістки під час кидання гральною кістки дорівнює 1/6, має наступний об'єктивний сенс: при велику кількість бросаний частка числа випадань шістки буде зацікавлений у середньому дорівнює 1; так, при 600 бросаниях шістка може з'явитися 93, чи 98, чи 105 тощо. буд. раз, однак за великому числі серій по 600 бросаний середня кількість появ шістки у серії з 600 бросаний буде дуже близько до 100.

Ставлення числа появ події до випробувань називається частотою події. Для однорідних масових явищ частості подій поводяться стійкою, т. е. мало коливаються близько середніх величин, що й приймаються за ймовірності цих подій (статистичне визначення поняття ймовірності).

У XVII-XVIII ст. теорія ймовірностей розвивалася незначно, оскільки область застосування сили, через низького рівня природознавства обмежувалася невеликим колом питань (страхування, азартні ігри, демографія). У ХІХ в. і по нашого часу, у зв'язку з запитами практики, теорія ймовірностей безупинно і швидко розвивається, знаходячи застосування у дедалі більш різноманітних областях науки, техніки, економіки (теорія помилок спостережень, теорія стрільби, статистика, молекулярна і атомна фізика, хімія, метеорологія, питання планування, статистичний контроль у виробництві та т. буд.)

Теорія ймовірностей є розділом математики, що вивчає закономірності випадкових масових подій стійкою частості.

Теорія ймовірності - це наука, що вивчає закономірностей масових випадкових явищ. Такі самі закономірності, лише у вужчої предметної області соціально-економічних явищ, вивчає статистика. Між цими науками є спільність методологією й високий рівень взаємозв'язку. Практично будь-які висновки зроблені статистикою розглядаються як імовірнісні.

Особливо наочно це вероятностный характер статистичних досліджень проявляється у вибірковому методі, оскільки кожен висновок зроблений за результатами вибірки оцінюється із заданої ймовірністю.

З розвитком ринку поступово зрощується ймовірність і статистика, особливо це проявляється у управлінні ризиками, товарними запасами, портфелем цінних паперів тощо. У світі теорія ймовірності та математична статистика застосовується дуже широко. У нашій країні, поки широко застосовується у управлінні якістю продукції, тому поширення та запровадження у практику методів теорії ймовірності актуальна завдання.

Як мовилося раніше, поняття ймовірності події визначається для масових явищ чи, точніше, для однорідних масових операцій. Однорідна масова операція складається з багаторазового повторення подібних між собою одиничних операцій, чи, кажуть, випробувань. Кожне окреме випробування у тому, що складається певний комплекс умов, істотних для даної масової операції. У принципі так має бути можливим відтворювати цю сукупність умов необмежена кількість раз.

Пример1. При киданні гральною кістки "на удачу" істотним умовою є тільки те, як кістка впадає до столу, проте інші обставини (початкова швидкість, тиск і температура повітря, забарвлення столу" й т. буд.) до уваги не приймаються.

Приклад 2. Стрілець багаторазово стріляє у певну мішень з даного відстані з положення "стоячи"; окремий постріл є випробуванням до засобів масової операції стрільби умовах. Якщо ж стрілку дозволено в різних пострілах змінювати становище ("стоячи", "лежачи", "з коліна"), то попередні умови істотно змінюються і треба казати про масової операції стрільби з даного відстані.

Можливі результати одиничної операції, чи випробування P.S, називаються випадковими подіями. Випадкове подія - це таку неординарну подію, яке може статися, і може і статися під час випробування P.S. Замість "статися" кажуть також "наступити", "з'явитися", "відбутися".

Так, під час кидання гральною кістки випадковими є: випадання даного числа очок, випадання непарного числа очок, випадання числа очок, не більшого трьох.

При стрільбі випадковим подією є потрапляння до мета (стрілок може пояснюватися як потрапити до мета, і промахнутися), протилежним йому випадковим подією є промах. На цьому прикладу добре видно, що правове поняття випадкового події у теорії ймовірностей годі було розуміти в життєвому сенсі: "свята випадковість", оскільки гарного стрілка потрапляння до мета буде швидше правилом, а чи не випадковістю, витлумаченої повсякденному сенсі.

Нехай попри деякий числі n випробувань подія A настало m раз, т. е. m результатів одиничної операції виявилися "вдалими", тому, що цікавить нас подія A здійснилося, і n-m результатів виявилися "невдалими" - подія A цього не сталося.

Ймовірність події A, чи ймовірністю «вдалого» результату одиничної операції, називається середнє частості, т. е. середнє відносини числа «вдалих» фіналів до всіх проведених одиничних операцій (випробувань).

Звісно ж, що й ймовірність події дорівнює, то, при n випробуваннях подія A може настати і як m разів, і менш як m раз; воно лише середньому настає m разів, і переважно серій по n випробувань число появ події A буде близько до m, особливо якщо n -- велика кількість.

Отже, ймовірність P(A) є певна постійне число, укладену між нулем і одиницею:

0 Ј P(A) Ј 1

Іноді її висловлюють у відсотках: Р(А)

100% є середній відсоток числа появ події A. Звісно, слід, йдеться про певну масової операції, т. е. умови P.S виробництва випробувань -- певні; якщо їх істотно змінити, вона може змінитися ймовірність події A: він ймовірність події A на другий масової операції, коїться з іншими умовами випробувань. Надалі вважатимемо, не намовляючи на це байдуже раз, йдеться про певної масової операції; Якщо ж умови, у яких здійснюються випробування, змінюються, це буде спеціально відзначати.

Дві події A і B називаються рівносильними, якщо кожному випробуванні вони або обидва наступають, або обидва не наступають.

І тут пишуть

A = B

і роблять відмінності між цими подіями. Ймовірність одно- сильних подію A = B, очевидно, однакові:

P(A) = P(B)

Протилежне твердження, звісно, не так: речей, що P(A) = P(B), зовсім на слід, що A = B.

Подія, яка не обов'язково настає при кожному випробуванні, називається достовірним.

Домовимося позначати його буквою D.

Для достовірного події число його наступів m одно числу випробувань n, тому частість його завжди дорівнює одиниці, т. е. ймовірність достовірного події варто прийняти що дорівнює одиниці:

P(D) = 1

Подія, яке явно неспроможна статися, називається неможливим.

Домовимося позначати його буквою H.

Для неможливого події m = 0, отже, частість його завжди дорівнює нулю, т. е. ймовірність неможливого події можна вважати рівної нулю:

P(H) = 0

Чим більший ймовірність події, тим більше воно настає, і навпаки, що менше ймовірність події, тим рідше воно настає. Коли ймовірність події близька до одиниці чи дорівнює одиниці, воно настає майже попри всі випробуваннях. Про таке подію кажуть, що його практично достовірно, т. е. які можна напевно прогнозувати його.

Навпаки, коли ймовірність дорівнює нулю або дуже мала, то подія настає дуже рідко; про такий подію кажуть, що його практично неможливо.

Наскільки мала мусить бути ймовірність події, щоб практично можна було його неможливим? Спільного відповіді тут дати не можна, бо всі залежить від цього, наскільки важливе всі ці події.

Якщо, наприклад, можливість, що електрична лампочка виявиться зіпсованою, дорівнює 0, 01, з цим можна примиритися. Але якщо 0, 01 є можливість те, що у банку консервів утворюється сильний отрута боту лин, з цим примиритися не можна, оскільки приблизно й одне випадку із ста відбуватиметься отруєння покупців, безліч людські життя виявляться під загрозою.

Основні категорії теорії ймовірності.

Як і наука, теорія ймовірності та математична статистика оперують поруч основних категорій:

· Події;

· Можливість;

· Випадковість;

· Розподіл ймовірностей тощо.

Події - називається довільне безліч деякого безлічі всіх можливих фіналів, може бути:

· Достоверные;

· Невозможные;

· Випадкові.

Достовірним називається подія, яке явно станеться за дотримання певних умов.

Неможливим називається подія, яке явно не станеться за дотримання певних умов.

Випадковим називають події, які можуть виникнути або статися за дотримання певних умов.

Події називають єдиновозможними, якщо наступ однієї з них подія достовірне.

Події називають рівновозможними, якщо жоден з них є можливим, ніж інші.

Події називають несумісними, якщо поява однієї з них виключає можливості появи іншого у тому випробуванні.

Класичне і статистичне визначення ймовірності.

Можливість - чисельна характеристика реальності появи тієї чи іншої події.

Класичне визначення ймовірності: якщо безліч можливих фіналів кінцеве число, то ймовірністю події Є вважається ставлення числа фіналів сприятливої цієї події до загальної кількості єдиновозможних рівновозможних фіналів.

Безліч можливих фіналів теоретично ймовірності називається простором елементарних подій.

Простір елементарних подій можна описати числом nS=2, nS=6.

Якщо позначити число фіналів сприяющих події n(E), то ймовірність події Є виглядатиме. Для наших прикладів.

З класичного визначення ймовірності, можна вивести її основні властивості:

Можливість достовірного події дорівнює 1.

Можливість неможливого події дорівнює 0.

Можливість випадкового події у межах від 0 до 1.

Класичне визначення ймовірності пов'язані з безпосереднім підрахунком ймовірності, вимагає точного знання числа всіх можливих фіналів, і зручне розрахунку ймовірності досить простих подій.

Розрахунок ймовірності складніших подій - це складне завдання, потребує визначення чисел всіх можливих комбінацій появи цих подій. Такими розрахунками займається спеціальна наука - комбінаторика. Тому на згадуваній практиці часто використовується статистичне визначення ймовірності.

Доведено, що з багаторазовому повторенні досвіду частості досить стійкі і коливається близько деякого постійного числа, це ймовірність події.

Отже, за умов масових випробувань розподіл частосте перетворюється на розподіл ймовірності випадкової зміни.

Достоїнство статистичного визначення ймовірності тому, що з її розрахунку необов'язково знати кінцеве число фіналів.

Якщо класичне визначення ймовірності здійснюється апріорі (до досвіду), то статистичне апостеріорі (після досвіду за результатами).

Розподіл частосте дискретного низки, виражених кінцевими числами, називається дискретним розподілом ймовірності.

Якщо здійснюються дослідження масових подій частосте, які розподіляються безупинно і може виражені будь-якої функцією, називаються безперервним розподілом ймовірності.

На графіці такий розподіл відбивається безупинної плавної лінією, а площа обмежена цієї лінією і віссю абсцис завжди дорівнює 1.

теорія ймовірність математика паскаль

Висновки